Cohaerentic - Exaktes Winkeldritteln

Winkeldritteln mit Zielgestalt

Im Rahmen der Cohaerentic-Sichtweise sind, anders als bei Euklid (ca. 330 v.u.Z.), konstruierte Grenzprozesse unabdingbar und deshalb zugelassen. Hierdurch wird das Verständis für grundlegende Zusammenhänge erweitert. Dabei helfen Lösungsrealisierungen mit konstruierten Grenprozessen zu den drei klassichen Konstruktionsproblemen der Antike, hier konkret für das Winkeldritteln. Überraschend ist, daß insgesamt dabei bereits mit kurzen endlichen Sequenzen zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objekte zu Ergebnissen gelangt wird, welche bereits mit geringen Ausfwand alle in der Praxis vorkommenden Anfoderungen an die Genauigkeit erfüllen.

Aus der historischen Fachliteratur sind unterschiedlichen Ausprägungen überlieferter Neusis-Konstruktionen bekannt, auch zum Winkeldritteln. Bei diesen erkennen wir gemeinsame tiefer liegenden Zusammehänge und abstrahieren daraus, es wird mit Kohärenzmodellen gearbeitetm die wir Zielgestalt"-Konstruktion nennen. Diese Zielgestalt-Konstruktionen weisen immer einen gegebenen Winkel α und vervielfachte dazu auf, z.B. 3α.

Bei rückwärts gerichteter Betrachtung gibt es somit auch eine Kohärenz zur abgeleiteten Winkeldrittelgröße. Die Lösungsgestalt-Konstruktion für das gesuchte α ist am Ziel, wenn sie mit der Zielgestalt in konformer Gestalt-Übereinstimmung gebracht ist. Wie das funktioniert, zeigt am besten das nächste Bild mit einer Zielgestalt-Konstruktion, die einen besonderen Streckenzug aufweist, der Kritrium zur erkannten Gestalt-Übereinstimmung ist. Dieser Streckenzug besteht aus vier aufeinander folgenden Strecken in einem Kreis, wobei jeweils zwei Strecken zueinander parallel sind. Die erste Strecke zur dritten und die zweite zur vierten.

Unsere Lösungsgestalt-Konstruktion zum Winkedritteln ist somit am Ziel, wenn ihre Gestalt mit der Zielgestalt übereinstimmt. Dies ist der Fall, wenn im Streckenzug die erste und dritte schwarze Strecke und die zweite und vierte schwarze Strecke zueinander parallel sind. Erreicht wird die Annäherung der Lösungsgestalt-Konstrution indem der vom Punkt D₁ des zu drittelnden Winkels ausgehende Strahl D₁M im Punkt D1 am grünen Dreieck gedreht und zwar in Richtung der Zielgestalt, mit den zwei Strecken-Parallelitäten im Streckenzug. Bei Gestalt-Übereinstimmung ist der angestrebte gedrittelte Winkel erreicht. Der gefundene Zusammenhang endet nicht am ersten Quadranten sondern gilt auch über den vierten Quadranten hinaus, wie es am folgende unteren Bild nachvollzogen werden kann.

Die zielführende Neusisbewegung ist oft auch eine kombinierte Bewegung, die als "Drehung" und "Verschiebung ausgeführt wird, wie beim Winkeldritteln des Archimedes (287-212 v.u.Z.).

Die Cohaerentic-Sichtweise ermöglicht Zielgestalt-Konstruktionen auch für beliebig große zu drittelnde Winkel. In der weiterer Abstraktion zur Ziegestalt mit zweifach parallen Streckenzug gelangen wir zu einer Ziegstalt-Konstruktion mit einer Kreuzschleifen-Kohärenz. Sie zeigt folgendes Bild. Der Kreuzschleifenbalken hat die Größe des Durchmesser vom Grundkreis und gleitet mit seinen Endpunkten auf den orthogonalen Achsgeraden X und Y.

Dabei rotiert der Mittelpunkt M des Kreuzschleifenbalkens um den Ursprungspunkt U, welcher Schnittpunkt der Koordinatenachsen X und Y ist. Der Mittelpunkt M zeichnet dabei als Spurkurve den Grundkreis. Die grüne Radiusstrecke r mit den Endpunkten U und D1 markiert den zu drittelnden Winkel, der von der positen x-Achse bis zur grünen Radiusstrecke reicht.

Besonderes Merkmal unseren Zielgestalt-Konstruktionen mit Kreuzschleifenbalken ist, daß dessen Drehung immer mit der Drehung der Radiusstrecke des Winkedrittels überein stimmt. Diese besondere Kohärenzeigenschaft haben wir zur sehr kompakten Zielgestalt-Konstruktion abstrahiert, die schon eingangs als Streckenzug- Zielgestalt-Konstruktion vorgestellt wurde.

Mit den 4 Bildern wird der besagte geoemtrische Winkelzusammenhang für unterschiedlich große zu drittelnde Winkel gezeigt. Der grüne Radiusstrahl UD₁ für den zu drittelnden Winkel liegt hier jeweils in den Quadranten 1 bis 4.

Die notwendige Neusis-Bewegung zum Erreichen der Gestalt-Überdeckung ist hier als eine Drehung des Strahls D₁M in Punkt D1 ausgeführt. Strahl D₁M schließt dabei den Kreuzschleifen-Balken, der zwischen Achsgerade X und Y gleitet, ein. Diese Neusis-Drehung ist am Ziel angelangt, wenn die konstruierte Lösungsgestalt mit der Zielgestalt in konkruenter Gestaltübereinstimmung angelangt ist. Dies ist der Fall, wenn besagter Streckenzug die zweifache Streckenparallelität erreicht hat. Simultan dazu hat dann auch die im gedrehten Strahl eingeschlossene Strecke zwischen den Achsgeraden die Größe des Grundkeisdurchnessers erreicht.

Bei den bekannten überlieferten historischen Neusis-Konstruktionen bleibt offen, wie die notwendige Neusisbewegung realsiert wird, sie bleibt ein Gedanke. Anders bei den Cohaerentic-Winkeldrittelungen. Hier wird die notwenige Neusisdrehung des in Punkt D1 zu drehenden Strahls D₁M als kostruierter Grenzprozeß realisiert. Dazu gibt es später noch die notwendigen Details. Aus der Literaturüberlieferung sind soche Lösungsansätze mit Grenzprozessen sind nicht bekannt. Ursache ist auch eine von Euklid (ca 330 v.u.Z.) ausgehende "Denkblockade" zu mit Zirkel und Lineal konstruierten Grenzprozessen. Solche fehlen in den Euklids Elementen, von denen eine große Vorbildwirkung ausgeht.

Zum tieferen Verständnis werden nun noch vier weitere Bilder gezeigt. Hier markiert die blaue Radiusstrecke die zu drittelnden Winkelgröße und die grüne Radiusstrecke den gesuchten Drittelwinkel. Der 3-er Zusammenhanng ist hier anhand der beiden aneinander gefügten gleichschenkligen Dreiecke, rot und grün, anschaulich nachvollziehbar.

Winkeldritteln mit konstruierte Grenzprozess für Neisisbewegung

Sind Grenzprozesse aus der Literatur für das Winkeldritteln bekannt? Klassisch konstruierte Grenzprozesse fehlen in den ELEMENTEN des Euklid (ca. 330 v.u.Z.). Wegen der Vorbildwirkung der ELEMENTE bleiben sie bis heute unbeachtet und nahezu unbetrachtet. So auch für das Winkeldritteln. Sie fehlen daher auch in der Internet - Enzyklopädie Wikipedia. Liegt es an einer geringen Effizienz? Ist tatsächlich erst nach endlos vielen Schritten, bzw. zu konstruierende Kreis- und Gerade-Objekten, ein brauchbares Ergebnis verfügbar? Im Internet-Lexikon Wikipedia_23.02.2024 lesen wir:

"Was ist Effizienz? Effizienz bedeutet, Dinge „richtig“ zu machen. Das kann bedeuten, dass Sie schneller arbeiten, mit weniger Ressourcen auskommen, große Projekte mit einem geringem Aufwand umsetzen oder umgekehrt, „mehr“ mit „weniger“ schaffen".

Seit dem Jahr 1837, als P. Wantzel seinen berühmten Beweis zur Unmöglichkeit der klassisch konstruierten Winkeldreiteilung veröffentlichte, gilt es als erwiesen, daß es solche nur mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruierten Zusammenhänge nicht geben könne und ihre Betrachtung nur vergeudete Zeit ist. Wantzel erkennt, die Lösung kann nur auf der Basis einer Gleichung vom 3. Grad zustande kommen. Klassiche Kreis-Gerade-Konstruktionen können aber nur Gleichungen vom 2. Grad lösen.

Den heute gelehrten Wissensstand zum konstruktierten Winkeldritteln wird von den Hochschullehrerinnen Silke Hartlieb und Luise Unger wie folgt zusammengefasst:

"Leseprobe zum Kurs 01320 Algebra und ihre Anwendungen der Fakultät für Mathematik und Informatik der Fernuniversität Hagen (FernUni / Fakultät MI / Angewandte Mathematik / Studium und Lehre / Lehrveranstaltungen / Kurs 01320 Algebra und ihre An...)"

„Wir werden in dieser Kurseinheit zeigen, dass die klassischen griechischen Konstruktionsprobleme nicht lösbar sind. Mit anderen Worten, es gibt keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt. Solche Unmöglichkeitsbeweise sind für mathematische Laien nur schwer nachvollziehbar, und daher gibt es überraschend viele Leute, die einen Satzanfang der Form „Es ist nicht möglich,. . . “ als „Bis jetzt haben wir es noch nicht hingekriegt,. . . “ übersetzen. Es gibt also auch heute noch etliche Personen, die ihre vermeintlich geglückten Konstruktionen an mathematische Fachbereiche schicken, und dann sehr enttäuscht sind (oder sehr böse werden), wenn man ihnen mitteilt, dass man nicht gewillt sei, dies genauer anzusehen, da die Konstruktion sowieso falsch sein müsse."

Um hier nicht aneinander vorbei zu reden, erklären wir erst mal, warum wir mit dem gelehrten Wissensstand nicht zufrieden sind, was uns stört. Hier ist es, der absolute, unbeschränkte Unmöglich-Anspruch für den kein Geltungsbereich genannt wird. So sollte für, " ...es gibt "keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt", Folgendes präzisiert werden. Unmöglich sind Drittelungslösungen auf der Grundlage von Gleichungssystemen vom 3.Grad, die P. Wantzel als unerläßlich fürs Dritteln sieht und deshalb diese Gleichungen zur Grundlage zu seinem "Unmöglichbeweis" machte. Für uns ist deshalb zum bewiesenen Unmöglich auch immer der konkrete Geltunsbereich zu nennen. Hier, auf der Grundlage der besagten Gleichungssysteme vom 3. Grad ist es mit endlich vielen Schritten unmöglich zum vollständigen Winkeldrittel zu gelangen. Zur Verwirrung trägt hier noch bei, das gelehrt wird, es gäbe wenige besondere Winkel, die mit endlich vielen Schritten gedrittelt werden können. Bei näherer Betrachtung zeigt sich, ihre Winkeldrittel sind nicht das Ergebnis eines Prozesses konstruiertes Winkeldritteln. Sie sind Ergebnis einer unabhängigen Grundkonstruktion. Die 30°-Konstruktion ist nicht abhängig und abgeleitet von 90°. Sie ist quasi eine elementar konsruierbare Grundgröße, wie auch 90° selbst. Wir erkennen, kein Winkel kann mit einer endlichen Sequenz kosntruierter Kreis- und Gerade-Objekte, durch endlich viele Operation vollständig gedrittelt werden.

Sind dafür klassisch konstruierte Grenzprozesse, die im Grundlagenwerk ELEMENTEN des Euklid (ca. 330 v.u.Z.) fehlen, unerläßlich und notwendig? Da kommt die Frage auf, sind sie überhaupt möglich, denn auch heute fehlen sie immer noch? Auch bei Wikipedia fehlen sie? Betrachten wir den Satz "exakter Grenzprozess drittelt Winkel" tiefgehender, wird immer klarer, es handelt sich um einen dynamischen, endlos fortsetzbaren Prozeß, bei dem endlos einem Grenzpunkt=Winkeldrittelpunkt zugestrebt wird. Mit jedem weiteren Sequenzzyklus wird die Ergebnisgenauigkeit weiter erhöht. Da drängt sich die Frage auf, führt der konstrierte Grenzprozess tatsächlich zum exakten Ergebnis? Kann man den Schritt um Schritt logisch nachvollziehbarem Zusammenhangen trauen?

Gegen die historisch ererbte Erwartung, daß nach endlich vielen Schritten des exakte Ergebnis vollständig dargestellt sein muß, steht auch das Quantisierungsprinzip. Winkeldritteln ist ein endloser Prozeß mit endloser Vervollständigung der dargestellen Ergenisgröße. Die Erwartung der Antike ist eine unerfüllbare Erwartung, und damit eine falsche Erwartung.

Effizenter Grenzprozess drittelt Winkel

Wie effizient ist unser gefundener Grenzprozeß bri der notwendigen Neususdrehung? Die hierzu ausgeführten klassichen Konstruktionen zeigen schon mit eine Gesamtsequenz von vier konstruierten Kreis- und Gerade-Urkurvenobjekten ist das erste brauchbare Zwischenergebnismit 4 wahren Nachkommastellen erzeugt. Mit 14 konstruierten Objekten sind die abweichungen bereits im subatomaren Bereich und umfassen mehr als 20 wahre Nachkommastellen. Das folgene Bild liefert einen Überblick dazu.

Keine Berücksichtigung findet bei Wantzel (1818-184.) die vom berühmten R.Descartes () in seinem Buch "La Geometria" von 1643 veröffentliche endliche Konstruktion zum Winkeldritteln. Heute wird hier als "Unmöglich-Kriterium" angeführt, daß die zur Lösung erforderlichen Punkte der quadratische Parabel im "Ergebnisbereich" nicht und schon gar nicht alle klassisch konstruiert werden können.

Widersprüche tun sich auch dazu auf, dass es einer schon gegebenen quadratischen Parabelkurve gar nicht bedarf. Unser folgendes Bild zeigt, wie die notwendige Parabelpunkte F, E, G rlrmrntar konstruiert werden, durch die dann ein Schmiegungskreis gelegt wird, der die Parabel im Ergebnisbereich annähert. Darüber wird später noch ausführlich berichtet.

Auch bei diesen Grenzprozessverfahren wird mit nur wenigen Schritten zu einer nahezu unendlich kleinen Ergebnisabweichung gelangt. Es ist kein riesiger unendlicher Aufwand erfoderlich, wie er beim "Verfahren der brutalen Gewalt" auftritt. Mit den konstruierten Grenzprozessen wandelt sich die Endlichkeitsforderung aus der Antike zur Forderung nach hoher Effizienz. Mit mit nur wenigen Schritten soll und wird bis zum befriedigend genauen Ergebnis gelangt.

Multifache Winkeldrittel

Hier wird erstmals ein klassisch konstruiertes Kohärenzsystem zu einer gesetzmäßigen 3er-Winkelkohärenz im Viertelkreis, Halbkreis und Vollkreis. Es stärkt die Gewissheit, daß es solche konstruierbare Kohärenzzsysteme auch für das klassisch konstruierte Winkeldritteln gibt. Die ersten beiden Bilder zeigen die Situation des Zusammenhängens von mehrfachen Winkel-Drittelungen (blaue, rote und grüne Kreise auf der Grundkreislinie für den Viertelkreis und den Halbkreis.

Je nach Betrachtung füllen zwei Blöcke ungleicher Winkelgrößen α und β den Viertellkreis aus. Die beiden Winkelgrößen werden in gleiche Winkelgrößen (1/3)α und (1/3)β unterteilt. Obige beiden Bilder sind dazu nahezu selbst erklärend. Die den Halbkreis ausfüllenden zwei Winkelblöcke haben jeweils Sektoren rot, grün und blau und schwach rot, schwach grün und schwach blau. Die Sektoren rot und schwach blau hängen über eine blaue Sehne zusammen, welche den innenliegenden roten Kreis von halber Radiusgröße des Grundkreises tangiert. Das folgende Bild zeigt, wie sich duch Symmetrie die Drittelung auch auch in dem unteren Halbkreis fortsetzt.