Cohaerentic - Exaktes Winkeldritteln mit konstruiertem Grenzprozess

Exaktes Winkedritteln mit klassich konstruierten Grenzprozessen

Anhand der in unterschiedlichen Ausprägungen überlieferten Neusis-Konstruktionen zum Winkeldritteln erkennen wir tiefer liegenden Zusammehänge und abstrahieren für die unterschiedlichen Ausprägungen ein gemeinsames Kohärenzmodell. Dieses nennen wir Zielgestalt". Bei dieser Zielgestalt ist zunächst ein gegebener Winkel verdreifacht konstruiert, so daß es bei rückwärts gerichteter Betrachtung auch eine Kohärenz zur abgeleiteten Winkeldrittelgröße gibt. Die gesuchte Gestalt der Lösungskonstruktion muß mit der Zielgestalt in konforme Übereinstimmung gebracht werden. Dazu wird mit einer Bewegung "Drehung" oder auch "Verschiebung und Drehing" ausgeführt.

Die im Folgenden gezeigte Cohaerentic-Zielgestalt, die auch beliebig große zu drittelnde Winkel direkt zuläßt, liegt eine Kohärenzstruktur zugrunde, welche wir als eine Kreuzschleifen-Konstruktion erkennen. Bei ihr rotiert um den Ursprungspunkt U der Koordinatenachsen X und Y eine grüne Radiusstrecke r mit den Endpunkten U und D1. Abhängig davon gleitet der rote Kreuzschleifenbalken von doppelter Größe zur Radiusstreck r mit seinen Endpunkten A und B an den karthesischen Achsgeraden X und Y. Mit dem Mittelpunkt M wird dabei eine Kreiskurve um den System-Ursprungspunkt U als Spur geschrieben. Dieses Kohärenzmodell beschreibt mit den 4 Bildern den besagten Winkelzusammenhang. Der grüne Radiusstrahl für den zu drittelnden Winkel kann dabei in den Quadranten 1 bis 4 liegen.

Die Richtung des Kreuzschleifenbalkens stimmt dabei immer mit der Richtung der Radiusstrecke der Winkedrittelgröße überein. Diese besonder Kohärenzeigenschaft abstrahieren wir zu einer weiteren Zielgestalt einer im Kreis liegenden Streckenzug-Zielgestalt.

Die auf dem Grundkreis liegenden Winkelmarkierungspunkkte sind durch einen innen liegenden Streckenzug aus 4 schwarzen Strecken verbunden. Jeweils zwei Strecken sind zueinander parallel.

Zum nachvollziehbaren Verständnis zeigen wir nun noch weitere 4 Bilder. Hier markiert die blaue Radiusstrecke den zu drittelnden Winkel und die grüne Radiusstrecke den gesuchten Drittelwinkel. Der 3-er Zusammenhanng ist hier anhand der beiden aneinander gefügten gleichschenkligen Dreiecke, rot und grün, anschaulich nachvollziehbar.

Unser im Rahmen der Cohaerentic-Betrachtungen verfolgtes Ziel ist es, für die drei klassichen Konstruktionsprobleme die konstruierten Grenzprozesse mit kurzen Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten realisierbar zu machen. Unsere Lösungskonstruktion startet vom Punkt D aus und strebt dem Winkeldrittelpunkt C der Zielgestalt zu.

Der notwendige Neusis-Prozeß ist hier eine Drehung des Kreuzschleifen-Balkens in Punkt D. Die Drehung ist am Ziel, wenn bei der Lösungskonstruktion die Balken-Richtung mit der Balken-Richtung der Zielgestalt in konkruente Übereinstimmung (Deckung) gebracht ist. Der innen liegende Streckenzug hat 2 Paare paraller Strecken erreicht. Wie mit klassich konstruierten Grenzprozessen diese notwendige Drehung realisiert wird, wird später unter "Winkeldritteln" noch ausführlich dargelegt werden. Zwar ist der Umfang der ausführbaren Schritt vom Prinzip her unbeschränkt, wird aber nach wenigen Schritten mit Erreichen einer praktikablen Genauigkeit beendet.

Während bei den originalen Neusis-Prozessen offen bleibt, wie die notwendige Geraden-Drehung um Punkt D realsiert wird, ist dies beim Cohaerentic- Winkeldritteln mit Kreuzschleifen-Grenzprozeß nicht der Fall. Hier wird die zu konstruierende Lösungs-Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten exakt benannt.

Multifaches Winkeldritteln

Wir zeigen hier zuerst ein klassisch konstruiertes Kohärenzsystem zu einer gesetzmäßigen 3er-Winkelkohärenz im Viertelkreis, Halbkreis und Vollkreis. Es vermittelt die Gewissheit, daß es solche konstruierbare Kohärenzzsysteme auch für das klassisch konstruierte Winkeldritteln gibt. Die ersten beiden Bilder zeigen die Situation des Zusammenhängens der mehrfachen Winkel-Drittelungen (blaue, rote und grüne Kreise auf der Grundkreislinie für den Viertelkreis und den Halbkreis.

Je nach Betrachtung füllen zwei Blöcke ungleicher Winkelgrößen α und β den Viertellkreis aus und auch den Halbkreis, sowie auch den Vollkreis. Die beiden Winkelgrößen werden in gleiche Winkelgrößen (1/3)α und (1/3)β unterteilt. Die obigen beiden Bilder sind nahezu selbsterklärend. Die den Halbkreis ausfüllenden zwei Winkelblöcke haben jeweils Sektoren rot, grün und blau und schwach rot, schwach grün und schwach blau, wobei die Sektoren rot und schwach blau über den innenliegenden roten Kreis von halber Radiusgröße des Grundkreises und tangierender blauer Sehne zusammenhängen.

Das folgende Bild zeigt, wie sich duch Symmetrie die Drittelung auch auch in dem zweiten Halbkreis fortsetzt.

Wie ist hier ein exaktes Verfahren zum klassich konstruierten Winkeldrittln zu finden? Wir wissen, es muss ein klassich konstruierter Grenzprozeß sein. Welche sind dazu bekannt? Welche sind so effizient, dass sie praktisch verwertet werden können? Hier kommt der Begriff "Effizienz" ins Spiel. Beim Internet-Lexikon Wikipedia lesen wir dazu:

"Was ist Effizienz? Effizienz bedeutet, Dinge „richtig“ zu machen. Das kann bedeuten, dass Sie schneller arbeiten, mit weniger Ressourcen auskommen, große Projekte mit einem geringem Aufwand umsetzen oder umgekehrt, „mehr“ mit „weniger“ schaffen.23.02.2024"

Klassisch konstruierte Grenzprozesse fehlen in den ELEMENTEN des Euklid (ca. 330 v.u.Z.). Wegen der Vorbildwirkung der ELEMENTE bleiben sie bis heute unbeachtet und nahezu unbetrachtet. So auch für das Winkeldritteln. Sie fehlen daher auch der Internet - Enzyklopädie Wikipedia. Seit dem Jahr 1837, als P. Wantzel seinen berühmten Beweis zur Unmöglichkeit der klassisch konstruierten Winkeldreitelung veröffentlichte, gilt es als erwiesen, daß es solche nur mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruierten Zusammenhänge nicht geben könne und ihre Betrachtung nur vergeudete Zeit ist. Wantzel erkennt, es bedarf der Lösung einer Gleichung vom 3. Grad. Kreis-Gerade-Konstruktionen können aber nur Gleichungen vom 2. Grad lösen.

Den gelehrten Wissensstand zum konstruktierten Winkeldritteln wird von den Hochschullehrerinnen Silke Hartlieb und Luise Unger wie folgt zusammengefasst:

"Leseprobe zum Kurs 01320 Algebra und ihre Anwendungen der Fakultät für Mathematik und Informatik der Fernuniversität Hagen (FernUni / Fakultät MI / Angewandte Mathematik / Studium und Lehre / Lehrveranstaltungen / Kurs 01320 Algebra und ihre An...)"

„Wir werden in dieser Kurseinheit zeigen, dass die klassischen griechischen Konstruktionsprobleme nicht lösbar sind. Mit anderen Worten, es gibt keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt. Solche Unmöglichkeitsbeweise sind für mathematische Laien nur schwer nachvollziehbar, und daher gibt es überraschend viele Leute, die einen Satzanfang der Form „Es ist nicht möglich,. . . “ als „Bis jetzt haben wir es noch nicht hingekriegt,. . . “ übersetzen. Es gibt also auch heute noch etliche Personen, die ihre vermeintlich geglückten Konstruktionen an mathematische Fachbereiche schicken, und dann sehr enttäuscht sind (oder sehr böse werden), wenn man ihnen mitteilt, dass man nicht gewillt sei, dies genauer anzusehen, da die Konstruktion sowieso falsch sein müsse."

Um hier nicht aneinander vorbei zu reden, erklären wir woran wir uns am gelehrten Wissensstand stören. Nämlich daran, dass heute immer noch gelehrt wird, es gibt "keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt".

Gemeint sind hier allein endliche Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Was aber ist mit den klassisch konstruierten Grenzprozesse, die im Grundlagenwerk ELEMENTEN des Euklid (ca. 330 v.u.Z.) fehlen? Da kommt die Frage auf, gibt es sie überhaupt,denn bei Wikipedia fehlen sie auch? Betrachten wir den Satz "exakter Grenzprozess drittelt Winkel" tiefgehender, wird immer klarer, es handelt sich um einen dynamischen, endlos fortsetzbaren Prozeß, bei dem endlos einem Grenzpunkt=Winkeldrittelpunkt zugestrebt wird. Mit jedem Iterationszyklus wird die Ergebnisgenauigkeit weiter erhöht. Da drängt sich die Frage auf, warum soll hier der konstrierte Grenzprozess, mit seinem Schritt um Schritt logisch nachvollziehbarem Zusammenhang, generell zum falschen Ergebnis führen? Was ist hier falsch? Ist an dem nachvollziehbare Lösungszusammenhang etwas zu bemängeln oder ist es die "fachamtliche" Sichtweise mit ihrer historisch ererbten Erwartung, daß nach endlich vielen Schritten des exakte Ergebnis vollständig dargestellt ist? Vom allgemeinen Quantisierungsprinzip her ist Letzters eine unerfüllbare Erwartung, und damit eine falsche Erwartung.

Effizenter Grenzprozess drittelt Winkel

Bei unserem Grenzprozess interessiert, wie effizient ist er? Die ausgeführten klassichen Konstruktionen zeigen schon mit eine Gesamtsequenz von 4 konstruierten Urkurven-Objekten von Kreis und Gerade wird eine erste brauchbare aktuelle Ergebnisgröße mit 4 wahren Nachkommastellen erzeugt. Mit 14 konstruierten Objekten sind die abweichungen bereits im subatomaren Bereich mit mehr als 20 wahre Nachkommastellen, usw. Das folgene Bild liefert einen Überblick dazu.

Keine Berücksichtigung findet bei Wantzel () die vom berühmten R.Descartes () in seinem Buch "La Geometria" von 1643 veröffentliche endliche Kostruktion zum Winkeldritteln. Heute wird hier als "Unmöglich-Kriterium" angeführt, daß die zur Lösung erforderlichen Punkte der quadratische Parabel im "Ergebnisbereich" nicht und schon gar nicht alle klassisch konstruiert werden können.

Widersprüche tun sich hier auf, wenn wir zeigen, dass es einer irgendwie schon gegebenen quadratischen Parabelkurve gar nicht bedarf. Unser folgendes Bild zeigt, die notwendige Parabelpunkte F, E, G, durch die ein Schmiegungskreis zur Parabel gelegt wird, können direkt im Ergebnisbereich mit klassichen Konstruieren erzeugt werden. Darüber wird später noch ausführlich berichtet.

Auch bei diesen GRenzprozessverfahren wird mit nur wenigen Schritten zu einer nahezu unendlich kleinen Ergebnisabweichung gelangt. Es ist kein riesiger unendlicher Aufwand erfoderlich, wie er beim "Verfahren der brutalen Gewalt" auftritt. Mit den konstruierten Grenzprozessen wandelt sich die Endlichkeitsforderung aus der Antike zur Forderung nach hoher Effizienz, wobei mit nur wenigen Schritten bis zum befriedigend genauen Ergebnis gelangt wird.