Mit geometrischen Zusammenhängen (Kohärenzen) berechnen?

Alles ist Ansichtssache, auch die Unlösbarkeit oder Lösbarkeit der  klassischen drei griechischen Konstruktionsprobleme?
 
Auf dieser  web-Seite, www.cohaerentic.com, werden neue Lösungswege  zu den alten klassischen griechischen Konstruktionsproblemen vorgestellt. Von der Antike bis ins 19. Jahrhundert wurde hier "Unmöglich" erwartet. Dann wurde "Unmöglich" mit dem neuen angewachsenen Wissen zur Algebra  mathematisch bewiesen. Dabei hat sich  die allgemein bekannte Erkenntnis bestätigt, daß keine beliebig gegebene Größe mit einer durch Schritte gepägten Zahldarstellung (konstruierbare Zahl) ohne Rstfehler dargestellt werden kann. Klassich konstruierte Grenzprozesse wurden und werden als exakte Lösungswege in der Antike und auch bis  heute nicht erwartet und somit auch nicht betrachtet.   Anders bei den Cohaerentic-Lösungsverfahren. Eine klassische Aufgabe gilt hier als gelöst, wenn ein exakt zutreffender Kostruktionsplan für eine real ausführbare  konstruierte Sequenz von Kreis- und  Gerade-Objekten vorliegt, mit welchem dem exakten Ergebnis stringent konvergierend zugestrebt wird. Dieser Plan muß im  Enzelnen alle notwendigen Verknüpfungs-/Rechenaktionen/-oparationen beschreiben und vorgeben, analog wie es   eine   algebraische-arithmetischen  Rechenformel leistet. 
Von der Antike  und bis heute gibt es In der Fachliteratur keine Überlieferungen zu  Konstruktionsplänen mit zyklisch wiederholbaren Iterationssequenzen, wobei  Punkte-Folgen   logisch nachvollziehbar jeweils einem  exakten Ergebnispunkt  als Grenzpunkt zustreben. Es gibt auch  keine geäußerten Erwartungen dazu. Deshalb fehlen in den Lexika der Mathematik auch  entsprechende Wissensbeiträge.  Zum  heutigenWissen der Mathematik / Geometrie  zu den griechischen Konstrktionproblemen ist in der
 
"Leseprobe zum Kurs 01320 Algebra und ihre Anwendungen der Fakultät für Mathematik und Informatik der Fernuniversität Hagen (FernUni / Fakultät MI / Angewandte Mathematik / Studium und Lehre / Lehrveranstaltungen / Kurs 01320 Algebra und ihre An...)"
von den Hochschullehrerinnen Silke Hartlieb und Luise Unger  wie folgt zusammengefaßt.   Im Kapitel 1 „Die klasssischen griechischen Konstruktionsprobleme“ ist  zu lesen:
 
„Wir werden in dieser Kurseinheit zeigen, dass die klassischen griechischen Konstruktionsprobleme nicht lösbar sind. Mit anderen Worten, es gibt keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt. Solche Unmöglichkeitsbeweise sind für mathematische Laien nur schwer nachvollziehbar, und daher gibt es überraschend viele Leute, die einen Satzanfang der Form „Es ist nicht möglich,. . . “ als „Bis jetzt haben wir es noch nicht hingekriegt,. . . “ übersetzen. Es gibt also auch heute noch etliche Personen, die ihre vermeintlich geglückten Konstruktionen an mathematische Fachbereiche schicken, und dann sehr enttäuscht sind (oder sehr böse werden), wenn man ihnen mitteilt, dass man nicht gewillt sei, dies genauer anzusehen, da die Konstruktion sowieso falsch sein müsse."
 
Diese Betrachtungsweise erlärt unsere nachvollziehbar konstruierten  Grenzprozesse  a priori zu  falschen Lösungswegen. Ohne Nachprüfung sind damit   konstruierte  Grenzprozesse mit Punkte-Folgen, die als    Zwischenergebnissse dem Winkeldrittel-Grenzpunk zustreben, falsche lösungswege, was aber an der Wirklichkeit grob vorbei geht. So gibt es heute auch Bestrebungen, diese Sichtweise  etwas zu lockern und aufzulösen. Deshalb ist im Lexikon Wikipwdia (https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels, 27.5.2024),  unter "Dreiteilung des Winkels"   das beanspruchte absolute "Unmöglich" etwas zurück genommen, indem geschrieben ist:
 
"Obwohl eine klassische Konstruktion nicht möglich ist, kann die Dreiteilung eines Winkels unter Zuhilfenahme von Hilfsmaterialien, wie eines markierten Lineals, als sogenannte Neusis-Konstruktion vollzogen werden. Einige dieser Techniken waren bereits in der Antike bekannt. In auffälligem Gegensatz zum Problem der Winkeldreiteilung steht die unter Verwendung der Winkelhalbierenden sehr leicht machbare Winkelhalbierung mit Zirkel und Lineal." 
 
Neusis-Konstruktionen sind für das Winkeldritteln bereits  seit der Antike  bekannt. Ausgangspunkt ist eine Zielkonstruktion mit einem Winkeldrittel, so daß die  konstruierte Ziel-Gestalt/-Form  eindeutig den 3-er Winkelzusammenhang nachvollziehbar aufweist. Der  exakte  3-er-Winkelzusammenhang   kann hier zweifelfrei anhand  zweier zusammengefügten Dreiecken mit gleich großen Seitenschenkeln anschaulisch logisch nachvollzogen werden.  Die zu lösende Aufgabe ist nun, die Gestalt/ Form der Lösungskonstruktion mit der Gestalt/ Form der Zielkonstruktion in konkruente  Übereinstimmung zu bringen. Bei den historischen Lösungsversuchen wird dies  mit einem unbeschränktem immer genaueren Zurechtschieben der konstruierten Lösungssequenz aus Kreis-und Gerade-Objekten erreicht.   Das  exakte Übereinstimmen der beiden "Gestalt-Konstellationen" wird hier nicht endlos genau erreicht, sondern nur  durch einen letzten gedachten Schritt.  Somit ist bei  den Neusis-Prozessen die Aktion eines  vollständigen Zusammensetzen des Ergebnisses zwar ein exakter Lösungsweg, der aber niemals die vollstänidige Darstellung des Ergebnissis leistet. Dies wird nur  mit einem   theoretischen Gedankensprung erreicht. 
 
Die bei  Wikipedia dargelegte  Sichtweise zum Betrachten  des Dreiteilens von Winkeln mit Neusis-Konstruktionen  ist auf eine vollständig konstruierte  Ergebnisgröße gerichtet, für die  ein exakt zutreffender konstruierter Rechengang nachvollzogen werden kann. 
Die für Neusis-Konstruktionen gewählte Sichtweis zur Endlichkeit der exakten Lösungsprozesse  übertragen wir auch auf unsere  neuen  klassich konstruierten Cohaerentic-Grenzprozesse.  Damit sind unsere konstruierten Grenzprozesse exakte, vollständig bekannte Prozesse/Aktionen, die gedanklich bis ins Endlose fortgesetzt,  die Gößendarstellungen des Ergebnisses mit stringentem  komvergentem Prinzip unbeschränkt   immer vollständiger   erzeugen.  Die ererbte historische Einsicht, solche exakte Lösungsprozesse zum Winkeldritteln könne  es nicht geben ist falsch. Richtig ist, es gibt sie. Sie sind nur andere als ursprünglich erwartet.
Was wirkt sich  noch auf das Verständnis der   neuen Lösungwege  mit konstruierten Grenzprozessen aus? Wir erkennen, den Rechenoperationen des Teilens geht immer erst ein entsprechendes Verfielfachen voraus. Eines das quasi die Zielgestalt erzeugt.  Beim  algebraisch-arithmetischen Berechnen der Bruchzahl  1/3 als Dezimalzahl-Darstellung gibt es keine vergleichbare  Beschränken  auf nur endlich viele Schritte wie für das Winkeldritteln. Mit dem nachfolgend dargestellten   Zusammenhang machen wir die   Forderung nach der  Beschränkung der Anzahl der gezeichneten Objekte   besser  verständlich.  Das Halbieren eines Winkels durch 2 ist mit einer endlichen Sequenz  konstruierter Objekten möglich,  wie   auch   das konstruierte Dreiteilen einer Strecke  mit einer endlichen Sequenz konstruierter Objekte möglich ist.  Wird deshalb  seit der Antike auch das Dreiteilen eines Winkels mit einer endlichen Sequenz konstruierter Objekten erwartet?   Bis heute fehlen  zu den vorhandenen Schwierigkeiten   einfache nachvollziehbare Erklärungen?  Der  im Jahre 1837 vom französischen Mathematiker Pierre Wantzel (1814-1884) veröffentlichte Beweis zur Unmöglichkeit der Dreiteilung des Winkels vervessert die Situation nicht wirklich. Aus der wanzelsche Beweiseinsicht ist, die erwartete Lösungsgröße könne  keine konstruierbare Zahl sein,  wird vielfach einfach  weiter abstrahiert, zu, ein mit Kreis und Gerade-Objekten konstruierter Lösungsweg, wie immer er auch gestaltet sei, muß  falsch sein und nicht zum exakten Ergebnis konvergieren.
 
Die Problematik des fehlerlosen Darstellens der  konstruierten Ergebnisgröße ist von allgemeiner Natur und trifft daher auch auf die anderen beiden klassichen Aufgabenprobleme der antiken Geometrie zu. Die häufig zitierten  Näherungskonstruktion für das Kreisverhältnis π  von Adam Kochanski (1631-1700) erreicht  nach einer endlichen Sequenz  konstruierter  Kreis- und Gerade-Objekte  eine Ergebnis-Genauigkteit mit 4 wahren dezimalen Nachkommastellen. Diese  Näherungsgenauigkeit kann durch mehr konstruierte Objekte  zu keiner höheren Ergebnisgenauigkeit  für die Kreiszahl gelangen.
Bekanntlich kann das   Kreisverhältnis π   mit einer durch Schritte geprägten Zahldarstellung  immer nur unvollständig in seiner Größe abgebildet werden. Für das vollständige Abbild des Kreisverhältnisses π wird die Kreiszahl als Idee erfunden und ihr gleichfalls wie dem Kreisverhältnis das abstrakte  Buchstabensymbol π zugewiesen. Tatsächlich kann es hier aber immer nur eine digitalisierte Größe  Kreiszahl  πZahl.   geben, welche die exakte Größe des Kreisverhältnisses π  mit der Darstellungssystematik der Dezimalzahlen immer nur unvollständig  abbildet.    Deshalb ist es nicht ganz korrekt, wenn  folgendes   Gleichsetzen vorgenommen wird:    
Kreisverhältnis  π = Kreiszahl  =  πZahl.     
Zutreffender  wäre es hier,  
Kreisverhältnis πgenähert  = Kreiszahl  πZahl   
oder   
Kreisverhältnis π  = Kreiszahl  πZahl-∞     
zu schreiben.
Zu weiteren Erklärungen zur Problematik "Alles ist Ansichtssache", ob die oben angesprochenen  konstruierten Grenzprozeßsequenzen  für das Winkeldritteln exakte unbeschränkte Prozesse sind und oder nur genäherte beschränkte,  wird   auch auf den Disput unter https://www.matheboard.de/archive/596651/thread.html verwiesen.
 
Cohaerentic-Konstruktionen 
Cohaerentic-Konstruktionen, die als   Sequenzen konstruierter zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objkete ausgeführt werden, helfen  grundlegende Zusammenhänge wie das Auf- und Zubiegen eines Kreisbogens,  die Neusis-Konstruktionen zum Winkeldritteln  und das Doppeln und Halbieren des Würfelvolumens besser zu verstehen.   Folgende Bilder  und auch die späteren Videos zeigen die Sichtweise-Unterschiede  der Cohaerentic zur bekannten elementaren Geometrie. Schon in folgenden 
 
 
Konstruktionsbildern wird die etwas andere Sichtweise für die  elementaren Kurven  Gerade, Kreis, Parabel und Hyperbel  nachvollziehbar.   So unterscheidet sich das obige Kegelschnitt-Kohärenz-Modell  zum nachfolgende ebenen klassisch konstruierte Kohärenz-Modell.    
     Urkohärenzkurve 2 page 1
Die zwei fogenden Videos vervollständigen die angestrebte, etwas andere Betrachtungsweise, bei der anschaulich nachvollziehbare  Zusammenhänge   im Vordergrund stehen.  
 
 
 
Obwohl heute die  meisten Menschen konkrete Vorstellungen dazu haben, was mit dem  Begriff "Berechnen" gemeint ist,  gibt es   im Internet-Lexikon Wikipedia    zum  Begriff "Berechnen"   keinen  direkt aufklärenden  Eintrag.
Unbewußt wird beim Berechnen immer zuerst an Rechengrößen gedacht, die mit  Zahlen modelliert werden.
 
Die Betrachtungen zum klassich konstruierten Berechnen beginnen  schon in der Antike mit den klassichen drei griechischen Konstrktionsproblemen", einen Winkel zu dritteln, einen Kreis in ein flächengleiches  Quadrat zu konstruieren (quadrieren) und einen Würfel im Volumen zu halbieren oder zu verdoppeln, Schnell wird hierbei   auf schwierige oder gar   "unlösbare" Berechnungsprobleme gestoßen.  Zur Abgrenzung bezeichnen wir das  dazu zutreffende  Wissensgebiet   mit "Cohaerentic". Die Wortwahl  geschieht  in Anlehnung an das lateinische Wort "cohaerentia" = Zusammenhang, welches  auf  Sequenzen zusammenhängend  (kohärent) konstruierter Kreis- und Gerade-Objekte gerichtet ist.
Neben endlichen   Sequenzen zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objekte werden nun auch endlose Sequenzen (= klassich konstruierte  Grenzprozesse) betrachtet, die seit der Antike unbetrachtet blieben. Bei den Coharenetic-Betrachtungen  werden die Punkte  als Schnittpunkte    ohne eigene matarielle Existenz betrachtet. Sie haben keine räumliche Ausdehnung. Sie sind die  Schnittpunkte von Linien, welche die Grenzen zwischen zwei raumausfüllenden Medien bilden. 
Die  Cohaerentic-Betrachtungen   gehen mit den nun  auch betrachteten klassich konstruierten Grenzprozesse, über die in der Antike betrachteten  klassichen Konstruktionen zu den algebrischen Operationen hinaus. Nun ist auch ein endlos  unbeschränktes Zustreben auf das wahre Ergebnis  Grenzpunkt (Grenzzustand) zugelassen. Dazu  werden  auch endlos konsruierte autokonvergente Grenzprozesse entdeckt. Es sind geometrisch konstruierte  und keine algebraischen Zusammenhänge, welche die Punkte-Folge der Zischenergebnis bestimmen. Dabei werden auch Prozesse mit überraschender starker Konvergenz entdeckt. Nach  wenigen Schritten ist dabei breits eine  hohe   unbeschränkte Ergebnis-Genauigkeit erreicht. Viele fundamentale Uraufgaben wie die   Kreisumfanglänge,   das Winkeldrittel  und weitere können erst mit konstruierten Grenzprozessen anschaulich nachvollziehbar  gelöst werden.    
 
Heute hilft die "dynamische Geometrie-Software (DGS)" elementare funktionelle Abhängigkeiten  anschaulich und  logisch nachvollziehbar zu machen. Werden hier unabhängige Variable im DGS-Zugmodus bewegt, sind   die  Zusammehänge bis zur abhängig bewegten Variablen  anschaulich nachverfolgbar. Dieses Vorgehen  machen  Videos sehr gut nachverfolgbar.
 
Aus dem Altertum und insbesondere seit    Euklid (ca.330 v.u.Z) sind keine  klassisch konstruierten Grenzprozesse  überliefert. Dies wirkt bis heute nach und bremst immer noch die Motivation zur Nutzung von konstruierten Grenzprozessen.    Mit  den Cohaerentic-Urberechnungen wird  diese von Euklid ausgehende   Denkblockade zu klassich konstruierten endlosen Grenzprozessen  durchbrochen.  Die klassisch konstruierten  Grenzprozesse stützenn sich  auf geometrische Gesetzmäßigkeiten. Sehr überraschend ist die  hohe Effizienz der konstruierten Grenzprozesse. Infolge einer starken Konvergenz ist schon  mit nur wenigen Schritten ist ein nahezu vollständiges  Zustreben auf des wahre Ergebnis Grenzpunkt erreicht.
Die aritmetischen Nachrechnungen  zeigen, für das Winkeldritteln mit konstruiertem verkürztem autokonvergentem Grenzprozeß  sind  nur etwa nur 15 gezeichnete Kreis- und Gerade-Objekte  erforderlich,  um  Ergebnisse mit  über 15 wahren Nachkommastellen zu erzeugen.

  

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