Mit geometrischen Zusammenhängen (Kohärenzen) berechnen?
Alles ist Ansichtssache, auch die Vostellung zur konsruierten Berechenbarkeit, zu "möglich" und "unmöglich"
Auf dieser web-Seite, www.cohaerentic.com, werden insbesondere klassich konstruierte Urberechnungen betrachtet, die bisher als unlösbar gelten, auch die leicht zu verstehenden drei klassischen Aufgaben der Antike
- die Winkeldreiteilung,
- die Überführung einer Kreisfläche in ein flächengleiches Quadrat, und
- die Volumendoppelung des Würfels.
Sind diese Aufgaben tatsächlich generell unlösbar? Oder sind sie es nur für bestimmte Erwartungen zur Ergebnis-Erzeugung bzw. zur modellhaften Gößendarstellung durch eine klssische Konstruktion? Wir gehen dieser Problematik am Beispiel der Wikeldreiteilung nach, wodurch natürliche erfahrbare geometrische Zusammenhänge verständlicher werden.
Wie ist der gelehrte Erkenntnisstand?
Das heutigen Wissen der Mathematik / Geometrie zu den griechischen Konstruktionproblemen wird in der
"Leseprobe zum Kurs 01320 Algebra und ihre Anwendungen der Fakultät für Mathematik und Informatik der Fernuniversität Hagen (FernUni / Fakultät MI / Angewandte Mathematik / Studium und Lehre / Lehrveranstaltungen / Kurs 01320 Algebra und ihre An...)"
von den Hochschullehrerinnen Silke Hartlieb und Luise Unger wie folgt zusammenfassend beschrieben.
Im Kapitel 1 „Die klasssischen griechischen Konstruktionsprobleme“ ist zu lesen:
„Wir werden in dieser Kurseinheit zeigen, dass die klassischen griechischen Konstruktionsprobleme nicht lösbar sind. Mit anderen Worten, es gibt keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt. Solche Unmöglichkeitsbeweise sind für mathematische Laien nur schwer nachvollziehbar, und daher gibt es überraschend viele Leute, die einen Satzanfang der Form „Es ist nicht möglich,. . . “ als „Bis jetzt haben wir es noch nicht hingekriegt,. . . “ übersetzen. Es gibt also auch heute noch etliche Personen, die ihre vermeintlich geglückten Konstruktionen an mathematische Fachbereiche schicken, und dann sehr enttäuscht sind (oder sehr böse werden), wenn man ihnen mitteilt, dass man nicht gewillt sei, dies genauer anzusehen, da die Konstruktion sowieso falsch sein müsse."
Diese Betrachtungsweise bleibt letztlich bei der Erwartung der Antike, "Alles ist Zahl", "Alles hat seine Zahl". Für die wahre Winkedrittelgröße wird daher auch ihre zugehörige Zahl als vollständiges Größenabbild erwartet, so wie es auch für die Länge des Kreisumfangs bezogen auf den Kreisdurchmesser (Kreisverhältnis = Kreisumfang/ Kreisdurchmesser) erwartet wird und mit Kreiszahl benannt wird. Seit der Antike wurde daher nach endlichen Lösungskonstruktionen gesucht, welche die exakte Winkeldrittelgröße und zugleich ihre zugehörige " Zahl" mit nur einer endlichen Sequenz konstruierter Kreis- und Gerade-Objekte erzeugen. Ein insich widersprüchliche Erwartung. Mit den Schlußfolgerungen aus dem wantzelschen "Unmöglichbeweis für klasssisch konstruierte Winkeldrittel-Prozesse vom Jahre 1837 wird die generelle Erwartung "Unmöglich" bestätigt.
Die bis heute von der Mathematik gelehrte Sichtweise ist, es gibt keine Zusammenhänge für Konstruktionsprozesse, die dem Winkeldrittel konvergent zustreben. Alle Versuche in diese Richtung können nur falsch sein. Damit wird aber an der bis heute erreichten Wissens-Wirklichkeit recht grob vorbei gegangen. Im Internet-Lexikon Wikipedia (hdie ttps://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels, 27.5.2024), wird daher unter "Dreiteilung des Winkels" das gelehrte absolute "Unmöglich" etwas zurück genommen. Es ist dort geschrieben:
"Obwohl eine klassische Konstruktion nicht möglich ist, kann die Dreiteilung eines Winkels unter Zuhilfenahme von Hilfsmaterialien, wie eines markierten Lineals, als sogenannte Neusis-Konstruktion vollzogen werden. Einige dieser Techniken waren bereits in der Antike bekannt. In auffälligem Gegensatz zum Problem der Winkeldreiteilung steht die unter Verwendung der Winkelhalbierenden sehr leicht machbare Winkelhalbierung mit Zirkel und Lineal."
Diese klassische Konstruktion des Winkeldrittelns durch fortgesetztes Halbieren wurde erstmals im Buch von Nicolaus Fialkowsk, "Theilung des Winkels und des Kreises" Wien, Druck und Verlag von Carl Gereold´s Sohn 1860 , Seite 11, veröffentlicht und bald auch wieder vergessen. Fialkowski erkennt, daß es sich hierbei um eine exakte klassiche Lösungskonstruktion handelt, die eine Punkte-Folge erzeugt, welche unbeschränkt dem exakten Winkeldrittelpunkt zustrebt. Wir schieben zu diesem Verfahren noch nach, es erfüllt die Merkmale eines klassich konstruierten Grenzprozesses mit einem Grenzpunkt= Winkeldrittelpunkt. Die Rechengrößen sind hier keine Zahlen, sondern natürlich Teilwinkel.
Cohaerentic - Sichtweise
Wir beginnen unsere Betrachtung, die gewisse Widersprüchlichkeiten zu den bekannten nichtkostruktiven "Unmöglich-Beweis" aufzudecken, mit natürlich erfahbaren Zusammenhängen. Wir erinnern dabei, eine beliebig gegebene Strecke oder Winkel kann mit einer endlichen Sequenz konstruierter Kreis- nd Gerade-Objekte immer nur unvollständig ausmessen, was zu einer unvollständigen, durch Schritten geprägten Größendarstellung führt. Es bleibt immer ein Restfehler. Durch die fortgeschrittene Digitalisierung ist diese Gesetzmäßigkeit mehr Menschen bekannt als früher. So gibt es auch für den beliebig gegebenen, dreizuteilenden Winkel keine vollständig zutreffendes Größenabbild als Zahl, sondern immer nur ein genähertes Abbild. Diese Eigenschaft des unvollständigen Abbildens überträgt sich auch auf die durch Teilen abgeleitete Winkeldrittelgröße.
Widersprüchlich ist, mit einen exakten, klassich konstruierten Grenzprozess komme keine Modelldarstellung für die vollständige Winkeldrittelgröße zustande, hingegen bei den Neusis-Konstruktionen aber doch? Dies muß
aus der Einordnung in die exakten Verfahren gefolgert werden?
Hier kommen, ohne daß es sofort erkannt wird, endlose klassiche Konstruktionen ins Spiel, die wir als Grenzprozesse erkennennen. Mit ihnen lassen sich durch einer Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten, Folge-Punkte- Kurve erzeugen, welche dem gesuchten Ergebnis Grenzgröße /Grenzpunkt zustreben. Die fialkowski-ische Konstrktion des Winkeldrittelprozesses auf der Kohärenzgrundlage der Reihe 1/3 = 1/2-1/4+1/8- .... ist ein Beispiel dazu.
Von der Antike bis heute gibt es in der Fachliteratur keine Überlieferungen zu solchen endlosen Grenzprozess- Konstruktionen. Wir vermuten, dieser Sachverhalt geht auf die allgemeiene Erwartung zurück, daß konstruierte Grenzprozesse generell unmöglich sind? Oder fehlen sie, weil dazu einfach nicht geforscht wurde? Hier zeigt sich eine Art von Denkblockade , ein quasi unausgesprochenes Denkverbot zum Betrachten von konstruierten Grenzprozessen. Diese fehlenden 'Betrachtungen erklären die Lücke, warum heute in den Lexika der Mathematik entsprechende überlieferte Wissensbeiträge zu klassisch konstruierten Grenzprozessen nicht nur fehlen, sondern man sich auch schwer tut, von ihnen zu sprechen.
Ansichtssache:
Mit unserer Cohaerenti-Sichtweise abstrahieren wir zu folgender Einsicht. Die Neusis-Konstrktionen, mit endlos vielen immer kleiner werdenden Einpaß-Schiebeschritten, werden zu den exakte Lösungsverfahren eingeordent. In Analodie dazu sind die konstrierten endlosen Grenzprozesse mit den fortwährenden Winkelhalbierungen deshalb auch bei den nichtklassischen exakten Lösungsverfahren einzuordnen. Mit dem nichtklassich tun wir uns allerdings schwer, den es gibt hier keine Verletzungen der klassichen Beschränkungen auf Zirkel und Lineal bzw, Kreis und Gerade.
Wer hier Grenzprozesse generell als nicht exakte, sondern nur genäherte Berechnungsprozesse sieht, hat halt eine andere Sichtweise und geht damit, wie zuvor aufgezeigt, allerdings am wirklichen Leben etwas vorbei.
Weiterentwicklung der Neusis-Verfahren
Die überkieferten Neusis-Konstruktionen sind in unterschiedlichen Ausprägungen bekannt. Wir abstrahieren für diese unterschiedlichen Ausprägungen ein gemeinsames Kohärenzmodell, das wir Zielgestalt" nennen. Sie ist eine hier eine Kreuzschleifen-Konstruktion, die als Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten realisiert ist. Der rote Kreuzschleifenbalken von konstanter Größe gleitet mit seinen Endpunkten A und B an den karthesischen Achsgeraden X und Y und schreibt mit seinem Mittelpunkt M die Spur-Kreiskurve um den Ursprungspunkt U das Systems. Dieses Kohärenzmodell beschreibt einen 3-er Winkelzusammenhang auch über eine Umdrehung hienaus,
Die erfordert eine Drehung des Lösungs- Kreuzschleifenbalkens im jeweils gegebenen Winkelpunkt D, welcher Schnittpunkt der grünen Radiusstrecke und der Grundkreislinie ist. Die angestrebte Drehung bis zur "Deckung" ist erreicht, wenn die Balkenstrecke zwischen den Achsgeraden die Größe des Durchmessers vom Grundkreis um den Ursprung aufweist.
Der notwendige Neusis-Prozeß ist beendet, wenn bei der Lösungskonstruktion die Lage des Lösungs-Kreuszschleifenbalkens mit dem Balken der Zielgestalt in konkruenter Übereinstimmung (Deckung) gebracht ist. Bei den originalen Neusis-Prozessen bleibt offen, wie die Drehung des Kreuzschleifenbalkens um Punkt D realsiert wird. Beim Winkeldritteln mit Kreuzschleifen- Grenzprozeß wird die notwendige Drehung um Punkt D mit einer konstruierten Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten realisiert.
Bemerkenswert ist noch das anschaulich nachvolziehbare 3er Winkelzusammehang-System. Die Punkte auf den Grundkreis, welche die Winkel markieren, sind durch einen innen liegenden Streckenzug aus 4 schwarzen Strecken verbunden., Jeweils zwei Strecken sind zueinander parallel. Das folgende Bild hebt diesen Zusammenhang nochmals deutlich hervor.
Bei den nun folgenden Bildern markiert die blaue Radiusstrecke den zu drittelnden Winkel und die grüne Radiusstrecke den gesuchten Drittelwinekl. Den 3-er Zusammenhnang machen hier die beiden aneinander gefügten gleichschenkligen Dreiecke, rot und grün, anschaulich nachvollziehbar.
Unser im Rahmen der Cohaerentic-Betrachtungen verfolgtes Ziel ist es, für die drei klassichen Konstruktionsprobleme die konstruierten Grenzprozesse mit kurzen Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten realisierbar zu machen. Unsere Lösungskonstruktion startet vom Punkt D aus und strebt dem Winkeldrittelpunkt C der Zielgestalt zu. Das konkrete Arbeiten mit klassich konstruierten Grenzprozesse wird später noch ausführlich dargelegt werden.
Wir übetragen die im Wikipedia-Lexikon praktizierte Sichtweise, die Neusis-Konstruktionen als exakte vollständigen Lösungsweg zu betrachten, auch auf unsere "klassisch konstruierte" Kreuzschleifen-Winkeldreiteilung. Wir wissen, der letzte notwendigen Schritt bis zum exakten Ergebnis wird, wie auch bei den bekannten originalen Neusis-Prozessen, gedanklich ausgeführt.
Wir erkennen auch, den Rechenoperationen des Teilens geht immer erst ein entsprechendes Verfielfachen voraus. Eines das quasi die Zielgestalt erzeugt, wie auch bei den Teilungen mit dem Strahlensatz.
Heute ist eine Beschränkung auf nur endlich viele Schritte für die zu konstruierende Winkeldrittelgröße nicht mehr zu rechtfertigen, denn es gibt eine solche fBeschränkung ür das algebraisch-arithmetischen Berechnen der Dezimalzahl-Darstellung 0.333... nicht.
Zur Rechtfertigung für nur endlich viele Schritte wird oft angeführt, das Teilen eines Winkels durch 2 oder 4 usw. sei mit einer endlichen Sequenz konstruierter Objekte doch möglich. Deshalb wird auch das Dreiteilen eines Winkels. mit endlich vielen Schritten erwartet. Im generellen Widerspruch hierzu steht aber, dass eine beliebig gegebene Strecke oder Winkel mit nur endlich vielen Schritten immer nur unvollständig ausgemessen und durch eine von Schritten geprägten Darstellung dargestellt werden kann. Es bleibt immer ein Restfehler.
Der im Jahre 1837 vom französischen Mathematiker Pierre Wantzel (1814-1884) veröffentlichte arithmetisch-algebraische Beweis zur Unmöglichkeit der Dreiteilung des Winkels verbessert die Situation nicht wirklich. Die wanzelsche Beweis-Einsicht ist folgende: Die erwartete Ergebnisgröße könne keine konstruierbare Zahl sein. Richtig. Aber warum deshalb ein mit Kreis und Gerade-Objekten konstruierter Lösungsweg, wie immer er auch gestaltet sei, immer nur falsch sein könne und kein gesetzmäßiges Konvergieren zum exakten Ergebnis möglich sein soll, bleibt unbetrachtet?
Die Problematik des fehlerbehafteten Größen-Darstellens einer beliebig gegebenen Ausdehnungsgröße ist von allgemeiner Natur und trifft daher auch auf die anderen beiden klassichen Aufgabenprobleme der antiken Geometrie zu. Die häufig zitierten Näherungskonstruktion für das Kreisverhältnis π von Adam Kochanski (1631-1700) erreicht nach einer endlichen Sequenz konstruierter Kreis- und Gerade-Objekte eine Ergebnis-Genauigkteit mit 4 wahren dezimalen Nachkommastellen. Diese Näherungsgenauigkeit kann durch mehr konstruierte Objekte zu keiner höheren Ergebnisgenauigkeit für die Kreiszahl gelangen.
Für das vollständige Abbild des Kreisverhältnisses π hat die Mathematik die Kreiszahl als Idee ins Spiel gebracht. Ihr wird gleichfalls wie dem Kreisverhältnis das abstrakte Buchstabensymbol π zugewiesen. Tatsächlich kann es hier aber immer nur eine digitalisierte Größe Kreiszahl πZahl. geben, welche die exakte Größe des Kreisverhältnisses π mit der Darstellungssystematik der Dezimalzahlen immer nur unvollständig abbildet. Deshalb ist es nicht ganz korrekt, wenn folgendes Gleichsetzen vorgenommen wird:
Kreisverhältnis π = Kreiszahl = πZahl.
Zutreffender wäre es hier,
Kreisverhältnis πgenähert = Kreiszahl πZahl
oder
Kreisverhältnis π = Kreiszahl π∞ ≈ Zahl
zu schreiben.
Zu weiteren Erklärungen zur Problematik "Alles ist Ansichtssache", ob die oben angesprochenen konstruierten Grenzprozeßsequenzen für das Winkeldritteln exakte unbeschränkte Prozesse sind und oder nur genäherte beschränkte, wird auch auf den Disput unter https://www.matheboard.de/archive/596651/thread.html verwiesen.
Cohaerentic-Konstruktionen
Cohaerentic-Konstruktionen, die als Sequenzen konstruierter zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objkete ausgeführt werden, helfen grundlegende Zusammenhänge wie das Auf- und Zubiegen eines Kreisbogens, das Winkeldritteln und das Doppeln und Halbieren des Würfelvolumens besser zu verstehen. Folgende Bilder und auch die späteren Videos zeigen die Unterschiede der Cohaerentic- Betrachtungsweise zur bekannten elementaren Geometrie. Schon in folgenden
Konstruktionsbildern wird die etwas andere Sichtweise für die elementaren Kurven Gerade, Kreis, Parabel und Hyperbel nachvollziehbar. So unterscheidet sich das obige Kegelschnitt-Kohärenz-Modell zum nachfolgende ebenen klassisch konstruierte Kohärenz-Modell.
Die zwei fogenden Videos vervollständigen die angestrebte, etwas andere Betrachtungsweise, bei der anschaulich nachvollziehbare Zusammenhänge im Vordergrund stehen.
Obwohl heute die meisten Menschen konkrete Vorstellungen dazu haben, was mit dem Begriff "Berechnen" gemeint ist, gibt es im Internet-Lexikon Wikipedia zum Begriff "Berechnen" keinen direkt aufklärenden Eintrag. Unbewußt wird beim Berechnen immer zuerst an Rechengrößen gedacht, die mit Zahlen modelliert werden. Nun wird auch klassich konstruiertes Berechnen betrachtet. Damit begonnen wurde alledings schon in der Antike. Bekannt sind die klassichen drei griechischen Konstrktionsproblemen", einen Winkel zu dritteln, einen Kreis in ein flächengleiches Quadrat zu konstruieren (quadrieren) und einen Würfel im Volumen zu halbieren oder zu verdoppeln, Schnell wird hierbei aber auf schwierige oder gar "unlösbare" Berechnungsprobleme gestoßen. Zur Abgrenzung unserer Betrachtungen bezeichnen wir das dazu betrachtete Wissensgebiet mit "Cohaerentic". Die Wortwahl geschieht in Anlehnung an das lateinische Wort "cohaerentia" = Zusammenhang, welches auf Sequenzen zusammenhängend (kohärent) konstruierter Kreis- und Gerade-Objekte gerichtet ist.
Neben endlichen Sequenzen zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objekte werden nun auch endlose Sequenzen (= klassich konstruierte Grenzprozesse) betrachtet, die seit der Antike unbetrachtet blieben. Bei den Coharenetic-Betrachtungen werden die Punkte als Schnittpunkte ohne eigene matarielle Existenz betrachtet. Sie haben keine räumliche Ausdehnung. Sie sind die Schnittpunkte von Linien, welche die Grenzen zwischen zwei raumausfüllenden Medien bilden.
Die Cohaerentic-Betrachtungen gehen mit den nun auch betrachteten klassich konstruierten Grenzprozesse, über die in der Antike betrachteten klassichen Konstruktionen zu den algebrischen Operationen hinaus. Nun ist auch ein endlos unbeschränktes Zustreben auf das wahre Ergebnis Grenzpunkt (Grenzzustand) zugelassen. Dazu werden auch endlos konsruierte autokonvergente Grenzprozesse entdeckt. Es sind geometrisch konstruierte und keine algebraischen Zusammenhänge, welche hier primär die Punkte-Folge der Zischenergebnis bestimmen. Dabei werden auch Prozesse mit überraschender starker Konvergenz entdeckt. Nach wenigen Schritten ist dabei breits eine hohe unbeschränkte Ergebnis-Genauigkeit erreicht. Viele fundamentale Uraufgaben wie die Kreisumfanglänge, das Winkeldrittel und weitere können erst mit konstruierten Grenzprozessen anschaulich nachvollziehbar gelöst werden.
Heute hilft die "dynamische Geometrie-Software (DGS)" elementare funktionelle Abhängigkeiten anschaulich und logisch nachvollziehbar zu machen. Werden hier unabhängige Variable im DGS-Zugmodus bewegt, sind die Zusammehänge bis zur abhängig bewegten Variablen anschaulich nachverfolgbar. Dieses Vorgehen machen Videos sehr gut nachverfolgbar.
Aus dem Altertum und insbesondere seit Euklid (ca.330 v.u.Z) sind keine klassisch konstruierten Grenzprozesse überliefert. Dies wirkt bis heute nach und bremst immer noch die Motivation zur Nutzung von konstruierten Grenzprozessen. Mit den Cohaerentic-Urberechnungen wird diese von Euklid ausgehende Denkblockade zu klassich konstruierten endlosen Grenzprozessen durchbrochen. Die klassisch konstruierten Grenzprozesse stützen sich auf geometrische Gesetzmäßigkeiten. Sehr überraschend ist die hohe Effizienz der konstruierten Grenzprozesse. Infolge einer starken Konvergenz ist schon mit nur wenigen Schritten ist ein nahezu vollständiges Zustreben auf des wahre Ergebnis Grenzpunkt erreicht.
Die aritmetischen Nachrechnungen zeigen für das Beispiel Winkeldritteln, daß mit konstruiertem verkürztem autokonvergentem Grenzprozeß nur etwa 15 gezeichnete Kreis- und Gerade-Objekte erforderlich, um Ergebnisse mit über 15 wahren Nachkommastellen zu erzeugen.
============
, weil es hierfür keine geometrischen Zusammenhänge gibt, die Berechnungsgrundlage für eine zutreffende Berechnungskonstrktion sein können?
Ziel ist es das Verständnis zu natürlichen geometrischen Rechenkohärenzen,mit Rechengrößen und Rechenzusammenhängen von natürlicher Art, zu erweitern. Dabei wird nicht von abstrahierten Zahlen und Zahlensystemen ausgegangen, somdern direkt von Größen natürlicher geometrischer Objekte. Damit können auch neue Lösungskohärenzen zu den drei alten klassischen griechischen Konstruktionsproblemen gefunden werden, welche von der Antike bis ins 19. Jahrhundert als "Unmöglich" erwartet wurden. Schließlich wurde im 19.Jahrhundert mit dem neuen angewachsenen Wissen zur Algebra das absolute "Lösungs-Unmöglich" bewiesen. War nun damit tatsächlich bewiesen, daß es für diese fundamentalen Aufgabenprobleme keine natürlichen Zusammenhänge zwischen den beteiligten Rechengrößen gibt und somit kein Berechnungszusammenhang dargestellt werden kann? Oder war damit nur die seit Alter her erkennbare Einsicht bestätigt, daß es für keine belibig gegebene Größe eine vollständig zusammengesetzte Größenbeschreibung/-darstellung durch eine diskrete Zahldarstellung geben kann?
Dieser fundamentale Sachverhalt ist heute durch die die fortgeschrittene Digitalisierung viel mehr Menschen bekannt als früher. Anders ausgedrückt gilt generell, es gibt keine beliebig gegebene Größe, die mit einer durch Schritte geprägten Zahldarstellung (konstruierbare Zahl) ohne Restfehler dargestellt (abgebildet) werden kann. Diese Einsicht hat Einfluß auf die Lösungsbetrachtungen der drei klassischen Konstruktionsprobleme der Antike.
Die fehlende vollständige Zahldarstellung für die zu drittelnde Winkelgröße trifft natürlich auch für das abgeleitete Winkeldrittel zu. So werden wir Mit diesem Wissen suchen wir nach keiner vollstänig konstruierten Winkeldrittelgrößen-Darstellung, sondern nach nach einem vollständig konstruierbarem Grenzprozeß, welcher der exakten Winkeldrittelgröße unbeschränkt zustrebt.
In der Antike und auch bis heute wurden und werden unsere angesprochenen klassich konstruierte Sequenzen von Kreis-und Gerade-Objekten nicht als exakte Grenzprozeß-Lösungen erwartet. Sie werden somit auch nicht betrachtet und erforscht, anders als bei den Cohaerentic-Betrachtungen. Eine von den klassischen Aufgabe gilt bei den Cohaerentic-Betrachtungen als gelöst, wenn ein exakt zutreffender Kostruktionsplan für eine real konstruierbare Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten vorliegt, mit welcher der exakten Ergebnisgröße stringent konvergent zugestrebt wird. Ein solcher Plan, der die Kostruktion der Sequenz der kohärenten Kreis- und Gerade-Objekte vollständig bis ins Endlose beschreibt, gibt im Einzelnen alle notwendigen Verknüpfungs-/Rechenaktionen/-operationen vor, vergleichbar, wie es algebraisch-arithmetische Rechenformeln, wie endlose Reihen leisten.
