Effizientestes Winkeldritteln
Gegenüber dem von Wantzel (1837) für das Winkeldritteln veröffentlichten Unmöglichbeweis gibt es noch eine allgemeinere Unmöglich-Einsicht. Es kann zu keinem gegebenen beliebig großen Winkel mit einer konstruierten Sequenz aus zusammenhängenden endlich vielen Kreis- und Geraden-Objekten nur eine unvollständige zusammengesetze Größe des gesuchten Winkeldrittels erzeugt werden. Hier gilt, wenn es für ein beliebig großen zu drittelnder Winkel kein quantisiertes vollständig zusammengesetztes Größenabbild gibt, gibtes dieses auch nicht für das Winkeldrittel.
Für das immer weiter zu vervollständigende Größenabbild der Winkeldrittelröße bedarf es hier endlose Grenzprozesse. . Unsere effizient konstruieten Grenzprozesse zum Winkeldrittelm, die mit der Zielgestalt "Kreuzschleifen-Konstruktion und Neusis-Bewegung arbeiten, sind in unterschiedlichen Ausprägungen möglich. Welchen ist der Vorzug zu geben? Natütlich den effizientesten. Beim Internet-Lexikon Wikipedia23.02.2024 lesen wir zu Effizienz:
"Was ist Effizienz? Effizienz bedeutet, Dinge „richtig“ zu machen. Das kann bedeuten, dass Sie schneller arbeiten, mit weniger Ressourcen auskommen, große Projekte mit einem geringem Aufwand umsetzen oder umgekehrt, „mehr“ mit „weniger“ schaffen."
Für uns bedeutet es, nach einer konstruierten Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekte zum Winkeldritteln zu suchen, welche dem Grenzpunkt=exakter Winkeldrittel-Punkt auf dem Grundkreis mit den wenigsten Schritten bzw. Objekten am nahesten kommt.
Winkeldritteln mit konstruierten Objekten im Inneren des Grundkreises
Halbbalken-Verfahren mit Kreuzschleifen-Zielgestalt-Konstruktion und Neusis-Bewegung
Um den Umfang der Berechnungs-Sequenzen (iterierende Zyklen) vergleichbar zu halten, sind die konstruierten Objekte im obigen Bild fortlaufend nummeriert. Gestartet wird mit dem Freigwählten Startpunkt C1 auf der X-Achse,dann folgt Strahl g2. Für den im 3-ten Schritt erzeugten Kreis ist die Bezeichnung k3 und für die im nächsten Schritt erzeugte Gerade gi+1=g4. Die erste Teil-Sequenz umfasst hier die Objekte Gerade g2 und Kreis k3, dann folgen (g4;k5) und (g6;k7) usw. Die Radiusgrössen der Kreisbögen k3 ; k5; k7 ... sind alle gleichgroß zur Radiussrecke MA des Grundkreises k1. Die konstruierten Punkte D; G; K usw. bilden eine gesetzmäßige Punkte-Folge zu einer gedachten "Trisectrix-Kohärenzkurve ". Diese Folgepunktkurve strebt autokonvergent dem Winkeldrittelpunkr auf der Grundkreiskurve k1 zu. Diese Näherung beschleunigen wir, indem durch drei Folgepunkte, die am nächsten der Kreiskurve k1 liegen, eine Schmiegekreiskurve kx gezeichnet wird , welche dann den Grundkreis k1 schneidet und mit dem Schnittpunkt den genaueren, verbesserten Winkeldrittelpunkt liefert.
Mit der schrittweise sequenziell konstruierten Neusisdrehung in Punkt B wird quasi der halbe Kreuzschleifen-Balken zwischen Y-Ache und Grundkreis k1 eingepasst.
Winkeldritteln mit konstruierten Objekten auch außerhalb des Grundkreises
Ganzbalken-Verfahren auf der Grundlage einer Kreuzschleifen-Zielgestalt-Konstellation
Die folgenden zwei Bilder zeigen unserere effizienten Winkeldrittelungen in den Ausprägungen Halbbalken-Verfahren, links, und Ganzbalken-Verfahren, rechts. Bei beiden Verfahren liegen die zu drittelnden Winkel im ersten Quadranten. Die schrittweise konstruierten zwei Neusisdrehung streben mit einer autokonvergenten Sequenz der Kreis- und Gerade-Objekte (g2; k3, usw.) der jeweiligen Zielgestalt (rotes und grünes Dreieck zu).
Im linken Bild wird der halbe Kreuzschleifenbalken als dicker gezeichneter Halbbalken von g2 zwischen Y-Achse und Kreislinie eingepasst. Neusisbewegun ist hier eine schrittweise Drehung, wodurch der Ziel-Gestalt mit zwei zusammenhängenden gleichschenkligen roten und grünen Dreiecken nahe gekommen wird. Im rechten Bild wird der ganze Kreuzschleifenbalken zwisch Y- und X-Achs, und Mittelpunkt auf dem Grundkreis, eingepasst, wodurch als Ziel-Gestalt wieder die zwei zusammenhängenden gleichschenkligen roten und grünen Dreiecke entstehen.
Das
Ganzbalken-Verfahren ist gegenüber dem Halbbalen-Verfahren effizienter, da eine bestimmte Genauigkeit schon mit deutlich weniger Schritten erzielt wird. Zur Abgrenzung von einem quasi analogen Neusisbewegen sprechen wir nun von einem "schrittweise konstruierten Neusisbewen. Bei beiden Varianten wird Schritt um Schritt mit jedem Wiederholungszyklus aus Strecke- und Kreis-Objekten dem Grenzpunkt = Winkeldrittelpunkt auf der Kreislinie unbeschränkt zustrebt.
Die Abläufe unserer beiden hier gzeigten Winkeldrittel-Grenzprozesse konvergieren also unterschiedlich schnell zum exakten Winkeldrittelpunkt. Rechts wird bereits nach 5 "Gerade-Kreis-Teilsequenzen eine Übereinstimming des verdreifachten Ergebniswertes (rote Winkelzahl) mit dem Startwinkelwert (schwarze Zahl) von 10 wahren Nachkommastellen erreicht. Hingegen werden links mit dem weniger stark konvergierenden Grenzprozess erst nach 7 "Gerade-Kreis-Sequenzen 3 wahre Nachkommastellen erzielt. Unsere beiden Grenzpozess-Winkeldreilungen arbeiten als autokonvergente Grenzprozesse, die von beliebig großen Startwerten allein mit den Urkurven Kreis und Gerade zum exakten Winkeldrittelpunkt führen. Hierbei sind die in der Antike gefoderte Beschränkung auf die Werkzeuge Zirkel und strichloses Lineal bzw. Kreis- und Gerade-Objekte eingehalten.
Die Lösung der Aufgabe eine beliebige Winkelgröße zu dritteln, ändert sich vom mathematisch bewiesenem „unmöglich“ in „möglich“, sobald das Wissen zur Quantisierung (heute wird hier meist von Digitalisierung gesprochen) einbezogen wird. So ist heute algemein bekannt, für beliebig große zu drittelnden Winkel gibt es keine vollständige quantisierte klassich konstruierte Größendarstellung ohne Restfehler. Diese Tatsache trifft damit auch auf die vom Startwinkel abgeleiteten 1/3-Winkel zu.
Bekannt ist auch, dass ein exakter Grenzprozess zum Winkeldritteln den gedachten endlosen Umfang der Operationen nicht vollständig abarbeiten kann. Bleibt die Frage, führen unsere konstruierten Grenzprozesse tatsächlich, wenn sie endlos fortgeführt werden könnten, zum erwarteten vollständigen Größenabbild des Winkeldrittels? Nach den Schlüssen, welche aus dem wantzelschen Beweis gezogen werden, gibt es keine zutreffenden Zusammenhänge, die allein mit endlich vielen Kreis- und Gerade-Objekten auskommen. Daher stempelt die "amtliche Mathematik" alla Winkeldrittelversuche, die sich nicht an die antike "Endlich-Forderung" halten, ohne jede weite Überprüfung als falsch ab. Heute wird dazu gelehrt, für die Überwindung des Unmöglich-Problems brauche es zusätzliche Hilfsmittel, die über Kreis- und Gerade-Kurve hinaus gehen. So kann bei Wikipedia
https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels dazu nachgelesen werden:
"Obwohl eine klassische Konstruktion nicht möglich ist, kann die Dreiteilung eines Winkels unter Zuhilfenahme von Hilfsmaterialien und Werkzeugen, wie eines markierten Lineals, als sogenannte Zielgestalt-Konstruktion mit Neusisbewegung vollzogen werden"
Hier schafft die analoge Neusisbewegung die letztlich endlos genaue Verschiebung mit einem quasi letzten endlos kleinen Schritt nicht real, sondern nur in Gedanken. Es wird zu den exakten Verfahlen eingeordnet, denn der Zielgestalt-Lösungszusammehang kann anschaulich logisch, Schritt um Schritt, nachvollzogen werden. Gleiches zum Zielgestalt-Lösungszusammenhang trifft auch für unsere effizienten Winkeldrittelungen mit klassich konsruierten Grenzprozessen zu, so daß auch sie zu den exakten Verfahren einzuordnen sind.
Tatsache ist, zwei Winkelhalbe gibt es nach einer Verzweifachung, sowie auch nach einer Zwei-Teilung. Die Winkelverdreifachung und drei Winkeldrittel gibt es nach einer Verdreifachung. Das gesuchte Winkeldrittel gibt es immer erst am gedanklichen Ende eine endlosen Drittelprozesses.
