Winkel
Transformations-Kalkulationen Bogen <-> Strecke
Proportionale Transformation eines Bogen-Verhältnisses in ein gleich grosses Strecken-Verhältnis und umgekehrt
Ein gegebenes beliebig grosses Winkel-Verhältnis wird in ein gleich grosses Strecken-Verhältnis transformiert und umgekehrt.
Kohärenzideen: Symmetrie; Erhalt-Grundsatz; Doppeln/Halbieren und Konvergenz verbessern
Für ein vorteilhaftes Schritt um Schritt-Betrachten des folgenden Videos kann dieses mit dem Anklicken des Punkte der Zeitschiene gestoppt und sogar auch schrittweise vor und zurück bewegt werden. Mit einem Klick rechts neben der Zeitschiene kann das Bild vergrössert werden, was vorteilhaft für das Betrachten ist.
Kurze Erklärung zum Bild und Video:
Die Strecke AB ist Radius für zwei Kreise mit den Mittelpunkten A und B. Die beiden gleichgrossen Winkel-Verhältnisse werden jeweils duch die roten und grünen Kreisbögen anschaulich. Wird die rote Strecke mit rotem Punkt um Punkt A gedreht, ändert sich die Grösse des Winkel=Drehungen-Verhältnis und damit der Vorgabewert (Argument). Alle roten und grünen Kreisbogen werden durch ein Multi-Halbieren unterteilt und dazu immer eine Radiusstrcke gezeichnet. Die quasi simultanen Radiusstrecken von den roten und grünen Kreisbogen schneiden sich und erzeugen so eine Puktekurve, die ich eine rotorisch-lineale Kohärenzkurve nenne. Gedanklich fortgesetzt schneidet sie die Abszissen-Achse im Ergebnispunkt, der das gesuchte gleichgrosse rot-grüne Strecken-Verhältnis erzeugt. Um den Winkel-Vorgabewerte und den erzeugten Strecken-Istwerte ausmessen und miteinander vergleichen zu können, wird das Strecken-Verhältnis zwischen A und B von 100 auf 90 Grad umgerechnet. Dies erfolgt gleichfalls mit einer Cohaerentic-Kalkulation, die rechts von Punkt B gezeichnet ist. Der auf der Abszissen-Achse erzeugte Istwert= Strecken-Verhältnis wird rechts von Punkt B mit dem Faktor (9/10) multipiziert. Mit den wenigen gezeichneten Objekten wird bereits eine Genauigkeit erreicht, welches über die Anforderungen für ein mit Zirkel und Linael gezeichnetes Berechnen und Darstellen bereits deutlich hinaus gehen. Bei Bedarf nach noch höheren Genauigkeiten (mehr wahren Nachkommazahlen) kann das gezeichnete Berechnen theoretisch endlos forgesetzt werden, denn dafür ist der gezeichnete bildliche Rechenplan als Handlungsvorschrift vollständig vorhanden.
Schon das erste Bild und Video zeigt überzeugend, dass mit dem gezeichneten bildlichen Kohärenzsystem für die obige Uraufgabe mehr Informationen zu den fundamentalen Rechenoperationen und den ihnen zugrunde liegenden systematischen Kohärenzen transportiert werden, als es viele beschreibende Worte vermögen.
Die obige Transformation betrifft die folgende fundamentale Uraufgabe:
Eine rotorische Bewegung (Drehbewegung) ist in eine simultane lineale Bewegung (Geradbewegung) zu transformieren und umgekehrt.
Oder anders ausgedrückt:
Ein gegebenes beliebig grosses Winkel-Verhältnis ist in ein gleich grosses Strecken-Verhältnis zu transformieren und umgekehrt.
Diese Uraufgabe ist eine grundsätzliche mathematisch-geometrische Aufgabenstellung. In der Fachliteratur ist sie seit der Antike nicht zu finden, auch nicht im heutigen Internet. Was ist der Grund für diese Zurückhaltung, die es für entsprechenden arithmetisch-trigonometrische Berechnungen nicht gibt? Der Grund ist, die in der Einführung aufgelisteten Aufgaben A) bis D) gelten in ihrer Art als "unmöglich exakt lösbar", wenn der zu zeichnende Rechengang nur mit den Kurven Kreis und Gerade dargestellt werden darf. Die hier mit den Kurven Kreis und Gerade gezeichneten Cohaerentic- Kalkulationen zeigen, wie mit nur wenigen anschaulichen und logisch nachvollziehbaren Zeichenschritten bereits ein zweifelsfrei zutreffendes und ausreichend genaues Ergebnis erreicht wird und nicht erst nach theoretisch endlos vielen möglichen Zeichenschritten. Für die Cohaerentic- Kalkulation ist gefodert, der exakte Zusammenhang beim Berechnen muss erkennbar für alle Schritte bekannt sein. Eine zur rot-lin-Trasformation bekannt gewordene Näherungskonstruktion vom Lehrer Klee (1931) ist zwar über 90 Grad mit einem maximalem Fehler von 0,031 Grad erstaunlich genau, bleibt aber deutlich hinter der Genauigkeit unseres Ergebnisses zurück, das mit einer kleinen Zahl von Schritten berechnet ist. Das erste Video zeigt, wie für den Bereich einer Vierteldrehung die Transformation der Drehbewegung in eine lineale Bewegung stattfindet. Die gezeichneten Kohärenzsysteme sind mit nur endlich vielen Schritten dann als vollständige Berechnungspläne gezeichnet, wenn sie auch den Zusammenhang des Berechnens für endlos viele weitere Berechnungsschritte umfassen. So kann bei Bedarf nach einer noch höheren Ergebnisgenauigkeit die Berechnung so lange fortgesetzt werden, bis die angestrebte Genauigkeit erreich ist. Aus den Verlauf der Cohaerentic-Kalkulation kann ein exakter Rechengang gefolgert werden. Aus dem Verlauf bekannter genäherten Konstruktionen ist dies nicht möglich. Viele Ergebnisse aus elementaren Konstruktionen sind eine Überraschung, wie bei der π-Berechnung von Dinostratos (ca, 4Jh.v.u.Z.) und der lin<->rot-Transfomation von Klee (1931) oder auch beim regulären Fünfeck, bei dem nicht von der Zahl 5 ausgegangen wird.
Nichtproportionale Transformation ohne Erhalt der linealen und rotorischen Verhältnis-Grössen
Geradführung
