Sehnen- / Sekanten- Produkte und Quotienten im und am Kreis
Beweis zu Paaren gleichgrosser Produkte und Quotienten mittels Ähnlichkeit von Dreiecken
Ähnlichkeit der Dreiecke GDF und GBH sowie CFD und CBH
Im elementar gezeichneten Kohärenzsystem ergibt sich die paarweise Grössengleichheit der Produkte und Quotienten durch die Ähnlichkeit der Dreiecke GDF und GBH sowie der Dreiecke CFD und CBH. Daraus folgen:
Gleiche Quotienten Gleiche Produkte
CD / CB = CF / CH CD / CF = CB / CH CD * CH = CB * CF
GH / GB = BD / GF GH / BD = GB / GF GH * GF = GB * BD aa
JF/ JB = JH / JD JF / JH = JB / JD J F * JD = JH * JB
Die angesprochene Ähnlichkeit der Dreiecke beweisen der kleine Kreisbogen von Punkt F und der grosse Kreisbogen von Punkt D ausgehend, welche die Strecken HD und die Gerade durch die Punkte C und B schneiden. Durch diese Schittpunkte wird eine gestrichelte Strecke gezeichnet. Diese verläuft parallel zur Strecke HB und beweist die Ähnlichkeit der Dreiecke CBH und CFD und damit auch die Gleichheit der Winkel rot und blau in den Punkten H und D. Aus Gründen der Symmetrie beweist die zweite gestrichlte, parallel zur Strecke BH verlaufende Strecke die Ähnlichkeit der Dreiecke GBH und GDF.
Sehnensatz: Zwei Sehnen, die sich im Kreis im Schnittpunkt J schneiden, bilden mit ihren beiden Abschnitten rechts und links vom Schnittpunkt jeweils zueinander gleichgrosse Produkte, |BJ|*|HJ|=|FJ|*|DJ|.
Sekantensatz: Zwei Sekanten, die sich ausserhalb eines Kreises im Schnittpunkt C schneiden, bilden mit ihren Abschnitten zwischen Kreis und Schnittpunkt jeweils zueinander gleichgrosse Produkte, |BC|*|FC|=|DC|*|HC|.
Beweis zu Paaren gleichgrosser Produkte und Quotienten mittels flächengleicher Rechtecke
Die roten Rechtecke in beiden gezeichneten Cohaerentic Kalkulationen beweisen direkt anschaulich die gleichgrossen Produkte der Sehnen- und Sekanten-Abschnitte und damit den Sehnen- und den Sekanten-Satz. Die Einsicht zur Gleichheit ist hier dadurch gegegeben, dass die rechts und links der Symmetriegerade ( Diagonale im grossen Rechteck) angrenzenden gegenüber liegenden Flächenpaaare zueinander immer gleich gross sind. Damit sind auch die beiden rot umrandeten Flächen (Rechtecke) gleich gross, was die Aussagen des Sehnen- und des Sekanten-Satzes direkt anschaulich beweist.
