Begriff "Cohaerentische Geometrie"
Der Begriff "Cohaerentische Geometrie" ist zur Abgrenzung gegenüber der eulidschen Geometrie gewählt und auch gegenüber im histotischen Zeitverlauf schon gemachten Versuchen zu anderen Geometrien.
Die euklidsche und auch die cohaerentische Geometrie sind beide durch zwei Grundobjekte /Grundzusammenhänge (Axiome) geprägt, Punkt und Linie. Sie sind die Elemente, welche es ermöglichen geometrischen Konstruktionen nachvollziehbar strukturiert zu konstruieren. Bei der cohaerentischen Geoemtrie gibt es gegenüber der eujkidschen Geometrie eine etwas anderen, weniger abstrakte Interpretation von Linie und Punkt,. Diese andere Sichtweise, wir haben sie cohaerentischer Sichtweise genannt, führt zu einem Paradigmenwechsel im Sinne des Übergangs von einer alten Betrachtungsweise zu einer neuen, zuvor undenkbar oder sogar abgelehnten:
Cohaerentische Interpretationen:
1. Cohaerentische Linie
2. Cohaerentischer Punkt
Cohaerentische Punkte sind Schnittpunkte von breitenlosen Linien. Die Punkte der cohaerentischen Geometrie haben keine eigene materielle Existenz und auch keine räumliche Ausdehnung. Sie füllen in der Menge keine Strecke, keine Ffläche usw. aus.
Cohaerentische vs. euklidsche Konstruktion
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euklidsche Geoemtrie |
cohaerentische Geometrie
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| Linie |
Linien sind Punktmengen. Flächen sind Linienscharen.
Die Linie entsteht durch Aneinanderreihung von Punkten.
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Eine Linie ist als ein Kohärenzobjekt definiert.
Eine Linie wird als Grenze zwischen zwei raumausfüllenden Medien wahrgenommen. Als Grenzlinie dehnt sie sich quer zum Medienübergang aus. Sie wird zum Raumobjekt Linie ohne Breite abstrahiert.
Die Linie ist keine Aneinanderreihung von Punkten.
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| Punkt |
Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Die Enden einer Linie sind Punkte.
Punkte sind Grundbausteine/Grundobjekte ohne Ausdehnung.
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Cohaerentische Punkte sind Schnittpunkte von breitenlosen Linien.
Sie haben keine eigene materielle Existenz und auch keine räumliche Ausdehnung.
Sie sind keine Bausteine, die in der Summe eine Strecke, einen Kreisboge, eine Fläche ausfüllen.
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Prinzip des
Konstruierens
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Aufbau erfolgt punktmengentheoretisch
und additiv mit materialisierten
Objekten:
Punkt → Linie → Fläche
→ Raum.
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Die Verknüpfungen beziehen sich auf
relationell und strukturelle Kohärenz. Betrachte Objekte sind Verhältnisse, Relationen, Formzusammenhänge.
Es interessiert welche Zusammenhänge zu
neuen Punkten führen und wie sie aufeinander bezogen sind, nicht wie viele es gibt.
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| Füllung und
abzählbare
Struktur
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Geometrie wird über Mengen und Additionen konstruiert, was die Idee der endlichen Schrittfolge bedingt.
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Geometrie wird nicht über Mengen und Additionen
konstruiert, was der Idee der endlichen Schrittfolge ihren ontologischen Zwang nimmt.
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| Abgeschlossen- heit |
Punkt als Baustein führt zur Forderung nach Abgeschlossenheit
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Punkt als kein Baustein führt dazu , daß die Forderung nach Abgeschlossenheit nicht
nur gelockert,
sondern grundsätzlich neu gedacht wird.
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Exaktheit,
Gültigkeit der Konstruktion
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Eine Konstruktion gilt u.a. nur dann als exakt und gültig, wenn sie mit endlich viel konstruierten Kreis- und Gerade-Objekten eine vollständig zusammengesetzte Darstellung der Ergebnisgröße erzeugt.
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Eine Konstruktion gilt auch dann als exakt und gültig, wenn sie mit konstruierten Grenzprozessen arbeitet, die nach endlich vielen Schritten unvollständig und nach gedanklich endlos vielen Schritten vollständig das exakte Grenzergebnis darstellt. Konstruierte Grenzprozesse arbeiten dabei mit geometrischen Rechengrößen, ganz ohne Zahlen.
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| Grenzprozesse |
Konsruierte endlose Prozesse werden als bloße beschränkte Näherungsprozesse betrachtet. |
Konsruierte endlose Grenzprozesse werden nicht als beschränkte Näherungsprozesse betrachtet. Sie werden als vollständig strukturierte Rechengang-Sequenzen mit sichtbaren Zusammenhängen verstanden, die bis zur beliebigen Genauigkeit (und damit zur idealen exakten Größe) konvergieren. Mit ihnen wird
das Unendliche konstruktiv und kohärent einbezogen.
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Die wesentliche Unterschied zwischen beiden Geometrien ist: Neben den bisher euklidschen Konstruktionen aus nur endlich vielen Kreis- und Gerade-Objekten, werden nun auch cohaerentische Konstruktionen aus aus endlos vielen Kreis- und Gerade-Objekten betrachtet. Für die cohaerentische Geometrie wird gefordert, die Zwischenergebnis-Punkte müssen mit endlich viel konstruierten Objekten mit gesetzmäßiger Kohärenz, d.h. ohne Probieren, möglichst autokonvergen erzeugt werden, damit auch die Folge der konstruierten Zwischenergebnis-Punkte dem exakten Grenzpunkt tatsächlich zustreben. Zwischenergebnis-Punkte markieren noch nicht vollständig zusammengesetzte Ergebnisgrößen.
- In der euklidsche Geometrie ist eine Konstruktion nur dann exakt, wenn sie nach endlich vielen Schritten bzw, endlich vielen konstruierten Kreis- und Gerade-Objekten beendet ist und das Ergebnis vollständig als Größe zusammengesetzt darstellt ist.
- In der cohaerentischen Geometrie sind Konstruktion mit nur endlich vielelen, aber auch mit strukturbedingten endlos vielen Schritten bzw. konstruierten Kreis- und Gerade-Objekten akzeptiert.
Die große Vorbildwirkung, welche von den
Elementen des Euklid (ca. 330 v.u.Z) ausgeht, führten zu einer Art Denkblockade zu endlosen Zusammenhämgem und damit für endlose Konstruktionen. In den Elementen wird sich auf Konstruktionen beschränkt, die ein exaktes Ergebnis nach endlich vielen Schritten bzw. einer endlichen Sequenz gezeichneter Kreis- und Gerade-Objekte liefern. Alles Andere wird als nicht vollkommen, als unvollständig, nur als Näherung betrachtet. Die cohaerentische Geometrie überwindet diese beschränkende Denkblockade. Es werden nun auch bewußt endlose Grenzprozeß-Konstruktionen betrachtet, mit denen die erfahrbare Realität umfassender abgebildet werden kann. Ansätze, das Problem mit den endlosen Zusammenhänge irgendwie praktisch zu bewältigen, gibt es schon seit der Antike. Bekanntestes Beispiel dafür ist die von Archimedes (287- 212 v.u.Z.) geführte Ermittlung des Kreisverhältnisses=Kreisumfamg/Kreisdurchmesser, was die Längenermittlung des gerade gebogenen Kreisumfangs erfordert. Diese Ermittlung des Archimedes ist aber keine Konstruktion cohaerenter Geometrie und auch keine durchgehende Konstruktion der euklidschen Geometrie. Sie geht zwar von gesetzmäßigen geometrischen Zusammehängen aus, umfasst aber auch numerische Berechnungen. Sie liefert eine Zahl und keine geomerische Größe als Ergebnis. Im Unterschied dazu wird bei der Ermittlung des Kreisverhältnisses mit Konstruktionen cohaerentischer Geometrie eine durchgehend konstruierte Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten erzeugt. Deren Konstruktionsplan ist bis ins Endlose bekannt und umfasst auch Wiederholkzyklen mit gleicher Schrittfolge bzw. gleicher Zyklussequenz der Objekte. Dabei werden die konstruierten Zwischenergebnisse nicht durch Probieren gewonnen. Sie streben als gesetzmäßig kohärente Punktfolge einem exakten Grenzwert/Grenzpunkt zu, der eine nachvollziehbare natürliche geometrische Größe ist. Der Grenzpunkt markiert die gerade gestreckt konstruierte Kreisbogenlänge und erreicht diese in gedanklicher Abstraktion nach endlos vielen Schritten-
Markanter Unterschied der kohärenten Geometrie zur euklidischem Geometrie:
Punkte sind hier ohne Raumausdehnung, trotzdem wahrnehmbar und füllen als Menge weder eine Linie, eine Fläche, noch einen Kubus aus. Eine Punktposition ist reales Grenzelement einer analogen räumlichen Ausdehnung. Erst zwei Punktpositionen, die sich nicht decken, markieren eine Raumdistanz.
Eine wahrnehmbare Grenzlinie wird als Spur, eines nach einem konkreten Zusammenhanggesetz bewegten Punktes verstanden werden.
Die Betrachtungs- und Vorgehensweise der kohärenten Geometrie weicht beim konstruierten Berechnen mit Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten
von der euklidischen Geometrie insbesondere dadurch ab, daß eine Denkblockade zu unendlichen Prozessen (konstruierte Grenprozesse) überwunden wird, die auf Euklid's Grundlagenwerk "Elelmente" (ca.330 v.u.Z.) und seine starke Vorbildwirkung zurück geht.
Die klassische euklidische Geometrie basiert auf endlichen, mit Zirkel und Lineal ausführbaren Konstruktionen. Viele geometrische Objekte, insbesondere Kurven wie Kreise, Parabeln oder kompliziertere Linien, lassen sich aber nur durch unendliche Prozesse (Grenzprozesse) exakt beschreiben oder als Punktefolge konstruieren. Euklid und die historisch nachfolgende klassische Geometrie lassen die vielen wahrnembaren endlosen Prozesse meist unbetrachtet, weil sie diese unvollkommen und damit für unmöglich realisierbar halten.
Einbeziehung von klassisch konstruierten Grenzprozessen
Die "cohaeretische Geometrie" geht über die euklidsche Geometrie hinaus und erlaubt explizit die Betrachtung und Konstruktion von Objekten, die nur durch unendliche Prozesse entstehen, wie die Normalparabel y=x^2, deren endlos dichte Punktefolge sich nur als Grenzwerte von Folgen konstruierbarer Punkte ergeben. Das bedeutet, dass hier nun auch solche Kurven als "konstruierbar" gelten, wenn vom Prinzip her jeder einzelne Punkt durch einen (theoretisch) ausführbare Konstruktion erreicht werden kann.
Nähe zur Realität
Die cohaerentische Geometrie ist näher und stärker an der realen Welt dran, als die euklidsche Geometrie. Viele Formen und Prozesse der realen Welt sind tatsächlich kontinuierlich und nicht diskontinuierlich, endlich abgeschlossen. In der Natur und Technik begegnen uns oft Kurven und Formen, die gemäß einem gesetzmäßigen Zusammehang endlos fortgetetzt werden können. Dazu tragen Wiederholsequenzen bei und auch dazu das Konstruktionspläne mit nur endlich vielen Schritten exakt beschrieben werden können. Viele diese endlosen Grenzprozesse streben nachvollziehbar geometrisch gesetzmäßig, ohne probierende Schritte, einem exakten Grenzpunkt zu, einem der nachvollziehbar sinnvoll ist.
Zusammenfassung zum Grundunterschied :
Die cohaerentusche Geometrie erweitert die klassische Geometrie, indem sie konstruierte Berechnungen mit natürlichen Rechengrößen betrachtet und damit auch zu unendliche geometrischen Zusammenhängen Zugang erhält, wodurch die Nutzung klassisch konstruierter Grenzprozesse möglich wird. Ein wichtiges Beispiel hierzu ist die konstruierte Folge gleichlanger Kreisbogen, deren Endpunkte eine gesetzmäßig kohärente Zwischepunktefolge bilden, welche dem gerade gestreckten Grenzkreisbogen-Endpunkt zustreben,
Auf diese Weise können auch Kurven betrachtet werden, die in der euklidischen Geometrie als "nicht konstruierbar" gelten, wie die Normalparabel y=x^2 oder die Kubukparabel y=x^3. Das macht die cohaerentische Geometrie flexibler und bringt sie näher an die mathematische und physikalische Realität heran.
Auf diese Weise wird beispielsweise ein Winkeldritteln in endlich vielen Schritten von Zirkel und Lineal möglich. Auch solche konstruierte Grenzprozesse werden möglich, die wegen extrem starker Konvergenz (im Gegensatz zu vielen numerisch-algebraischen Grenzrozessen) schon nach wenigen Schritten eine praktikable hohe Genauigkeit erreichen. Diese Konstruktonen werden schon weit entfernt von den möglichen endlos vielen Schritten vorzeitig abgebrochen. Insgesamt kommt heute die Betrachtungs- und Vorgehensweise der kohärenten Geometrie mit anschaulichen Zusammenhängen näher an die Realität heran, als es euklidscher Geometrie oder auch den bisherigen Erweiterungsversuchen mit zusätzlichen Werkzeugen gelungen ist. Ansätze zu einer Geometrie welche über die bekannte Erweiterungen der euklidschen Geometrie hinaus gehen, werden im Buch Cohaerentic (ISBN 9783982025216) sowie auf dieser web-Seite www.cohaerentic.com in den Modulen
- Warum konstruiert berechne?
- Grundrechenarten
- Höhere Rechenarten
- Konstruierte Urberechnungen
dargelegt.
Kurzer Überblick zu weiteren Unterschieden
Die etwas natürlichere Betrachtungs- und Sichtweise bei der cohaerentischen Geometrie führt dann auch zu etwas anderen Grundeinsichten, was wir hier bereits eingangs anhand von Bildern und Videos demonstrieren:
Bekanntes Kegelschnittmodell vs. Kohärenzmodelle der cohaerentischen Geometrie in der Ebene
Die Unterschiede der cohaerentischen Konstruktionen zu bekannten Konstruktionen der euklidschen Geometrie. zeigen sich auch in den folgenden Konstruktionsbildern. Das folgende Bild zeigt schon seit dem Altertum bekanntes
Zusammenhangwissen zu den Kegelschnittkurven.
Es gibt aber kaum klassische Konstruktionen, die voneinander abhängigen Punkte auf den verschiedenen Kegelschnittkurven, wie Kreis und quadratische Parabel sowie Keis und Hyperbel zeigen, samt nachvollziehbarer Verbindungssequenzen zusammenhöngender Kreis- und Gerade-Objekte. Die nächsten Konstruktionen und Videos solche bislang nicht betrachteten geometrischen Zusammenhänge / Abhängigkeiten. Sie werden insbesondere durch die Videos gut nachvollziehbar.
Das bekannte obige Kegelschnitt-Kohärenz-Modell unterscheidet sich vov den ebenen klassisch konstruierten Kohärenz-Modellen der cohaerentischen Geometrie. Die Kurven Kreis, Parabel und Hyperbel hängen hier über elementare Rechenoperationen zusammen. Die Rechengrößen sind dabei von natürlicher geometrischer Art. Damit werden die Zusammenhängen zwischen den elementaren Kurven Gerade, Kreis, Parabel und Hyperbel anschaulich nachvollziehbar.
Die zwei fogenden Videos mit Bewegungen im Zugmodus vervollständigen das Wissen zur Betrachtungsweise der , cohaerentischen Geometrie, bei der anschaulich nachvollziehbare geometrische Grundzusammenhänge im Vordergrund stehen.
Cohaerentische Konstruktionen zur Ermittlung der gestreckten Kreisunfanglänge
Das folgende Bild zeigt das schrittweise Aufbiegen eines Kreisbogens miteine Konstruktion, die sich sich zu der bekannten Berechnung der Länge des Kreisumfangs durch Archimedes (287 bis 212 v.u.Z.) unterscheidet.. Anders als bei Archimedes wird hier eine duchgehende Sequenz aufeinander folgender Kreis- und Gerade-Objekten konstruiert, welche das nachvollziehbare Verstehen zur gerade gestreckten Kreisbogenlänge ermöglicht..
Das nachvollziehbare schrittweise konstruierte Aufbiegen erfolgt durch durch wiederholtes, quasi simultanes Doppeln des Kreisradius und Halbieren des Restwinkels = ∠ ( S(1kxX), S(2gx4g), S(Yx3k)) bis zur Y-Achse. Der so konstruierte nachfolgende gleichlange Kreisbogen hat nur noch die halbe Krümmung und nach dem nächsten Zyklus nur noch eine Viertelkrümmung usw. Dieser Prozeß des schrittweisen Streckung ist als Wiederholzyklus endlos fortsetzbar.
Die drei klassichen Berechnungsproblen der Antike
sind das
- Winkeldritteln
- konstruierte Berechnen der gestreckten Kreisbogenlänge für die Kreisquadratur mit Überführung der Kreisfläche in ein flächengleiches Quadrat
- konstruierte Berechnen der Würfelseitenlänge für ein doppeltes Würfelvolumens
wozu nachfolgende Bilder gezeigt werden:
Obwohl heute die meisten Menschen konkrete Vorstellungen dazu haben, was mit dem Begriff "Berechnen" gemeint ist, gibt es im Internet-Lexikon Wikipedia zum Begriff "Berechnen" keinen direkt aufklärenden Eintrag. Unbewußt wird beim Berechnen immer zuerst an Rechengrößen gedacht, die mit Zahlen modelliert werden. Mit cohaerentischer Geometrie betrachten wir nun auch klassich konstruiertes Berechnen mit Rechengrößen, die keine Zahlen sind.
Gelehrter Erkenntnisstand zu den klassichen drei Berechnugsaufgaben der Antike
Das heutigen Wissen der Mathematik / Geometrie zu den griechischen Konstruktionproblemen wird in der
"Leseprobe zum Kurs 01320 Algebra und ihre Anwendungen der Fakultät für Mathematik und Informatik der Fernuniversität Hagen (FernUni / Fakultät MI / Angewandte Mathematik / Studium und Lehre / Lehrveranstaltungen / Kurs 01320 Algebra und ihre An...)"
von den Hochschullehrerinnen Silke Hartlieb und Luise Unger wie folgt zusammenfassend beschrieben.
Im Kapitel 1 „Die klasssischen griechischen Konstruktionsprobleme“ ist zu lesen:
„Wir werden in dieser Kurseinheit zeigen, dass die klassischen griechischen Konstruktionsprobleme nicht lösbar sind. Mit anderen Worten, es gibt keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt. Solche Unmöglichkeitsbeweise sind für mathematische Laien nur schwer nachvollziehbar, und daher gibt es überraschend viele Leute, die einen Satzanfang der Form „Es ist nicht möglich,. . . “ als „Bis jetzt haben wir es noch nicht hingekriegt,. . . “ übersetzen. Es gibt also auch heute noch etliche Personen, die ihre vermeintlich geglückten Konstruktionen an mathematische Fachbereiche schicken, und dann sehr enttäuscht sind (oder sehr böse werden), wenn man ihnen mitteilt, dass man nicht gewillt sei, dies genauer anzusehen, da die Konstruktion sowieso falsch sein müsse."
Diese Betrachtungsweise bleibt letztlich bei der Erwartung der Antike, "Alles ist Zahl", "Alles hat seine Zahl". Diese Erwartung führt zu Verwirrung und Vertändnisproblemen. Für die Winkeldrittelgröße wird daher auch ihre zugehörige Zahl als vollständige Größenabbild-Darstellung erwartet. Dies ist aber, wie sch dargegt wurde, wegen des Quantisierungsproblrms mit prinzipiellen Quantisierungsfehler nicht möglich. Fragwürdig ist hierbei auch, daß heute die analoge Größe Kreisverhältnis = Kreisumfang/ Kreisdurchmesser mit Kreiszahl benannt wird und damit eine Zahl gleich einer analoge Größe gesetzt wird. Dies ist eine grobe Vereinfachung und kann nicht streng mathematisch, logisch, sondern nur im historischen Kontext nachvollzogen werden.
Abweichend zur euklidschen Geometrie rückt in der cohaerentische Geometrie das Problem der konstruierten Quantisierung als endloser Prozeß in den Betrachtungsfocus. Erst eine konstruierte endlos fortsetzbare Quantisierung eines analogen geometrischen Kreisverhältnisses π führt zur abstrakten Zahldarstellung Kreiszahl πZahl,∞ . Mit noch nicht unendlich hohem Quantisierungsaufwand wird nur zu einem unvollständigen digitalem Größenabbild
Kreiszahl πZahl,N mit noch nicht endlos vielen wahren Nachkommastellen gelangt.
