Klassisch konstruierte  Duplikationen

Für Lernende führen die Potenzdarstelllungen 20 =30=40=...=1 zu einer  Verständnishürde. Diese Zuordnungen können  nicht elementar nachvollzogen werden. Genau so  dann bei  √2=20,5 = 1,4142135... und 2=21 usw.  Keine solche  Hürde gibt es beim Betrachten der Duplikate.   Als Basis-Duplikand  dB wird vorzugsweise die Recheneinheit  1 und ein Basis-Duplikator dB  zwischen d=-1, Null und d=+1 gewählt. Die Recheneinheit 1  bleibt beim Doppeln mit   d=0   unverändert beim Wert  1.  Wird der Duplikand 1  mit einem Basis-Duplikator dB=0,5 gedoppelt, ergibt sich:  1^^(0,5)=(√2 =1,4142... ). Das Zeichen "^^" steht für den Operator "Doppeln". Die Einserduplikate stimmen  mit ihren Zuordnungspaaren von  Duplikator und Duplikat mit den Zuordnungspaaren von Exponent und Potenz der Zweierpotenzen überein. , die bei der Zahlendarstellung der modernen Rechenmaschinen eine dominierende Rolle spielen.  So gilt 1^^1=21 und 1^^1,5=21,5=2,82842...  und 1^^2 =22= 4 usw.

 

 Duplikate sind wegen der Verwandtschaft zu Zweierpotenzen für Lernende interessant, denn für sie gibt  nachvollziehbare klassisch konstruierte Kohärenz-Modelle. 

 

Kohärenz-Modelle für ganzzahlige  Duplikationen  

Dasfolgende Kohärenz-Modell zur Duplikation ist für ganzvielfache  Duplikatoren gezeichnet. Da kommt sofort die Frafe auf, wie werden  die zwischenliegenden Duplikate berechnet?

 

Die Duplikate |AB|^^N wachsen/ schrumpfen  hier sprunghaft, so wie die Duplikator-Grösse  von  N zu den benachbarten N+1 und N-1  springt. Dieses Kohärenzmodell legt es nahe,  danach zu fragen, warum Duplikate bisher nur  für ganzvielfache   und nicht auch für die zwischenliegenden Duplikator-Grössen   berechnet werden? Eine gleichhohe Bedeutung  hat hier auch die Anti-Duplikation. Bei dieser wird zu einer gegebenen Duplikat-Grösse  diezugehörige  Duplikator-Grösse   berechnet.  Hat ein solches Berechnen überhaupt einen Sinn? Ja, hat es.  Durch die Verwandschaft von Einer-Duplikationen  zu  Zweierpotenzen werden fundamentale natürliche Zusammenhänge des Berechnens verständlich.  Diese werden durch  die Gleichung  1^^d=2^d beschrieben.

Wie wird zu den gezeichneten bildlichen Kohärennzsystemen gelangt?  Der erste Schritt dazu setzt voraus,  die Erwartung muss positiv sein, dass  für die  fundamentalen Urberechnungen  auch   natürlich erfahrbare Rechenzusammenhänge gefunden werden können, die mit Sequenzen zusammenhängend gezeichneter Kurvenstücke von  Kreis und Gerade zugänglich werden.  

 

 

Kohärenz-Modelle für gebrochene Duplikationen   

In der historischen und auch heutigen  Mathematik endet die Betrachtung zu Duplikationen (Doppeln und Halbieren) mit ganzzahligen positiven und negativen Duplikatoren.  Im Internet sind bislang keine Betrachtungen zu  klassisch gezeichneten Berechnungen für die Duplikation  zu finden, bei der auch mit gebrochenen und beliebigen Duplikator-Grössen gerechnet wird.  Mit den Cohaerentic Kalkulationen zur Duplikation werden nun  auch  zwischenliegende Duplikator-Grössen betrachtet. Die folgenden Beispiel bringen hier  schnell mehr Klarheit. Als  Basiszahl = Basisduplikand wählen wir vorzugsweise  die  Einheit = 1.   Für den Zusammenhang   zur Zweierpotenz  gilt

Duplikat D = 1^^(±d) = 2±d 

Das Neue bei einer gezeichneten Cohaerentic Kalkulation  "Duplikation" ist,  die Kohärenzgrundlage  ist hier keine numerische Reihen-Formel sondern ein erfundenes klassisch gezeichnetes Kohärenzsystem. Mit diesem  kann anschaulich nachvollziehbar erkannt werden, wie die   niederen  und höheren Rechenoperationen und  trigonometrischen Kohärenzen mit den  Urkurven Kreis, Gerade, Hyperbel und  Rechteck mit seiner symmetrischen Ausprägung Quadrat zusammenhängen und durch diese geprägt werden.  

Um mit  der Rechenart Duplikation vorteihaft Divisionen und Potenzen und Wurzeln berechnen zu können, muss   immer erst zu einer gegebenen Duplikat-Grösse die zugehörige Duplikator-Grösse ±d  berechnet werden, was ähnlich dem Berechnen des Exponenten zu einer gegebenen Potenz ist. Formeln zu   Rechengängen mit Zahlen sind hierzu bekannt. Diese Berechnungen sind aber nicht  sehr effizient. Hier stellt sich die Frage, kann die Grössenermittlung des Duplikators ±d auch durch  klassisch gezeichnete Cohaerentic Kalkulationen  erreicht werden? Das hier vorgezeigten gezeichnete  Kohärenzsystem zur Duplikation reicht hierzu noch nicht aus. Es fehlt eine Kohärenzkurve (Siehe Abschnitt "Kohärenz-Kurven"), die Duplikator-  und Duplikat-Grösse eindeutig miteinander verknüpft.

 

Im Buch Cohaerentic sind hierzu verschiedene Möglichkeiten aufgezeigt.

Dynamisch Kohärenz-Modelle für Duplikat und Duplikator

Variante 1:    Kohärenzkurve mit Ellipse genähert

 

 

 

Variante 2:  Kohärenzkurve mit Kreis genähert

 

 

Hier wird im nächsten bildlichen Kohärenzsystem  zur Duplikation mit einer  ausserhalb der Kreiskurve liegenden Kohärenz-Kurve (unten links) gearbeitet wird.

  

Die Punkte der dup-Kohärenz-Kurve, unten links,  entstehen als Schnittpunkte der Strahlen, die von den dup-Teilungspunkten auf der Kreiskurve ausgehen und durch die  zugegeordneten lin-Teilungspunkte gelegt sind. Die dup-Teilingspunkte sind das Ergebnis einer Unterteilungssequenz, wie sie das vorhergehende Bild mit der roten Hyperbelkurve ziegt. Die lin-Teilungspunkte werden durch fortfolgendes Halbieren erzeugt und markieren  die Grösse der jeweiligen  Duplikator-Grösse, dargestellt als  rote Strecke p2.  Wie das gezeichnete Kohärenzsystem zeigt, wächst mit der Duplikator-Grösse d von Null bis Eins die Duplikat-Grösse von 1 bis 2 und umgekehrt. Mit der Duplikatorgrösse 1/2  hat das Duplikat die Grösse 1, 4142...= 2^0,5. Hier ist diese dup-Kohärenzkurve  einer Kreiskurve sehr ähnlich und kann daher abschittsweise gut durch eine Kreiskurve ersetzt werden,  was  ein  schnelles Berechnen gegenüber anderen Kurventypen ermöglicht. Die bei einem solchen Duplikator-Rechnen geforderte  Genauigkeit entscheidet  über den zu treibenden Aufwand., sprich die erforderliche Anzahl der Punkte für die dup-Kohärenzkurve.  Der spezielle Zusammenhang  zur dup-Kohärenz-Kurve stützt sich  besonders auf  Symmetrie. Der mit dem gezeichneten dup-Kohärenzsystem dargestellte Berechnungszusammenhang ermöglicht ein exaktes Berechnen der Dupliakat-Grösse bei vorgegebener Duplikator-Grösse und umgekehr, da theoretisch endlos viele    dup-Kohärenzkurven-Punkte gezeichnet berechnet werden können.

Das nachfolgende Video unterstützt anschaulich das Verstehen  des elementar  gezeichneten dup- Kohärenzsystems zur stetigen Duplikation.

 

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