Winkelverhältnis α /3
Das Winkelverhältnis α /3 ist als Ergebnis der Grenzpunkt eines klassisch, mit einer endlosen Sequenz von Kreis- und Grade-Objekten konstruierten Grenzprozesses.
Bis zu dieser Einsicht gab es einen langenWeg mit vielen verwirrenden Rätseln.
Einführung in das Problem des Winkeldrittlens
Die Zahl "3" steht oft für ungelöste Fälle, auch für mysteriöse und religiöse Zusammenhänge. So wird in der Bibel die Umfanglänge eines kreisrunden Beckenrandes mit 3 mal größer als der Durchmesser angegeben. Ist dieses mitgeteilte Verhältnis ein Ergebnis eines Ausmessens? Offenbar nicht. Schon in der der Antike Versuche man, dieses Ergebnis ist eine Näherung, zum wahren Ergebnis, das etwas größer als 3 ist. Seitdem wurde die 3 in der Bibel nicht weiter präzisiert. Ein Grund hier zu zögern war wohl auch die Einsicht, daß ein ermitteltes Größenabbild nie ganz eindeutig eine ganzzahlige Vervielfachung eines kleinsten Maßes (Maßschrittes) ist. Dieses allgemeine Phänomen gibt es somit auch für das Kreisverhältnis sowie auch für die Winkelgrößen.
Der französische Mathematiker P. Wrantzel (1814-1848) ist mit einer anderen Betrachtung zu dem selben Ergebnis für die reprodutierbare Darstellung des Winkeldrittels gelangt. Er folgert daraus, mit einer nur endlich Sequenz gezeichneten Kreis- und Gerade-Objekte gibt es keinen vollständigen Konstruktionsplan. Deiser kann damit auch nicht zur vollständigen, exakte Darstellung des Winkeldrittels führen. Ist für Wrantzel hiermit bewiesen, was heute allgemein akzeptiert ist? Gibt es tatsächlch keinen zutreffenden natürlichen geometrischen Zusammenhänge für eine exakte Winkeldrittel-Konstruktion, die als Kohärenzmodell anschaulich logisch nachvollziehbar ist? So wird es heute zumindest gelehrt.
Bei diesen Voraussetzungen sind alle Versuche eines Winkeldrittlns mit klassich konstruierten Grenzprozessen unausgesprochen mit einer Art "Denkblockade" belegt. Denn, wenn hier die Lösungszusammenhänge fehlen. kömnnen auch alle Versuche mit klassich konstruierten Grenzprozessen keinen Erfolg haben.
Im gewissen Widerspruch dazu stehen die schon seit dem Altertum bekannten nichtklassischen Verfahren für ein exaktes Winkeldritteln. Sie erfordern weitere hinzu genommenen Hilfswerzeuge bzw, schon gegebenen höheren Kurven, wovon die Kegelschnittkurven Kreis, Hyperbel, quadr. Parabel und Ellipse die einfachsten sind. Warum Wrantzel bei seinem Unmöglich-Beweis diese Winkeldrittel-Kohärenzen unbetrachtet läßt, darüber kann nur spekuliert wedern?
Wie werden nachfolgend zeigen, daß es durchaus Sinn macht, diese alte Tradition der Denkblockade zu verlassen. Es zeigt sich dabei, ein klassisch konstruiertes exaktes Winkeldreiteilen über eine ganze Drehung ist, wie zutreffende natürliche geometrische Kohärenzen zeigen, mit klassisch konstruierten Grenzprozessen sehr effizient zu realisieren. So werden schon mit weniger als 20 gezeichneten Objekten von Kreis und Gerade bereits solch hohe Genauigkeiten bei der konvergenten Ergebnisdarstellung erreicht, daß die alltägliche Anforderungen weit überschritten werden. Die ererbte uralte Erwartung, eine genaue Darstellung der Winkeldrittelgröße im subatomaren Bereich sei nur mit nahezu endlos vielen konstruierten Kreis- und Gerade-Objekten zu erreichen, erweist sich als Irrtum. Die auftretende extrem starke Konvergenz der effizienten autokonvergenten Grenzprozesse wurden und werden bis heute nicht erwartet.
Von der Antike bis heute
Ausgehend von dem oben dargelegten Wissen suchen wir nicht nach einer konstruierten Zahl, welche den Drittelwinkel ohne Restfehler darstellt. Wir suchen nach exakten Kohärenz-Modellen, welche die Dreierkohärenz von Winkeln als klassisch konstruierte Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten anschaulich nachvollziehbar darstellen. Ein erstes Kohärenz-Modell hierzu veröffentlichte bereits Archimedes (287-212 v.u.Z.). Es ist im folgenden Bild in der linken oberen Bildecke gezeigt. Das rechte Bild veranschaulicht die konkrete Lösungsumsetzung des Archimedes-Vorschlages.
In diesem Beitrag werden die gezeichneten Objekte in ihrer Abfolge mit laufenden Nummern und Buchstaben versehen. Zur eindeutigen Zuordnung sind die Zahlen noch um Buchstaben ergänzt, Ist das dezeichnete Ojekt ein Kreis kommt ein k oder K hinzu, Bei einer gerade/Strecke kommt ein g oder G. und bei einem Schnittpunkte ein S hinzu . Bei einem S3(k1xg3) symbolisiert "x" das Schneiden/Kreuzen der Objekte k1 und g3.
Dieses klassich konstruierten Kohärenz-Modells macht mit seiner Sequenz der zusammenhängend konstruierten Objekte von Kreis und Gerade anschaulich nachvollziehbar, wie von einem kleinen gegebenen Winkel zu ganzzahlig vervielfachten Winkeln gelangt wird. Auch die umgekehrte Betrachtungsrichtung, vom gegebenen großen Winkel hin zum kleinen abgeteilten Winkel, ist möglich.
Vervielfachen
Vervielfachen ist bei einem vorhandenen Kreis K mit einem eingezeichneten Winkels schon mit nur zwei weiteren aufeinander folgend konstruierten Kreisen möglich.
Vervielfachen zum Kleinen hin
Das Dreiteilen des Winkels ist auch ein Vervielfachen, statt der vielen großen Teile gibt es hier nun vile kleine Teile. Der Strahlensatz, mit dem ein beliebiges Verviefachen einer Strecke zum Kleinen hin möglich ist, führt bei Drehungen/Winkeln nicht zum Ziel.
Einen für Winkel ersten Lösungsansatz hat bereits Archimedes (287-212 v.u.Z.) veröffentlicht. Bei seinem Winkel-Kohärenzmodell wird in der einen Betrachtungsrichtung ein vervielfachter Winkel erzeugt. Die aufeinander folgenden Dreiecke mit jeweils gleichlangen zwei Seiten zeigen Symmetrie. Für das Vervielfachen zum Kleinen hin wird mit der umgekehrten Betrachtungsrichtung gearbeitet. Das Lösungsprizip ist, die Lösungskonstruktion wird Schritt um Schritt mit der bekannten Zielgestalt des 3er-WDT-Kohärenzmodells zur Deckung gebracht. Die Schritt um Schritt herbei geführte Übereinstimmung mit der "Zielgestalt" ist erreichbar, kann aber real nicht eindeutig festgestellt werden. Die Überenstimmung wird nur als Gedanke realisiert.
Archimedes (287-212 v.u.Z.) fügte dem den Drittelwinkel markierendem Lineal zwei Striche durch die Punkte S(Xx2G) und S(2Gx3.1K) hinzu, mit einem Abstand von der Radiusgröße /M,S(XxK)/. Wird das auf der X-Achse und dem Punkt S(6KxK) aufliegende Lineal nach rechts verschoben, erfährt es eine Drehung gegenüber X- und Y-Achse und erreicht den gesuchten exakten Drittelwinkel, wenn der Punkt S(2Gx2.1K) auf dem Kreis K zu liegen kommt, was aber nur gedanklich erfüllt werden kann.
Mein klassisch konstruiertes WDT-Kohärenz-Modell (linke Bildhälfte) kombiniert das archimedes´sche Modell. Rechts im Bild wird ein extskter WDT-Grenzprozeß gezeigt, dessen klassich konstruierte Grenzprozeß schon nach wenigen konstruierten Objekten abgebrochen werden kann, da dann die gemessene verdreifachte Drittelwinkelgröße (rote Zahl) schon über 15 wahre Nachkommastellen mit denen der Startwinkelzahl übereinstimmen.
Gegeben Objekte sind:
- die Achsen X und Y, sowie der Grundkreis k0 um M
- der gegebene zu drittelnde Winkel ∠AMQ mit den Strecken MA und MQ
Die kurze konstruierte Sequenz umfasst folgende Objekte:
1. Strecke g1 parallel zur Y-Achse
2. Strahl g2, so in M gedreht, daß er g1 in M2 schneidet
3. Kreis k3 um M2 mit einem Radius = 2* MA
4. Strahl g4 parallel zur X-Achse Gerade durch Punkt Q, der den Kreis k3 im Schnittpunkt S4(k3×g4) schneidet.
5. blaue Strecke g5 = / M,S4(k3×g4) / schneidet Gerade g1 in Schnittpunkt S5(g1×g5)
6. Kreis k6 um S5(g1×g5) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S6(g5×k6) und S6.1(g4×k6).
7. Strahl g7= / M,S6.1(g4×k6) / der Gerade g1 in Schnittpunkt S7(g1×g7) schneidet.
8. Kreis k8 um S7(g1xg7) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S8(g7×k8) und S8.1(g4×k8).
9. Strahl g9 = / M,S8.1(g4×k8) / der Gerade g1 in Schnittpunkt S9(g1×g9) schneidet.
10. Kreis k10 um S9(g1×g9) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S10(g7×k10) und S10.1(g4×k8).
11. Strahl g11 = / M,S10.1(g4×k10) / der Gerade g1 in Schnittpunkt S11(g1×g11) schneidet.
12. Kreis k12 um S11(g1×g11) mit Radius=2*MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S12(g11×k12) und
S12.1(g4×k12).
13. Kreis k13 durch die drei Punkte S8(g7×k8); S10(g7×k10) und S12(g11×k12), der auf Gerade g4 den Schnitt-
punkt S13(g4×k13 ) erzeugt, welcher das erreichte Zwischenergebnis für den Drittelwinkel markiert.
-14. Strahl g14 durch den Schnittpunkt S13(g4×k13) markiert den gesuchten Drittelwinkel ∠AMD.
Zum Zweck eines einfacheren Nachprüfens und Vergleichens der digitalen Ergebnisgenauigkeit ist der erzeugte Drittelwinkel mit den inneren roten Kreisen verdreifacht.
Kreuzschleifen-WDT- Kohärenzmodell
Bei dieses etwas abstrakteren WDT-Kohärenzmodell bewegt sich der Mittelpunkt C einer Strecke EF auf einer Kreiskurve um Mittelpunkt M, wenn die Strecke mit ihren Endpunkten E und F an den orthogonalen Achsen X un Y entlang gleitet.
Anhand der zwei Paare paralleler Strecken im Kreis um M ist gut zu erkennen, daß diese Konstellation auch ein Merkmal für eine vorhandene Winkeldreierkohärenz ist.
Aus dem Sachverhalt, daß das Zurechtschieben bis zur Deckung / Übereinstimmung mit der Zielgestalt nur theoretisch erfüllbar ist, erwächst der Wunsch, zu einem Schritt um Schritt nachvollziehbaren autokonvergenten Prozeß des "Zurechtschiebens" zu gelangen. Ein Prozeß, der nur mit den Objekten Kreis und Gerade konstruiert werden kann. Von der Antike bis heute sind in der Fachliterarur keine solchen Lösungen zu finden. Mit dem folgendes Bild lasse ich den abstrakten Zusammenhang nochmals deutlich hervortreten.
Ein Dreierzusammenhang auf der Kreiskurve ist dann gegeben, wenn der schwarze zusammenhängende Streckenzug im Kreis aus 4 Strecken, je nach Betrachtungsstartpunkt,
alternierend zwei paralle Strecken hat.
Dieses klassich konstruierte WDT-Kohärenzmodell leistet in der einen Betrachtungsrichtung ein Verdreifachen des gegebenen Winkels bzw. Kreisbogens (rotes Dreieck), ohne daß das allgemein bekannte Verdreifachens zum Einsatz kommt. In der andereen Betrachtungsrichtung ist mit den zurecht gerückten zwei parallelen Strecken im Kreis das gesuchte Drittel des Kreisbogens markiert.
Oben wurde schon gezeigt, wie der Prozeß des Zurechtschiebens (Neusis-Prozeß) in einen nur mit den Objekten von Kreis und Gerade konstruierten autokonvergenten Grenzprozeß übergeführt werden kann. Es folgen nun weitere Beispiele dazu:
In der vorigen Konstruktion geht die nicht eingezeichnete Lösungskurve (Trisektrix-Kurve) durch die nacheinander erzeugten Punkte D; C; K usw. Sie schneidet schießlich im Grenzpunkt = Ergebnispunkt den um Mittelpunkt M verlaufenden Kreis k1. Die Strecke zwischen Kreiskurve im 2. Quadranten und Y-Achse hat dann die gleiche Größe erreicht, wie der Kreisradius =MA.
Beim nächsten Bild wird bei der Neusis-Einschiebung mit der ganzen Kreuzschleifen-Streckenlänge gearbeitet. die dann von der Größe des Kreisdurchmessers von k2 ist. Diese größere Länge verbessert die Konvergenz.
Multifache 3er-Winkelkohärenz
Überraschend ist, es gibt nicht nur die einzelne 3er-Winkelkohärenz, sondern eine multifache 3er-Kohärenz im Gesamtsystem, wie folgendes Bild zeigt. Mit den angebrachten Objektkennzeichnungen kann die Sequenz der erzeugten Objekte Kreis und Gerade wieder leichter nachverfolgt werden.
Elementare geometrischen Kohärenzen und ihre Darstellung mit klassischen Konstruktionen
Dreiteilung des Kreises
Wir beginnen diese Betrachtungen mit einem einfachen Kohärenzsachverhalt. Mit ihm wird ein Dreiteilen schon mit einer Sequenz zusammenhängend konstruierter zwei gleich großer Kreise und einer Geraden durch den Kreismittelpunkt M erreicht. Dieses Dreiteilen kommt ganz ohne Kenntnis von Zahlen und einem Rechnen mit ihnen zustande. Das "gelbe gleichseitige Dreieck" ist das Ergebnis einer Sequenz zusammenhängender Objekte von Kreisen und Geraden.
In der folgende Abfolgeliste sind die gezeichneten Objekte Kreis k, Gerade g, und Schnittpunkt S(k1xg3) entsprechend ihrer Aufeinanderfolge angeordnet und benannt:
- beliebig liegende Gerade g1 im ebenen R^2-Erfahrungsraum
- gezeichneter, beliebig liegender Punkt M=S2 auf der Geraden g1
- schwarzer Kreis k3 um den Mittelpunkt S2=M, der zwei Schnittpunkte S3-1 und S3-2 auf der Geraden g1 erzeugt
- um Punkt S3-1 konstruierter roter Kreis k4, der gleich groß zu Kreis k3 ist, und zwei neue Schnittpunkte S4-1 und S4-2 auf k3 erzeugt.
- gelbes gleichseitiges Dreieck durch die Punkte S3-1; S4-1 und S4-2
- um Punkt S3-2 konstruierter roter Kreis k6, der gleich groß zu Kreis k3 ist, und zwei neue Schnittpunkte S6-1 und S6-2 auf k3 erzeugt, .
- rotes gleichseitiges Dreieck durch die Punkte S3-2; S6-1 und S6-2, welches mit seinen Seitenstrecken die des gelben Dreiecks schneidet und so weitere innen liegende 6 Schnittpunkt als Teilungspunkte S7-1; S7-2; S7-3; S7-4; S7-5; S7-6 erzeugt.
Auf dem schwarzen Kreis k3 gibt es 6 reguläre Teilungspunkte S3-1; S3-2; S4-1; S4-2; S6-1; S6-2 und noch 6 innen liegende Schnittpunkt S7-1 bis S7-2 der Seitenstrecken der Dreiecke gelb und rot. Diese erhöhen auf eine reguläre Zwölf-Teilung des Kreises. Die Operationen des Dreiteilens produzieren auf der Grundlage der systematische Kohärenz im euklid´schen R^2 -Raum (ebener Raum) zugleich duale Vervielfachungen hin zum Großen und hin zum Kleinen. Das Große sind die Anzahl 12 der Kreissegmente und das Kleine ist die Flächengröße der erzeugten, hier nicht eingezeichneten, Kreissegmente.
Der nächst naheliegenden Frage wurde schon im Altertum nachgegangen. Kann der Winkel zwischen den Teilungspunkten rot und gelb in gleich einfacher Vorgehensweise ausgeführt werden? Hierzu gibt es schon seit der Antike mehrere Ansätze zu Lösungen. Allerdings gibt es zum Winkeldreiteilen bis heute gewisse Unklarheiten und auch Mißverständnisse. Diese Situation mündet in Streit, der auch den sogenannten Grundlagenstreit der Mathematik berührt, welcher in den zwanziger Jahren des 20. Jahrhunderts besonders heftig ausgetragen wurde.
Wir sehen wir das Ganze. Da gibt es Mißverstämdnisse zu den im 19. Jahrhundert geführten arithmetisch-algebraischen Beweisen der Mathematik, denn exakte Prozesse eines exakt konstruierten Winkeldreiteilens werden als "unmöglich" gelehrt. Dazu ist im Lexikon Wikipedia unter Dreiteilung des Winkels im Abschnit "Klassische Probleme" https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels (23.11.2023) geschrieben:
Eine allgemeine Dreiteilung ist daher nur möglich, wenn neben Zirkel und Lineal auch zusätzliche Hilfsmittel Verwendung finden, etwa eine Trisektrix, oder wenn auf dem Lineal Markierungen angebracht werden. Andererseits sind mit Zirkel und Lineal beliebig gute Näherungslösungen darstellbar (siehe Abschnitt Näherungsverfahren).
Hier werden zwei verschiedene Arten von Dreiteilungen angesprochen. Die erste Art produziert dann theoretisch exakte Drittelwinkel-Lösungen, wenn zusätzliche Hilfsmittel und Werkzeuges hinzu genommen werden die noch notwendigen "Prozesse des exakten Einpassungen und Platzierens". Es wird einfach vorausgesetzt, daß dies mit theoretischer Exaktheit ausgeführt wird. Die hinzu genommenen Hilfswerkzeuge können ein Rechtwinkelhaken, ein Tomahawk oder auch eime Schablonen zu verschiedenen Zusammenhangkurven (Kohärenzkurve) sein. Schon Archimedes (287-212 v.u.Z.) veröffentlichte eine solchen exakten Lösungsprozeß mit dem Hilfswerkzeug "Lineal mit Mass-Strichen", siehe oben. Bei der zweiten Art der beliebig guten Näherungslösungen ist noch zu unterscheiden zwischen:
- beschränkter Konvergenz, die für Näherungsverfahren zutrifft.
- unbeschränkte Konvergenz, die für klassisch konstruierte Grenzprozesse zutrifft. Dieser Prozeß des Zustrebens kann theoretisch ohne Ende fortgesetzt werden. Eine gegebene starke natürliche Konvergenz macht dies überflüssig.
In der Fachwelt werden die verschiedene Typen von Kohärenzkurven unter dem Sammelbegriff Trisektrix angesprochen. Viele dieser Kurven sind vom 2. Grad. Die älteste bekannte Kohärenzkurve ist die Trisektrix des Hippias (5. Jhd.v.u.Z.), auch als Quadratrix des Dinostratos (4.Jhd.v.u.Z.) bekannt. Sie wird als Spurkurve durch simultane zwei Bewegungen erzeugt, die Rotation der schwarzen Radiusstrecke NR um Punkt M und die Translation der Balkenstrecke AB in Achsrichtung CM, wie es das folgende linke Bild zeigt. Der Schnittpunkt zeichnet dann die Quadratrix als Spurkurve. Das rechte Bild zeigt, wie die Trisektrix des Hippias auch mit quasi simultannen fortwährenden Halbierungen des Kreisbogens CD und der Achsstrecke CM als exakte Punktekurve CQE konstruiert werden kann.
Mit der Kohärenzkurve CQE wird nicht nur eine spezielle 3-er Kohärenz modelliert, sondern eine allgemeine proportionale bidirektionale Kohärenz zwischen der Rotatation um M und Translation zwischen C und M.
Exakte WDT mit gegebener Parabel nach Descartes (1596-1750)
Lange Zeit unbetrachtet blieben WDT-Lösungen mit einer Parabel als Trisektrixkurve. Der berühmte Descartes (1596-1750) war der Erste, der diesen Lösungszusammenhang gefunden hat und in seinem Buch "La Geometrie" im Jahre 1637 veröffentlichte. Im Internet-Lexikon Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels (23.11.2023) bleibt diese exakte WDT gegenüber den anderen nichtklassischen Lösungsverfahren mit Trisektrixkurven nur sehr kurz erwähnt und bleibt unterbewertet. Da dazu kein Bild gezeigt wird, gibt es bei Wikipedia keine tiefer gehende Erörterung der 3er-Zusammenhänge. Ein Grund für das geringe Interesse an der Parabel-WDT mag auch darin liegen, daß Descartes mit seinem beigefügten Bild seine Winkeldreiteilung nicht ausreichend anschaulich nachvollziehbar erklärte.
Die von Descartes an den beiden linken und rechten Teilbildern angebrachten Buchstaben finden sich im jeweils anderen Teilbild nicht wieder. Insgesamt ist das Bild wenig selbsterklärend.
Mit den geometrischen Kalkulationen der Cohaerentic werden auch die Punkte von Parabeln im karthesischen Koordinatensystem effizient konstruierbar. Sie können so beliebig dicht benachbart konstruiert und dadurch immer genauere Schmiegungskurven für den Grenzbereich der geometrischen Grenzprozesses erzeugt werden. Auf diese Weise wird die Dreiteilung des Winkels nach Descartes durchgehend mit einer Autokonvergenz klassich konstruierbar. Dem descartes´sche Verfahren kommt daher eine besondere Bedeutung zu. Sie ist der Grund für uns, die von Descartes mit einer quadratischen Parabel als Kohärenzkurve aufgezeigten Zusammenhänge ausführlicher als bei Wikipedia zu betrachten. Als Grundlage dafür nehmen wir unsere folgenden klassichen Konstruktionen, die als anschaulich nachvollziehbare Sequenzen von Kreis und Gerade-Objekten ausgeführt werden.
Im Interesse einea besseren Durchblicks ist im obigen linken Bild zunächst nur das klassische konstruierte Kohärenzsystem mit der Parabel gezeigt. Im rechten Bild sind die gezeichneten Objekte in ihrer Abfolge wieder mit laufenden Nummern und Buchstaben versehen. Auf diese Weise wird die Konstruktion als Sequemz gezeichneter Objekte mit ihren angebrachten Kennzeichnungen zur Objektfolge und Objektart besser verständlich. Bei den nun folgenden Bilder wird zwecks eines bessren Durchblicks nur die Sequenz für die einfache 3er-Kohärenz betrachtet.
Im linkenTeilbild wird mit Hilfe der gezeichnet gegebenen Trisektrix-Kurve y=x2 (quadratischen Parabel p7 ) der gegebene Winkel ∠(B,M,S3) zum gesuchten Drittelwinkel ∠B,M,S8 dreigeteilt. Hingegen wird im rechten Teilbild ohne gegebene Parabel mit nur einem kostruierten Parabelpunkt S9(g5xg9 ) der gegebene Winkel ∠(B,M,S4) zum gesuchten verdreifachten Winkel ∠B,M,S12(k1xg12) vervielfacht. Der Schnittpunkt S12(k1xg12) wird in der sequentiellen Abfolge der Objekte mit Strecke g12 erzeugt.
Wie können Trisektrix-Kohärenzkurven klassisch konstruiert werden?
In der Neuzeit werden die Punkte von Kurven mit Hilfe von Zahlen mit Computern berechnet und dann Punkt um Punkt eine Punktekurve gezeichnet. Mit immer mehr, schließlich endlos dicht benachbarten Punkten geht die Punktekurve in eine gedanklich geschlossene Spurkurve über. Für die gezeichnete Erzeugung der Kegelschnittkurven Hyperbel, Parabel und Ellipse sind schon seit der Antike Fadenkonstrktionen und auch mechanische Geräte/Werkzeuge bekannt. Theoretisch werden auf diese Weise ideale exakte Kurven erzeugt, was in der alltäglichen Praxis aber nicht zutriffft. Hier macht die Mathematik der Antike einen gedanklichen Sprung und setzt einfach voraus, daß die verschiedenen, quasi mechanisch erzeugten Trisektrixkurven, als exakte Kurven einfach vorhanden sind. Auf dieser Grundlage können dann exakte Dreiteilungszusammenhänge elementar konstruiert werden.
Mit nicht idealen Kurvenverläufen und nicht idealen Platzierungen der Kurven und Hilfswerkzeuge wird trotz eines exakten Lösungs-Zusammenhangs nur zu beschränkt genäherten Ergebnissen gelangt. Die in der Literatur zitierten Näherungsverfahren sind von dieser Art des beschränkten Konvergierens. Ein erreichter kleinster Fehlerabstand zum wahren Ergebnis kann hier mit mehr Konstruktionsaufwand nicht weiter abgenaut werden.
Anders bei den Lösungsverfahren mit exakten Trisektrixkurven vom 2. Grad, deren Punkte klassich konstruiert werden können. Dann ist mit einem klassich konstruierten Grenzprozeß ein unbeschränktes Konvergieren an den wahre Ergebnispunkt = Grenzpunkt möglich. Die Abweichung des letzten Zwischenergebnisse zum wahren Ergebnis können hier mit immer mehr betriebenem Konstruktionsaufwand immer weiter verkleinert werden. Allerdings erwartet die Fachwelt, seit der Antike bis heute, sehr sehr viele, quasi endlos viele zu zeichnenden Objekte aa<erwartet, ehe mit dem letzten Winkel-Zwischenergebnis zu einer für die Praxis befriedigenden Genauigkeit gelangt wird, beispielsweise 15 wahre Nachkommastellen bei der Winkelgröße. Anders fomuliert, es wurde und wird hier keine starke Konvergenz erwartet. Die mangelnde Motivation führte hier zu einer gewissen Betrachtungsblockade. Über einen sehr langen Zeitraum fehlte die Motivation zu exakten Lösungsverfahren mit Hilfe von klassisch konstruierten Grenzprozessen zu forschen.
Das folgende Bild zeigt ein WDT-Verfahren bei dem keine gegebene Parabelkurve erforderlich ist. Es wird hierbei im Ergenisbereich ein Stück Parabelkurve als Schmiegungskreis konstruiert, der durch 3 kostruierte exakte Parabelpunkte im Grenzpunktbereich = Ergebnisbereich definiert ist.
Die praktische Tauglichkeit dieser Grenzprozeß-Lösung zeigt sich schon nach dem ersten konstruierten roten rechten Konvergenzzyklus mit seinem Zwischenergebnis für den Drittelwinkel mit 14 wahren Nachkommastellen. Die Sequenz des 1. Konvergenzzyklus liefert mit den rechten roten Objekten ein 1. Zwischenergebnis, welches dann Ausgangspunkt für den 2. Komvergenzzyklus (linke blaue Objekte) ist. Zwecks einer besseren Vergleichbarkeit werden die verdreifachten Zwischenergebnise des Drittelwinkels vom 1. und 2. Zyklus mit dem Startwinkel ∠AMB verglichen.
Spirale des Archimedes (3.Jhd.v.u.Z))
Weitere WDT-Kohärenzkurven sind die Spirale des Archimedes (3.Jhd.v.u.Z)) und auch die Hyperbel, deren erste Benutzung Pappos (4.Jhd.v.u.Z.) zugeschrieben wird.
Die in der Fachliteratur häufig zitierte Konchoide des Nikomedes ( 280-210 v.u.Z.) ist gleichfalls eine Trisektrix.
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Maclaurin_trisectrix.svg#/media/Datei:Maclaurin_trisectrix.svg.
Trisektrix von Colin Maclaurin (1698-1748)
Die Trisektrix von Colin Maclaurin (1698-1748) ist eine spezielle Ausbildung der Konchoide, die als Kurventyp schon seit Nikomedes ( 280-210 v.u.Z.) bekannt ist. Eine Auflistung zu weiteren Trisektrix-Kohärenzkurven ist im Internet-Lexikon Wikipedia unter dem Suchwort Trisektrix zu finden.
Was ist effizienter, die "try and error" Konvergenz oder die Autokonvergenz der Grenzprozeß- Verfahren?
Im Internet-Lexikon Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels (23.11.2023) wird im Abschnitt Näherungsverfahren sinngemäß geschrieben, daß solche gezeichnete beliebig genaue Näherungen auch allein mit Kreisen und Geraden ausgeführt werden können. Welche Art der Näherung sind mit dem Wikipedia-Aufsatz angesprochen? Sind es Näherungen, wie sie vom Schneidermeister Kopf für die Ermittlung des Winkeldrittelns oder wie sie vom polnischen Mathematiker A.Kochanski (1631-1700) für die Ermittelung des Kreisverhältnisses π veröffenlicht wurden? Nein, diese sind damit offenbar nicht gemeint, denn sie enden nach wenigen Schritten. Lösungen mit klassisch konstruierten Grenzprozessen sind es offenbar auch nicht. Solche sind in der historischen Literatur und auch im Internet-Lexikon Wikipedia nicht zu finden.
Naheliegend ist das übertragen von arithmetischen Vorgehensweisen auf klassische Konstruktionen. Bein arithmetischen Teilen wird ein erster verbleibender noch ungeteilter Rest nachfolgend auch noch geteilt usw. Diese Rest-Teilungsergebnisse werden jeweils dem vorangegangenen Teilungsergebnis zu einem aktuellen Summen-Ergebnis zuaddiert. Dieses Aktionenszyklen können immer weiter fortgesetzt werden, zumindest theoretisch. In der Praxis wird der endlos mögliche Prozeß beendet, wenn ein gewählter Abstand zum wahren Ergebnis unterschritten wird. Ein Vorgehen, wie es beim Teilen einer Zahl mit arithmetischen Rechengregeln ausgeführt wird, läßt sich also auch auf ein klassisch konstruiertes Berechnen übertragen. Solche klassische durch Schritte geprägte Konstruktionen sind bei Wikipedia nicht zu finden. Das Hintereinanderschalten des Kopfschen Näherungsverfahrens, bei dem die ungeteilten Reste immer wieder geteilt werden usw, wäre ein Beispiel dazu.
Die interessante Frage zu exakten Winkeldreiteilungen ist nach den obigen Darlegungen nicht mehr die seit der Antike verfolgte Frage, ob die Teilung mit den bekannten natürlichen geometrischen Kohärenzen exakt möglich ist oder nicht, sondern mit welchen Verfahren das Winkeldreiteilen am effizientesten möglich ist? Sind es die "try and error" konvergierenden Verfahren oder die autokonvergenten Grenzprozeß-Verfahren?
