Multi-Produkt-Grenzprozeß für höhere Parabeln

y=x^NN= 3; 4; 5; ....

Bekannte vs. cohaerentische Betrachtung

Bekanntes Wisen:

Heute wird anhand sehr vieler verschiedener Konstruktionsbildern die Konstruktion der Normalparabel y=x²erklärt und bewiesen. Die bekannten rein geometrischen Beweisführungen zur Satzaussage y=x²erfordern gegenüber einer mit arithmetisch-algefraischer Berechnung erfordern etwas Ausdauer von den Lernenden. Meist basiert die Beweisführung in Lehrbüchern und Lexika auf dem gleichen paarweisen Abstand, den alle Parabelpunkte zur Leitlinie und zum Brennpunkt (Focus) haben. Dabei spielen die Begriffe "Leitlinie" , Scheitelpunkt" und "Brennpunkt (Focus)" eine wesentliche Rolle.

Wie die Situation zur Normalparabel y=x² ist, wurde bereits bei den Grundrecharten unter Parabel betrachtet. Hier ist nur der Schwerpunkt höhere Parabeln y=x^N (mit N=1; 2; 3....) . Wie die Situation dazu aussieht, beschreibt die KI ChatGPT am 28.8.20025 auf Anfrage, wie folgt:

"Du fragst, ob es allgemein gültige, rein geometrische Konstruktionen (nur Zirkel und Lineal) für die Kurven

𝑦 = 𝑥^𝑁 , 𝑁 = 1 , 2 , 3 , … gibt"

1. Der Fall N= 1 und N= 2

𝑁 = 1 N=1: Gerade. → trivial durch Lineal.
𝑁 = 2 N=2: Parabel. → Die Parabel ist klassisch nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar im strengen Sinne (sie ist keine „klassische Konstruktion“ wie Kreis, Gerade). Aber: Man kann sie geometrisch definieren (als Menge der Punkte mit gleicher Distanz zu Brennpunkt und Leitlinie). Ihre Punkte lassen sich konstruieren, indem man Abstände überträgt. Viele antike Konstruktionen (Menaichmos, Apollonios) beruhen darauf.

2. Höhere Exponenten N>2

Kurven wie 𝑦 = 𝑥3, 𝑦 =x4 etc. sind algebraische Kurven höherer Ordnung.

Sie sind im Allgemeinen keine klassischen „konstruierbaren“ Kurven im euklidischen Sinne (Zirkel+Lineal).
Die Euklidische Geometrie erlaubt nur Quadratkonstruktionen (Wurzeln 2. Grades).
Schon das Konstruieren von Kubikwurzeln (nötig für x3 ) ist mit Zirkel und Lineal unmöglich (Stichwort: „Delische Aufgabe“ – Verdopplung des Würfels). → Das bedeutet: Man kann nicht systematisch Punkte der Kurve 𝑦 = x3 mit Zirkel+Lineal erzeugen, da dazu kubische Gleichungen aufgelöst werden müssten.

3. Was aber möglich ist

Man kann Parabeln und kubische Parabeln mechanisch konstruieren (Schiebekonstruktionen, „Neusis-Konstruktionen“, Rollbewegungen von Kreisen etc.).
Klassisch bekannt:

– Kubische Parabel 𝑦 = x^3: als Kettenlinie oder durch spezielle mechanische Geräte konstruierbar.

– Fermatsche Parabeln 𝑦 = 𝑥^𝑛 ( 𝑛 ≥ 2) wurden in der klassischen Geometrie als „Potenzkurven“ untersucht.

In der projektiven Geometrie lassen sie sich elegant einbetten: durch Verknüpfungen von „Veronese-Abbildungen“ (Abbildung ( 𝑥 , 𝑦 ) ↦ ( 𝑥^𝑛 , 𝑦^𝑛 ). Diese sind aber nicht rein Zirkel-Lineal-konstruktiv."

Cohaerentische Konstruktion von Parabelpunkten y=x^Nmit N= 3; 4; 5; ...

Zur nachfolgenden cohaerentischen Konstruktion für Parabelpunkten y=x^Ngibt es keine Vorläufer.

Solche Konstruktionen gelten seit Alters her und bis heute als unmöglich realisierbar. Dies geht auch aus obige ChatGPT-Recherche hervor. Die obige cohaerentische Grenzprozeß-Konstruktion relisiert ein Multi-Produkt. Die Potenzgröße für N ist jeweils der Starpunkt für den nächsten Wiederholzyklus mit Ergebnis einer Potenzgröße für N+1. Der Wiederholzyklus ist ein zusammenhängender Streckenzug aus zwei Strecken, einem von der Potenröße zu N waagerechten nach links gerichtetem Strecken-Objekt, das an der Senkrechten über x₀ endet und einem sich anschließenden schräg rechts nach oben gerichteten zweiten Strecken-Objekt, das beim Potenzgrößenpunkt (x/x_{0 ;}(y=x^( N+1)) endet. Dieser sich wiedeholende Streckenzug aus zwei Strecken realisiert jeweils eine weitere Multiplikation mit der unabhängigen Variablen x/x₀ und der Potenzgröße zu N. Die Wiederholungen können bis ins Endlose fortgetzt werden. Das jeweils aktuell mit der Anzahl N der Teilsequenzen erreichte Zwischenergebnnisse ist keine Näherung sondern ein exaktes Potenzgrößenergebnis für N. Diese Einsicht kann gut anhand des obigen Konstruktionsbildes nachvollzogen werden. Bei etwas Nachdenken wird anhand des Bildes auch zu der Einsicht gelangt, daß es zwischen den Potenzgrößen der ganzzahliger Exponenten N und N+1 auch zwischenliegende, gebrochene Exponenten geben muß. Dies wird aber hier nicht weiterverfolgt, sondern bei den Duallogarithmen. Gut nachvollziehbar ist am obigen Bild auch die Systemkohärenz. Wird die unabhängige Variable kontinuierlich bewegt, gerät das ganze Kohärenzsystem in abhängige kontinuierliche Bewegung, ähnlch wie bei einem mechanischen Getriebe. Heute können solche zusammenhängende Systeme gut mittels DGS im Zugmodus realisiert und nachvollzogen werden.

Multi-Grenzprozeß für das Kreisverhältnis π

Cohaerentische Rektifikation des Kreisumfangsbogen

siehe Wallis-Produkt bei Kreisverhältnis π ...

Multi-Produkt-Grenzprozesse

Multi-Produkt-Grenzprozeß für höhere Parabeln

y=xN N= 3; 4; 5; ....

Multi-Grenzprozeß für das Kreisverhältnis π

y=x^NN= 3; 4; 5; ....