Hier werden bekannte historische Winkelerzeugungen und Winkeldrittelungen bezüglich ihrer Zusammenhänge betrachtet und   Weiterentwicklungen dazu vorgestellt, die nur mit den Urkurven Kreis und Gerade auskommen, bzw.  den sie erzeugenden  Werkzeugen Zirkel und Lineal. Dies ist ein ganz wichtiger Grundlagenfaktor, da nun höhere Zusammenhänge auch mit Konstruktionen aus den Urkurven erklärt werden können.
 

Historische und neue Dreiteilungen des Winkels 

Hier werden bekannte historische Winkeldrittelungen bezüglich iherer Zusammenhänge betrachtet, sowie Weiterentwicklungen  vorgestellt, die nur mit den Urkurven Kreis und Gerade auskommen, bzw.  den sie erzeugenden  Werlzeugen Zirkel und Lineal.  Ein ganz wichtiger Grundlagenfaktor, da nun höhere Zusammenhänge auch mit den Urkurven erklärt werden können.
Die Aussicht die Aufgabe des klassich konstruiertes Winkeldritteln zu lösen, ändert sich vom mathematisch bewiesenem „unmöglich“ in „möglich“, sobald die Zielstellung für das Ergennis klarer formuliert wird. Zur Erklärung warum das Unmögliche sich in ein Möglich ändern läßt, sei an Folgendes  erinnert. Jede beliebige Größe, so auch die Größe eines zu drittelnden Winkels kann als Zahlabbild durch eine reelle  Zahl nicht vollständig dargestellt werden. Die gelingt nur theoretisch  mit gedachten endlos vielen wahren Nachkommastellen. So gilt das, was für Abbilddarstellungen beliebiger Ausdehnungsgrößen gilt, genau so auch für die zu drittelnde Winkelgröße. Es, trifft somit auch für die gesuchte exakte Winkeldrittelgröße zu. Somit ist es schon seit der Antike sinnlos und falsch, daß hier nach einem klassich konstruierten Lösungsprozess gesucht wird, der nach endlich vielen zusammensetzenden Schritten eine erwartete diskrete, vollständige Lösungsgröße ohne Restfehler erzeugt. Hat man in der Antike dieses Wissen ausgeblendet, weil die ererbten Erwartungen andere waren? Fehlte einfach noch das besagte Wissen? 
Sinnvoll und richtig wäre hier ein Suchen nach einem klassich konstruierten Lösungsprozess gewesen, der mit wenigen zusammensetzenden Schritten eine Folge von Zwischengrößen des Winkeldrittels erzeugt, welche  gesetzmäßig der exakten Größe des Winkeldrittels unbeschränkt immer weiter zustrebt. Am besagten Suchen  fehkt es hier bis heute.
 
Die Aufgabe des konstruierten Winkeldrittelns ist eines der ältesten   und   häufigst durchdachten Geometrie-Probleme und reicht bis in die Antike zurück. Auch heute gibt es dazu immer noch  neue Lösungsversuche. Und diese gibt es, trotz der hierzu allgemein akzeptierte mathematische Beweise zur Unlösbarkeit. Wie stellt sich diese Unmöglichkeit dar? Zeigt der Berweis, daß nur reale Konstruktionsprozesse denkbar sind, die zu falschen  Zusammensetzungsprozessen für die  konstruierte  Winkeldrittelgröße führen?  Im Internet-Lexikon Wikimedia (13.3.2024) werden unter dem Suchwort: Neusis-Konstruktion trotzdem exakte  Lösungsversuche beschrieben, wofür neben den Werkzeugen Zirkel und Lineal bzw. den Urkurven Kreis und Gerade  noch andere Werkzeuge und höhere Kurvenarten  benutzt werden:
 
„Die Neusis-Konstruktion ermöglicht diejenigen geometrischen Aufgaben theoretisch exakt zu lösen, [2][6] die als Konstruktion mit Zirkel und Lineal keine Lösung liefern, wie z. B. Dreiteilung des Winkels, Würfelverdoppelung und Siebeneck„.
 
Die heute allgemein akzeptierte „Unmöglich-Einsicht“ für ein klassisch konstruiertes Winkeldritteln   stützt sich insbesondere auf einen im Jahre 1837 vom französischen Mathematiker P. Wantzel (1814-1884) veröffentlichten Beweis, der   gegenüber den Beweisführungen aus den alten Griechenland modern ist. Die Beweis-Grundlage ist hier nicht mehr klassisch  geometrisches Kohärenz- und Konstruktionswissen, sondern algebraisches Zusammenhangwissen. Mit Zahlen als Rechengrößen gelangt Wantzel zu seiner Einsicht, daß es keine vollständig abgeschlossene Konstruktion zur Darstellung  der  Größe des Winkeldrittels  geben könne.  Diese Einsicht deckt sich mit dem allgemeinen bekannten, oben dargelegten Sachverhalt, wonach keine beliebig gegebene Strecken- oder Winkelgröße mit einer klassisch konstruierten Zahl vollständig in seiner Größe dargestellt und abgebildet werden kann. Vom Prinzip her bleibt hier  bei der Digitalisierung immer   noch ein kleiner, quasi noch nicht digitalisierten Rest als Fehler.    So auch beim Digitalisieren eines beliebig gegebenen dreizuteilenden Winkels und dann natürlich  auch beim abgeleiteten  Winkeldrittel. Es gibt somit vom Prinzip her für den zu drittelnden Winkel und seinen abgeleiteten Drittelwinkel keine vollständig zusammengesetzte Ergebnisdarstellung. Mit dieser Einsicht ist aber nicht gesagt, daß exakte, gesetzmäßige Lösungsprozesse, = konstruierte Grenzprozesse,  unmöglich seien.    
Was hat Wantzel damals mit seinem  algebraisch fundierten Beweis tatsächlich als unmöglich bewiesen? Es hat den schon seit Alters her bekannte Sachverhalt bestätigt, daß mit einer  einer Zahldarstellung, die durch Schritte geprägt ist, keine vollständige  Größendarstellung möglich ist. Der mit der Beweis-Würdiging  immer wieder geäußerte Sachverhalt,   daß die exakten 3er-Winkelzusammenhänge im euklidischen Raum erst durch  algebraischen Zusammenhängen nachvollzieh- und lösbar werden,  ist nicht haltbar? 
Nicht die älteste,  wohl aber die   heute bekannteste  Neusis-Konstrktion ist die von Archimedes (287-212 v.Chr.). Sie wird vom Prinzip her  mit dem   folgende  Bild gezeigt. 
 
Neusis-Konstruktion zum Winkeldritteln nach Archimedes (287-212 v.Chr.)  
Archimedes Lineal WDT
 
Archimedes (287-212 v.u.Z.) erkannte, wenn er seine  Lösungssequenz der konstruierten Dreiecke in eine gleiche  Gestalt zur bekannten Zielgestalt-Konstellationen mit zwei aufeinander folgenden Dreiecken bringt, wie sie das kleine Bild im Bild  links oben zeigt, ist die Aufgabe exakt gelöst. Die Konstruktion erfüllt nun den exakten 3-er Winkelzusammenhang. Um dies zu erreichen, fügte Archimedes  dem den Drittelwinkel markierendem Lineal zwei Striche bzw.  Punkte S(Xx2G) und S(2Gx3.1K) mit einem   Abstand von der Radiusgröße = /M,S(XxK)/ hinzu. Wird das  auf der X-Achse und dem Punkt S(6KxK) aufliegende Lineal nach rechts verschoben, erfährt  es eine Drehung  gegenüber    X- und Y-Achse. Der   gesuchten exakte  Drittelwinkel ist erreicht, wenn der Punkt S(2Gx2.1K) auf dem Kreis K zu liegen kommt. Real kann dies aber nie vollständig erreicht werden, sondern nur gedanklich.   Für die angestrebte Gestalt-Deckung müssen die aufeinander folgenden zwei Dreiecke  jeweils  Schenkel-Seiten  mit gleicher Größe erreichen. 
Die Betrachtungsrichtung für die Dreieckfolge bestimmt,  ob ein Vervilefachen zum Großen hin oder ein  Vervielfachen zum Kleinen hin erfolgt.  Die mit Schiebe-Schritten   herbei geführte Annäherung an die "Zielgestalt" kann real nicht eindeutig vollständig  erreicht werden, sondern nur als Gedanke.  
Das folgende Bild zeigt die 3-er Zusammenhang-Gesetzmäßigkeit  mit  aneinander gefügten gleichschenkligen Dreiecken gleicher Seitenlänge. Es entsteht dabei  eine  Winkelfolge mit   x Winkeln der Winkelsumme s=x*α.   Die Dreieckfolge endet bei der Archimedes-Lösung bei zwei Dreiecken.  Sie kann aber  wie gezeigt für endlos   kleine Winkel α   endlos fortgesetzt werden. Mit größer werden  Winkelgrößen kehrt sich die Richtung der Dreieckfolge nach links um, dann wieder nacht rechts usw. immer haufiger, wodurch ein anschauliches Nachverfolgen erschwert wird.
 
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Die Neusis-Konstruktionen sind  in unterschiedlichen Ausprägungen bekannt. Wir abstrahieren für diese Ausprägungen eine gemeinsames Kohärenzmodell, das wir  Zielgestalt nennen und welches hier eine Kreuzschleifen-Konstruktion ist.  Der rote Kreuzschleifenbalken von konstanter Größe gleitet mit seinen Endpunkten an den karthesischen Achsgeraden X un Y. Sein Mittelpunkt zeichnet die Spur-Kreiskurve um den Ursprungspunkt das Systems. Dieses Kohärenzmodell beschreibt den 3-er Winkelzusammenhang auch über eine Umdrehung hinaus.
 
Die  Position des roten Kreuzschleufenbalkens bestimmt den zu drittelnden Winkel. Der Punkte des quasi verdreifachten Winkels und der Punkt des gedrittelden Winkels auf der Kreiskurve sind immer durch einen  Streckenzug aus 3 Strecken verbunden, wovon zwei, die erset und die letzte Strecke,  zueiander parallel sind. Das folgende Bild hebt diesen Zusammehang nochmals deutlich hervor. 
 
 
 
Bei den nun folgenden Bildern markiert die blaue Radiusstrecke  den zu drittelnden Winkel und die grüne Radiusstrecke den gesuchten Drittelwinekl. Den zu beweisenden, quasi nachzuvollziehenden 3-er Zusammenhnang machen hier die beiden aneinander gefügten gleichschenkligen Dreiecke rot und grün anschaulich. 
 
 
Unser Ziel ist es,  das Verfahren der Winkeldreiteilung auf der Grundlage der Kreuzschleifen-Kohärenz so weiter zu entwickeln, das alle Aktionen nur noch als konstruierte Kreis- und Gerade-Objekte ausgeführt werden. Unsere   Lösungskonstruktion strebt die Ziel-Gestalt  der Kreuzschleifen-Konstruktion an und startet vom   Punkt D aus, welcher  den zu drittelnden Winkel markiert.
Beschreibung des Winkeldrittelns mit  konstruierter  Kreuzschleifen-Zielgestalt
Der rote  Kreuzschleifen-Balken  AB hat eine Länge vom Grundkreisdurchmesser = 2*ME und gleitet mit Punkt A auf der X-Achse und mit Punkt B auf der Y-Achse. Sein Mittelpunkt C bewegt sich dabei auf der Grundkreiskurve k1, bzw. zeichnet diese gedanklich als Spurkurve. Die dünne grüne Radiusstrecke MC markiert die Winkelgröße α =∠EMC und die dicke blaue Radiusstrecke den zu drittelnden Winkel 3α .
 
Streckenzug-Zielgestalt   
Die folgenden zwei Bilder zeigen  mit der Kreuzschleifen-Zielgestalt verwandte Streckenzug-Zielgestalten. Der konstruierte Lösungs-Streckenzug  soll am Ende mit seiner Gestalt mit der Zielgestalt der den Grundkreis innen berührender Streckenzüge AMBCD  bzw.
 
 
 A1M1B1C1D1   bestmöglich übereinstimmen. Dann verbindet der  besagte Sreckenzug   den einfachen Winkel α und den dreifachen  Winkel 3α bestmöglich.  Die erste und dritte Strecke AM und BC sowie  zweite und vierte Strecke MB und CD  sin zueinander parallel.
Um die angestrebte Übereinstimmung  herbei zu führen, wird die   rote Kreiszschleifen-Balkenstrecke CD solange Schritt um Schritt  um Punkt D gedreht  bis die abhängige sich drehende Strecke MB parallel zur Strecke  DC ist.  Beim folgenden Bildbeispiel  ist der zu drittelnde Winkel   größer einer Umdrehung. Er liegt   im 5. Quadranten. Der  verbindende Streckenzug besteht hier aus den  vier gestrichelten roten   Strecken.
 
  
 
Beim folgenden Bild   bewegt sich der Balkenmittelpunkt C von Strecke EF auf einer Kreiskurve um Mittelpunkt M, wenn die Balkenstrecke   mit ihren  Endpunkten E und F an  den orthogonalen Achsen X un Y entlang gleitet.
Anhand der  zwei Paare paralleler roter Strecken im Kreis um M  kann die hier natürlich vorhandene Dreierkohärenz für Winkel gut nachzuvollziehen werden.  
 
Der   Neusis-Prozeß  erfordert ein   Zurechtschieben bis zur vollständigen Deckung / Übereinstimmung mit der Zielgestalt, was nur theoretisch im Gedankenspiel erreicht wird. Daraus  erwächst  der Wunsch zu einem    klassich konstruiertem Prozeß des "Zurechtschiebens" zu gelangen.    Wünschenswert ist für diesen  Ersatzprozeß, daß er nur mit den Objekten Kreis und Gerade konstruiert wird. Damit kann die  in der Antike  gefoderte Beschränkung auf Zirkel und Linieal bzw. Kreis und Gerade eingehalten werden.
Von der Antike bis heute  sind in der Fachliterarur  keine solche Lösungen  zu finden. Sie werden auch bis  heute nicht angestebt, denn sie werden nicht erwartet.
 
Mit den  folgenden Bildern wird der   abstrakte 3er- Winkelzusammenhang, den die   "Kreuschschleifen-Zielgestalt anschaulich  nachvollziehbar macht, nochmals deutlich hervor gehoben.
 
Ein 3er-Winkelzusammenhang ist dann gegeben, wenn ein  zusammenhängender
schwarzer Streckenzug  im Kreisinnern aus zwei Paaren  
paraller Strecken besteht.  
  
Kombiniertes Kohärenz-Modell  für eine 3er Winkelkohärenz
Im folgenden linken Bild sind zwei Zielgestalt-Konstellationen für die 3-er Winkelkohärenz   miteinder kombiniert. Links gibt es die Zielgestalt    "Streckenzug im Kreisinnern "schwarz AM dann rot - rot - rot". Rechts  gibt es  den kombierten "Streckenzug  "schwarz AM dann rot - blau - blau". 
 
 
 
Die rechte   Konstruktion zeigt   einen  stark konvergierender  Winkeldrittel-Grenzprozeß, der mit der Zielgestalt des rechten Streckenzugs  "schwarz AM dann rot - blau - blau" arbeitet.  Diese Konstruktion kann  schon nach wenigen konstruierten Objekten mit Schnittpunkt S4(k3xg4) beendet werden, denn die Ergebnisgenauigkeit ist mit mit über 15 wahre Nachkommastellen schon ausreichend groß.   Zum Zweck eines leichten direkten  Vergleichens der Ergebnisgenauigkeit wird  der konstruiert  errechnete  Drittelwinkel vor dem Vergleichen verdreifacht. Dies leisten die,  zwei  roten  Kreise mit ihren Mittelpunkten auf dem roten Kreis um Mittelpunkt M.  Der vergrößerten Bereich um Punkt S4(k3xg4)  wird mit nachfolgenden Bild gezeigt.  
Beschreibung der Konstrktion:
Gegebene Objekte:
- die Achsen X und Y, sowie der Grundkreis k0 um M
- der gegebene zu drittelnde Winkel ∠AMQ mit den Strecken MA und MQ 
 
Die  konstruierte Sequenz umfasst folgende Objekte:
1. Strecke g1 parallel zur Y-Achse
2. Strahl   g2, so in M gedreht, daß er g1 in M2 schneidet  
3. Kreis k3 um M2 mit einem Radius = 2* MA
4. Strahl g4 parallel zur X-Achse Gerade durch Punkt Q, der den Kreis k3 im Schnittpunkt S4(k3×g4) schneidet. 
5. blaue Strecke g5 = / M,S4(k3×g4) / schneidet Gerade g1 in Schnittpunkt S5(g1×g5)
6. Kreis k6 um S5(g1×g5) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt,  S6(g5×k6) und       S6.1(g4×k6).
7. Strahl g7= / M,S6.1(g4×k6) / der  Gerade g1 in Schnittpunkt S7(g1×g7) schneidet.
8. Kreis k8 um S7(g1xg7) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt,  S8(g7×k8) und      S8.1(g4×k8). 
9. Strahl g9 = / M,S8.1(g4×k8) / der  Gerade g1 in Schnittpunkt S9(g1×g9) schneidet.
10. Kreis k10 um S9(g1×g9) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt,  S10(g7×k10) und S10.1(g4×k8). 
11. Strahl g11 = / M,S10.1(g4×k10) / der  Gerade g1 in Schnittpunkt S11(g1×g11) schneidet.
12. Kreis k12 um S11(g1×g11) mit Radius=2*MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S12(g11×k12) und  S12.1(g4×k12).
13. Kreis k13 durch die drei Punkte S8(g7×k8); S10(g7×k10) und S12(g11×k12), der auf Gerade g4 den Schnittpunkt     S13(g4×k13 ) erzeugt, welcher das erreichte Zwischenergebnis für den Drittelwinkel markiert. 
-14. Strahl g14 durch den Schnittpunkt S13(g4×k13) markiert den gesuchten  Drittelwinkel ∠AMD. 
 
Grenzprozeß zum Winkeldritteln mit konstruierten Objekten im  Innern des Grundkreises 
Beim nachfolgendem Bild  eines  Grenzprozeß-Winkeldrittelns verläßt die  konstruierte  Sequenz der kohärenten Strecken-Objekte  das Innere des Kreises nicht. Der  Grenzprozeß, der stringent dem Grenzpunkt als Ergebnis zustrebt, hat die Eigenschaft "autokonvergent" zu sein. Es beschrweibt, daß keine probierenden Schritte   erforderlich sind.   Das folgenden Bild mit den  laufenden Nummern an den Objekten zeigt einen  gut verfolgbaren fortschreitenden Verlauf des mit den zwei Paaren paralleler Strecken konstruierten Grenzprozesses.  Die Strecken 3 ; 7 ; 11 usw. drehen sich immer weiter in die Richtung der X-Achse bis sie zu dieser parallel laufen. Nun markieret der rechte Schnittpunkt mit den Grundkeis  den gesuchten Winkeldrittelpunkt. Ein verkürztes Beenden des  Grenzprozesses wird erreicht,  indem durch die letzten drei Mittelpunkte der Streckenfolge 3; 7; 11 usw. der Kreis K20 konstruiert wird, welcher die Y-Achse im Punkt S(YxK20) schneidet. Durch diesen Punkt ist dann die gesuchte zur Y-Achse parallele Strecke gezeichnet, welche rechts mit ihrem Schnittpunkt mit dem Grundkreis den gesuchten Winkeldrittelpunkt markiert. Die Ergebnis-Genauigkeit in Grad ist hier nach ca. 20 konstruierten Objekten  4 wahre Nachkommastellen. 
Grenzprozeß zum Winkeldritteln mit innerhalb und außerhalb des Grundkreises konstruierten Objekten
Halbbalken-Verfahren
Es gibt mit der Kreuzschleifen-Zielgestalt-Konstellation (Ziel-Kohärenz-Modell) noch weitere  mögliche Varianten zur Grenzprozeß-Berechnung.  Eine solche weiter Variante zeigt das folgende Bild. Um den Umfang der  Berechnungs-Sequenzen (iterierende Zyklen) vergleichbar zu halten, sind  die    konstruierten Objekte    fortlaufend nummeriert. Für den im  i-ten Schritt erzeugten Kreis ist die Bezeichnung   ki  und für die im nächsten Schritt erzeugte  Gerade  gi+1. 
 
Die erste Teil-Sequenz  umfasst hier  die Objekte   Gerade und Kreis ( g2;k3), (g4;k5) ; (g6;k7), usw.  Für die Radiusgrössen der Kreisbögen gilt:   rk3=rk5=rk7= ... =2*rk1 .     Die konstruierten Punkte D; G; K usw bilden eine gesetzmäßige Punkte-Folge zu einer gedachten "Kohärenzkurve". Diese strebt   den Grundkreis k1  zu und schneidet ihn letztlich im Punkt PWinkeldrittel. Da sich Im Ergebnisbereich der Verlauf der Kohärenzkurve immer mehr einer Kreiskurve nähert, wird durch die letzten drei Folgepunkte eine Kreiskurve gezeichnet, welche den Grundkreis k1 schneidet. Im folgenden linken Bild wird der halbe Kreuzschleifen-Balken zischen Y-Ache und Grundkreis k1 eingepasst. 
 
Ganzbalken-Verfahren 1
Im mittleren Bild wird der ganze  Kreuzschleifen-Balken zwischen Y-Ache und X-Achse eingepasst.
 
 
 Für einen zu drittelnden Winkel im 3. Qudranten trifft das rechte Bild zu.
 
Ganzbalken-Verfahren 2
Das nächste Bild zeigt ein  Ganzbalken-Verfahren 2, bei dem der Grenzprozeß   etwas anders realisiert wird, als vorher.  Die erste konstruierte Berechnungs-Teilsequenz startet mit den Strahl g2 durch den frei gewählten Startpunkt 2 und endet mit Schnittpunkt K=S(Xxk7). Die  zweite konstruierte Berechnungs-Teilsequenz startet mit Strahl g8 durch Startpunkt K und endet mit dem Schnittpunkt T=S(Xxk14).  Im nächsten Bild ist die Umgebung der Punkte K; L und  T  vergrößert gezeigt.
 
Nach dem ersten Teilsequenz-Zyklus  wird mit Kreis k7 der Punkt K=S(Xxk7)   auf der X-Achse erzeugt.  Der Zwischenergebniswinkel ist dann mit 2 wahren Nachkommastellen erzeugt.  Mit dem zweiten Teilsequenz-Zklus wird dann die Ergebnisgenauigkeit um 4 wahre Nachkommastellen erhöht usw. 
 
 
Ergebnisvergleich der  verschiedenen Kreuzschleifen- Grenzprozeß-Verfahren
 
Der Ergebnisvergleich der verschiedenen  Halbbalken-Verfahren zeigt deutliche bei den  Effizienzen. Mal werden bei etwa gleichem Aufwand  (gleicher Objekte-Umfang)  nur geringe und anderseits schon sehr hohe Ergebnis-Genauigkeiten erzielt.
Das Halbbalken-Verfahren   unterscheidet sich bei   4 wahre Nachkommastellen  zu bereits    11 erreichten wahren Nachkommastellen eines  Ganzbalken.Verfahrens erheblich. Das Ganzbalken-Verfahren-2 erreicht mit ca 7 konstruierten Objekten 2 wahre Nachkommastellen und mit ca 15 konstruierten Objekten  6 wahre Nachkommastellen. Demgegeüber ist das  oben mit Hilfe der kombinierten  Strecken-Zielgestalt-Konstellation schon gezeigte Winkeldritteln ein deutlich effizienteres Verfahren.
 
Weitere Erklärung
Die folgenden zwei Bilder ermöglichen ein   tiefergehenden Erklären zum 3er-Winkelzusammenhang. Links wird ein zu drittelnder Winkel im 2. Quadranten und rechts ein  zu drittelnder Winkel im 1. Qudranten gezeigt..
 
 
 
 
 
Parabel-Konstruktion zum Winkeldritteln nach   Descartes (1596-1650))  
Ganz im Widerspruch zum „Unmöglich-Beweis“ von Wantzel steht eine Parabel-WDT-Konstruktion nach Descartes, denn diese  kommt mit dem Ausziehen nur einer Quadratwurzel bei einer Lösungsgleichung vom 2.Grad aus. Das von   Wrantzel benannte "Unmöglich-Kriterium"  ist ein  notwendiges Ausziehen einer 3. Wurzel bei einer  Lösungsgleichung vom 3-ten Grad. Mit einer endlichen Zirkel- und Lineal-Kostruktion könne dies aber nicht erreicht werden.  Bei wem liegt hier der Fehler, bei Descartes oder bei Wantzel? 
 
Descartes hat seinem berühmten Werk von 1637 "La Geometrie" auch einen Beitrag zum exakten Dreiteilungsprozeß des Winkels mit Hilfe einer Kohärenzkurve   quadratische Parabel   veröffentlicht. Seine Beschreibung zum Lösungszusammenhang bezieht sich auf  das folgende Bild von Seite 399.   

Aus den linken Teilbild mit der Parabel ist zu erkennen, daß ein Kreis eine Parabel vier mal schneidet. Beim rechten Teilbild sind ein zu dreiteilender Winkel  ∠PON  und die gesuchten Drittelwinkel ∠POT,  ∠TOQ  und  ∠QON  zu  erkennen. Leider findet sich keiner der Punkte vom rechten Teilbild im linken Teilbild wieder und umgekehrt, was das Verständnis nicht fördert. Aus dem linken Teilbild ist ein Bezug zur Dreiteilung leider nicht direkt zu erkennen. Die   durch Descartes etwas unglücklich gewählte Darstellung des konstruierten Lösungsprozesses hat dazu geführt, daß sein erdachter Lösungsprozeß etwas in Vergessenheit geraten ist. Im Internet-Lexikon Wikipedia unter Suchwort Dreiteilung des Winkels sind viele Lösungsversuche zur Wnkeldreiteilung gesammelt und ausführlich besprochen. Die Descartes-Lösung  ist hier nur  kurz erwähnt und sein  obiges Bild   ist ganz weggelassen. Es  bleibt somit unbetrachtet und unerklärt. Die Bedeutung dieses exakten Lösungsprozesses von Descartes ist hier gegenüber den anderen ausführlicher abgehandelten Lösungsprozessen nicht erkannt.

 

Konstruiertes  Winkeldritteln mit gegebener, schon gezeichneter,  quadratischer Parabel

Im obigen originalen  descartes´schen Bild vom  Buch "La Geometrie", Seite 399, kann ich   keinen direkten anschaulich nachvollziebaren Zusammenhang zum Winkeldritteln  erkennen.  Anders bei unserem nachfolgenden linken und rechten Bild.  Im rechten Bild ohne Beschriftung tritt der Gesamtzusammenhang deutlicher hervor. Im linken Bild sind die fortfolgend konstruierten Objekte   mit   laufenden Nummer-Schildern versehen. Dies macht  ein leichters Nachverfogen der Schritt um Schritt nacheinander konstruierten Objekte möglich. 

Ein Nummer-Schild "g3" kennzeichnet mit dem Buchstaben g  ein Geradenobjekt und mit der Zahl 3 den erzeugenden  Konstruktionsschritt in der Folge. So kennzeichnet k2 mit k ein Kreisobjekt  um Mittelpunkt M  mit doppeltem Radius zu  Kreis k1. Die Zahl 2 kennzeichnet  den erzeugenden   Konstruktioinsschritt bzw. das zweite konstruierte Objekt. Das Schild S7.1(k6³×p7)  kennzeichnet einen mit dem 7.1 Schritt erzeugten Schnittpunkt, indem sich  die Objekte k6 und p7 schneiden. Das Schneiden wird hier mit "x bzw. ⊗" symbolisiert.  Das Schild S7.2(k6xp7)  kennzeichnet einen mit dem 7.2- Schritt erzeugten Schnittpunkt, indem sich die  Objekte k6 und p7 schneiden. 

Der zu drittelnde Winkel ist ∠BMS3(k2xg3). Sein Radiusstrahl g3=MS3 schneidet  Kreis k2 im Schnittpunkt S(k2xg3  und ist Ausgangspunkt für Gerade g5, die Gerade g4 schneidet und den Schnittpunkt S5(g4xg5) erzeugt, welcher Mittelpunkt für Kreis k6 ist. Der Kreis k6 schneidet die gegebene Parabel p7 drei mal und erzeugt die Schnittpunkte S7.1(k6xp7),S7.2(k6xp7 ) und S7.3(k6xp7). Diese sind Ausgangspunkt für die zur Y-Achse parallelen Strecken g8,g9 und g10, welch den Kreis k3 schneiden. Die Schnittpunkt S8(k2xg8), S9(k2xg9)  und S10(k2xg10) markieren drei verschiedene  Drittelungswinkel, was im linken Bild verdeutlicht wird,

 

Konstruiertes  Winkeldritteln ohne gegebene, schon gezeichnete,  quadratische Parabel 

(Weiterentwickeltes descartsches Verfahren)

Das folgendes Bild zeigt, wie das descartes´sche Verfahren zum allein mit Zirkel und Lineal bzw. Kreis und Gerade konstruierten Verfahren weiter entwickelt wird. Die gegeben gezeichnete  Parabelkurve p, die hier als gestrichelte blaue Kurve p angedeutet ist, wird hier nicht  mehr benötigt.  

Es werden drei  exkate Punkte der Parabel p im  Schnittpunkt-Bereich  S(p, k3) klassich konstruiert. Dies gelingt   mit einer  endlichen  Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten, wie es für die klassiche Konstruktion von Punkten einer quadratischen Parabel  bei den Cohaerentic-Betrachtungen an anderer Stelle schon mehrfach beschrieben wurde. Die Erzeugung kann aberauch  aus im  Konstruktionsbild eindeutig nachvollzogen werden. Der Parabel-Krümmungskreis k4 im Ergebnisgebiet wird  duch die hier drei konstrierten Parabelpunkte gezeichnet.  Gestartet wird die Konstruktion mit einem grob geschätzten Drittelwinkel, indem der mittlere Parabelpunkt E in der Nähre von Kreis k3 platziert wird. Die beiden anderen Parabelpunkte F und G werden quasi symmetrisch rechts und links nebem Punkt E platziert, wobei sie einmal im Kreis k3 und einmal ausserhalb von kreis k3 liegen sollen. 

Beim  nächsten Bild werden zwei aufeinander folgend  konstruierter Berechnungszyklen gezeigt. Der 1. Zyklus ist rot-rechts und der 2. Zyklus ist blau-links gezeigt. Gestartet wird der zweite Zyklus mit dem Ergebniswinkel ais dem 1. Zyklus (rot). In 2. Zyklus werden über die  14  wahre Stellen an Ergebnisgenauigkeit im erten Zyklus nun alle vollen 15  Stellen erreicht und offenbar deutlich mehr. Wieviele   kann hier nicht mehr erkannt werden, da   die Rechengenauigkeit des verwendeten Geogebra-Programms nur 15 Nachkommastellen  leistet.

 

 

Multifache Winkeldreiteilung

Die tiefergehende Berachtung des descartes´sche Verfahrens führt zur Einsicht, daß dieses   natürlich gegebene  multifache Zusammenhänge von Winkeldrittelungen im Halbkreis modelliert. Diese  multifachen Zusammenhänge  sind von Natur aus mehrfach gegeben. Sie sind auch ohne das Vorhandensein der Parabel  y=x2 nachvollziehbar.  Das folgende  Bild zeigt diesen Sachverhalt für den Halbkreis und den Viertelkreis. Weitere durch Symmetrie bedingte Dreiteilungen, die über den Halbkreis hinausgehen,  sind hier im unteren rechten Bild eingezeichnet (gestrichelte Linien).

 

 

 Halbierungs-Winkedreiteilen (WDT)  nach Fialkowski (1818-1902)

Nicolaus Fialkowski, ein österreichischer Mathematiker, hat in seinem Buch, Nikolaus Fialkowski, "Theilung des Winkels und des Kreises", Wien Verlag Gerolds Sohn 1860, S. 11; 12   als erster eine  exakte Winkeldreiteilung durch fortgesetzte gezeichnete Halbierungen veröffentlicht.

 

Fialkowski nennt seine Winkeldreiteilen durch Halbieren  eine Näherung und bleibt damit  "quasi in der amtlichen" Begriffswelt der Mathematik. Tatsächlich geht es hier aber um einen exakten Grenzprozeß, dessen aktuelle Zwischenergebnisse unbeschränkt dem Grenzpunkt = exakter Winkeldrittelpunkt zustreben. Die Bezeichnung der Mathematik "Näherung" ist hier wohl deshalb gewählt, weil das exakte Grenzpunkt-Ergebnis   wegen der  notwendigen endlos vielen Schritte niemals erreicht wird. Auch wenn die Ergebnis-Darstellung als Zahl oder konstruierte Drehung nicht vollständig mit endloch vielen Schritten zusammengesetzt ist, ist doch ihr Erzeugungsprozeß eine unbeschränkt exakter und kein genäherter Prozeß. Ein genäherter Erzeugungsprozeß liefert letztlich nur einen beschränkten Näherungswert, der nicht weiter verbessert wird, auch wenn die Rechengenauigkeit für den Näherungsprozeß erhöht wird. Die häufig zitierte  Streckenkonstruktion für das genäherte Kreisverhältnis π, die der polnische Mathematiker Adam Kochanski(1631-1700)  im Jahre 1647 veröffentlichte, sind ein bekanntes Beispiel dafür.

Fialkowski erkennt ganz klar, daß sein Winkelteilen  ein gezeichnetes exaktes  Berechnen ist, bei dem die Ergebnisgenauigkeit unbeschränkt erhöht werden kann. Er schreibt hierzu:

"Mann kann durch fortgetztes Halbiren  der Trisection des Winkels so nah, wie man will, kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als jede angebbare Grösse wird".

Leider trägt Fialkowski    selbst  zu einem  schnelles Vergessen seiner  erfundenen exakten Halbierungs-Winkeldreiteilung  bei.  Er schreibt dazu:

"Allein diese Construktion hat für das praktische Zeichnen gar keinen Werth; erstens weil man die nach und nach kleiner und kleiner entstehenden Winkel geometrisch nicht so leicht nach dieser Art halbiren kann, aus welchen Gründen  diese Methode beim praktischen Zeichnen nicht anwendbar ist."

Theoriefindung zum Halbierungs-Winkeldritteln nach Fialkowski 
Bei der   Theoriefindung zum Winkeldritteln nennt  Fialkowski  in seinem Buch  
(Fialkowski, Nicolaus. Theilung des Winkels und des Kreises Wien, Verlag Gerold´s Sohn 1860, S. 6 ff.)
 
auch den  Nikomedes (ca 4.Jhd. v.u.Z.), der hier eine Konchiode ins Spiel bringt.  Auf Seite 6 seines Buches schreibt Fialkowski  dann:
 
„Wird nämlich der gegebene Winkel in 4 gleiche Theile getheilt, der 4te Theil wieder in 4, der 16te wieder in 4 u.s.w. gleiche Theile getheilt, so hat man:       ...     α (1/4+1/42+1/43+ 1/44 + ... ins ∞ ) = α /3“
 
Schliesslich leitet er daraus die  1/3-Reihe " 1/3=1-1/2+1/4-1/8+1/16- ... u.s.w.;"   her und schreibt:
 
     " ... dies ist nun die Reihe die uns durch Halbierungen auf die Trisection des Winkels führt"
 
Verkürzte Halbierungs-WDT durch nachgeschaltetes geometrisches Dritteln
Das WDT-Verfahren von Fialkowski, welches die 1/3-Reihe nutzt, kann um  eine nachgeschaltetes  geometrisch konstruiertes  Drittelln verkürzt und damit effizienter gemacht werden. Das folgende  Bild zeigt einen hierfür  genutzten  Zusammenhang.

In aufeinander folgenden Teilrechengängen (Zyklen) werden stufenweise immer genauere Berechnungen ausgeführt. Die elementar konstruierte  Dreiteilungsberechnung kann hier bis ins Endlos fortgetzt werden.

Geometrische Konstruktopn als Berechnungsplan  

Als konstruierten Berechnungsplan verstehen wir auch die Sequenz der klassiche Konstruktion, die durch    Wiederholaktionen bis ins Endlose reichende Aktionen beschreiben kann. Die Gesamtheit der  Teilrechengänge sind  als   endloser Grenzprozeß zu verstehen, bei dem  einem Ergebnis als Grenzrechteck bzw. Grenzpunkt zugestrebt wird.  Durch ein   hierzu analoge gezeichnetes Prozeßvorgehen kann auch für Kreisbögen bzw. Winkel  zu einem klassisch konstruierten  Grenzprozeß zum Dritteln gelangt werden. Voraussetzung hierfür ist,   der Radius muß viel größer als die Bogenlänge sein. 

 

Die real ausgeführte Konstruktion zu einem exakten Grenzprozesse ist zugleich Kostruktionsplan und beschreibt alle Schritteaktionen bis ins Endlose vollständig. Möglich wird dies erst mit der   Nutzung von sich wiederholenden Schritteaktionen (Teilsequenzen).   Dieses Fortsetzen  ist theoretisch endlos möglich und damit unbeschränkt.     Beim folgenden Bild endet das Fortsetzen  schon nach 7 Halbierungen.

 
Beim  nächsten Bild  werden von Innen nach Außen geometrischen Drittelungen vorgenommen, die mit diagonal gezeichenten Strecken realisiert werden.  Zuerst nach 3 Halbierungen, dann nach  4 und außen nach 5.   
 
 
Beim folgenden Bild erleichtert  die von Innen nach Außen gezeichnet  Zick-Zack-Linie das Nachverfolgen der nacheinander konstruierte Halbierungen. Bei diesem konkreten Bild  gibt es keine nachgeschaltetes  geometrisches  Dritteln. So wird   hier erst nach  11 Halbierungen   eine praktikable Winkeldrittel-Abweichung von  wenigel als   1/1000 Grad erreicht.  
 
 
Zusammefassend schreibt Fialkowski zu seiner Halbierungs-WDT:
 
"... die Trisection eines Winkels, die direkt durch Kreis und gerade Linie nicht zu erreichen ist, doch ohne etwas anderes, als diese Hilfsmittel zu gebrauchen, so nahe, wie man will zu kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als die kleinste möglicher Weise angebbare Grösse wird, oder als verschwindend zu betrachten ist."

 

Paradoxe Situation 

Die drei klassischen Aufgaben der Antike,  die Dreiteiung des Winkels, die flächengleiche Umwandlung der Kreisfläche in ein Quadrat und das Verdoppeln des Würfelvolumens  berühren  Zusammenhänge grundsätzlicher  Berechungsprozesse. Diese werden erst durch  klassische Konstruktionen voll nachvollziebar.  Eine sehr fundamentale Aufgabe liegt dem folgenden konstruierten  Berechnen zugrunde: 

"Ein gezeichnetes beliebig gegebenes Verhältnis von Drehungen ist  in ein gleichgrosses Strecken-Verhältnis   überzuführen  und umgekehrt." 

Die dazu passende Situation finden wir in der Praxis  mit dem Rad, dessen   Abrollweggröße für eine Umdrehung  interessiert? Ähnlich ist es mit  der Größe der Seillänge, die  von einer  drehenden  Seiltrommel  abgerollt.

Eine fundamentale Einsicht ist:

Für beliebig gegebenen Ausdehnungsgrößen  gibt es keine vollständig exakt abbildende Zahl, die nur endlich viele  wahren Nachkommastellen umfasst.

In der   frühen Antike ist die Erwartung , "alles ist Zahl". So werden  immer  diskrete  Ergebnisgrößen-Darstelliungen erwartet. Solche, die  nur durch endlich viel   konstruierte  Kreis-/Gerade-Objekte  erzeugt werden.    Verwirrend wird  es hier für die Lernenden, wenn die Größe des Kreisverhältnisses  π gleich der Kreiszahl gesetzt wird. Dies  widerspricht er obigen allgemeinen Einsicht. Eine reale Zahl als Größendarstellung für das Kreisverhältnis bleibt immer nur ein unvollständiges Größenabbild. Die Gleichsetzung von Kreisverhältnis und Kreiszahl birgt somit einen Widerspruch in sich. Aktuelle diskrete Kreiszahl-Abbilder sind entweder beschränkte oder unbeschränkte Näherungsdarstellungen, je nachdem,   ob sie aus einem   beschränkten oder unbeschränkten Erzeugungsprozeß hervorgehen.  Ein beschränkten Erzeugungsprozeß kann nur  eine bestimmte beschränkte Ergebnisgenauigkeit liefern. Diese kann  nicht weiter verbessert werden. Ein unbeschränkter Erzeugungsprozeß ist ein exakter Prozeß, bei dem mit mehr Aufwand die Ergebnisgenauigkeit immer  weiter verbessert werden kann, zumindest theoretisch.

 Ähnlich ist es mit der exakten Winkeldrittelgröße, die auch nur   mit   unendlich vielen Grenzprozeß-Zyklen (Schritten) vollständig ohne Restfehler dargestellt werden kann, was aber in der Wirklichkeit niemals erreicht wird. Und so mündet auch jedes Ausmessen des Kreisunfangs mittels arithmetischem oder konstruiertem  Berechnen des Kreisverhältnisses   in einem klassisch konstruierten endlosen Grenzprozeß.  

 
Trisections-Jäger
Die Aufgabenstellung zur Dreiteilung des Winkels kann einfach verstanden werden und ist damit  auch Amateuren zugänglich. So suchen Amateure trotz mathematisch bewiesener Unmöglichkeit einer Winkeldrittelkonstruktion weiterhin nach klassisch konstruierten Lösungen. Was sie vorzeigen bezeichnen sie oft auch als  exaktes Verfahren eines konstruiuerten Berechnens. Ihre Näherung nennen sie zumindest besonders effizient. Hier kommen  Trisektions-Jägern ins Spiel, welche die falschen Winkeldreiteilungen der Amateure aufdecken und  hier und da  auch etwas belustigende  Beurteilungen zu den Lösungsversuchen abgeben und mündet darin, wegen der "Unmöglich-Beweise"   alle  vorgezeigten Versuche ohne einzele Nachprüfung mit falsch zu beschreiben.  Es werden auch Ratschläge gegeben, woran   naive und uneinsichtige Trisezierer  und Kreis-Quadrierer zu erkennen sind und wie  mit ihnen am besten durch ein Nichtbeachten umzugehen ist.
Hier fällt auf, daß   bei den Trisections-Jägern   die klassisch konstruierten exakten Lösungsverfahren, wie das Parabel-Winkeldritteln von   Descartes und das Halbierungs-Winkeldrtteln von Fialkowski   unbetrachtet bleiben.  So werden bis heute konstruierte Grenzprozeß-Verfahren nicht erwartet, wohl auch wegen der notwendigen  endlos vielen Schritte bis zum Ergebnis-Grenzpunkt, die alle  unmöglich ausführbar sind.  Daher sind sie sind bislang unbetrachtet und unerforscht.
 
 
 

Winkeldreiteilen mit Ellipse

 
Winkeldreiteilen mit gezeichneter, aber auch ohne gezeichnete Hyperbel
Ausgangspunkt für das Verstehen des Winkeldrittelzusammenhangs ist wieder die konstruierte Zielgestalt aus zwei gleichgroßen gleichschenkligen Dreieecken,  rot und grün, wie es das Bild zeigt. Dabei wird vom gegebenen, von A ausgehenden  Radiusstrahl des zu dtrittelnden Winkels ausgegangen. Aus Symmetriegründen kann der Neusis-Schiebeprozeß primär mit Punkt T auf der X-Aches und symmetrisch nachfolgend mit Punkt Z erfolgen oder auch umgekehrt.
Wie der manuell schwierige Schiebeprozeß als Sequenz klassich konstruierter Kreis- und Gerade-Objekte im Einzelnen ausgeführt wird, haben wir  bereits weiter oben schon beschrieben. Ganz konkret auch für diese Konstellation bei  Kombiniertes Kohärenz-Modell  für eine 3er Winkelkohärenz.  =======================
 
 
 
Was wirkt sich  noch auf das Verständnis der   konstruierten Grenzprozesse aus?
Was wirkt sich  noch auf das Verständnis der   neuen Lösungwege aus, die als   konstruierten Grenzprozesse aus  Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten realsiert werden? Die im  Wikipedia-Lexikon praktizierte  Sichtweise, die Neusis-Konstruktionen  als exakte vollständigen Lösungsweg zu betrachten,  übertragen wir auch auf unsere "klassisch konstruierte" Kreuzschleifen-Winkeldreiteilung. Den letzten notwendigen  Schritt bis zum exakten Ergebnis vollziehen wir nun auch, wie bei den bekannten originalen Neusis-Prozessen,  gedanklich. 
Wir erkennen auch, den Rechenoperationen des Teilens geht immer erst ein entsprechendes Verfielfachen voraus. Eines das quasi die Zielgestalt erzeugt, wie auch bei den Teilungen mit dem Strahlensatz.  
Eine Beschränkung auf nur endlich viele Schritte für das konstruierte Winkeldritteln ist nicht zu rechtfertigen, da es
eine solche für das  algebraisch-arithmetischen Berechnen der   Dezimalzahl-Darstellung 0.333... nicht gibt?
Als Grund für die Beschränkung wird oft angeführt, da das Teilen  eines Winkels durch 2 oder 4 usw.  mit einer endlichen Sequenz  konstruierter Objekte doch möglich sei, müsse auch das Dreiteilen eines Winkels mit einer endlichen Sequenz konstruierter Objekten möglich sein.
Der  im Jahre 1837 vom französischen Mathematiker Pierre Wantzel (1814-1884) veröffentlichte Beweis zur Unmöglichkeit der Dreiteilung des Winkels verbessert die Situation nicht wirklich. Die  wanzelsche Beweiseinsicht ist, die erwartete Ergebnisgröße könne  keine konstruierbare Zahl sein.  Richtig. Aber warum ein mit Kreis und Gerade-Objekten konstruierter Lösungsweg, wie immer er auch gestaltet sei, immer nur falsch sein könne und kein gesetzmäßiges Konvergieren  zum exakten Ergebnis möglich sein soll, bleibt unbetrachtet?
Das Arbeiten mit klassich konstruierten Grenzprozesse wird später noch ausführlich dargekegt werden.
 
Die Problematik des  fehlerbehafteten  Größen-Darstellens einer beliebig gegebenen Ausdehnungsgröße  ist von allgemeiner Natur und trifft daher auch auf die anderen beiden klassichen Aufgabenprobleme der antiken Geometrie zu. Die häufig zitierten  Näherungskonstruktion für das Kreisverhältnis π  von Adam Kochanski (1631-1700) erreicht  nach einer endlichen Sequenz  konstruierter  Kreis- und Gerade-Objekte  eine Ergebnis-Genauigkteit mit 4 wahren dezimalen Nachkommastellen. Diese  Näherungsgenauigkeit kann durch mehr konstruierte Objekte  zu keiner höheren Ergebnisgenauigkeit  für die Kreiszahl gelangen.
Für das vollständige Abbild des Kreisverhältnisses π hat die Mathematik  die Kreiszahl als Idee erfunden. Ihr wird gleichfalls wie dem Kreisverhältnis das abstrakte  Buchstabensymbol π zugewiesen. Tatsächlich kann es hier aber immer nur eine digitalisierte Größe  Kreiszahl  πZahl.   geben, welche die exakte Größe des Kreisverhältnisses π  mit der Darstellungssystematik der Dezimalzahlen immer nur unvollständig  abbildet.    Deshalb ist es nicht ganz korrekt, wenn  folgendes   Gleichsetzen vorgenommen wird:    
Kreisverhältnis  π = Kreiszahl  =  πZahl.     
Zutreffender  wäre es hier,  
Kreisverhältnis πgenähert  = Kreiszahl  πZahl   
oder   
Kreisverhältnis π  = Kreiszahl  π∞ ≈ Zahl     
zu schreiben.
Zu weiteren Erklärungen zur Problematik "Alles ist Ansichtssache", ob die oben angesprochenen  konstruierten Grenzprozeßsequenzen  für das Winkeldritteln exakte unbeschränkte Prozesse sind und oder nur genäherte beschränkte,  wird   auch auf den Disput unter https://www.matheboard.de/archive/596651/thread.html verwiesen.
 
 
 
 
 
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