Bekanntes Wisen:

1. Situation im Kontex der klassischen Geometrie

(Zirkel. und Lineal-Konstruktionen)

1.1. Parabeln im engeren Sinn

• In der historischen klassischen Geometrie (griechische Antike) wurde unter „Parabel“ nur die Kurve verstanden, die durch den Schnitt eines Kegels mit einer Ebene entsteht.

• Diese Kegelschnitt-Parabel ist als Ortslinie definiert  und nicht in einem kartesischen System   der Form y=x².

• Man konstruiert Punkte, aber nie im Sinn einer „Koordinatenzuordnung x↦y, weil damals ein kartesisches Koordinatensystem schlicht noch nicht existierte.  

1.2.  Koordinatengeometrie nach Descartes (1637,  Buch La Geometrie)

• Mit der Géométrie von Descartes kommt das Denken in Gleichungen, wie y=x² 

• Aber auch dann werden die Punkte einer Normalparabel mit Hilfe der Definition über Fokus & Direktrix dargestellt. Es ist offenbar einfacher das Ortslinienkriterium umzusetzen, als die Abhängigkeit y von  x direkt nachzubauen.

• Eine „Konstruktion nach x“ würde verlangen, dass man für ein gegebene Strecke auf der x-Achse  die dazugehörige Höhe y=x² konstruiert.

  • Dazu muss man Produkte von Strecken geometrisch darstellen (z. B. y=x⋅x).

  • Dieie klassische Geometrie kennt zwar Konstruktionen für das Produkt zweier Längen, aber als „Routineverfahren“ für das Zeichnen der abhängigen Parabelpunkte  ist das nicht überliefert.

1.3. Warum fehlen Konstruktionen  für y=x^N mit N= 2; 3; 4; ...?

• Historisch: Der funktionale Zusammenhang y=f(x) ist eine neuzeitliche Sichtweise. In der Antike und im Mittelalter dachte man geometrisch in Ortslinien oder Proportionen, nicht in Funktionsgraphen.

• Praktisch: Die Fokus-Direktrix-Definition ist viel einfacher für Konstruktionen. Ein „x-vorgeben, ein y-berechnen“ hätte als Schema   für Handwerker und Geometer keinen Vorteil gebracht.

• Algebraisch: Erst mit der Verknüpfung von Algebra und Geometrie (Descartes) wurde der Gedanke „zu jedem x gehört ein y“ greifbar. Aber da waren analytische Methoden und Rechenverfahren schon handlicher als aufwendige Konstruktionen.

1.4. Zusammengefaßt  

Nein, in der klassischen euklidischen Geometrie gibt es keine Beispiele, wo Punkte einer Parabel explizit als „abhängige Variable y=f(x) “ konstruiert werden. Es wird die geometrische Ortsdefinition (Fokus & Direktrix) genutzt. Der Grund ist, die Idee „y als Funktion von x“ ist erst in der Neuzeit eingeführt wurden.   Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen für das „quadratische Abbilden“ von x hin zu x² sind zwar denkbar, aber als umständlich erwartet. Deshalb  wurde historisch und auch in der Neuzeit nicht dazu geforscht. 

2. Situation im Kontex der cohaerentischen Geometrie

_{2.1. Paradigmenwechsel}

Im Rahmen der Paradigmen der cohaerentischen Geometrie werden die Konstruktionen mit Zirkel und Lineal (bzw. Kreis und Gerade)  zum  Betrachungsschwerpunkt nachvollziehbarer konstruierter Realisierungen niederer  bis höherer Rechenarten.  Dabei werden nun auch bislang unbeachtete Mult-Prozesse betrachtet, zu denen auch y=x^N gehört.  

_{2.2. Niedere   bis höhere  Kurven     y=x^N  mit  0;  ...1/3, 1/2 < N < 1; 2; 3; ...∞} 

• Wie ist hier mit widersprüchlichen Sachverhalten umzugehen? 

  • In der klassischen euklidischen Geometrie und insbesondere der mofernen algebraisierten Geoemtrie gibt es kein etabliertes Konstruktionsschema, mit dem man diese Kurven „Punkt für Punkt“ mit Zirkel und Lineal erzeugen könnte. Sie werden durch die Galoistheorie aus dem 19. Jahrhundertls als unmöglich erkannt, denn Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen können nur solche Punkte erzeugen, deren Koordinaten durch wiederholtes Lösen von quadratischen Gleichungen aus rationalen Zahlen hervorgehen (d. h. sie erzeugen „
  • Im Rahmen cohaerentischer Geometrie werden nun auch mit Multi-Potenz-Prozessen betrachtet, welche die  Punktekurven zu Parabeln  der Darstellungsform  y=x^N  erzeugen und zwar   klassich nur mit Zirkel und Lineal-Aktionen  konstruiert.

3. Erweiterte Konstruktionen

• Schon die Griechen haben „Mekhanai“ (mechanische Hilfsmittel) eingeführt, wenn reine Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen nicht ausreichten (z. B. zur Dreiteilung des Winkels).

• Kurven wie die Kubische Parabel y=x³y=x3, die Kettenlinie oder die Quadratrix wurden deshalb als „mechanische Kurven“ bezeichnet – man konnte sie zeichnen, aber nicht mit Zirkel und Lineal „konstruieren“.

• In der frühen Neuzeit (Descartes, Newton, Leibniz) wurden solche Kurven dann systematisch untersucht. Sie heißen „transzendente“ oder „algebraische Kurven höherer Ordnung“.

4. Cohaerentische  Zirkel- und Lineal-Konstruktionen für y=x^N 

• Cohaerentisches Wissen zur Konstruktion von Parabelpunkten y=x^N mit N=  3; 4; 5; ...