Mit geometrischen Zusammenhängen (Kohärenzen) berechnen?
Alles ist Ansichtssache, auch die zur konstruierten Berechenbarkeit.
Auf der web-Seite, www.cohaerentic.com wird klassich konstruiertes Berechnen betrachtet, bei denen die Rechengrößen keine Zahlen sind, sondern geometrische Objekte von natürlicher Art. Die klassich konstruierte Rechenzusammenhänge, zu denen wir auch klassich konstruierte Grenzprozesse zum Winkeldritteln zählen, kommen mit den elementaren geometrischen Kreis- und GeradeObjektsequenzen aus, womit die Bechränkung aus der Antike auf Zirkel und Lineal bzw. Kreis und Gerade-Objkete eingehalten wird. Betrachtet werden Grundrechenoperationen und ihre Entsprechungen als anschaulich nachvollziehbare geometrische Zusammenhänge, was das Verständnis zum Berechnen fördert. Auch für konstruierte Lösungen zu den leicht verständlichen klassischen drei Aufgaben aus der Antike, welche für die geforderten Beschränkungen aus der Antike als unlösbar gelten.
Warum wird hier ein klassisch konstruiertes Berechnen als "unmöglich" erklärt, obwohl die Verfahren der "rohen Gewalt" sind hier offenbar immer möglich sind, zumindest theoretisch. Hier spielt auch der prinzipiellen Quantisierungsfehlers eine Rolle, der immer nach endlich vielen Schritten zu einer unvollständigen Ergebnisdarstellung führt. Sind die mit den Cohaerentic-Konstruktionen ins Spiel gebrachten klassisch konstruierten Grenzprozesse mit Verfahren der "rohen Gewalt"gleich zu setzen? In den historischen Überlieferung fehlen fehlen konkrete Aufgabenlösungen mit Verfahren der "rohen Gewalt" und auch mit "klassisch konstruierten Grenzprozessen". Bis heute fehlen für drei klassischen Aufgaben Lösungen mit klassisch konstruierten Grenzprozessen mit geometrischen Rechengrößen, wie Strecken, Winkel usw, also ohne Zahlen. Diese Berechnungen sind kein Forschungsschwerpunkt. Genau so gibt es auch kaum klassischen Konstruktionen, die voneinander abhängigen Punkte auf den verschiedenen Kegelschnittkurven Kreis, quadratische Parabel und Hyperbel mit einander verbinden. Unsere nächsten Konstruktion zeigt solche Zusammenhänge.
Cohaerentic-Konstruktionen
Cohaerentic-Konstruktionen gehen mit endlosen Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten über klassiche Konstruktionen hinaus. Es werden auch endlose Konstruktionsprozesse zugelassen und real ausgeführt, die überraschend autokonvergent und effizient sind. So wie es in der Algabra unendliche Formeln als Grenzprozesse gibt, so sind auch in der Geometrie endos fortsetzbare Berechnungskonstruktionen möglich und sinnvoll. Eine besondere Rolle spielen hier unendlichen Grenzprozeß-Konstruktionen, bei denen grundlegende Zusammenhänge sehr anschaulich nachvollziehbar hervor treten. Das folgende Bild zeigt das schrittweise Aufbiegen eines Kreisbogens. Diese Konstruktion unterscheidet sich zu der bekannten Berechnung der Länge des Kreisumfangs durch Archimedes (287 bis 212 v.u.Z.). Anders als bei Archimedes wird hier eine duchgehende Sequenz aufeinander folgender Kreis- und Gerade-Objekten konstruiert.
Das schrittweise konstruierte Aufbiegen erfolgt durch durch wiederholtes, quasi simultanes Doppeln des Kreisradius und Halbieren des Restwinkels = ∠ ( S(1kxX), S(2gx4g), S(Yx3k)) bis zur Y-Achse. Der jeweils nachfolgende Kreisbogen hat nur noch die halbe Krümmung bei exakt gleicher Bogenlänge. Dieser Prozeß ist endlos fortsetzbar. Die ersten Sequenzen sind real ausführbar und die übrigen klar gedanklich ausführbar. Die Bogenendpunkte bilden hier als endlose Punkte-Folge eine endlose Punkte-Kurve, die dem Grenzpunkt auf der Y-Achse zustrebt. Mit klassisch konstruierten Grenzprozessen werden auch das Winkeldritteln, das Winkelkonstruieren als Verhältnis zu einem gegebeben Streckenverhältnis berechnet. So wird auch das Doppeln und Halbieren des Würfelvolumens konstruiert berechnet. Die aktuell erreichbaren Ergebnisse der konstruierten Grenzprozesse werden mit dem Wissen um den prinzipiellen Quantisierungfehler als das real Erreichbare betrachtet. Dabei ist bedacht, daß eine mit endlichen Schritten erzeugte reproduzierbare Größendarstellung des gesuchten Ergenisses ohne Restfehler unmöglich ist und deshalb auch nicht angestrebt wird. Den Quantisierungsfehler durch Effizienz so klein wie möglich zu halten, aber schon.
Cohaerentic-Konstruktionen realisieren im DGS-"Zugmodus" eine Bewegungsgeometrie. Ihre nachvollzibarer Kohärenzen fördern das Verständnis für fundamentale Berechnungszusammenhänge.
Die Abgrenzung der Cohaerentic- Konstruktionen zur bekannten elementaren Geometrie. werden schon in den folgenden Konstruktionsbildern sichtbar.
Das bekannte obige Kegelschnitt-Kohärenz-Modell unterscheidet sich deutlich vom ebenen klassisch konstruierte Cohaerentic-Kohärenz-Modell. Die Kurven Kreis, Parabel und Hyperbel hängen hier über Rechenoperationen zusammen. Die Rechengrößen sind dabei von natürlicher geometrischer Art. Damit werden die Zusammenhängen zwischen den elementaren Kurven Gerade, Kreis, Parabel und Hyperbel anschaulich nachvollziehbar.
Die zwei fogenden Videos mit Bewegungen im Zugmödus vervollständigen die angestrebte, etwas andere Cohaerentic-Betrachtungsweise, bei der anschaulich nachvollziehbare Zusammenhänge im Vordergrund stehen.
Obwohl heute die meisten Menschen konkrete Vorstellungen dazu haben, was mit dem Begriff "Berechnen" gemeint ist, gibt es im Internet-Lexikon Wikipedia zum Begriff "Berechnen" keinen direkt aufklärenden Eintrag. Unbewußt wird beim Berechnen immer zuerst an Rechengrößen gedacht, die mit Zahlen modelliert werden. Nun betrachten wir auch klassich konstruiertes Berechnen mit Rechengrößen, die keine Zahlen sind. Damit wurde schon in der Antike begonnen, was aus den drei griechischen drei klassichen Konstruktionsproblemen gefolgert werden kann. Schnell wurde hierbei beim Winkeldritteln einen Kreis in ein flächengleiches Quadrat zu konstruieren (quadrieren) und einen Würfel im Volumen zu halbieren, auf schwierige oder gar "unlösbare" Berechnungsprobleme gestoßen.
Zur Abgrenzung unserer etwas anderen Betrachtungsweise zum konstruirten Berechnen bezeichnen wir das dazu betrachtete Wissensgebiet mit "Cohaerentic". Die Wortwahl geschieht in Anlehnung an das lateinische Wort "cohaerentia" = Zusammenhang, welches auf Sequenzen zusammenhängend (kohärent) konstruierter Kreis- und Gerade-Objekte gerichtet ist.
Neben endlichen Sequenzen zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objekte werden nun auch endlose Sequenzen (= klassich konstruierte Grenzprozesse) betrachtet, die seit der Antike unbetrachtet blieben. Bei den Coharenetic-Betrachtungen werden die erzeugten Punkte als Schnittpunkte betrachtet, die ganz ohne eigene matarielle Existenz sind. Sie haben keine räumliche Ausdehnung. Sie sind die Schnittpunkte von Linien, die auch keine eigene materielle Existenz haben. Die wahrnehmbaren Linien sind hier die Grenzen zwischen zwei raumausfüllenden Medien. Die Cohaerentic-Betrachtungen gehen mit den nun auch betrachteten klassich konstruierten Grenzprozessen über die in der Antike betrachteten klassichen endlichen Konstruktionen hinaus. Nun wird auch ein endlos unbeschränktes Zustreben auf das wahre Ergebnis = Grenzpunkt (Grenzzustand) zugelassen. Hierzu werden endlos konsruierte autokonvergente Grenzprozesse entdeckt. Es sind geometrisch konstruierte und keine algebraischen Zusammenhänge, welche hier primär die Punkte-Folge der aktuellen Zischenergebnis bestimmen. Dabei werden auch Prozesse mit überraschender starker Konvergenz entdeckt. Diese erreichen schon nach wenigen Schritten und nicht erst nach den theoretisch endlos vielen Schritten, eine hohe Ergebnis-Genauigkeit. Das konstruierte Berechnen kann hier trotzdem unbeschränkt fortgeführt werden, was aber für die Praxis zur sinnlosen Aktion werden würde.
Heute hilft die "dynamische Geometrie-Software (DGS)" elementare funktionelle Abhängigkeiten anschaulich und logisch nachvollziehbar zu machen. Werden hier die unabhängige Variable im DGS-Zugmodus bewegt, sind die Zusammehänge bis zur abhängig bewegten Variablen anschaulich nachverfolgbar. Dieses Vorgehen kann machen Videos sehr gut vermittelt werden.
Aus dem Altertum und insbesondere seit Euklid (ca.330 v.u.Z) sind keine klassisch konstruierten Grenzprozesse überliefert. Wegen der großen Vorbildwirkung des euklidischen Sammelwerkes ELEMENTE wirkt dieses Fehlen bis heute nach und bremst immer noch die Motivation zur Nutzung von konstruierten Grenzprozessen. Mit den Cohaerentic-Urberechnungen durchbrechen wir diese von Euklid ausgehende Denkblockade zu klassich konstruierten endlosen Grenzprozessen. Die klassisch konstruierten Grenzprozesse stützen sich auf geometrische Gesetzmäßigkeiten. Sehr überraschend ist die hohe Effizienz einiger konstruierten Grenzprozesse. Hier wird schon mit nur wenigen Schritten ein nahezu vollständiges Zustreben auf des wahre Ergebnis Grenzpunkt erreicht.
Die aritmetischen Nachrechnungen zeigen für das Beispiel Winkeldritteln, daß mit konstruiertem autokonvergentem Grenzprozeß nur etwa 11 gezeichnete Kreis- und Gerade-Objekte erforderlich sind, um Ergebnisse mit über 15 wahren Nachkommastellen zu erzeugen.
Die drei klassichen Aufgabenprobleme der Antike
Zu den drei klassischen Aufgaben der Antike
- dem Winkeldritteln
- der Überführung einer Kreisfläche in ein flächengleiches Quadrat, und
- der Volumendoppelung des Würfels.
werden Berechnungsversuche mit klassisch konstruierten Grenzprozessen betrachtet. Solche Versuche fehlen in den historischen Überlieferung aus der Antike. Ihr Fehlen im Wissens-Sammelwerk ELEMENTE von Euklid (ca 330 v.u.Z ) hat Nachwirkungen bis heute. Fehlen sie vielleicht aus objektiven Gründen, da zu den entdeckten Grenzprozesse mit Zahlen als Rechengrößen keine Überführungen in klassich konstruierten Grenzprozesse mit nachvollziehbaren geometrischen Rechgrößen bekannt geworden sind? Anhand überlieferten Wissens und nun neu hinzugegpmmenen Wissen ist heute am "Unmöglich" für die klassich konstruierten Grenzprozesse zu zweifeln. Mit der Cohaerentic-Sichtweise gelangen wir zu der Einsicht, daß es zutereffende exakte klassich konstruierte Lösungsberechnungen mit klassich konstruierten Grenzpozessen gibt. Diese sind exakte Prozesse, welche die Aktion Winkeldritteln realisieren.
Es wird dabei eine fortschreitende durch Schritte geprägte Ergebis-Darstellung erzeugt, die mit mehr Schritten immer vollständiger wird.
Gelehrter Erkenntnisstand zu den klassichen Aufgaben
Das heutigen Wissen der Mathematik / Geometrie zu den griechischen Konstruktionproblemen wird in der
"Leseprobe zum Kurs 01320 Algebra und ihre Anwendungen der Fakultät für Mathematik und Informatik der Fernuniversität Hagen (FernUni / Fakultät MI / Angewandte Mathematik / Studium und Lehre / Lehrveranstaltungen / Kurs 01320 Algebra und ihre An...)"
von den Hochschullehrerinnen Silke Hartlieb und Luise Unger wie folgt zusammenfassend beschrieben.
Im Kapitel 1 „Die klasssischen griechischen Konstruktionsprobleme“ ist zu lesen:
„Wir werden in dieser Kurseinheit zeigen, dass die klassischen griechischen Konstruktionsprobleme nicht lösbar sind. Mit anderen Worten, es gibt keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt. Solche Unmöglichkeitsbeweise sind für mathematische Laien nur schwer nachvollziehbar, und daher gibt es überraschend viele Leute, die einen Satzanfang der Form „Es ist nicht möglich,. . . “ als „Bis jetzt haben wir es noch nicht hingekriegt,. . . “ übersetzen. Es gibt also auch heute noch etliche Personen, die ihre vermeintlich geglückten Konstruktionen an mathematische Fachbereiche schicken, und dann sehr enttäuscht sind (oder sehr böse werden), wenn man ihnen mitteilt, dass man nicht gewillt sei, dies genauer anzusehen, da die Konstruktion sowieso falsch sein müsse."
Diese Betrachtungsweise bleibt letztlich bei der Erwartung der Antike, "Alles ist Zahl", "Alles hat seine Zahl". Diese Erwartung führt zu Verwirrung und Vertändnisproblemen. Für die Winkeldrittelgröße wird daher auch ihre zugehörige Zahl als vollständige Größenabbild-Darstellung erwartet, was wegen des prizipiellen Quantisierungsfehlers nicht möglich ist. Etwas fragwürdig ist, daß heute das Kreisverhältnis = Kreisumfang/ Kreisdurchmesser mit Kreiszahl benannt und damit ihm gleich gesetzt wird. Eine immer höhere Quantisierung führt zu aktuellen Kreiszahlen πZahl mit immer geringerem Quantisierungsfehler, sprich immer mehr wahren Nachkommastellen.
Seit der Antike wird die Aufgabe verfolgt nach endlichen Lösungskonstruktionen zu suchen. Dies ist wegen des Quantisierungsproblemns eine in sich widersprüchliche Erwartung und Aufgabenstellung. An dem Sachverhalt, für beliebig gegebene Größen gibt es kein fehlefreies, durch Schritte geprägtes Größenabbild, kommt man hier nicht vorbei.
Die Folgerungen aus dem"Unmöglich-Beweis für klasssisch konstruierte Winkeldrittel-Prozesse, den Wantzel (1818-1848) im Jahre 1837 veröffentlichte, korrespondieren mit den elmentaren Einsichten zum prinzipiellen Quantisierunsfehler, wonach es für beliebig gegebene Größen kiene vollständig abbildene Zahl-Darstellung gibt. Es bleibt immer ein Restfehler. Alle Versuche mit endlich vielen Schritten eine reproduzierbare, vollständig abbildene Größenabbild-Darstellung zu erreichen, können nur falsch sein. Wird dies trotzdem als exakte Lösung für eine Aufgabe gefordert, dann geht dies an der heute erreichten Wissens-Wirklichkeit recht grob vorbei. Im Internet-Lexikon Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels, 27.5.2024), wird daher unter "Dreiteilung des Winkels" das bislang gelehrte absolute "Unmöglich" etwas zurück genommen. Es ist dort geschrieben:
"Obwohl eine klassische Konstruktion nicht möglich ist, kann die Dreiteilung eines Winkels unter Zuhilfenahme von Hilfsmaterialien, wie eines markierten Lineals, als sogenannte Neusis-Konstruktion vollzogen werden. Einige dieser Techniken waren bereits in der Antike bekannt. In auffälligem Gegensatz zum Problem der Winkeldreiteilung steht die unter Verwendung der Winkelhalbierenden sehr leicht machbare Winkelhalbierung mit Zirkel und Lineal."
Die klassische Konstruktion des Winkeldrittelns durch fortgesetztes Halbieren wurde erstmals im Buch von Nicolaus Fialkowski, "Theilung des Winkels und des Kreises" Wien, Druck und Verlag von Carl Gereold´s Sohn 1860 , Seite 11, veröffentlicht. Fialkowski erkannte, daß es sich bei diesen fortgetzen Halbieren um eine exakte klassiche endlos unbeschränkte Lösungskonstruktion handelt, ohne daß er diese Grenzprozess-Konstruktion nannte. Sie erzeugt eine konvergierende Punkte-Folge, welche unbeschränkt einem Grenzpunkt = exakter Winkeldrittelpunkt zustrebt. Dieses Vorgehen erfüllt die Merkmale eines Grenzprozesses mit einem Grenzpunkt=Winkeldrittelpunkt. Die Rechengrößen sind hier keine Zahlen, sondern natürliche Winkel- bzw. Kreisbögen- und auch Strecken-Größen.
Cohaerentic - Sichtweise am Beispiel des Winkeldrittelns
Wir beginnen unsere Betrachtung mit natürlich erfahbaren Zusammenhängen, welche zu gewisse Widersprüchen zu den bekannten nichtkostruktiven "Unmöglich-Beweis" führen. Zuerst erinnern wir daran, dass eine beliebig gegebene Strecke oder ein Winkel mit einer endlichen Sequenz konstruierter Kreis- und Gerade-Objekte immer nur unvollständig ausgemessen wird, was zu einer unvollständigen, durch Schritte geprägten Modell der Größendarstellung führt. Es bleibt immer ein Restfehler, der sogenannte Quantisierungsfehler. Heute ist durch die fortgeschrittene Digitalisierung diese Gesetzmäßigkeit mehr bekannt als es früher der Fall war. So wächst auch das breite Verständnis dafür, daß es auch für den beliebig gegebenen, dreizuteilenden Winkel keine vollständig zutreffendes Größenabbild als Zahl gibt, sondern immer nur eine Größenabbild mit Restfehler. Diese Eigenschaft des unvollständigen Abbildens überträgt sich auch auf eine durch Teilen abgeleitete Winkelgröße. Auch eine mit endlichen vielen Schritten erzeugte halbe Strecke oder halber Winkel kann mit nur endlich vielen Quantisierungs-Schritten nicht vollständig, also nur mit Restfehler, dargestellt werden.
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Neusis-Konstruktionen
Die bei Wikipedia vogenommene Einordnnung zum Winkeldritteln mit Zielgestalt und Neusisbewegung als exakte Verfahren, wird die nicht erfüllbare Beseitigung des Restfehlers beim Ergebnis umschifft, indem der endlos ferne letzter Schritt bei der Neusisbewegung als irgendwie theoretisch realisiert gedacht wird. Indirekt kommen hier , ohne daß es sofort erkannt wird, endlose klassich konstruierte Grenzprozesse ins Spiel.
Die Konstruktion des Winkeldrittelprozesses nach Fialkowski auf der Kohärenzgrundlage der Reihe 1/3 = 1/2-1/4+1/8- .... ist ein erstes bekannt gemachtes Beispiel zu Nutzung von Grenzprozessen. Es wurde im Jahre 1860 von Nicolaus Fialkowsi in seinem Buch "Theilung des Winkels und des Kreises" Wien, Druck und Verlag von Carl Gereold´s Sohn 1860 , Seite 11, " veröffentlicht. Fialkowski beschreibt den endlosen Lösungsprozeß umfassend, ohne den Begriff "klassisch konstruierter Grenzprozess" zu benutzen.
Von der Antike bis heute gibt es in der Fachliteratur keine Überlieferungen zu solchen endlosen Grenzprozess- Konstruktionen. Wir vermuten, dieser Sachverhalt geht auf die allgemeine Erwartung zurück, daß konstruierte Grenzprozesse wegen der unendlich vielen Schritte als nicht praktikabel nutzbar erwartet werden und daher als als "unmöglich", da nicht vollständig relisierbar, erklärt werden.
Ansichtssache:
Mit unserer Cohaerentic-Sichtweise abstrahieren wir zu folgender Einsicht. Wenn die Neusis-Konstruktionen, mit endlos vielen immer kleiner werdenden Einpaß-Schiebeschritten, zu den exakte Lösungsverfahren eingeordent werden (siehe Wikipedia bei Winkeldreitelung), dann sind in Analogie dazu auch die konstruierten endlosen exakten Grenzprozesskonstruktonen als exakte Verfahren einzuordnen. Mit der bei Wikipedia gemachten zusätzlichen Einordnung in "nichtklassich" tun wir uns bei den klassich konstruierten Grenzprozessen allerdings schwer. Es gibt hier keine zusätzlichen Hilfsmittel neben Zirkel und Lineal. Und auch die auszuführenden Konstrktionsschritte bleiben endlich. Damit gibt es keine Verletzungen der klassichen Beschränkungen auf Zirkel und Lineal bzw, Kreis und Gerade und eine von der Praxis herkommende Endlichkeitsforderung, die als eine Forderung nach hoher Effizienz verstanden werden kann.
Alles ist Ansichtssache: Eine Einordnung der Grenzprozess-Verfahren in "genäherte Verfahren" würde am wirklichen Leben etwas vorbei gehen. Wir unterscheiden somit in beschränkte Berechnungs-Prozesse, die sich einem Grenzpunkt nur beschränkt nähern und in unbeschränkte Berechnungs-Prozesse, die einem Grenzpunkt unbeschränkt zustreben.
