Mit geometrischen Zusammenhängen (Kohärenzen) berechnen?

Alles ist Ansichtssache, auch die Vorstellung zur konstruierten Berechenbarkeit. 
 
Auf dieser  web-Seite, www.cohaerentic.com ist der Schwerpunkt auf klassich konstruiertes Berechnen  gerichtet, bei denen die Rechengrößen keine Zahlen sind, sondern geometrische Objekte von natürlicher Art. Die klassich konstruierte Rechenzusammenhänge, zu denen wir auch klassich konstruierte Grenzprozesse zählen, kommen   mit den elementaren  geometrischen Kurven-Objekten   Kreis und Gerade aus, was die Bechränkung aus der Antike auf die Werkzeuge Zirkel und Lineal erfüllt.  Betrachtet werden geometrische Zusammenhänge der Grundrechenoperationen und auch Lösungen für die  leicht verständlichen klassischen drei Aufgaben aus der Antike, welche als unlösbar gelten, wenn die geforderten Beschränkungen aus der Antike eingehalten werden.
Warum wird hier ein klassisch konstruiertes Berechnen als "unmöglich" erklärt, obwohl die  Verfahren der "rohen Gewalt" hier offenbar immer möglich sind, zumindest theoretisch ausführbar im Rahmen des prinzipiellen Quantisierungsfehlers, den jede konkrete  Ergebnisdarstellung nach endlich vielen Schritten aufweist.Haben  die mit den Cohaerentic-Konstruktionen ins Spiel gebrachten  klassisch konstruierten Grenzprozesse etwa das gleiche Vorgehen wie die Verfahren der "rohen Gewalt"?  Betrachtungen dazu fehlen in den historischen Überlieferung, sowohl zu Verfahren der "rohen Gewalt" als auch zu "klassisch konstruierten Grenzprozessen". Bis heute sind klassisch konstruierte Grenzprozesse mit geometrischen Rechengrößen wie Strecken, Winkel usw, also ohne  Zahlen, kein Forschungsschwerpunkt.  Genau so gibt es auch   kaum  klassischen Konstruktionen, die voneinander abhängigen Punkte auf den verschiedenen Kegeschnittkurven Kreis, quadratische Parabel und Hyperbel mit einander verbinden, wie bei der nächsten Konstruktion.    
 
 
Cohaerentic-Konstruktionen 
Cohaerentic-Konstruktionen gehen über klassiche Konstruktionen mit nur endlich vielen gezeichneten Kreis- und Gerade-Objekte hinaus. Es werden auch endlose Konstruktionsprozesse  zugelassen und real ausgeführt. So wie es in der Algabra unendliche Formeln als Grenzprozesse  gibt, so sind   auch  in der Geometrie endos fortsetzbare   Berechnungskonstruktionen möglich und sinnvoll.  Eine besondere Rolle spielen hier unendlichen Grenzprozeß-Konstruktionen, bei denen    grundlegende Zusammenhänge sehr anschaulich nachvollziehbar hervor treten. Das folgende Bild zeigt das schrittweise  Aufbiegen eines Kreisbogens. Diese Konstruktion unterscheidet sich zu der bekannten Berechnung der Länge des Kreisumfangs durch Archimedes (287 bis 212 v.u.Z.). Anders als bei Archimedes wird hier  eine duchgehende Sequenz aufeinander folgender Kreis- und Gerade-Objekten konstruiert.  
 
Rektifikation 02
 
 
Das schrittweise konstruierte Aufbiegen erfolgt durch   durch  wiederholtes,   quasi simultanes  Doppeln des Kreisradius und Halbieren  des Restwinkels = ∠ ( S(1kxX), S(2gx4g), S(Yx3k)) bis zur Y-Achse. Der jeweils nachfolgende Kreisbogen hat nur noch die halbe Krümmung bei exakt gleicher Bogenlänge. Dieser Prozeß ist endlos fortsetzbar. Die ersten Sequenzen sind  real ausführbar und die übrigen klar  gedanklich ausführbar. Die Bogenendpunkte bilden hier als endlose Punkte-Folge eine endlose Punkte-Kurve,  die dem Grenzpunkt auf der Y-Achse zustrebt. Mit klassich konstruierten Grenzprozessen  werden auch  das Winkeldritteln,  das Winkelkonstruieren als Verhältnis zu einem gegebeben Streckenverhältnis berechnet. So wird auch das Doppeln und Halbieren des Würfelvolumens konstruiert berechnet. Die aktuell erreichbaren Ergebnisse der konstruierten Grenzprozesse werden mit dem Wissen um den prinzipiellen Quantisierungfehler als das real Erreichbare betrachtet. Ein mit endlichen Schritten erzeugte reproduzierbare Größendarstellung des gesuchten Ergenisses ist ohne Restfehler  unmöglich, mit unbeschränkt kleinem Restfehler doch. 
 
Cohaerentic-Konstruktionen realisieren  im DGS-"Zugmodus"   eine Bewegungsgeometrie. Ihre nachvollzibarer Kohärenzen fördern das Verständnis für fundamentale Berechnungszusammenhänge.  
 
Die Abgrenzung  der Cohaerentic- Konstruktionen   zur bekannten elementaren Geometrie. werden schon in den folgenden Konstruktionsbildern sichtbar.  
 
 
Das bekannte obige Kegelschnitt-Kohärenz-Modell  unterscheidet sich deutlich vom  ebenen klassisch konstruierte Cohaerentic-Kohärenz-Modell.   Die    Kurven Kreis, Parabel und Hyperbel  hängen hier über Rechenoperationen zusammen. Die Rechengrößen sind dabei von   natürlicher geometrischer Art.  Damit werden die  Zusammenhängen zwischen den   elementaren Kurven  Gerade, Kreis, Parabel und Hyperbel   anschaulich  nachvollziehbar. 
     Urkohärenzkurve 2 page 1
Die zwei fogenden Videos mit Bewegungen im Zugmödus vervollständigen die angestrebte, etwas andere Cohaerentic-Betrachtungsweise, bei der anschaulich nachvollziehbare  Zusammenhänge   im Vordergrund stehen.  
 
 
 
Obwohl heute die  meisten Menschen konkrete Vorstellungen dazu haben, was mit dem  Begriff "Berechnen" gemeint ist,  gibt es   im Internet-Lexikon Wikipedia    zum  Begriff "Berechnen"   keinen  direkt aufklärenden Eintrag.   Unbewußt wird beim Berechnen immer zuerst an Rechengrößen gedacht, die mit  Zahlen modelliert werden. Nun betrachten wir  auch klassich konstruiertes Berechnen mit Rechengrößen, die keine Zahlen sind. Damit  wurde  schon in der Antike begonnen, was aus den drei     griechischen drei klassichen Konstruktionsproblemen gefolgert werden kann. Schnell wurde   hierbei   beim   Winkeldritteln einen Kreis in ein flächengleiches  Quadrat zu konstruieren (quadrieren) und einen Würfel im Volumen zu halbieren,  auf schwierige oder gar   "unlösbare" Berechnungsprobleme gestoßen. 
 
Zur Abgrenzung unserer etwas anderen Betrachtungsweise zum konstruirten Berechnen  bezeichnen wir das  dazu betrachtete  Wissensgebiet  mit "Cohaerentic".  Die Wortwahl  geschieht  in Anlehnung an das lateinische Wort "cohaerentia" = Zusammenhang, welches  auf  Sequenzen zusammenhängend  (kohärent) konstruierter Kreis- und Gerade-Objekte gerichtet ist.
Neben endlichen   Sequenzen zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objekte werden nun auch endlose Sequenzen (= klassich konstruierte  Grenzprozesse) betrachtet, die seit der Antike unbetrachtet blieben. Bei den Coharenetic-Betrachtungen  werden die erzeugten Punkte  als Schnittpunkte  betrachtet, die ganz ohne eigene matarielle Existenz sind. Sie haben keine räumliche Ausdehnung. Sie sind die  Schnittpunkte von Linien, die auch keine eigene  materielle Existenz haben. Die wahrnehmbaren Linien sind hier die  Grenzen zwischen zwei raumausfüllenden Medien. Die  Cohaerentic-Betrachtungen   gehen mit den nun  auch betrachteten klassich konstruierten Grenzprozessen über die in der Antike betrachteten  klassichen endlichen Konstruktionen  hinaus. Nun wird  auch ein endlos  unbeschränktes Zustreben auf das wahre Ergebnis = Grenzpunkt (Grenzzustand) zugelassen. Hierzu  werden  endlos konsruierte autokonvergente Grenzprozesse entdeckt. Es sind geometrisch konstruierte  und keine algebraischen Zusammenhänge, welche hier primär die Punkte-Folge der aktuellen Zischenergebnis bestimmen. Dabei werden auch Prozesse mit überraschender starker Konvergenz entdeckt. Diese erreichen schon nach  wenigen Schritten und nicht erst nach den theoretisch endlos vielen Schritten,   eine  hohe  Ergebnis-Genauigkeit. Das konstruierte Berechnen kann hier   trotzdem unbeschränkt fortgeführt werden, was aber für die Praxis zur sinnlosen Aktion werden würde.  
 
Heute hilft die "dynamische Geometrie-Software (DGS)" elementare funktionelle Abhängigkeiten  anschaulich und logisch nachvollziehbar zu machen. Werden hier die unabhängige Variable im DGS-Zugmodus bewegt, sind   die  Zusammehänge bis zur abhängig bewegten Variablen  anschaulich nachverfolgbar. Dieses Vorgehen  kann  machen  Videos sehr gut vermittelt werden.  
 
Aus dem Altertum und insbesondere seit   Euklid (ca.330 v.u.Z) sind keine  klassisch konstruierten Grenzprozesse  überliefert. Wegen der großen Vorbildwirkung des euklidischen Sammelwerkes ELEMENTE  wirkt dieses Fehlen bis heute nach und bremst immer noch die Motivation zur Nutzung von konstruierten Grenzprozessen.    Mit  den Cohaerentic-Urberechnungen durchbrechen wir  diese von Euklid ausgehende   Denkblockade zu klassich konstruierten endlosen Grenzprozessen.  Die klassisch konstruierten  Grenzprozesse stützen sich  auf geometrische Gesetzmäßigkeiten. Sehr überraschend ist die  hohe Effizienz einiger konstruierten Grenzprozesse. Hier wird   schon  mit nur wenigen Schritten   ein nahezu vollständiges  Zustreben auf des wahre Ergebnis Grenzpunkt erreicht.
Die aritmetischen Nachrechnungen  zeigen  für das Beispiel Winkeldritteln, daß mit konstruiertem autokonvergentem Grenzprozeß   nur etwa  11 gezeichnete Kreis- und Gerade-Objekte  erforderlich sind,  um  Ergebnisse mit  über 15 wahren Nachkommastellen zu erzeugen.
 
 
Die drei klassichen Aufgabenprobleme der Antike  
Zu den drei klassischen Aufgaben der Antike 
  • dem Winkeldritteln 
  • der Überführung einer Kreisfläche in ein flächengleiches Quadrat, und
  • der Volumendoppelung des Würfels.

werden Berechnungsversuche mit klassisch konstruierten Grenzprozessen betrachtet. Solche Versuche fehlen in den historischen Überlieferung aus der Antike. Ihr Fehlen  im Wissens-Sammelwerk ELEMENTE von Euklid (ca 330 v.u.Z ) hat Nachwirkungen bis heute. Fehlen sie vielleicht aus objektiven Gründen, da  zu den entdeckten Grenzprozesse mit Zahlen als Rechengrößen  keine   Überführungen in klassich konstruierten Grenzprozesse mit nachvollziehbaren geometrischen Rechgrößen bekannt geworden sind? Anhand überlieferten Wissens  und nun neu hinzugegpmmenen Wissen ist heute am "Unmöglich" für die klassich konstruierten Grenzprozesse  zu zweifeln.  Mit der Cohaerentic-Sichtweise gelangen wir zu der Einsicht, daß es zutereffende exakte klassich konstruierte Lösungsberechnungen mit klassich konstruierten Grenzpozessen gibt. Diese sind exakte Prozesse, welche die   Aktion Winkeldritteln realisieren. 

Es wird dabei eine fortschreitende  durch Schritte geprägte Ergebis-Darstellung erzeugt, die mit mehr Schritten immer vollständiger wird. 

 

Gelehrter Erkenntnisstand  zu den klassichen Aufgaben

Das heutigen Wissen der Mathematik / Geometrie  zu den griechischen Konstruktionproblemen wird in der

"Leseprobe zum Kurs 01320 Algebra und ihre Anwendungen der Fakultät für Mathematik und Informatik der Fernuniversität Hagen (FernUni / Fakultät MI / Angewandte Mathematik / Studium und Lehre / Lehrveranstaltungen / Kurs 01320 Algebra und ihre An...)"
 von den Hochschullehrerinnen Silke Hartlieb und Luise Unger  wie folgt zusammenfassend beschrieben.  
 
Im Kapitel 1 „Die klasssischen griechischen Konstruktionsprobleme“ ist  zu lesen:
 
„Wir werden in dieser Kurseinheit zeigen, dass die klassischen griechischen Konstruktionsprobleme nicht lösbar sind. Mit anderen Worten, es gibt keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt. Solche Unmöglichkeitsbeweise sind für mathematische Laien nur schwer nachvollziehbar, und daher gibt es überraschend viele Leute, die einen Satzanfang der Form „Es ist nicht möglich,. . . “ als „Bis jetzt haben wir es noch nicht hingekriegt,. . . “ übersetzen. Es gibt also auch heute noch etliche Personen, die ihre vermeintlich geglückten Konstruktionen an mathematische Fachbereiche schicken, und dann sehr enttäuscht sind (oder sehr böse werden), wenn man ihnen mitteilt, dass man nicht gewillt sei, dies genauer anzusehen, da die Konstruktion sowieso falsch sein müsse."
 
Diese  Betrachtungsweise bleibt letztlich bei der Erwartung der Antike, "Alles ist Zahl", "Alles hat seine Zahl". Diese Erwartung führt zu Verwirrung und Vertändnisproblemen. Für die Winkeldrittelgröße wird  daher auch ihre  zugehörige   Zahl als vollständige Größenabbild-Darstellung erwartet, was wegen des prizipiellen Quantisierungsfehlers nicht möglich ist. Etwas fragwürdig ist, daß heute  das    Kreisverhältnis = Kreisumfang/ Kreisdurchmesser   mit Kreiszahl benannt und damit gleich gesetzt wird. Eine immer höhere Quantisierung führt zu aktuellen Kreiszahlen πZahl mit immer  geringerem Quantisierungsfehler, sprich immer mehr wahren Nachkommastellen. 
Seit der Antike wird die Aufgabe  verfolgt   nach  endlichen Lösungskonstruktionen zu suchen.  Dies ist wegen des Quantisierungsproblemns eine  in sich widersprüchliche Erwartung und Aufgabenstellung. An dem Sachverhalt,  für  beliebig gegebene Größen gibt es kein fehlefreies, durch Schritte geprägtes  Größenabbild, kommt man hier nicht vorbei.
Die Folgerungen aus dem"Unmöglich-Beweis für klasssisch konstruierte Winkeldrittel-Prozesse, den  Wantzel (1818-1848)   im  Jahre 1837 veröffentlichte, korrespondieren  mit den  elmentaren Einsichten  zum   prinzipiellen Quantisierunsfehler, wonach es für beliebig gegebene Größen  kiene vollständig abbildene Zahl-Darstellung gibt. Es bleibt immer ein Restfehler.  Alle Versuche mit endlich vielen Schritten eine  reproduzierbare, vollständig abbildene Größenabbild-Darstellung zu erreichen, können nur falsch sein. Wird dies trotzdem als exakte Lösung für eine Aufgabe  gefordert, dann geht dies an der heute erreichten Wissens-Wirklichkeit recht grob vorbei. Im Internet-Lexikon Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels, 27.5.2024),    wird daher unter "Dreiteilung des Winkels" das bislang gelehrte  absolute "Unmöglich" etwas zurück genommen. Es ist dort  geschrieben:
 
"Obwohl eine klassische Konstruktion nicht möglich ist, kann die Dreiteilung eines Winkels unter Zuhilfenahme von Hilfsmaterialien, wie eines markierten Lineals, als sogenannte Neusis-Konstruktion vollzogen werden. Einige dieser Techniken waren bereits in der Antike bekannt. In auffälligem Gegensatz zum Problem der Winkeldreiteilung steht die unter Verwendung der Winkelhalbierenden sehr leicht machbare Winkelhalbierung mit Zirkel und Lineal." 
 
Die klassische Konstruktion  des Winkeldrittelns   durch fortgesetztes Halbieren wurde erstmals im Buch von  Nicolaus Fialkowski,   "Theilung des Winkels und des Kreises" Wien, Druck und Verlag von Carl Gereold´s Sohn 1860 , Seite 11, veröffentlicht.  Fialkowski erkannte, daß es sich bei diesen fortgetzen Halbieren  um eine exakte klassiche  endlos unbeschränkte Lösungskonstruktion handelt, ohne daß er diese Grenzprozess-Konstruktion   nannte.  Sie erzeugt eine konvergierende Punkte-Folge, welche unbeschränkt einem  Grenzpunkt = exakter Winkeldrittelpunkt  zustrebt.    Dieses Vorgehen erfüllt die Merkmale eines Grenzprozesses mit einem Grenzpunkt=Winkeldrittelpunkt. Die  Rechengrößen sind hier keine Zahlen, sondern natürliche   Winkel-   bzw. Kreisbögen-  und auch Strecken-Größen. 
 
 
Cohaerentic - Sichtweise am Beispiel des Winkeldrittelns
Wir beginnen unsere Betrachtung mit natürlich erfahbaren Zusammenhängen, welche zu gewisse Widersprüchen zu den bekannten nichtkostruktiven "Unmöglich-Beweis" führen. Zuerst erinnern wir daran, dass eine beliebig gegebene Strecke oder ein Winkel  mit einer  endlichen Sequenz konstruierter Kreis- und Gerade-Objekte  immer nur unvollständig ausgemessen wird, was zu einer unvollständigen, durch Schritte  geprägten Modell der Größendarstellung führt. Es bleibt immer ein Restfehler, der sogenannte Quantisierungsfehler. Heute ist durch die fortgeschrittene Digitalisierung  diese Gesetzmäßigkeit  mehr bekannt  als es früher der Fall war. So wächst auch das breite Verständnis dafür, daß es auch für den beliebig gegebenen,  dreizuteilenden Winkel keine vollständig zutreffendes Größenabbild als Zahl gibt, sondern immer nur eine Größenabbild mit Restfehler.   Diese Eigenschaft des unvollständigen Abbildens überträgt sich auch auf eine durch Teilen abgeleitete Winkelgröße. Auch eine mit endlichen vielen Schritten erzeugte halbe Strecke oder halber Winkel   kann  mit nur endlich vielen Quantisierungs-Schritten nicht vollständig, also nur mit   Restfehler, dargestellt werden.
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Neusis-Konstruktionen
Die bei Wikipedia vogenommene Einordnnung der Neusis-Konstruktionen  zum Winkeldritteln als exakte Verfahren, umschifft die hier nicht erfüllbare Beseitigung des Restfehlers. Bei der  Neusis-Konstruktionen wird der endlos ferne   letzter Schritt als irgendwie theoretisch realisiert, gedacht.  Bei den Neusis-Konstruktionen kommen, ohne daß es sofort erkannt wird,  endlose klassich konstruierte Grenzprozesse  ins Spiel.  
Die fialkwski´sche  Konstruktion des Winkeldrittelprozesses auf der Kohärenzgrundlage der Reihe 1/3 = 1/2-1/4+1/8- .... ist ein erstes bekannt gemachtes  Beispiel dazu. Es wurde im Jahre 1860 von Nicolaus Fialkowsi in seinem Buch "Theilung des Winkels und des Kreises" Wien, Druck und Verlag von Carl Gereold´s Sohn 1860 , Seite 11, " veröffentlicht. Fialkowski beschreibt den endlosen Lösungsprozeß umfassend, ohne  den Begriff "klassisch konstruierter Grenzprozess" zu benutzen. 
Von der Antike bis heute gibt es in der Fachliteratur keine Überlieferungen zu  solchen endlosen Grenzprozess- Konstruktionen. Wir vermuten,  dieser Sachverhalt geht auf die allgemeine Erwartung zurück, daß konstruierte Grenzprozesse  wegen der unendlich vielen Schritte als nicht praktikabel nutzbar  erwartet werden und daher als als  "unmöglich", da  nicht vollständig relisierbar, erklärt werden.
 
Ansichtssache:
Mit unserer Cohaerentic-Sichtweise abstrahieren wir zu folgender Einsicht. Wenn die  Neusis-Konstruktionen, mit endlos vielen immer kleiner werdenden Einpaß-Schiebeschritten,  zu den exakte Lösungsverfahren eingeordent werden (siehe Wikipedia bei Winkeldreitelung), dann sind in Analogie dazu  auch die   konstruierten endlosen exakten Grenzprozesskonstruktonen als  exakte Verfahren  einzuordnen. Mit der bei Wikipedia gemachten zusätzlichen  Einordnung in  "nichtklassich" tun wir uns bei den  klassich konstruierten Grenzprozessen allerdings schwer. Es gibt hier keine zusätzlichen Hilfsmittel neben Zirkel und Lineal.  Und auch die auszuführenden Konstrktionsschritte bleiben endlich. Damit gibt es   keine Verletzungen der klassichen Beschränkungen auf Zirkel und Lineal bzw, Kreis und Gerade und eine von der Praxis herkommende Endlichkeitsforderung, die als eine Forderung nach hoher Effizienz verstanden werden kann. 
 
Alles ist Ansichtssache:  Eine  Einordnung der   Grenzprozess-Verfahren in "genäherte Verfahren" würde   am wirklichen Leben etwas  vorbei gehen.  Wir unterscheiden somit in beschränkte  Berechnungs-Prozesse, die  sich einem Grenzpunkt nur beschränkt nähern und  in unbeschränkte  Berechnungs-Prozesse, die   einem Grenzpunkt unbeschränkt zustreben.
 
 
 
 
 
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