Exaktes Winkeldreiteilen (WDT) mit höherer Kohärenzkurve   K r e i s 

 
Heute ist trotz der berühmten "Unmöglichbeweise zum Winkeltreiteilen" allgemein akzeptiert, daß ein exaktes Winkeldreiteilen  (WDT) exakt vollzogen werden kann, wenn Kurven des 2. Grades wie Parabel, Hyperbel und höher oder weitere Werkzeuge hinzu genommen werden. Im Internet-Lexikon   Wikipedia  ist  dazu  zu lesen:
 
„Obwohl eine klassische Konstruktion nicht möglich ist, kann die Dreiteilung eines Winkels unter Zuhilfenahme von Hilfsmaterialien, wie eines markierten Lineals, exakt vollzogen werden. Einige dieser Techniken waren bereits in der Antike bekannt./“https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels(09.07.2023). 
 
Zu den Hilfsmaterialien zählen nicht nur das Archimedes- Lineal mit Abstand-Strichen, sondern auch ein Rechtwinkelhaken und ein Tomahawk. Auch  schon gegebene  Kohärenzkurven von 2-ten Grad, wie Hyperbel, Parabel, oder höher, wie kubische Kurven, zählen dazu.  
Die Frage, ob ein   K r e i s     als   Kurve vom 2. Grad  nicht auch  eine mögliche  Kohärenzkurve für ein exaktes bildliches WDT- Kohärenzmodell (Bild) sein kann,
 
hat man sich seit der Antike offenbar nicht gestellt?  Im oben zitierten Übersicht-Beitrag im Internet-Lexikon Wikipedia  ist daher unsere WDT-Möglichkeit mit der Kreiskurve  als Kohärenzkurve nicht zu finden.  Auch nicht bei den Betrachtungen zu den  berühmtem "WDT-Unmöglich-Beweisen" aus dem 19, Jahrhundert. Der erste algebraisch-arithmetisch geführte "WDT- Unmöglich- Beweis" wurde vom  französische Mathematiker Pierre Wantzel  im Jahr 1837 geführt.  Wantzel   erkannte,   die   erwartete, zusammengesetzt zu konstruierende   Winkeldrittelgrösse kann keine mit endlich vielen Schritten fertig darstellbare  Größe (konstruierbare Zahl) sein. In der Begeisterung für diese Leistung   wird  aber dann etwas übers Ziel hinaus geschossen. So wird  heute  immer von einem   absoluten "WDT-Unmöglich" für alle  klassisch nur mit Kreis und Lineal  konstruierten Prozesse gesprochen.
Daran ändert auch ein verkürzten Beweis zum wantzelschen Beweis nichts, der von    D.Laugwitz  im Jahr 1962 für den  einfach konstruierbaren   60°-Winkel veröffentlichte wurde.  Warum Laugwitz, wie auch Wantzel, keine geometrischen Betrachtungen zu   Lösungswegen mit  einem   K r e i s    als Kohärenzkurve vom 2. Grad    führen, darüber kann nur spekuliert werden.  Im oben zitierten Wikipedia- Übersichtbeitrag  bleibt die unsere WDT-Möglichkeit  mit konstruierten Grenzprozessen und  Kohärenzkurve "Kreis" unbetrachtet. Offenbar rührt  dieses Weglassen daher, daß schon in der Antike klassisch konstruierte Genzprozesse für unmöglich gehalten wurden, weil sie den menschlichesn Sinnen nicht zugänglich seien?
 
Schrittweise Lösungsannäherung mit endlosen Prozessen 
Kubische Gleichung und Rechtwinkelhaken
Im Jahre 1932 schreibt L.Bieberbach  imJournal für die reine und angewandte Mathematik  in seinem Beitrag "Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen"   

Bekanntlich kann ... jede kubische Konstruktion auf die Dreiteilung des Winkels und auf die Vervielfachung des Würfels, d. h. die Ausziehung der dritten Wurzel zurückgeführt werden. Ich brauche also nur zu zeigen, wie diese beiden klassischen Aufgaben mittels des Rechtwinkelhakens gelöst werden können.

Bei den nichtklassichen Verfahren gibt es mit den Hinzunahmen der Hilfsmittel allerdings ein Problem, welches bisher  unbetrachtet bleibt.   Die hinzu genommenen Werkzeuge und Kurven müssen in idealer Platzierung und mit idealem Kurvenverlauf eingesetzt werden. Dies gelingt nur mit theoretischen Annahmen. In der praktischen Ausführung wird die Platzierung des "Archimedes-Lineals mit Abstand-Strichen" mit Schritten des Zurechtrückens  ausgeführt. Diese müssen immer kleiner werden,  um die  ideale Platzierung zu erreichen. Diese kann aber  vom Prinzip her nie vollständig   erreicht werden.  Die Aktion mit den  immer kleiner werdenden Rücke-Schritten ist quasi endlos fortzusetzen. Da dieser Prozess jedoch in der Realität immer abgebrochen wird, bleibt  auch hier das zu konstruierende   Ergebnis in seiner  Grössendarstellung  immer unvollständig dargestellt.  Dem  exakten Ergebnis wird nur dann unbeschränkt zugestrebt, wenn der  aktuelle Konstruktions-Plan ein exakter und kein genäherter ist.  Mit der Hinzunahme gegebener höherer Kurven und weiterer Werkzeuge werden die hier quasi immer erforderlichen endlosen Prozesse auf vorausgehende Berechnungen und Aktionen ausgelagert (verschoben).

Die Cohaerentic- Betrachtungen schließen nun auch   endlose  klassisch konstruierte Grenzprozesse ein.Die Nutzung  der    klassisch konstruierten Kohärenzkurve "K r e i s"   kommt mit der  uralten  Beschränkung auf Zirkel und Lineal  bzw. auf Kreis und Gerade aus, so daß hier die  euklidische Tradition erhalten bleibt.  

Diese neue Art der klassich konstruierten exakten WDT-Kalkulationen weisen  eine sehr starke Konvergenz auf. Damit gehen sie über die aus der Fachliteratur bekannten WDT mit Grenzprozessen hinaus, deren Kohärenzgrundlage endlose Reihe sind, mit Halbierungen als Rechenoperationen und alternierenden Vorzeichen für die Summanden. 

 

 

Diese Bild ist dem   Buch  

"N. Fialkowski,Theilung des Winkels und des Kreises , Wien Druck und Verlag von Carl Gerolds Sohn 1860" Seite 11  

entnommen.

 

Die neuen Cohaerentic-WDT-Verfahren, mit einer Kohärenzkurve  "K r e i s"  und  klassich konstruierten Grenzprozeß gehen über die WDT-Grenzprozesse von Fialkowski hinaus. Nun werden bereits mit nur 5   konstruierten Iterationen, die jeweils nur ein  Geraden- und ein  Kreis-Objekt umfassen,   bis zu 15 wahren  dezimalen   Nachkommastellen erzielt.  Weiter Steigerungen sind unbeschränkt möglich, da bis ins Endlose alle Schritte bzw. zu zeichnenden Objekte der Iterationen bekannt sind.

Die Cohaerentic-Grenzprozeß-WDT ist sehr effizient und lässt damit die nichtklassichen WDT-Verfahren mit hinzu genommenen Werkzeugen und höheren Kurven hinter sich.

 

Missverständnissen vorbeugen

Der Focus des Cohaerentic-Betrachtens ist hier auf effiziente klassich konstruierte exakte WDT-Prozesse   gerichtet.  

Die  folgenden  Bilder zeigen ein vom  Autor erfundenes, klassich konstruiertes exakte WDT-Kohärenzmodell mit einer  Kohärenzkurve "K r e i s" von 2-ten Grad  und einem charakteristischen inneliegenden Streckenzug AMBCD mit zwei parallelen Streckenpaaren. Die Lösungskonstruktion nähert sich hier mit einer Sequenz aus nur Kreis- und Gerade-Objekten schrittweise dem charakterischen Streckenzug AMBCD. Dieses Verfahren ist ein  autokonvergenter Grenzprozeß.  

Der grüne Kreisbogen ist doppel so lang wie der rote Kreisbogen. Die weiteren Bilder zeigen Beispiele zum  Streckenzug mit jeweils zwei parallelen Streckenpaaren auch für Dreiteilungswinkel größer 90°,180° und auch 360°.

  

Die Struktur des exakten WDT- "K r e i s"- Kohärenzmodells  tritt  bei den obigen Bildern mit    gleichen Paaren paralleler Strecken hervor, mit MA parallel BC und MB parallel CD. Das  betrachteten WDT-Kohärenzsystem ist auch  Teil eines "Kreuzschleifen-Systems", bei dem  die gestrichelten Strecken der Größe = 2*/MA/ in den vier Quadranten an den Koordinatenachsen gleiten.  Dabei zeichen die Streckenmittelpunkte B  bzw. auch  C  als Spur die Kreiskurve um Mittelpunkt M.

     

Die spezielle Kreuzschleifen-Kohärenz wird für die  Aktion des schrittweisen autokonvergenten Annäherns der Lösungskonstruktion an die des  WDT-Kohärenzmodells genutzt. Dazu wird die Strecke der Größe = 2*/MA/  im Punkt D schrittweise gedreht, bis sich der konstruierte Lösungsstreckenzug mit dem WDT-Kohärenzmodell-Streckenzug  /AM/ parallel /BC/ und /MB/ parallel /CD/ deckt. Die jeweils aktuelle Schrittgöße der Drehungsnäherung ist für jeden beliebigen Drehungsstartpunkt duch den autokonvergenten Prozeß automarisch bestimmt.

Beschreibung der WDT-Aufgabe:

Gegeben sind die karthesischen Koordinatenachsen X und Y und zwei sich im Punkt M schneidende Strecken MA und MD, welche den zu drittelnden Winkel einschließen. 

Die gesuchte WDT-Lösungskonstruktion   strebt dem exakten WDT-Kohärenzmodell mit einer  Kohärenzkurve 
"K r e i s" und einem inneliegenden Streckenzug AMBCD zu, der aus zwei Paaren paralleler Strecken besteht. Es gibt hier  zwei Möglichkeiten, rot und schwarz,  für die  Strahldrehung um  Punkt D, um dem  roten und schwarzen Grenzpunkten C und E schrittweise zuzustreben..  Einmal  wird sich  mit den roten Kreisbogenradien der Größe /MA/  den roten Grenzpunkt C auf dem Kreis um Punkt M genähert. Das andere MAl wird sich  mit den schwarzen Kreisbogenradien der Größe 2*/MA/ den schwarzen Grenzpunkt E aud der Y-Achse genähert.
 

Vor dem nullten Grenzprozeß-Iterationszyklus  werden die Startpunkte C1, rot und E1,schwarz erzeugt, welche von Punkt F1 den Abstand des Radius MA und des doppelten Radius 2*MA haben. Der erste Iterationszyklus erzeugt mit Kreisbögen rot und schwarz um  den Mittelpunkt F1 die  Punkte C02. rot auf den Grundkreis und E02.schwarz  auf der Y-Achse. Der zweite Iterationszyklus erzeugt  mit Kreisbögen rot und schwarz um den Mittelpunkt F2 je einen weiteren  genäherten roten Punkt auf dem Grundkreis und einen weiteren genäherten schwarzen Punkt auf der Y-Achse. Nach diesem Schema kann die Iteration unbeschränkt bis ins Endlose fortgesetzt werden. Die Radien der roten und schwarzen Kreisbögen bleiben zum jeweils nächsten Zyklus immer erhalten.  Das Bild zeigt deutlich, die schwarze Annäherung ist   immer deutlich näher dem Grenzpunkt E  als der Achsschnittpunkt der  roten Annäherung. Das Annähern kann von jedem beliebigen Startpunkt Fi aus beginnen. Die Größe der aktuellen Drehungsschritte ergeben sich infolge der WDT-Kohärenmodell-Eigenschaft "autokonvergent" automatisch. Sie werden automatisch immer kleiner bis ins endlos Kleine. 

Sehr gute Effizienz des schwarzen Grenzprozesses: 
Nach 5 Iterationszyklen mit 5 gezeichneten Strahl-Objekten von D ausgehend und 5 Kreisbögen mit Radiusgröße  2*/MA/ wird eine  Ergebnisdarstellung mit 15 wahren Nachkommastellen erzielt. 
 
Autokonvergenz 
Die bisherigen Bilder zeigen eine effiziente Möglichkeit, wie für unser obiges WDT-Kohärenzmodell  eine angestrebte  Autokonvergenz erzeugt wird.
Eine weitere  Möglichkeit für  eine andere Erzeugung der   Autokonvergenz zeigt das folgende Bild.
 

 

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