Einführung in geometrisches Berechnen

Klassisch konstruierte Grenzprozeß-Folgen
Das folgende Bild zeigt eine klassisch Konstruktion zum Dritteln eines Objektes Rechteck bzw. einer Strecke, die von den heute hierzu gelehrten Vorgehen mit dem Strahlensatz abweicht.
Es wird einmal eine elementar konstruierte Dreiteilungsberechnung und zugleich auch ein konstruiertes Berechnen mit einem endlosen Grenzprozeß gezeigt, der dem Ergebnis als Grenzrechteck bzw. Grenzpunkt zustrebt. Mit einem hierzu analogen Prozeßvorgehen gelingt auch für einen Kreisbogen bzw. Winkel ein klassisch konstruierter Drittelungsprozeß, sofern der Radius viel größer als die Bogenlänge ist.
Geometrische Konstruktion als Berechnungsplan:
Die real ausgeführte Konstruktion zum exakten Grenzprozesse ist zugleich Kostruktionsplan und beschreibt alle Schritteaktionen vollständig bis ins Endlose, was erst durch die Nutzung von sich wiederholenden Schrittezyklen möglich wird. Ein immer vollständiger ausgeführtem Grenzprozeß vervollständigt das konstruierte Kohärenzmodell und erhöhrt mit weiteren Zeilen nach unten die Genauigkeit der abhängigen Darstellung des Ergebnisses Drittel immer weiter. Dieses Fortsetzen ist, zumindest theoretisch endlos möglich.
Von Alters her gibt es zu den konstruierten Grenzprozessen Irritationen und Denkblockaden. Sie resultieren aus unterschiedliche Sichtweisen zur Erzeugung und Darstellung des Ergebnisses. Schon sehr früh gab es im alten Griechenland erste Lösungsversuche für die klassisch zu konstruierenden drei Aufgaben, dem Winkeldreiteilen, der flächengleichen Umwandlung der Kreisfläche in eine Quadratfläche (Quadratur) und dem Doppeln des Würfelinhalts. Besonders zu nennen sind hier Antiphon und Bryson (5Jh.v.u.Z.), sowie Hippias von Elis und Dinostratos (5/4.Jh.v.u.Z.). Diesen alten Griechen war offenbar vom Grundsätzlichen her klar, dass bei der Kreisquadratur die gesuchte gleichgrosse Quadratfläche aus den zerkleinerten Kreissegmenten zusammengetzt werden muss. Bei realer Ausführung wird die Multi-Teilung und nachfolgende Multi-Summation immer vorzeitig abgebrochen. Trotz des exakten Lösungsvorgehens führt der nur unvollständig ausgeführte Lösungsprozess zu einer nur unvollstängigen Grössen-Darstellung der neu zusammengesetzten Quaratfläche. Anders als bei bekannten beschränkten Näherungen, wie der oft zitierte Näherung für das Kreisverhältnis π von Kochanski (1684). Bei einer unbeschränkten Näherung kann mit immer mehr ausgeführten Schritten des exakten Grenzprozesses, die alle in einem Konstruktionsplan vorgeben sind, zu immer vollständigeren Ergebnisdarstellungen gelangt werden, der ohne Ende fortgesetzt werden kann.
Der berühmte Geometer Euklid (ca 330 v.u.Z.) knüpft in seinem richtungsweisendes Grundlagenwerk ELEMENTE nicht an das seit Antiphon (5.Jh.v.u.Z.) bekannte Wissen zu Zusammenhängen des Berechnens der Kreisfläche an. Euklid betrachtet nur statische Zusammenhangsysteme, wie die Konstruktion eines Mittelpunktes oder eines Rechtecks usw. Seine klassich konstruierten exakten Ergebnisse sind nach endlich vielen zusammenhängend gezeichneten Kreis und Gerade- Objekten endgültig fertiggestellt. Euklid betrachtet keine konstruierten Grenzprozesse und so bleiben solche in der Geometrie bis heute weitgehend unbetrachtet. Für Euklid waren nur mit endlich vielen Schritten konstruierte Sequenzen zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objekte exakte Berechnungen. Das eEuklidische Vorgehen setzt sich bis heute fort. Mit den ELEMENTEN begründet Euklid eine bis heute anhaltende Denkblockade zu klassisch konstruierten Grenzprozessen. Im historischen Entwicklungszeitraum verlief die Entwicklung zu Grenzprozessen nur im Zusammenhang mit Zahlen (unendliche Reihen / Multisummen und unendliche Multiprodukte). und beginnt beginnt in der Neuzeit mit Vieta (1550-1603), der für das Kreisverhältnis π einen endlosen Berechnungsprozess als unendliches Produkt angab:
Klassisch konstruierte exakte Grenzprozesse bleiben so bis heute weitgehend unbetrachtet und ungenutzt. Weil es für diesen bremsenden Sachverhalt keine überzeugende Begründung gibt, werden wir im Rahmen der Cohaerentic-Kalkulationen nun auch klassisch konstruierte exakte Grenzprozesse, die einem exakten Grenzwert / Grenzzustand zustreben, betrachten und nutzen.
Was soll mit Urberechnugen erreicht werden?
Durch das methodische Erweitern des Berechnens um klassisch konstruierte Grenzprozeß-Folgen, die als Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten konstruiert werden, wird das Phänomen des "elementaren Berechnens" der Raumkohärenzen verständlicher.
Maßnahmen zur Verbesserung der Effizienz konstruierter Grenzprozesse
Bei den Cohaerentic- Berechnungen werden die klassischen Konstruktionen zum Berechnen nicht nur als eine mit endlich vielen Schritten konstruierbare Strecke bzw. Zahl erwartet, sondern nun auch als konvergente endlose Folge konstruierter Punkte, die einem Grenzpunkt zustreben. Dieser fällt mit dem erwarteten Ergebnispunkt der elementaren Berechnung zusammen. Das folgendes Bild zeigt eine solche Grenzprozeß-Konstruktion für ein Abrollen des Halbkreises. Mit einem durch die letzten drei Folgepunkte konstruierte Fortsetzungskurve wird der Lösungsprozeß verkürzt. Dieser Kreisbogen verläuft hier von der rechten unteren Bildecke zur linken oberen Bildecke.
Mit dem sehr kontinuierlichen kreisähnlichem Verlauf der Punktekurve ist es nahegegelgt, die Punktefoge dieses konstruierten Grenzprozesses mit einer Fortsetzungskurve "Kreis" weiter zu führen und damit den Prozeßablauf zu verkürzen. Diese Fortsetzungskurve wird als Kreiskurve durch die letzten drei konstruierten Folgepunkte konstruiert. Auf diese Weise sind schon mit wenigen zusätzlichen Schritten, gemessen an den endlos vielen möglichen Schritten, stark reduzierte Ergebnisabweichungen erreicht, wie es das obige Bild zeigt. Es ist der kontinuierliche natürliche Raumzusammenhang der die Verkürzung des Grenzprozesses ermöglicht. Mit dem Erhöhen der Eckenanzahl des Vielecks wird die Kreisfläche bzw, die Kreisumfanglänge immer vollständiger berechnet. Hier wird hier mit den Abrollprozessen des regulärem 4-Eck, des 6-Ecks und des 8-Ecks zur Fortsetzungskurve "Kreis" gelangt. Es überrascht, wie umfassend der natürliche kontinuierliche Raumzusammenhang bereits mit dieser geringen Eckenanzahl zutage tritt und eine Aussicht für höhere reguläre Eckenanzahlen bietet. Ein endloses Fortsetzen des Konstruierens (Berechnens) kann hier schnell zur sinnlosen Aktion werden. Die dann erreichte Darstellung der höhere Ergebnisgenauigkeit ist nicht mehr sinnvoll verwertbar.
Unterschiede zwischen einer beschränkten und einer unbeschränkten klassischen Konstruktion
Die Unterschiede zwischen einer beschränkten e u k l i d i s c h e n Konstruktion und einer darüber hinaus gehenden unbeschränkten klassischen Konstruktion wird anhand des folgenden Bildes erklärt.
Ohne das im ersten Quadranten eingezeichnete Stück der Hyperbelkurve ist das Bild eine klassisch euklidische Konstruktion. Die Lösungsweg-Beschränkung auf endlich viele zusammenhängende Kreis- und Gerade-Objekte und das Weglassen elementar konstruierter Grenzprozesse mit endlos erzeugbarer Punkte-Folge ist hier voll erfüllt. Diese Beschränkung wurde im antiken Griechenland neben der Beschränkung auf Kreis- und Gerad-Objekte praktiziert, ohne daß dieser Sachverhalt besonders hervor gehoben wurde. Mit der eingezeichneten Hyperbelkurve ist mein vorgezeigtes Bild eine erweiterte klassische Konstruktion. Mein bildliches Kohärenzsystem "Rechteck-Kreis" ist Erzeugungsplan (Algorithmus) für das klassische Konstruieren beliebig vieler Punkte der Hyperbelkurve. Eine durchgezogene Hyperbel-Spurkurve entsteht so aber nicht. Sie ist quasi erst das gedankliche Ergebnis nach endlos vielen konstruierten Hyperbelpunkten, die dann endlos dicht benachbart sind und damit dann den Grenzzustand " zusammenhängende Punktefolge = Spurkurve" erreichen.
Das gezeigte bildliche Kohärenzsystem lässt systematische Zusammenhänge zwischen Hyperbelkurve und Rechteck erkennen. Das gelbe Rechteck mit konstanter Flächengrösse hängt hier durch seine verschiedenen Gestaltausprägungen systematisch mit Kurvenpunkten der Hyperbel und des Kreises zusammen. Beide Kurven sind somit miteinander verwandte Kurven. Jedem Punkt einer Kurven ist hier jeweils eindeutig ein Punkt der anderen Kurve zugeordnet und umgekehrt. Dieser gezeichnete Kohärenz-Sachverhalt wird in der Abstraktion mit den bekannten grundsätzlichen Rechenoperationen von Multiplikation/Division beschrieben. Unter den Überschriften "Duplikaten" und "Binärlogarithmen" wird später ein noch effizienteres, umfassenderes Beschreiben der systematischen Zusammenhänge des Erfahrungsraums aufgezeigt.
Insgesamt wird mit den gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen der Frage nachgegangen, ob letztlich so alle klassich konstruierten Rechenzusammehängen der Rechenoperationen erklärt werden können? Schon die Kurven von Kreis und Gerade (Bescränkung auf Zirkel und Lineal ), die wir Urkurvennennen, modellieren bildhaft fundamentale Raum- und Rechenzusammenhänge. Da die höheren Rechenzusammenhänge allein auf die niederen aufbauen, können auch die Punkte der höheren Kurven mit gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen exakt konstruiert und darstellt werden. Weitere hier interessierende höhere Kurven sind quadratische und kubische Parabeln, Hyperbel- und Potenzkurven, sowie auch weitere krumme Kohärenzkurven, die spezielle Zusammenhänge modellieren.
Heutiger Wissenstand zu elementaren Konstruktionen
Schon die einfach verständlichen drei klassischen Aufgaben der Antike, Winkeldreiteilung, Kreisflächenberechnung (Quadratur des Kreises) und Würfeldoppelung, sind unlösbar. Das erwartete Ergebnis kann unmöglich vollständig konstruiert werden. Die Aussage, warum es unmöglich ist, stützen sich auf im 19. Jahrhundert geführte berühmter mathematischer Beweise. Für die Winkeldreiteilung und die Würfeldoppelung stehe keine elementar konstruiert berechnetes Ausziehen einer dritten Wurzel zur Verfügung. Für die Kreisfläche fehle es an einem elementar konstruiertem exakten Berechnen des Kreisverhältnisses π = Kreisumfang /Durchmesser. Diebeim Beweis zur π-Transzendenz von Lindemann zugrunde gelegte Eulersche Identität eiπ+1=0 könne in keinen klassisch konstruierten Rechenzusammenhang übergeführt werden. Immer wieder, auch bei Wikipedia, kann man lesen, für diese klassischen Aufgaben gebe es durchaus einfache exakte Lösungen, wenn die folgenden euklidischen Beschränkungen für den Lösungsweg, auch geometrische Prinzipien genannt, nicht erfüllt, nicht eingehalten werden:
a) - keine weiteren Werkzeuge und Hilfsmittel neben Zirkel und Lineal
b) - keine schon gezeichneten Kurven verwenden, die über Kreis und Gerade hinaus gehen.
c) - konstruierte Grenzprozesse bleiben unbetrachtet, da sie nicht erwartet werden.
Nachvollziehbare ernsthafte Erklärungen, warum diese Beschränkungen eingehalten werden sollen, sind nicht überliefert. Führen die Beschränkungen zu Vorteilen oder nur zum Wohlgefallen der Götter? Als Motivation bleibt noch der sportliche Aspekt, wie beim Errichten von Hürden, was eine Laufstrecke schwieriger und damit interessanter macht. In der Fachliteratur und heute auch bei Wikipedia im Internet sind Beispiele für exakte Lösungsberechnungen zu finden, bei denen die Beschränkungen a) und b) nicht eingehalten werden. Dabei wird mit den Werkzeugen Archimedes-Lineal mit Strich, Bieberbach-Rechwinkelhaken, Tomahawk usw. gearbeitet. Ein bislang unbetrachtetes Problem ist, diese hinzu genommenen weiteren Werkzeuge, Kurven und Hilfsmittel sind in idealer räumlicher Anordnung zu nutzten. Sie müssen mit immer kleineren, letztlich endlos kleinen und damit endlos vielen Schritten erzeugt und letztlich zurecht gerückt werden. Dies hat zur Folge, wenn solche zusätzliche Hilfsmittel genutzt werden, wird die mit Beschränkung c) verbundene "Endlichkeitsforderung" niemals vollständig erfüllt.
Für die Beschränkungen a) bis c) ist lange Zeit kein exaktes Lösungsberechnen gesucht und gefunden worden. Hinderungsgrund war wohl auch die Vorstellung, daß niemand hat die Zeit hat, endlos viele Schritte auszuführen.
Historisches zu Grenzprozesse der Kreisberechnung
Antiphon (5. Jh. v.u.Z.)
Der Ursprung des Gedankens zu Grenzprozessen findet sich bei Antiphon (5. Jh.v.u.Z.). Mit immer kleineren Dreieckflächen will er den Kreis immer vollständiger ausfüllen. Mit unseren heute gebräuchlichen Begriffen gilt: Wächst die Zahl der kleinen Dreiecke ins Endlose, dann wächst deren Multi-Summe gegen den Grenzwert der Kreisfläche. Über eine von Antiphon durchgeführte praktische Ausführung seiner Berechnungsidee ist nichts überliefert. Später wird sein fundamentaler Lösungsansatz immer wieder aufgegriffen und weiterentwickelt. Dies findetr statt, obwohl dem Antiphon mangelndes Wissen und auch Trugschlüsse zu seinem fundamentalem Berechnungsvorschlag unterstellt wurden und werden. Bryson hat dem Innen-Vieleck seines Zeitgenossen Antiphon das Aussen-Vieleck hinzugefügt, wodurch die wahre Kreisfläche zwischen beiden Vielecken eingeschlossen war.
Archimedes (285-212 v.u.Z.)
Archimedes ist der Erste, der auf der Grundlage der Ideen von Antiphon und Bryson eine praktische Berechnung mit einem regulären einbeschriebenem und umbeschriebenem 96-Eck ausführt. Er weiss, wie auch Antiphon und Bryson, es muss theoretisch eigentlich bis zu endlos vielen Ecken forgesetzt gerechnet werden. Dies ist in der Realität nicht möglich, so daß immer nur ein Zwischenergebnis und eine unvollständig Ergebnis-Darstellung, beispielsweise mit nur 5 wahren Nachkommastellen, zustande kommt. Ohne Nutzung der Zahlen wird hier zu keinem Ergebnis gelangt. Das Archimedes-Ergebnis ist somit keine klassich konstruierte Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten.
Fontana (ca 1784)
Fontana, ein italienischer Mathematiker, veröffentlichte im Jahr 1784 (gefunden im Buch: Theodor Vahlen "Konstruktionen und Approximationen" Verlag B.G.Teiner 1911, S. 314) als erster ein mit Kreis und Gerade konstruierte unbeschränkte Näherung für das exakte Berechnen der Kreisbogenlänge durch einen Grenzprozess. Er verletzt die Beschränkung c), schenkt dieser keine Bedeutung und Beachtung. Sein konstruiertes Berechnen gerät aber schnell in Vergessenheit, da es eine schwache Konvergenz aufweist und von der Fachwelt als nur genäherter Berechnungsprozess angesehen wird.
Historisches zu Grenzprozessen des Winkeldrittelns
Archimedes (285-212 v.u.Z.)
Archimedes ist auch der Erste, der auf der Grundlage der Ideen von Hippias von Elis (5.Jh. v.u.Z.) eine praktische Berechnung des Winkeldrittels angeht. Anhand eines Lineals mit einer Abstansmarkierung erklärt er, bei welcher Konstellation des Linealanlegens das Winkeldrittel erreicht ist. Bei abstrakter Betrachtung dieses Vorgehens läuft es immer auf eine herbeiprobierte Lösung hinaus. Wird die erreichte Anlegesituation immer so lange "gezoomt", bis eine noch vorhanden Abweichung erkannt wird, muss auch immer noch ein Nachrücken des Masslineals erfolgen. Dieses Vorgehen hat vom Prinzip her kein Ende. Archimedes weiss sehr wohl, dass er einen quasi endlos fortzusetzenden Prozess des Berechnens vorzeitig abbricht.
Descartes (1596-1650))
Descartes () hat seinem berühmten Werk von 1637 " la Geometrie" auch einen Beitrag zum exakten Dreiteilungsprozeß des Winkels mit Hilfe einer Kohärenzkurve quadratische Parabel veröffentlich, samt einer geometrischen Konstruktion, die das folgende Bild zeigt,
Aus den linken Teilbild mit der Parabel ist nur anschaulich zu erkennen, daß ein Kreis eine Parabel vier mal schneidet. Beim rechten Teilbild sind ein zu dreiteilender Winkel ∠PON und die gesuchten Drittelwinkel ∠POT, ∠TOQ und ∠QON zu erkennen. Leider findet sich keiner der Punkte vom rechten Teilbild im linken Teilbild wieder und umumgekehrt, was dem Verständnis nicht gerade zuträglich ist. Aus dem linken Teilbild ist ein Bezug zur Dreiteilung leider nicht direkt zu erkennen. Die durch Descartes etwas unglücklich gewählte Darstellung des konstruierten Lösungsprozesses hat dazu beigetragen, daß sein erdachter Lösungsprozeß etwas in Vergessenheit geraten ist. Im Internet-Lexikon Wikipedia sind viele Lösungsversuche zur Wnkeldreiteilung gesammelt und besprochen. Die Existenz des exakten Lösungsprozesses von Descartes ist dabei nur beiläufig kurz erwähnt. Das obige Bild von Descartes dazu ist ganz weggelassen und bleibt somit unbetrachtet und unerklärt. Hier ist die Bedeutung dieses exakten Lösungsprozesses gegenüber den anderen ausführlicher abgehandelten Lösungsprozessen mit höherer Kohärenzkurve, wie der Hyperbel, nicht erkannt. Ein ausführlicheres Betrachten der systematischen Winkel-Dreier-Kohärenz im Kreis werden wir später im Kapitel "Enträtseltes Winkeldreiteilen" noch darlegen.
Fialkowski(1818-1902)
Nicolaus Fialkowski, ein österreichischer Mathematiker, hat in seinem Buch, Nikolaus Fialkowski, "Theilung des Winkels und des Kreises", Wien Verlag Gerolds Sohn 1860, S. 11; 12 als erster eine exakte Winkeldreiteilung durch gezeichnete fortgesetzte Halbierungen veröffentlicht.
Damit die Folge der Aktionsschritte "Halbieren" besser nachverfolgt werden kann, ergänze ich die Zeichnung von Fialkowski mit einem Hilfsstreckenzug mit angebrachten laufenden Nummern, welche die aktuellle Zahl der Halbierungen benennen.
Fialkowski selbst nennt sein gezeichnetes exaktes Berechnen der Winkeldreiteilung eine Näherung und genügt damit der quasi amtlichen Mathematik, die bei endlosen exakten Berechnungen (konstruierten Grenzprozessen) wegen der nicht ausgeführten endlos vielen Schritte von Näherungen spricht. Andererseits hat Fialkowski aber erkannt, dass sein Winkelteilen doch ein gezeichnetes exaktes unbeschränktes Berechnen ist. Er schreibt hierzu:
"Mann kann durch fortgetztes Halbiren der Trisection des Winkels so nah, wie man will, kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als jede angebbare Grösse wird".
Fialkowski legt sogar selbst ein schnelles Vergessen seiner erfundenen exakten Winkeldreilung nahe, denn er schreibt:
"Allein diese Construktion hat für das praktische Zeichnen gar keinen Werth; erstens weil man die nach und nach kleiner und kleiner entstehenden Winkel geometrisch nicht so leicht nach dieser Art halbiren kann, aus welchen Gründen diese Methode beim praktischen Zeichnen nicht anwendbar ist."
Fialkowski weist hier auf eine schwache Konvergenz hin, bei der eine brauchbare vom wahren Ergebnis nicht mehr weit entfernte Zwischenergebnis-Darstellung, erst nach sehr vielen Prozeßschritten errreicht wird. Hier stellt sich die Frage, wie wird von einer schwachen zu einer starken Konvergenz gelangt, um die Anzahl der Schritt zu vermindern?
Mit den klassich konstruierten Cohaerentic-Kalkulationen wird das Ziel verfolgt, die drei klassischen Uraufgaben und auch weitere mit elementaren Konstruktionsprozessen exakt zu berechnen . Es wird dem Ziel nach einer endlichen Konstruktionsprozedur, die ohne Probieren auskommt, nahe gekommen. So wird schon nach wenigen, gemessen an den endlos viel möglichen Schritten, zu sehr genauen Ergebnisdarstellungen gelangt. Theoretisch kann mit anwachsendem Konstruktionsaufwand die Ergebnisdarstellung immer genauer ausgeführt werden. Dabei wird schon sehr bald das Ausführen weiterer Schritte zur sinnlosen Aktion, da die damit erreichte hohe Genauigkeit nicht mehr darstellbar ist und auch nicht mehr gebraucht wird.
Paradoxe Situation bei fundamentalen Uraufgaben:
Bekannte fundamentale Uraufgaben sind das Finden klassisch konstruierter exakter Berechungsprozesse für die drei klassischen Aufgaben der Antike, die Dreiteiung des Winkels, die flächengleiche Umwandlung der Kreisfläche in ein Quadrat und das Verdoppeln des Würfelvolumens.
Eine sehr fundamentale Aufgabe des konstruierten Berechnens ist auch:
"Ein gezeichnetes beliebig gegebenes Drehungen-Verhältnis in ein gleichgrosses Strecken-Verhältnis überzuführen und umgekehrt."
Wo finden wir die dazu passende Situation in der Praxis zu dieser Uraufgabe? Da haben wir die Größe des Abrollweges eines Rades, wenn sich diese dreht. Ähnlich ist es mit der Größe der Seillänge, die von einer drehenden Seiltrommel abgerollt.
Eine paradoxe Situation ist auch, daß es für keine beliebig gegebenen Ausdehnungsgröße eine exakt abbildende Kommazahl mit nur endlich vielen Nachkommastellen gibt. Dazu ist die Problematik Kreisverhältnis π ein Beispiel dafür. Das Ausmessen des Kreisunfangs und das arithmetische oder konstruierte Berechnen des Kreisverhältnisses münden in endlosen Grenzprozessen. Diese produzieren in der Praxis die Kommazahlen mit endlich vielen wahren Nachkommastellen, deren Umfang mit mehr Aufwand immer weiter erhöht werden kann, zumindest theoretisch.
Arithmetik
Die Arithmetik ist die "Rechenkunst" mit Zahlen als Rechengrössen. Die Algebra ist die "Rechenkunst" mit Buchstaben als Platzhalter in Gleichungen, wie beispielsweise bei 3x+7=2 oder c2=a2+b2 beim Satz des Pythagoras. Für Cohaerentic-Kalkulationen schauen wir als Wissensquelle nicht auf Arithmetik und Algebra, sondern auf die elementare Geometrie. Dabei wird zur Systematik im Erfahrungsraum geforscht. Es interessiert, wie räumlich ausgedehnte Objekte miteinander zusammenhängen, beispielsweise die Kreisflächengrösse mit der Kreisradiusgrösse. Dargestellt wird das gesammelte Wissen dann in abstrakten Sätzen zu bildlichen Kohärenzmodellen wie im Satz des Thales, im Satz des Pythagoras, im Höhen- und Kathetensatz des Euklid usw. Im 15.Jahrhundert mündet dies Betrachten in abstrakteren symbolischen Darstellungsformen, insbesondere in Kegelschnitt-Gleichungen. Das Wissensgebiet dazu wird heute mit "Analytische Geometrie" bezeichnet. Die direkte anschauliche Erfahrung wird seitdem immer weniger in Anspruch genommen. Anders wird nun bei den klassisch konstruierten Cohaerentic-Kalkulationen vorgegangen. Es findet eine Rückbesinnung auf die Wissensquelle Erfahrungsraum statt.
Der Bergriff Cohaerentic ist ein erfundenes Kunstwort, das Bezug auf das lateinische "cohaerentia = Zusammehang" nimmt. Wir bezeichnen damit ein Wissensgebiet zum klassich konstruierten "Kalkulieren" mit natürlichen Rechengrössen. Diese werden mit zusammenhängenden Kurvenstücken von Kreis und Gerade (Beschränkung auf Zirkel und Lineal) gezeichnet. Hierbei sprechen wir von einem Urberechnen, dessen Grundlagen die Wissensquellen klassisch konstruierte Kohärenzsysteme sind. Die Kenntnis von Arithmetik und Algebra sind dabei nicht notwendig.
Unterschied von euklidischer Konstruktion und klassisch konstruierten Berechnungen
Unterschied a)
Klassich konstruierte Berechnungen und elementare Konstruktionen werden beide mit den Urkurven Kreis und Gerade gezeichnet. Bei elementaren Konstruktionen sind nur endlich viele Schritte bzw. gezeichnete Objekte bzw. Grundrechenoperationen zugelassen. Hingegen sind bei konstruierten Berechnungen auch Berechnungsprozesse für Grenzwerte mit Zyklen-Wiederholungen zugelassen, was theoretisch endlos fortsetztbar ist. Auf diese Weise kann jede gewünschte Ergebnis-Genauigkeit herbei konstruiert werden.
Historischer Abriss:
Schon sehr früh bringt der griechische Sophist Antiphon (5.Jh.v.u.Z.) das Problem des Berechnens mit endlos vielen Berechnungsschritten ins Spiel, um für die Kreisfläche zu einer reproduzierbar berechneten Grenzwert-Darstellung zu gelangen. Er schlug vor, die Kreisfläche mit immer mehr kleinen Dreiecken immer vollständiger auszufüllen, was einer Kreisannäherung mit einem regulären Vieleck mit immer mehr Ecken gleichkommt. Theoretisch kann hier die Eckenanzahl ohne Ende erhöht werden. Diese Idee stösst aber bis heute auf ablehnende Interpretationen. Antiphon erliege dem Trugschlüss, seine vorgeschlagene Vorgehensweise führe für das reguläre Endlos-Vieleck zur wahren Grösse der Kreisfläche. Tatsächlich werde aber nie zur exakten Kreisflächengrösse gelangt.
Seitdem wird für elementare Konstruktionen die wohl esoterisch und religiös motivierte Erwartung vererbt, dass gezeichnete Berechnungsprozesse nur dann exakte Berechnungen sind, wenn sie mit endlich vielen Schritten eine diskrete, endgültige Ergebnisdarstellung erzeugen.
Da heute die einst esoterisch und religös motivierten Ausschlussgründe für endlos fortsetzbare Berechnungsprozesse nicht mehr überzeugen, lassen wir sie sie bei den elementar gezeichneten Cohaerentic - Kalkulationen weg. Nun sind auch theoretisch endlose Prozesse zugelassen, was neue Quellen für wichtiges Wissen zum Berechnen zugänglich macht.
Unterschied b)
Bei Cohaerentic-Kalkulationen soll zusätzlich für den gesamten Rechengang das Kriterium für ein anschaulich sinnfällig nachvollziehbares Zutreffen erfüllt sein. Dafür muss aus den gezeichneten bildlichen Sequenzen der zusammenhängend gezeichneten Kreis- und Gerade-Objekte das erwartete Ergebnis immer zweifelsfrei nachvollziehbar gefolgert werden können. Zweifel am exakten Zutreffen des Ergebnisses werden so ausgeschlossen. Dieses Kriterium wurde im historischen Zeitraum nicht und wird auch heute nicht betrachtet. So kommt es, dass die Ergebnisse einer elementaren Konstruktion oft überraschen, wie bei einem Zaubertrick. Die Frage, warum funktioniert es, bleibt dann offen? Die von Dinostratos (ca. 450.v.u.Z.) und Kochanski (1683) vorgezeigten elementaren Konstruktionen für ein gezeichnetes genähertes Kreisverhältnis π = Kreisumfamg /Kreisdurchmesser sind Beispiele für die besagte Überraschung. Durch mehr investierten Rechenaufwand, beispielsweise beim Ausziehen von Wurzeln, werden hier die mit elementarer Konstruktion erzeugten Näherungen (Approximationen) nicht verbessert. Sie sind beschränkte Näherungen.
Anschauliches Beispiel eines konstruierten Berechnen für die Unterschiede a) und b)
Die folgende elementar gezeichnete Kalkulation betrifft den Höhensatz des Euklid, zu dem einst Euklid von Alexandria (ca. 330 v.u.Z.) in seinem berühmten Grundlagenwerk ELEMENTE schon im Buch II eine elementare Konstruktion und einen zum Richtigsein geführten Beweis veröffentlichte. Die hier vorgezeigte Cohaerentic Kalkulation ist ein anschauliches Beispiel für den Unterschied zur euklidischen klassischen Konstruktion samt der euklidischen Beweisführung zum Richtigsein.
Die Cohaerentic- Kalkulation geht hier mit dem grossen Rechteck KJLC und der Symmetrie-Diagonale KL über die von Euklid zu seiner Satzaussage gezeichnete elementare Konstruktion mit den Punkten E; B; C; D; G; F und H hinaus und macht damit den oben angesprochenen Unterschied b) zur elementaren Konstruktion anschaulich.
Mit der hier im Bild erfahrbar gemachten Flächengleichheit von rotem Rechteck und rotem Quadrat wird die Kernaussage des Höhensatzes sehr anschaulich und ohne zusätzliche Hilfsbetrachtungen nachvollziehbar. Dabei spielt die gestrichelte Diagonale KL als Symmetrielinie die entscheidende Rolle, um die Richtigkeit der Flächengleicheit von rotem Rechteck und rotem Quadrat zweifelsfrei erkennen zu können. In der elementaren Konstruktion des Euklid und allen später hierzu in der Fachliteratur veröffentlichten elementaren Konstruktionen fehlt das Rechteck KJLC mit der Symmetrie-Diagonale KL. Später wird unter der Rubrik "Uraufganen/Kreis/Kreis-Objekte/... zur Problematik Höhensatz des Euklid noch mehr ausgeführt werden und auch noch zur Kreisquadratur, zur allgemeinen Kreisteilung in beliebige ganzzahlig viele Sektoren (Tortensstücke) und zu weiteren Urzusammenhängen.
Beispiel für ein quasi endlose Cohaerentic-Kalkulation (Unterschied a))
Auch bei diesem Beispiel kann aus dem vorgezeigten Rechengang das gezeichnet berechnete Ergebnis zweifelsfrei gefolgert werden. Es ist die gestreckte Länge des Kreisumfangs. Diese Art des Berechnen nennen wir ein Urberechnen zu einer fundamentalen Uraufgabe. Konkret wird hier ein natürlich konvergierender Berechnungsprozess (Rechengang) für den Krümmungs-Grenzwert des betrachteten Kreisbogens vorgezeigt. Mit dem Erreichen dieses Grenzwertes wird die gestreckte Kreisumfanglinie zur Strecke.
Bildbeschreibung zur Rektifikation
Es sind immer mehr neue Kreisbogen bei unveränderter (konstanter) Länge und halbierter Krümmung gezeichnet berechnet und dargestellt. Gedanklich kann dieser endlose Prozess immer weiter fortgesetzt werden. Real wird jedoch immer nach endlich vielen Schritten abgebrochen, sobald das Endekriteruim praktisch erfüllt ist und keine Bogenkrümmung mehr erkannt werden kann. Später wird noch demonstriert werden, wie durch besondere Massnahmen die Konvergenz dieses gezeichneten Grenzprozesses deutlich verbessert werden kann. Schon nach wenigen Schritten wird dann eine befriedigend genaue Ergebnis-Darstellung erreicht.
Lesenden werden hier fragen, welchen Schaden gibt es, was an Verständnis zum Berechnen geht verloren, wenn der geforderte Ausschluss endloser Berechnungsprozesse nicht befolgt wird? Ich behaupte, es geht nichts verloren, im Gegenteil, es werden viele gezeichnete exakte Berechnungen so erst möglich und damit auch ein Mehr an zweifelsfreiem Verstehen zum Berechnen. Für Cohaerentic-Kalkulationen sind deshalb alle elementar zeichenbaren Berechnungsprozesse zugelassen, deren gezeichneten Rechengänge bis zum letzten Schritt anschaulich sinnfällig Nachvollzogen werden können.
Endlose Multisummen
Auch das nächste Bildbeispiel unterstützt den Zugang zum Wissensgebiet der Cohaerentic- Kalkulationen. Vorgezeigt wird ein bildliches Kohärenzsystem zu Grenzwerten, die endlose Multisummen sind. Die Aufgabe des Berechnens lautet hier: Ein Summe-Quadrat soll erzeugt werden aus zwei Grenzwerten endloser Multisummen aus Rechtecken und Quadraten.
Bildbeschreibung zu Multisummen aus Grenzprozessen
Die Lösungszeichnung zeigt eine bestimmte Ordnung beim Platzierens der Rechtecke und Quadrate. Die Rechteckflächen sind die Summe zweier kleineren gleichgrossen Quadrate. Insgesamt weist das grosse Quadrat eine unsymmetrische ungleiche, aber dennoch systematische Aufteilung auf. Dieses Wissen zur ungleichen Aufteilung werden wir später für ein anschaulich sinnfällg gezeichnetes exaktes Berechnen der Winkeldreiteilung nutzen, das heute als unmögliche Aktion einer elementaren Konstruktion gelehrt wird. Das später unter der Überschrift "Winkeldreiteilung" vorgezeigte, mit einer Cohaerentic-Kalkulation erzeugte Winkeldrittel- Ergebnis ist dabei nicht überraschend herbei gezaubert und auch nicht durch probierendes Annähern erzeugt. Es wird stringent, Schritt um Schritt exakt herbei gerechnet und zwar anschaulich sinnfällig nachvollziehbar.
Lernende können anhand gezeichneterursprünglicher Cohaerentic-Kalkulationen, noch ohne Zahlen, das Phänomen und Wesen des an Schritte gebundenen "Berechnens" entdecken, und besser verstehen. Dabei helfen konkrete natürliche Objekte, die sich mit alltäglicher Erfahrung decken, wie Grenzlinien ohne Breite und natürliche Rechengrössen wie Drehung (Winkel), räumlicher Abstand, Fläche usw. Auch die Urrechenoperationen Doppeln und Halbieren mit beliebigen Duplikatoren spielen hierbei eine dominierende Rolle. Mit dem elementaren Vorgehen zeigt sich, exakte Rechenprozesse gibt es nicht nur mit Zahlen, sondern primär mit realen Rechengrössen in natürlichen bildlichen Kohärenzsystemen. Höhere Rechenarten werden dabei auf niedere, die Grundrechenarten und auf quadratische, mit Kreis und Gerade zeichenbare Rechenzusammenhänge rückgeführt.
Grenzwert, Stetigkeit und Konvergenz
Mit Cohaerentic-Kalkulationen kommen für die mathematischen Begriffe "Grenzwert, Stetigkeit und Konvergenz", neue Bezüge hinzu, insbesondere solche mit natürlichen Sachverhalten. So wird entdeckt: Fundamentale Konstanten sind zuerst Ergebnisse gedanklicher und dann gezeichneter Grenzwert-Prozesse im natürlichen Erfahrungsraum und dann erst Zahl-Abbild für einen gezeichnet berechneten Grenzwert. Der gezeichnete Grenzwert "Kreisverhältnis π = Kreisumfang / Durchmesser" ist somit zutreffender und damit fundamentaler als sein numerisches Abbild die Kreiszahl πZahl.
Worauf ist für die Grundlagen des Berechnens zuerst zu schauen? Sind es Zahlen als Rechengrössen oder sind es die mit den Urkurven Kreis und Gerade gezeichneten geometrisch ausgeprägten Rechengrössen in elementar gezeichneten Kohärenzssystemen? Welche der beiden angesprochenen Arten des Berechnens ist ursprünglicher und mit seiner Kohärenzgrundlage besser verständlich?
Der Sachverhalt, dass mit Cohaerentic Kalkulationen die fundamentale Konstante π als natürlicher Grenzwert entdeckt werden konnte, spricht für Folgendes: Für die Einsichten zu den Grundlagen des Berechnens ist den nur mit Kreis und Gerade gezeichneten Berechnungen ein Vorrang gegenüber solchen mit Zahlen einzuräumen, für die es keine direkten Bezüge zum Erfahrungsraum gibt.
Verbesserte Effizienz
Für die Cohaerentic-Kalkulationen werden Massnahmen angestrebt und erfunden, welche die gezeichneten konvergenten endlosen Rechengänge auf einen real ausführbaren Umfang an Schritten abkürzen. Es soll mit weniger Schritten zu einem für alle Anforderungen der Praxis ausreichend genau dargestelltem Ergebnis gelangt werden. Damit werden Uraufgaben auf elementarer, anschaulich verständlicher Ebene exakt und zugleich effizient berechenbar. Solche erfundene, den Umfang an Schritten verkürzende Massnahmen wurden schon für die Kreisfläche, den Kreisumfang, die Winkelteilung, die Winkelerzeugung, das Duplizieren mit beliebigen Duplikatoren und auch für Potenzkurven gefunden.
Wenn die Cohaerentic- Kalkulationendie Eigenschaft "konvergent" aufweisen, streben sie mit wachsendem Sequenzumfang (Anzahl der Schritte) stringent und ohne probierende Schritte immer mehr einem gedanklichen Ergebnispunkt zu, beispielsweise auch einem Punkt für ein gesuchtes Winkeldrittel. Der Abstand eines solchen Punktes zu einem ursprünglich gegebenem Punkt (Nullpunkt) ist dann Grenzwert oder Limes für eine endlose Sequenz. Nicht betrachtet werden hier gezeichnete divergente Berechnungsprozesse.
Insgesamt leisten die elementar gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen mit ihren "anschaulich verständlichen Rechengängen" etwas, was viele ebenfalls nur mit Kreis und Gerade (Beschränkung auf Zirkel und stirchloses Lineal) gezeichnete elementaren Konstruktionen nicht leisten. Dieses fehlende "Etwas" gibt es schon bei den elementaren Konstruktionen im berühmten Grundlagenwerk des Geometers Euklid (ca 330 v.u.Z.), so auch zum Höhen und Katheten-Satz, ubd den Satz des Pythagoras usw. Dazu werden später noch ausführliche Betrachtungen geführt.