Einführung in geometrisches Berechnen

 

Klassisch konstruierte Grenzprozeß-Folgen

Das  folgende  Bild zeigt eine  klassisch Konstruktion zum Dritteln eines Objektes Rechteck bzw. einer Strecke, die von den heute hierzu gelehrten Vorgehen mit dem Strahlensatz abweicht. 

Es wird einmal eine elementar konstruierte  Dreiteilungsberechnung und zugleich auch ein konstruiertes Berechnen mit einem endlosen Grenzprozeß gezeigt, der dem Ergebnis als Grenzrechteck bzw. Grenzpunkt zustrebt.  Mit einem hierzu analogen Prozeßvorgehen   gelingt auch für einen  Kreisbogen bzw. Winkel ein klassisch konstruierter  Drittelungsprozeß, sofern  der   Radius viel größer als die Bogenlänge ist. 

_{Geometrische Konstruktion als  Berechnungsplan:} 

Die real ausgeführte Konstruktion zum exakten Grenzprozesse ist zugleich Kostruktionsplan und beschreibt alle Schritteaktionen vollständig bis ins Endlose, was erst durch die Nutzung von sich wiederholenden Schrittezyklen möglich wird. Ein  immer vollständiger ausgeführtem  Grenzprozeß vervollständigt das konstruierte Kohärenzmodell und erhöhrt mit weiteren Zeilen nach unten  die Genauigkeit der abhängigen Darstellung des Ergebnisses Drittel immer weiter.   Dieses Fortsetzen  ist,  zumindest theoretisch endlos möglich.  

Von Alters her gibt es zu den  konstruierten Grenzprozessen   Irritationen und Denkblockaden. Sie resultieren aus   unterschiedliche Sichtweisen zur  Erzeugung und  Darstellung des Ergebnisses.   Schon sehr früh gab es im alten Griechenland  erste  Lösungsversuche  für die  klassisch zu konstruierenden drei Aufgaben, dem Winkeldreiteilen, der flächengleichen Umwandlung der Kreisfläche in eine Quadratfläche (Quadratur) und dem Doppeln des Würfelinhalts. Besonders zu nennen sind hier  Antiphon und Bryson (5Jh.v.u.Z.), sowie Hippias von Elis und Dinostratos (5/4.Jh.v.u.Z.).   Diesen alten Griechen war offenbar vom Grundsätzlichen her klar, dass  bei der Kreisquadratur die gesuchte  gleichgrosse Quadratfläche aus den zerkleinerten Kreissegmenten zusammengetzt werden muss.  Bei realer Ausführung wird die   Multi-Teilung und nachfolgende  Multi-Summation  immer vorzeitig   abgebrochen. Trotz des exakten Lösungsvorgehens  führt der  nur unvollständig ausgeführte Lösungsprozess zu einer nur unvollstängigen Grössen-Darstellung der neu zusammengesetzten Quaratfläche. Anders als bei bekannten beschränkten Näherungen, wie der oft zitierte Näherung für das Kreisverhältnis π von Kochanski (1684). Bei einer   unbeschränkten Näherung kann mit immer mehr ausgeführten Schritten des exakten Grenzprozesses, die alle in einem    Konstruktionsplan vorgeben sind, zu   immer vollständigeren   Ergebnisdarstellungen gelangt werden, der  ohne Ende fortgesetzt werden kann. 

Der berühmte Geometer Euklid (ca 330 v.u.Z.) knüpft in seinem  richtungsweisendes  Grundlagenwerk ELEMENTE   nicht an das seit Antiphon (5.Jh.v.u.Z.) bekannte Wissen zu  Zusammenhängen des Berechnens der Kreisfläche an. Euklid betrachtet nur statische Zusammenhangsysteme, wie die  Konstruktion eines Mittelpunktes oder eines Rechtecks usw.  Seine klassich konstruierten exakten Ergebnisse sind nach endlich vielen zusammenhängend gezeichneten  Kreis  und Gerade- Objekten endgültig fertiggestellt. Euklid betrachtet keine konstruierten Grenzprozesse und so bleiben solche  in der Geometrie bis heute weitgehend unbetrachtet.  Für Euklid  waren nur mit endlich vielen Schritten  konstruierte   Sequenzen zusammenhängender  Kreis-  und Gerade-Objekte  exakte Berechnungen. Das eEuklidische Vorgehen setzt sich bis heute fort. Mit den ELEMENTEN   begründet Euklid eine   bis heute anhaltende Denkblockade zu  klassisch konstruierten Grenzprozessen. Im historischen Entwicklungszeitraum  verlief die Entwicklung  zu Grenzprozessen nur im Zusammenhang mit Zahlen _{(unendliche Reihen / Multisummen und unendliche Multiprodukte)}.  und beginnt   beginnt  in der Neuzeit   mit Vieta (1550-1603), der für das Kreisverhältnis π einen endlosen Berechnungsprozess als unendliches Produkt  angab:

Klassisch konstruierte  exakte Grenzprozesse  bleiben  so bis heute  weitgehend unbetrachtet und ungenutzt. Weil es  für diesen bremsenden Sachverhalt keine überzeugende Begründung gibt, werden wir im  Rahmen der Cohaerentic-Kalkulationen  nun auch  klassisch konstruierte  exakte Grenzprozesse, die einem exakten Grenzwert / Grenzzustand zustreben, betrachten und nutzen.

Was soll mit Urberechnugen erreicht werden?

Durch das methodische Erweitern  des Berechnens um klassisch  konstruierte  Grenzprozeß-Folgen, die als Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten konstruiert werden, wird  das Phänomen des "elementaren Berechnens" der Raumkohärenzen  verständlicher. 

Maßnahmen zur Verbesserung der Effizienz konstruierter Grenzprozesse

Bei den Cohaerentic- Berechnungen werden die klassischen Konstruktionen zum Berechnen nicht  nur als eine mit endlich vielen Schritten konstruierbare Strecke bzw. Zahl erwartet, sondern nun auch als konvergente endlose Folge konstruierter Punkte, die einem  Grenzpunkt zustreben. Dieser fällt  mit dem erwarteten Ergebnispunkt der elementaren Berechnung zusammen. Das folgendes Bild zeigt eine solche Grenzprozeß-Konstruktion für ein  Abrollen des Halbkreises. Mit einem durch die letzten drei Folgepunkte  konstruierte  Fortsetzungskurve  wird  der Lösungsprozeß verkürzt. Dieser Kreisbogen verläuft hier von der rechten unteren Bildecke zur linken oberen Bildecke.

Mit dem sehr kontinuierlichen kreisähnlichem Verlauf der Punktekurve  ist   es nahegegelgt,  die  Punktefoge  dieses konstruierten Grenzprozesses  mit  einer  Fortsetzungskurve  "Kreis" weiter zu führen und damit den Prozeßablauf  zu verkürzen. Diese Fortsetzungskurve  wird   als  Kreiskurve durch die letzten  drei konstruierten Folgepunkte   konstruiert.   Auf diese Weise  sind schon mit wenigen zusätzlichen Schritten, gemessen an den endlos vielen möglichen Schritten, stark reduzierte   Ergebnisabweichungen erreicht,  wie es das obige Bild zeigt. Es ist der kontinuierliche natürliche Raumzusammenhang der die Verkürzung des Grenzprozesses ermöglicht. Mit dem Erhöhen der Eckenanzahl des Vielecks wird  die Kreisfläche  bzw,   die Kreisumfanglänge immer vollständiger  berechnet.  Hier wird hier mit den Abrollprozessen des regulärem 4-Eck, des 6-Ecks und des 8-Ecks  zur Fortsetzungskurve  "Kreis" gelangt. Es überrascht, wie umfassend  der natürliche  kontinuierliche Raumzusammenhang bereits  mit dieser geringen Eckenanzahl  zutage tritt und eine Aussicht für  höhere  reguläre  Eckenanzahlen bietet.   Ein endloses Fortsetzen des Konstruierens (Berechnens) kann hier schnell zur sinnlosen Aktion werden. Die dann  erreichte    Darstellung der höhere Ergebnisgenauigkeit  ist nicht mehr sinnvoll verwertbar.  

Unterschiede  zwischen einer    beschränkten und einer unbeschränkten klassischen Konstruktion 

Die Unterschiede  zwischen einer beschränkten    e u k l i d i s c h e n   Konstruktion  und einer darüber hinaus gehenden unbeschränkten klassischen Konstruktion   wird anhand  des  folgenden  Bildes   erklärt. 

Ohne das  im ersten Quadranten eingezeichnete Stück der Hyperbelkurve ist das Bild eine klassisch euklidische Konstruktion.   Die   Lösungsweg-Beschränkung  auf endlich viele   zusammenhängende   Kreis- und Gerade-Objekte und das Weglassen elementar konstruierter Grenzprozesse mit endlos erzeugbarer Punkte-Folge  ist hier voll erfüllt.  Diese Beschränkung wurde  im antiken Griechenland  neben der Beschränkung auf Kreis- und Gerad-Objekte praktiziert,  ohne daß dieser Sachverhalt  besonders hervor gehoben wurde. Mit der eingezeichneten Hyperbelkurve ist mein vorgezeigtes  Bild eine erweiterte klassische   Konstruktion. Mein bildliches Kohärenzsystem "Rechteck-Kreis" ist Erzeugungsplan (Algorithmus) für das    klassische Konstruieren beliebig vieler Punkte der Hyperbelkurve. Eine durchgezogene Hyperbel-Spurkurve entsteht so aber nicht. Sie ist quasi erst das gedankliche Ergebnis nach endlos vielen konstruierten Hyperbelpunkten, die dann endlos dicht benachbart sind und damit dann den Grenzzustand " zusammenhängende Punktefolge = Spurkurve"  erreichen.   

Das  gezeigte  bildliche Kohärenzsystem lässt  systematische  Zusammenhänge zwischen Hyperbelkurve  und Rechteck erkennen. Das gelbe Rechteck mit konstanter Flächengrösse  hängt  hier durch seine  verschiedenen Gestaltausprägungen  systematisch  mit  Kurvenpunkten der Hyperbel und des Kreises zusammen. Beide Kurven sind somit miteinander verwandte  Kurven. Jedem Punkt einer Kurven ist hier jeweils eindeutig ein Punkt der anderen Kurve zugeordnet und umgekehrt.  Dieser gezeichnete Kohärenz-Sachverhalt wird  in der Abstraktion mit den bekannten grundsätzlichen Rechenoperationen von Multiplikation/Division beschrieben. Unter den Überschriften "Duplikaten" und "Binärlogarithmen" wird später ein noch effizienteres, umfassenderes  Beschreiben der systematischen Zusammenhänge des Erfahrungsraums aufgezeigt.  

Insgesamt wird mit den gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen der Frage nachgegangen, ob   letztlich   so alle     klassich konstruierten Rechenzusammehängen der  Rechenoperationen erklärt werden können?  Schon die Kurven von Kreis und Gerade (Bescränkung auf Zirkel und Lineal ),  die wir   Urkurvennennen,  modellieren bildhaft fundamentale Raum- und Rechenzusammenhänge.  Da die höheren Rechenzusammenhänge  allein auf die niederen aufbauen, können auch die Punkte der höheren Kurven mit gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen exakt konstruiert und darstellt werden. Weitere   hier    interessierende höhere  Kurven sind  quadratische und kubische Parabeln,  Hyperbel- und  Potenzkurven,  sowie  auch weitere krumme Kohärenzkurven, die spezielle Zusammenhänge modellieren. 

Heutiger Wissenstand zu elementaren Konstruktionen

Schon  die einfach verständlichen drei klassischen Aufgaben der Antike, Winkeldreiteilung, Kreisflächenberechnung (Quadratur des Kreises) und Würfeldoppelung, sind unlösbar. Das erwartete Ergebnis kann unmöglich vollständig  konstruiert werden.  Die Aussage,  warum es unmöglich ist, stützen sich auf  im 19. Jahrhundert geführte  berühmter mathematischer Beweise.  Für die  Winkeldreiteilung und die Würfeldoppelung stehe keine elementar konstruiert berechnetes Ausziehen einer dritten Wurzel zur Verfügung. Für die   Kreisfläche  fehle   es an einem elementar konstruiertem exakten Berechnen des Kreisverhältnisses π = Kreisumfang /Durchmesser.  Diebeim Beweis zur π-Transzendenz von Lindemann zugrunde gelegte  Eulersche  Identität e^iπ+1=0  könne in keinen klassisch konstruierten  Rechenzusammenhang übergeführt werden.  Immer wieder, auch bei Wikipedia,  kann man lesen, für diese klassischen Aufgaben gebe es durchaus einfache exakte Lösungen, wenn die folgenden euklidischen  Beschränkungen für den Lösungsweg, auch geometrische Prinzipien genannt, nicht erfüllt, nicht eingehalten werden:

a) - keine weiteren Werkzeuge und Hilfsmittel neben  Zirkel und Lineal   

b) - keine schon gezeichneten Kurven verwenden, die über Kreis und Gerade hinaus gehen.

c) - konstruierte Grenzprozesse   bleiben unbetrachtet,  da sie nicht  erwartet werden. 

Nachvollziehbare  ernsthafte Erklärungen, warum diese Beschränkungen  eingehalten werden sollen, sind nicht überliefert.  Führen die Beschränkungen zu Vorteilen oder nur zum  Wohlgefallen der Götter?  Als Motivation bleibt noch der sportliche Aspekt, wie beim Errichten von Hürden, was  eine  Laufstrecke  schwieriger und damit interessanter  macht.  In der Fachliteratur und heute auch bei Wikipedia im Internet  sind Beispiele für exakte Lösungsberechnungen zu finden, bei denen die Beschränkungen  a) und  b) nicht eingehalten werden.  Dabei wird mit den Werkzeugen  Archimedes-Lineal mit Strich,   Bieberbach-Rechwinkelhaken, Tomahawk  usw. gearbeitet. Ein bislang unbetrachtetes Problem ist, diese hinzu genommenen weiteren Werkzeuge, Kurven und Hilfsmittel   sind in idealer räumlicher Anordnung zu nutzten. Sie müssen mit immer kleineren,  letztlich endlos kleinen und damit endlos vielen Schritten erzeugt und letztlich zurecht gerückt werden. Dies hat zur Folge,  wenn  solche zusätzliche Hilfsmittel genutzt werden, wird die mit Beschränkung c)   verbundene "Endlichkeitsforderung" niemals  vollständig erfüllt.   

Für die Beschränkungen  a) bis   c)  ist lange Zeit  kein  exaktes Lösungsberechnen  gesucht und  gefunden worden. Hinderungsgrund war  wohl auch die Vorstellung, daß niemand hat die  Zeit hat, endlos viele Schritte auszuführen.   

Historisches zu Grenzprozesse der Kreisberechnung

Antiphon (5. Jh. v.u.Z.)

Der Ursprung des Gedankens zu Grenzprozessen   findet sich bei Antiphon (5. Jh.v.u.Z.). Mit immer kleineren Dreieckflächen will er den Kreis immer vollständiger ausfüllen. Mit unseren heute gebräuchlichen Begriffen gilt: Wächst die Zahl der kleinen Dreiecke ins Endlose, dann wächst deren Multi-Summe gegen den Grenzwert der Kreisfläche. Über eine von Antiphon durchgeführte praktische Ausführung seiner Berechnungsidee ist nichts überliefert. Später wird sein fundamentaler Lösungsansatz immer wieder aufgegriffen und weiterentwickelt. Dies findetr statt, obwohl dem Antiphon mangelndes Wissen und auch Trugschlüsse zu seinem fundamentalem Berechnungsvorschlag  unterstellt wurden und werden. Bryson hat dem Innen-Vieleck seines Zeitgenossen Antiphon das Aussen-Vieleck hinzugefügt, wodurch die wahre Kreisfläche zwischen beiden Vielecken eingeschlossen war.  

Archimedes (285-212 v.u.Z.)

Archimedes ist der Erste, der auf der Grundlage der Ideen von Antiphon und Bryson eine praktische Berechnung mit einem regulären einbeschriebenem und umbeschriebenem 96-Eck ausführt. Er weiss, wie auch Antiphon und Bryson, es muss theoretisch eigentlich bis zu endlos vielen Ecken  forgesetzt gerechnet werden. Dies ist in der Realität nicht möglich, so daß immer nur ein Zwischenergebnis und eine unvollständig Ergebnis-Darstellung, beispielsweise mit nur 5 wahren Nachkommastellen, zustande kommt. Ohne Nutzung der Zahlen wird hier zu keinem Ergebnis gelangt. Das Archimedes-Ergebnis ist somit keine klassich konstruierte Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten. 

Fontana (ca 1784)

Fontana, ein italienischer Mathematiker, veröffentlichte im Jahr 1784 (gefunden im Buch: Theodor Vahlen  "Konstruktionen und Approximationen" Verlag B.G.Teiner 1911, S. 314) als erster ein mit Kreis und Gerade konstruierte  unbeschränkte Näherung  für das exakte  Berechnen der Kreisbogenlänge durch einen  Grenzprozess. Er verletzt die  Beschränkung c), schenkt dieser keine Bedeutung und Beachtung. Sein konstruiertes Berechnen gerät aber schnell in Vergessenheit, da es eine schwache Konvergenz aufweist und  von der Fachwelt   als   nur  genäherter Berechnungsprozess  angesehen wird.   

_{Historisches zu Grenzprozessen des  Winkeldrittelns}

Archimedes (285-212 v.u.Z.)

Archimedes ist auch der Erste, der auf der Grundlage der Ideen von Hippias von Elis (5.Jh. v.u.Z.)  eine praktische Berechnung des Winkeldrittels angeht. Anhand eines Lineals mit einer Abstansmarkierung erklärt er, bei welcher Konstellation des Linealanlegens das Winkeldrittel erreicht ist. Bei abstrakter Betrachtung dieses Vorgehens läuft es immer auf eine  herbeiprobierte  Lösung hinaus. Wird  die erreichte Anlegesituation  immer so lange "gezoomt", bis   eine noch vorhanden Abweichung erkannt wird, muss auch immer noch  ein Nachrücken des Masslineals erfolgen.  Dieses Vorgehen hat vom Prinzip her kein Ende. Archimedes weiss sehr wohl, dass er einen quasi endlos fortzusetzenden  Prozess des Berechnens vorzeitig abbricht.

Descartes (1596-1650))

Descartes () hat seinem berühmten Werk von 1637 " la Geometrie" auch einen Beitrag zum exakten Dreiteilungsprozeß des Winkels mit Hilfe einer Kohärenzkurve quadratische Parabel veröffentlich, samt einer geometrischen Konstruktion, die das folgende Bild zeigt,   

Aus den linken Teilbild mit der Parabel ist nur anschaulich zu erkennen, daß ein Kreis eine Parabel vier mal schneidet. Beim rechten Teilbild sind ein zu dreiteilender Winkel  ∠PON  und die gesuchten Drittelwinkel ∠POT,  ∠TOQ  und  ∠QON  zu  erkennen. Leider findet sich keiner der Punkte vom rechten Teilbild im linken Teilbild wieder und umumgekehrt, was dem Verständnis nicht gerade zuträglich ist. Aus dem linken Teilbild ist ein Bezug zur Dreiteilung leider nicht direkt zu erkennen. Die   durch Descartes etwas unglücklich gewählte Darstellung des konstruierten Lösungsprozesses hat dazu beigetragen, daß sein erdachter Lösungsprozeß etwas in Vergessenheit geraten ist. Im Internet-Lexikon Wikipedia sind viele Lösungsversuche zur Wnkeldreiteilung gesammelt und besprochen. Die Existenz des  exakten Lösungsprozesses von  Descartes ist dabei nur beiläufig kurz erwähnt. Das   obige Bild von Descartes dazu  ist ganz weggelassen und bleibt somit unbetrachtet und unerklärt. Hier ist die Bedeutung dieses exakten Lösungsprozesses gegenüber den anderen ausführlicher abgehandelten Lösungsprozessen mit höherer Kohärenzkurve, wie der Hyperbel, nicht erkannt. Ein ausführlicheres  Betrachten der systematischen Winkel-Dreier-Kohärenz im Kreis werden wir   später im Kapitel  "Enträtseltes Winkeldreiteilen"  noch darlegen.  

Fialkowski(1818-1902)

Nicolaus Fialkowski, ein österreichischer Mathematiker, hat in seinem Buch, Nikolaus Fialkowski, "Theilung des Winkels und des Kreises", Wien Verlag Gerolds Sohn 1860, S. 11; 12   als erster eine  exakte Winkeldreiteilung durch gezeichnete fortgesetzte Halbierungen veröffentlicht.

Damit  die Folge der Aktionsschritte "Halbieren"   besser nachverfolgt werden kann, ergänze ich die  Zeichnung von Fialkowski   mit  einem Hilfsstreckenzug mit angebrachten laufenden Nummern, welche die aktuellle Zahl der Halbierungen benennen.

Fialkowski  selbst nennt sein gezeichnetes  exaktes Berechnen der  Winkeldreiteilung eine Näherung und genügt damit der quasi amtlichen Mathematik, die bei endlosen exakten Berechnungen (konstruierten Grenzprozessen) wegen der nicht ausgeführten endlos vielen Schritte von Näherungen spricht. Andererseits hat Fialkowski aber erkannt, dass sein Winkelteilen doch ein gezeichnetes exaktes unbeschränktes Berechnen ist. Er schreibt hierzu:

"Mann kann durch fortgetztes Halbiren  der Trisection des Winkels so nah, wie man will, kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als jede angebbare Grösse wird".

Fialkowski legt sogar  selbst   ein schnelles Vergessen seiner  erfundenen exakten Winkeldreilung nahe, denn er schreibt:

"Allein diese Construktion hat für das praktische Zeichnen gar keinen Werth; erstens weil man die nach und nach kleiner und kleiner entstehenden Winkel geometrisch nicht so leicht nach dieser Art halbiren kann, aus welchen Gründen  diese Methode beim praktischen Zeichnen nicht anwendbar ist."

Fialkowski weist hier auf eine schwache Konvergenz hin, bei der  eine brauchbare vom wahren Ergebnis nicht mehr weit entfernte Zwischenergebnis-Darstellung, erst nach sehr vielen Prozeßschritten errreicht wird. Hier stellt sich die Frage, wie wird von einer schwachen zu einer starken Konvergenz gelangt, um die Anzahl der Schritt zu vermindern?

Mit den   klassich konstruierten  Cohaerentic-Kalkulationen wird das Ziel verfolgt,  die drei klassischen Uraufgaben und auch weitere mit elementaren Konstruktionsprozessen  exakt zu berechnen . Es wird dem Ziel  nach einer endlichen Konstruktionsprozedur, die ohne Probieren auskommt,  nahe gekommen.   So wird  schon nach  wenigen, gemessen an den endlos viel möglichen Schritten, zu sehr genauen Ergebnisdarstellungen gelangt. Theoretisch kann mit anwachsendem Konstruktionsaufwand die Ergebnisdarstellung immer  genauer ausgeführt  werden.  Dabei wird schon sehr bald  das Ausführen weiterer Schritte   zur sinnlosen Aktion, da die damit erreichte hohe Genauigkeit nicht mehr darstellbar ist und auch nicht mehr gebraucht wird.      

Paradoxe Situation bei fundamentalen Uraufgaben:

Bekannte  fundamentale Uraufgaben sind das Finden  klassisch konstruierter exakter Berechungsprozesse für die drei klassischen Aufgaben der Antike,  die Dreiteiung des Winkels, die flächengleiche Umwandlung der Kreisfläche in ein Quadrat und das Verdoppeln des Würfelvolumens.  

Eine sehr fundamentale Aufgabe des konstruierten Berechnens ist auch: 

"Ein gezeichnetes beliebig gegebenes Drehungen-Verhältnis in ein gleichgrosses Strecken-Verhältnis   überzuführen  und umgekehrt." 

Wo finden wir die dazu passende Situation in der Praxis zu dieser Uraufgabe? Da haben wir die Größe des  Abrollweges eines Rades, wenn sich diese  dreht. Ähnlich ist es mit  der Größe der Seillänge, die  von einer  drehenden  Seiltrommel  abgerollt.

Eine paradoxe Situation ist auch, daß es für keine beliebig gegebenen Ausdehnungsgröße  eine exakt abbildende Kommazahl mit nur endlich vielen Nachkommastellen gibt. Dazu ist die Problematik Kreisverhältnis π ein Beispiel dafür. Das  Ausmessen des Kreisunfangs und das  arithmetische oder konstruierte  Berechnen des Kreisverhältnisses münden in endlosen Grenzprozessen. Diese produzieren  in der Praxis die Kommazahlen mit endlich vielen  wahren   Nachkommastellen, deren Umfang mit mehr Aufwand immer weiter erhöht werden kann, zumindest theoretisch.  

Arithmetik

Die Arithmetik ist die "Rechenkunst" mit Zahlen als Rechengrössen.  Die Algebra ist die "Rechenkunst"  mit Buchstaben als Platzhalter  in Gleichungen, wie  beispielsweise bei  3x+7=2   oder c²=a²+b² beim Satz des Pythagoras.   Für Cohaerentic-Kalkulationen schauen wir als Wissensquelle nicht auf Arithmetik und Algebra, sondern  auf  die elementare Geometrie. Dabei wird zur  Systematik im Erfahrungsraum geforscht. Es interessiert, wie  räumlich ausgedehnte  Objekte miteinander zusammenhängen, beispielsweise die Kreisflächengrösse mit der Kreisradiusgrösse.  Dargestellt wird das gesammelte Wissen dann  in  abstrakten Sätzen zu bildlichen Kohärenzmodellen wie im Satz des Thales, im Satz des Pythagoras,  im Höhen- und Kathetensatz des Euklid usw.  Im 15.Jahrhundert  mündet dies Betrachten  in abstrakteren  symbolischen Darstellungsformen, insbesondere in Kegelschnitt-Gleichungen. Das Wissensgebiet dazu wird heute  mit  "Analytische  Geometrie" bezeichnet.  Die  direkte anschauliche Erfahrung  wird seitdem  immer weniger in Anspruch genommen. Anders wird nun bei den klassisch konstruierten  Cohaerentic-Kalkulationen vorgegangen. Es findet eine  Rückbesinnung auf die Wissensquelle  Erfahrungsraum statt.

Der Bergriff Cohaerentic ist ein  erfundenes Kunstwort, das Bezug auf das lateinische "cohaerentia = Zusammehang" nimmt. Wir bezeichnen  damit  ein Wissensgebiet zum klassich konstruierten  "Kalkulieren" mit natürlichen Rechengrössen. Diese werden mit  zusammenhängenden Kurvenstücken  von Kreis und Gerade (Beschränkung auf Zirkel und Lineal) gezeichnet. Hierbei sprechen wir von einem Urberechnen, dessen Grundlagen die Wissensquellen         klassisch konstruierte Kohärenzsysteme sind.   Die Kenntnis von Arithmetik und Algebra  sind dabei  nicht notwendig.

Unterschied von euklidischer Konstruktion und klassisch konstruierten Berechnungen  

Unterschied a)     

Klassich konstruierte Berechnungen  und  elementare  Konstruktionen    werden  beide mit den Urkurven Kreis und Gerade gezeichnet. Bei elementaren Konstruktionen sind nur endlich viele Schritte bzw. gezeichnete Objekte bzw. Grundrechenoperationen zugelassen. Hingegen sind bei konstruierten Berechnungen   auch   Berechnungsprozesse für Grenzwerte mit  Zyklen-Wiederholungen zugelassen, was theoretisch  endlos fortsetztbar ist.   Auf diese Weise kann jede gewünschte Ergebnis-Genauigkeit herbei konstruiert  werden.

Historischer Abriss:    

Schon sehr früh bringt  der griechische Sophist  Antiphon (5.Jh.v.u.Z.) das Problem des Berechnens mit endlos vielen Berechnungsschritten  ins Spiel, um für die Kreisfläche zu einer reproduzierbar berechneten  Grenzwert-Darstellung zu gelangen. Er schlug vor, die Kreisfläche mit  immer mehr kleinen Dreiecken immer vollständiger auszufüllen, was einer Kreisannäherung mit einem regulären Vieleck mit immer mehr Ecken gleichkommt.  Theoretisch kann hier die Eckenanzahl ohne Ende erhöht werden. Diese Idee  stösst aber bis heute  auf ablehnende Interpretationen.  Antiphon erliege dem  Trugschlüss,  seine    vorgeschlagene  Vorgehensweise  führe für das reguläre Endlos-Vieleck zur wahren Grösse der Kreisfläche. Tatsächlich werde aber nie zur exakten Kreisflächengrösse gelangt.

Seitdem wird für  elementare  Konstruktionen  die wohl esoterisch und religiös motivierte  Erwartung  vererbt, dass gezeichnete Berechnungsprozesse  nur dann exakte  Berechnungen sind, wenn sie  mit endlich vielen  Schritten   eine diskrete,   endgültige  Ergebnisdarstellung erzeugen. 

Da heute die einst  esoterisch und religös motivierten Ausschlussgründe für endlos fortsetzbare Berechnungsprozesse nicht mehr überzeugen, lassen wir sie   sie   bei den elementar gezeichneten Cohaerentic - Kalkulationen weg. Nun sind auch theoretisch endlose Prozesse zugelassen,  was neue  Quellen für wichtiges   Wissen zum Berechnen zugänglich macht. 

Unterschied b)    

Bei Cohaerentic-Kalkulationen soll zusätzlich für den gesamten Rechengang das Kriterium für ein anschaulich sinnfällig nachvollziehbares  Zutreffen  erfüllt sein. Dafür muss aus den gezeichneten bildlichen  Sequenzen der zusammenhängend gezeichneten Kreis- und Gerade-Objekte das erwartete Ergebnis immer zweifelsfrei nachvollziehbar gefolgert werden können. Zweifel am exakten Zutreffen des Ergebnisses werden so ausgeschlossen. Dieses Kriterium  wurde  im historischen Zeitraum nicht und wird auch heute nicht betrachtet. So kommt es, dass die   Ergebnisse einer elementaren Konstruktion  oft überraschen, wie bei einem Zaubertrick. Die Frage, warum funktioniert es,  bleibt dann offen? Die von Dinostratos  (ca. 450.v.u.Z.) und Kochanski (1683) vorgezeigten   elementaren  Konstruktionen für ein gezeichnetes  genähertes Kreisverhältnis  π = Kreisumfamg /Kreisdurchmesser  sind Beispiele  für die besagte Überraschung.  Durch mehr investierten Rechenaufwand, beispielsweise   beim Ausziehen von Wurzeln, werden hier die mit  elementarer  Konstruktion   erzeugten  Näherungen (Approximationen)  nicht verbessert. Sie sind beschränkte Näherungen.

Anschauliches Beispiel eines konstruierten Berechnen für die Unterschiede  a) und  b)

Die folgende elementar gezeichnete Kalkulation  betrifft den  Höhensatz des Euklid, zu dem einst Euklid von Alexandria (ca. 330 v.u.Z.)  in seinem berühmten Grundlagenwerk ELEMENTE schon im Buch II eine elementare Konstruktion und einen  zum Richtigsein geführten Beweis veröffentlichte. Die hier vorgezeigte  Cohaerentic Kalkulation  ist ein anschauliches  Beispiel  für  den Unterschied zur euklidischen  klassischen Konstruktion samt der euklidischen Beweisführung zum Richtigsein. 

 Die Cohaerentic- Kalkulation geht hier mit dem grossen Rechteck KJLC und der Symmetrie-Diagonale KL  über die von Euklid zu seiner Satzaussage gezeichnete  elementare  Konstruktion mit den Punkten E; B; C; D; G; F und H hinaus und macht damit den oben  angesprochenen  Unterschied b)  zur elementaren Konstruktion anschaulich.

Mit der hier im Bild erfahrbar gemachten  Flächengleichheit von rotem Rechteck und  rotem  Quadrat wird die Kernaussage des Höhensatzes sehr anschaulich und  ohne zusätzliche Hilfsbetrachtungen nachvollziehbar. Dabei  spielt die gestrichelte Diagonale KL als Symmetrielinie die entscheidende Rolle, um die Richtigkeit der Flächengleicheit von rotem Rechteck und rotem Quadrat   zweifelsfrei erkennen zu können. In der elementaren Konstruktion des Euklid und allen später hierzu in der Fachliteratur  veröffentlichten elementaren Konstruktionen fehlt das Rechteck KJLC mit der Symmetrie-Diagonale KL. Später wird unter der Rubrik "Uraufganen/Kreis/Kreis-Objekte/... zur Problematik  Höhensatz des Euklid  noch mehr ausgeführt werden und   auch noch zur Kreisquadratur, zur allgemeinen Kreisteilung in beliebige ganzzahlig viele Sektoren (Tortensstücke)  und zu  weiteren Urzusammenhängen.

Beispiel für ein quasi endlose Cohaerentic-Kalkulation   (Unterschied a))

Auch bei diesem Beispiel kann  aus dem vorgezeigten Rechengang  das gezeichnet berechnete Ergebnis zweifelsfrei gefolgert werden. Es ist die gestreckte Länge des Kreisumfangs. Diese  Art   des Berechnen  nennen wir ein Urberechnen zu einer fundamentalen Uraufgabe. Konkret wird hier ein natürlich konvergierender Berechnungsprozess  (Rechengang) für den Krümmungs-Grenzwert des betrachteten Kreisbogens vorgezeigt. Mit dem Erreichen dieses Grenzwertes wird die  gestreckte  Kreisumfanglinie zur Strecke.     

Bildbeschreibung zur Rektifikation

Es sind immer mehr neue Kreisbogen bei unveränderter (konstanter)  Länge und  halbierter Krümmung gezeichnet berechnet und dargestellt. Gedanklich kann dieser endlose Prozess immer weiter fortgesetzt werden.  Real wird jedoch immer nach endlich vielen Schritten abgebrochen, sobald   das Endekriteruim praktisch erfüllt ist und keine  Bogenkrümmung mehr erkannt werden kann. Später wird noch demonstriert werden, wie durch besondere Massnahmen die Konvergenz dieses gezeichneten  Grenzprozesses  deutlich verbessert werden kann. Schon nach wenigen Schritten wird dann eine befriedigend genaue  Ergebnis-Darstellung  erreicht. 

Lesenden  werden hier  fragen, welchen Schaden gibt es, was an Verständnis zum Berechnen  geht verloren,  wenn der geforderte Ausschluss   endloser  Berechnungsprozesse nicht befolgt  wird? Ich behaupte, es geht nichts verloren, im Gegenteil, es werden viele gezeichnete exakte  Berechnungen so erst möglich und damit auch ein Mehr an zweifelsfreiem Verstehen zum  Berechnen.  Für Cohaerentic-Kalkulationen sind deshalb alle elementar zeichenbaren Berechnungsprozesse zugelassen, deren  gezeichneten Rechengänge   bis zum letzten Schritt     anschaulich  sinnfällig   Nachvollzogen werden können.  

Endlose  Multisummen 

Auch das nächste   Bildbeispiel unterstützt den Zugang zum  Wissensgebiet der Cohaerentic- Kalkulationen. Vorgezeigt wird ein  bildliches  Kohärenzsystem zu Grenzwerten, die endlose   Multisummen sind.   Die Aufgabe des Berechnens lautet  hier: Ein Summe-Quadrat soll erzeugt werden aus zwei Grenzwerten   endloser Multisummen aus Rechtecken und Quadraten. 

Bildbeschreibung zu  Multisummen aus Grenzprozessen

Die Lösungszeichnung  zeigt eine bestimmte Ordnung beim Platzierens der Rechtecke und Quadrate.  Die Rechteckflächen sind  die Summe zweier kleineren gleichgrossen Quadrate. Insgesamt weist das grosse Quadrat  eine unsymmetrische ungleiche, aber dennoch systematische  Aufteilung auf. Dieses Wissen zur ungleichen Aufteilung werden wir später für ein anschaulich sinnfällg  gezeichnetes exaktes Berechnen der Winkeldreiteilung nutzen, das heute als unmögliche Aktion einer elementaren Konstruktion gelehrt wird. Das später unter der Überschrift "Winkeldreiteilung" vorgezeigte, mit einer Cohaerentic-Kalkulation erzeugte  Winkeldrittel- Ergebnis   ist dabei nicht überraschend herbei gezaubert und auch nicht durch probierendes Annähern erzeugt. Es wird stringent, Schritt um Schritt exakt herbei gerechnet und zwar anschaulich sinnfällig nachvollziehbar.   

Lernende können anhand  gezeichneterursprünglicher Cohaerentic-Kalkulationen, noch  ohne Zahlen,  das Phänomen und Wesen des an Schritte gebundenen "Berechnens" entdecken,  und besser verstehen.  Dabei helfen  konkrete  natürliche Objekte, die sich mit  alltäglicher Erfahrung decken, wie Grenzlinien ohne Breite und natürliche Rechengrössen wie  Drehung (Winkel), räumlicher Abstand, Fläche usw. Auch die Urrechenoperationen  Doppeln  und Halbieren mit beliebigen Duplikatoren spielen hierbei eine dominierende Rolle.   Mit dem  elementaren Vorgehen zeigt sich, exakte Rechenprozesse gibt es nicht nur mit Zahlen, sondern primär  mit  realen  Rechengrössen in natürlichen bildlichen Kohärenzsystemen. Höhere Rechenarten  werden dabei auf niedere, die Grundrechenarten und auf quadratische, mit   Kreis und  Gerade zeichenbare  Rechenzusammenhänge rückgeführt. 

Grenzwert, Stetigkeit und Konvergenz 

Mit Cohaerentic-Kalkulationen  kommen für die mathematischen Begriffe "Grenzwert, Stetigkeit und Konvergenz",  neue Bezüge hinzu,  insbesondere solche mit natürlichen Sachverhalten.  So wird entdeckt: Fundamentale Konstanten  sind zuerst Ergebnisse  gedanklicher und dann  gezeichneter Grenzwert-Prozesse im natürlichen Erfahrungsraum und dann erst  Zahl-Abbild für einen gezeichnet berechneten Grenzwert. Der gezeichnete Grenzwert "Kreisverhältnis π = Kreisumfang / Durchmesser"  ist somit zutreffender und damit fundamentaler als sein numerisches Abbild die Kreiszahl π_Zahl.  

Worauf ist für die Grundlagen des Berechnens  zuerst zu schauen? Sind es Zahlen als Rechengrössen   oder sind es  die mit den  Urkurven Kreis und Gerade gezeichneten geometrisch ausgeprägten Rechengrössen in elementar gezeichneten  Kohärenzssystemen?  Welche  der beiden angesprochenen Arten des Berechnens ist ursprünglicher und mit seiner    Kohärenzgrundlage  besser verständlich? 

Der Sachverhalt, dass mit Cohaerentic Kalkulationen die fundamentale Konstante π  als natürlicher Grenzwert entdeckt werden konnte, spricht für Folgendes: Für die Einsichten zu den Grundlagen des Berechnens  ist den nur mit Kreis und Gerade gezeichneten Berechnungen  ein Vorrang gegenüber solchen mit  Zahlen einzuräumen, für die es keine direkten Bezüge zum Erfahrungsraum gibt.

Verbesserte Effizienz

Für die Cohaerentic-Kalkulationen werden   Massnahmen angestrebt und erfunden, welche die gezeichneten konvergenten endlosen Rechengänge auf einen real ausführbaren Umfang an Schritten abkürzen. Es soll mit weniger Schritten zu einem für alle Anforderungen der Praxis ausreichend  genau dargestelltem Ergebnis   gelangt werden.  Damit werden Uraufgaben auf  elementarer, anschaulich verständlicher  Ebene  exakt  und zugleich effizient berechenbar. Solche erfundene, den Umfang an Schritten verkürzende Massnahmen  wurden schon für  die   Kreisfläche, den Kreisumfang, die Winkelteilung,  die Winkelerzeugung, das Duplizieren mit beliebigen Duplikatoren und auch  für Potenzkurven gefunden. 

Wenn die Cohaerentic- Kalkulationendie Eigenschaft "konvergent" aufweisen,   streben sie mit wachsendem Sequenzumfang (Anzahl der Schritte) stringent und ohne probierende Schritte immer mehr einem gedanklichen  Ergebnispunkt  zu, beispielsweise auch einem Punkt für ein gesuchtes Winkeldrittel.  Der Abstand eines solchen Punktes zu einem ursprünglich gegebenem Punkt (Nullpunkt)  ist dann Grenzwert oder Limes für eine endlose  Sequenz.  Nicht betrachtet werden hier gezeichnete divergente Berechnungsprozesse.  

Insgesamt leisten die elementar gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen  mit ihren "anschaulich verständlichen Rechengängen" etwas, was viele ebenfalls nur mit Kreis und Gerade (Beschränkung auf Zirkel und stirchloses Lineal) gezeichnete  elementaren Konstruktionen nicht leisten.  Dieses fehlende "Etwas"  gibt es   schon  bei den elementaren  Konstruktionen im  berühmten Grundlagenwerk des Geometers Euklid (ca 330 v.u.Z.), so auch zum Höhen und Katheten-Satz, ubd den Satz des Pythagoras usw. Dazu werden später noch ausführliche Betrachtungen geführt.

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