Winkelteilung /-erzeugung  als bidirektionale Transformation 

Proportionale Kopplung von Rotation und Translation bzw. eine Transformation von 

linearen Verhältnisse in /aus rotorische/n Verhältnisse/n  

 

Eine Uraufgabe des klassich konstruierten Berechnens ist die bidirektionale Transformation translatorischer Verhältnisse in/aus gleichgrosse/n rotatorische/n Verhältnisse/n. Neben begrenzt bzw beschränkt genäherten  lin<->rot-Transformationskurven sind hier auch unbegrenzt bzw, unbeschränkt  genäherte bekannt, wie die Quadratrix von Hippias (ca 5. Jh.v.u.Z.), die Spirale des Archimedes (3.Jh. v.u.Z.) und noch weitere. Die Quadratrix wurde von Hippias (ca 430 v.u.Z.)  zur Lösung der allgemeinen Winkelteilung und auch für die spezielle Winkeldreiteilung als eine eine Schnittpunkt-Kurve erdacht, die durch zwei synchrone mechanisch gekoppelte Drehbewegungen erzeugt wird. Eine Drehbewegung hat einen nahen Drehpunkt (rotatorische Bewegung) und die zweite einen endlos fernen Drehpunkt (translatorische Bewegung). Um die hundert Jahre später entdeckte Dinostratos, dass diese Kurve im Vierteklreis die Abszissenachse im besonderen Abstand zum rot-Drehpunkt = Durchmesser/Halbkreisumfang = (2/π) schneidet. Da im alten Griechenland die Quadratrix als Ergebnis zweier  dynamischen Bewegungsprozesse erdacht wurde, blieb ein klassisches Konstruieren von immer mehr exakten Kurvenpunkten unbetrachtet. Mit dem heute gelehrten „Unmöglich“ für die  Winkeldreiteilung nach Hippias geht indirekt die Einsicht einher, die erforderlichen   unbeschränkt vielen exakten Kurvenpunkte der Quadratrixen können vom Prinzip her nicht  klassisch konstruiert werden. Heute tragen  zu dieser Erwartung auch die mathematischen Beweise aus dem 19. Jahrhundert (1837 von Pierre Wantzel; und anderen) bei, welche  die Unmöglichkeit der Dreiteilung des Winkels auf algebraischer Grundlage nur mit Zirkel und strichlosem Lineal ausschliessen. Ein klassisch euklidisch konstruiertes Ausziehen einer dritten Wurzel aus 2 gibt es im berühmten Sammelwerk ELEMENTE von Euklid (ca.330 v.u.Z.) nicht.  Euklid betrachtet keine  Grenzprozesse und iterative   Vorgehensweisen  für   unbegrenzt genäherte Ergebniserzeugungen und -darstellungen.  

Die Situation ändert sich, wenn die Kurvenerzeugung weg vom ideellen hin zu realen Vorgehensweisen und Darstellungen der Kurvenpunkte verändert wird. Dadurch wird aus einem generell „Unmöglich“ ein real nachvollziehbares „Möglich“.
 
Lösungsidee 1: Fixe Transformationskurve im Kleinwinkelbereich

Mit Hilfe einer vorher  im Grenzkohärenz-Bereich klassisch konstruieren Transformationskurve Kreis , verschiebe ich die  Transformationen  Verschiebung<->Drehung   in den Kleinwinkelbereich.  Der Trick ist, die Transformation wird nicht mit den real grossen Verhältnissen von Verschiebung und Drehung und einer komplizierten Transformationskurve ausgeführt, wie es bei der Quadratrix = Trisectrix des Hippias von Elis (5.Jh.v.u.Z.) der Fall ist. Die  gegebene Rechengrösse  Drehung oder Verschiebung wird  mit  Halbierungs-Schritten immer weiter bis in den quasi linearen Grenzbereich verkleinert, in dem dann die   eigentliche  Transformation als klassich konstruierter  Umrechnungsprozess stattfindet.   Die dabei an der Transformationskurve Kreis erzeugte neue kleine Drehunggrösse oder in der anderen Transformationsrichtung die erzeugt kleine Verschiebungsgrösse wird dann mit gleich vielen Schritten wie beim vorausgegangenen Halbieren wieder in den Realbereich vergrössert. Mit nur wenigen   Halbierungen/Doppelungen werden bereits Genauigkeiten von mehreren wahren Nachkommastellen erzielt. Da es für die  Verkleinerung des Grenzkohärenzbereiches zum Kleinen hin (Zahl der Halbierungen)   theoretisch keine Grenzen gibt,  kann theoretisch mit immer mehr Halbierungen die erziebare Genauigkeit immer weiter gesteigert werden. Dies ist aber für die  Anforderungen, die  an die alltäglichen Anwendungen gestellt werden, überhaupt nicht notwendig.

Der Zusammenhang der Transformation Translation-> Rotatation ist offenbar wenig oder gar nicht abhängig  von der Position des   Punktes  K2, wenn dieser rechts von Punkt A liegt. 

Lösungsidee 2:  Bewegte Kohärenzkurve

Anschauliche  Transformation von Translation in Rotation mit bewegter Kohärenzkurve.

 

 

Winkel nach vorgegbener "Winkel-Zahl" bzw. Strecke zeichnen 

Anschauliche  Transformation von Translation in Rotation mit fixer Kohärenzkurve

 

 

 

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