Cohaerentic - Berechnen_mit Kreis

Überblick und Einführung

Liefern anschauliche Raum-Zusammenhänge die Grundlage für elementare Rechenoperationen?

B e r e c h n e n - Prozess und Grenzprozess?

Was ist klassisch konstruiertes Berechnen?

bisher: Durch die Vorbildwirkung des richtungsweisenden Sammelwerkes ELEMENTE, in das Eukid (ca. 330 v.u.Z.), das für ihn wesentliche geometrische Wissen der Antike aufgenommen hat, sind bis in die Neuzeit die Aufgabenlösungen an den euklididschen Vorgaben orientiert. Klassisch konstruierte Grenzprozesse bleiben daher weitgehend unbetrachtet und ungenutzt. Wenn überhaupt, wird das Weglassen damit begründet, dass mit höheren Kurven, zusätzlichen Werkzeuge und mit Grenzprozessen vom Prinzip her nie vollständig berechnet und daher das Ergebnis nur unvollständig dargestellt werden kann.
neu: Bei Cohaerentic-Kalkulationen wird nicht der auf Euklid zurüchgehenden Denkblockade zu klassisch konstruierten Grenzprozessen gefolgt. Alle hier betrachteten klassisch konstruierten Grenzprozesse kommen allein mit Zirkel und Linieal bzw. den fundamentalen Kurven Kreis und Gerade aus. Damit bleiben diese konstruierten Berechnungszusammenhänge nachvollziebar und verständlich.

Erste Beispiele zu Cohaerentic-Kalkulationen für geometrische Uraufgaben

1. Beispiel Klassische konstruierter Grenzprozess Winkeldreiteilung

2. Beispiel Klassische Konstruktionen für Flächengleichheit

3. Beispiel Klassisch konstruierter Grenzprozess für das "Kreisverhältnis π"

4. Beispiel Video, "Verkürzter Grenzprozess für π"

5. Beispiel Digitalisierung des geometrischen Kreisverhältnis π zur Kreiszahl πnum

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Gehen Rechenoperationen auf Erfahrung zurück?

Was ist Berechnen? Sind die Aktionen des mathematischen Berechnens zu verschieden und zu vielfältig, um sie in einer kurzen Definition vollständig zu beschreiben? Allen Aktionen des Berechnens ist gemeinsam, sie kommen nicht ohne Schritte aus. Relativ schnell isr erfahrbar, es gibt Berechnungen, die enden nach endlich vielen Schritten und andere haben kein solches Ende. Sie sind ein endlos fortsetzbarer Prozess, mit dem ein Ergebnis Kommazahl mit immer mehr wahren Nachkommastelen herbei geschafft werden kann.

Hier betrachten wir nun klassisch konstruiertes Urberechnen, bei dem die fundamentalen Verknüpfungen räumlicher Rechengrössen anhand von nur mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruierten Kohärenzsysteme nachvollziehbar und verständlich gemacht werden. Die daraus abstrahierten Rechenoperationen sind Addition/Subtraktion für Strecken und Drehungen (Winkel), Multiplikation und Division für Strecken. Sie werden bei Wikipedia gezeigt: xxxx.

Da die Enzyklopädie Wikipedia den historischen Entwicklungsverlauf folgt, der stark durch die ELEMENTE des Euklid (ca.330 v.u.Z.) geprägt ist, fehlen klassich konstruierten Grenzprozesse. Es fehlt ein nachvollziehbares systematisches Zusammenhangwissen zu einem geometrischen Getriebe, das Translation in Rotation und umgekehrt Rotation in Translation Schritt um Schtritt nachvollziehbar umwandelt. Beide Bewegungsschritte werden quasi direkt miteinander verknüpft? Solches Wissen würde das elementare Winkeldritteln und sogar das allgemeine Winkelteilen ermöglichen. Wegen dieser Lücken sind bis heute zu den Uraufgaben der Antike nur wenige und unbefriedigend nachvollziehbare Lösungsprozesse in der Fachliteratur zu finden. Dies wird sich erst ändern, wenn die Tradition von Euklid verlassen wird, bei der klassisch konstruierte Grenzprozesse als exaktes Berechnen nicht akzeptiert werden und diese Prozesse in der Wissensdarstellung einfach weggelassen werden. Erst der Wille, auch mit einer Sequenz von Kreis und Gerade-Objekten konstruierte endlose Lösungsprozesse, als ein exaktes Berechnen zu akzeptieren, werden auch die drei klassischen Aufgaben der Antike lösbar und zwar anschalich elementar nachvollziehbar:

Die Kreiskurve betrachten wir als die Urkurve im Erfahrungsraum. Ihre Kurvenpunkte P_k haben zum Mittelpunkt M alle den gleichen Abstand. Der Radius r = |MP_K|=konstant hat Grössen von Null bis zu endlos Gross. Die Grösse der Kreiskurvenkrümmung ϱ =1/r ist dabei umgekehrt proportional zur Radiusgrösse. Die erfahrbare Erscheinungsform des Kreises reicht damit vom gedanklichen Punkt ohne Ausdehnung und endlos grosser Krümmung der Kreislinie bis hin zu Kreisen ohne Krümmung, die als Gerade wahrgenommen werden. So gesehen betrachtet die Cohaerentic bei klassisch konstruierten Berechnungen nur Sequenzen zusammenhängender Kreiskurven mit endlos kleinen bis endlos grossen Radien bzw. endlos grossen und endlos kleinen Krümmungen.

Urberechnen mit „klassisch konstruierten Grenzprozessen“

Beispiel Kreisumfang und Kreisabrolllänge

Bekanntes Wissen:

Seit Antiphon (5.Jh.v.u.Z.) und noch konkreter seit Archimedes (3.Jh.v.u.Z.) ist bekannt, dass die Abrolllängen regulärer Vielecke, die einen Kreis ausfüllen oder einschliessen, mit anwachsender Anzahl der Ecken gegen einen Grenzwert wachsen. Dieser ist die Kreis-Abrolllänge, die mit n endlich vielen Ecken immer nur in unvollständiger Grösse dargestellt wird, aber mit n+1 Ecken usw. immer vollständiger dargestellt werden kann. Hier können wir dann von klassisch konstruierten Grenzprozessen sprechen.

Neues Wissen:

Bei Cohaerentic-Kalkulationen werden auch elementar konstruierte Grenzprozesse zugelassen. Ein geistiges Auseinandersetzen mit diesem Vorgehen ist hier nicht mehr blockiert. Ohne diese Blockade können mit erdachten elementar konstruierten exakten Berechnungsplänen auch die Urberechnungen zum Winkeldreiteilen, zur Kreisbogenrektifikation und zur Kreisabrolllänge, sowie auch zur Transformationen von Verhältnissen der Rotation in/aus Translation exakt berechnet werden. Nun können mit endlich vielen, der endlos viel möglichen Schritte, zwar nur unvollständige Zwischenergebnis-Darstellung ralisiert werden, die aber aber immer genauer gemacht werden können, da die vollständigen Berechnungspläne mit Wiederholungen von Schrittzyklen bis ins Endlose bekannt sind. Das weitere Vervollständigen der Ergebnis-Darstellung ist nun allein durch die verfügbaren Ressourcen von Zeit und materiellen Aufwendungen begrenzt.

Beispiel zur Kreis-Abrolllänge:

Wird die besagten Blockade ignoriert, zeigt sich bereits anhand konstruierter abgerollter Dreieckflächen eines Quadrates (reguläres 4-Eck), eines regulären 6-Ecks und eines regulären 8-Ecks ein nutzbarer systematischer Raumzusammenhang. Auf der Grundlage dieses Wissens kann ich eine kontinuierliche Trendkohärenzkurve „Kreis“ durch die letzten Abrollt-Endpunkte legen, hier die Punkte vom 4-; 6- und 8-Eck. Die Punkte-Koordinaten werden durch die Summe der Abrollseiten und die Höhe der Dreiecke bestimmt.

Das Bild zeigt, die fortgesetzte Trendkurve Kreis erzeugt einen Schnittpunkt mit der zur Abrollgeraden parallen, Geraden durch den Kreismittelpunkt. Es wird hier eine schon recht genaue Approximation mit 3,14152 für die Abrolllänge erzeugt. Archimedes (3.Jh.v.u.Z.) berechnet hier mit Vielecken der Anzahl 96 nur zwei wahre Dezimalstellen (3+10/71=3,1408< π <3+10/70=3,1428).

Um hier insgesamt elementar zu bleiben, wurde das angestrebte Kohärenzmodelle allein nur mit einer Sequenz zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objekte konstruiert.

Das obige Bild macht nachvollziehbar, wie mit dem den gezeichneten Plan des endlosen Rechengangs mit immer mehr Eckpunkten und einer Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kreis- und Gerade-Objekte zum exakten Grenzpunkt = Grenzwert gelangt wird, zumindest gedanklich. Der endlose Plan ist hier mit nur endlich vielen Schritten vollständig dargelgt, was durch zutreffende Wiederholzyklen möglich wird. Prinzipielle Beschränkungen an Zeit und matriellen Aufwendungen führen dazu, dass der vollständig beschriebene endlose Rechengang niemals vollständig umgesetzt (abgearbeitet) werden kann. Trotz des exakten Rechenplans (Rechengangs) kann die Grösse des Grenzwertes bzw, die Lage des Grenzpunktes als Ergebnisgrösse niemals vollständig, sprich endgültig fertig dargestellt werden.

Dieses eben dargelegte Vorgehen bedeutet ein Durchbrechen der uralte euklidschen Denkblockade, die vom richtungsweisenden Grundlagenwerk ELEMENTE ausgeht, das einst der berühmte Euklid (ca 330 v.u.Z.) zusammenstellte und auch mit eigenen Beiträgen veröffentlichte. Das vorige Bild ist ein Beispiel dafür, wie mit dem veränderten Paradigma der Cohaerentic abweichend zu den Zielen und Erwartungen, wie sie Euklid (ca. 330 v.u.Z.) in seinem Grundlagenwerk ELEMENTE in richtungsweisender Art demonstriert, nun auch Punktefolgen endloser Erzeugungsprozesse angestrebt und dargestellt werden. Dabei wird gefordert, es muss nachvollziehbar sein, wie dem Ergebnis "Grenzpunkt bzw. einen Grenzwert" logisch nachvollziehbar zugestrebt wird. Ein besonderes Schwerpunktziel ist dabei das elementar konstruierte Berechnen des Endpunktes vom gleichlangen, gerade gestreckten bzw. abgerollten Kreisbogen. Dieses Vorgehen mit vollständig nachvollziehbaren Schritten orientiert sich an der Lehre des Konfuzius mit: "Der Weg ist das Ziel". Das Interesse ist hier auf real nachvollziehbare Grenzrozesse eines "einsichtigen, nachvollziehbaren" exakten Ergebnis-Erzeugungsprozesses gerichtet. Auf diese Weise werden nun auch klassisch konstruierte Lösungsprozesse für dasWinkeldrittel, die Quadratseitenlänge des zum Kreis flächengleichen Quadrates oder die Würfelkantenlänge bei doppeltem oder halbiertem Würfelvolumen und Weiteres möglich. Das Ziel sind exakte verständlich nachvollziehbare und nicht nur genäherte konstruierte Zusammenhänge für das Berechnen.

Mit den im 19. Jahrhundert geführten „Unmöglichbeweisen“ zu den drei klassischen Aufgaben der Antike, Winkeldritteln, Kreisflächenbestimmung und Würfelvolumendoppelung entsteht der Eindruck , als könne es für diese drei Uraufgaben generell kein elementar nur mit Kreisen und Geraden konstruiertes exaktes Berechnen und Ergebnisdarstellen (allein mittels Kreis- und Gerade-Sequenzen) geben. Das im Rahmen der Cohaerentic hierzu gesammelte Wisssen zeigt aber:

Beliebige Winkel und Winkeldrittel können zwar nicht mit einer endlichen Anzahl von Schritten als Zahl oder als klassisch konstruierte Abstandsgrösse vollständig dargestellt werden, wohl aber als unbeschränkter Grenzprozess für ein exaktes Winkeldritteln.
Die Längengrösse des abgerollten oder gestreckten Kreisbogens kann zwar nicht mit einer endlichen Anzahl von Schritten als Zahl oder als klassisch konstruierte Abstandsgrösse vollständig dargestellt werden, wohl aber als unbeschränkter Grenzprozesse zum exakten Abrollen oder Aufbiegen / Geradestrecken.
Die Grösse der neuen Würfelseite bei verdoppeltem Würfelvolumen kann zwar nicht mit einer endlichen Anzahl von Schritten als Zahl oder als klassisch konstruierte Abstandsgrösse vollständig dargestellt werden, wohl aber als klassisch konstruierter Prozess eines exakten unbeschränkten Volumenverdoppelns.

Die besagten „Unmöglich-Beweise“ aus dem 19. Jahrhundert, aus denen uneingeschränkt die „Unlösbarkeit der drei klassischen Aufgaben gefolgert wird, haben wie spätere Lösungsbeispiele noch mehrfach zeigen werden, offensichtlich keine allgemeine, sondern nur eine begrenzten Gültigkeit. Deren konkreter Gültigkeitsumfang ist jeweils an den konkret betrachteten Berechnungszusammenhang beim Beweis geknüpft. Beim Lindemannschen Transzendenzbeweis für π ist es die Eulersche Identität (e^jπ +1 = 0).

im Rahmen der Cohaerentic wird hier noch gezeigt werden, wie die klassisch konstruierten Punktefolgen jeweils einem gesetzmässigen kontinuierlichen Verlauf aufweisen und im Ergebnisbereich immer mehr einer kreisähnliche Punktekurve zustreben. Diese Kurve kann in ihrem Trendverlauf als gezeichneter Kreis fortgesetzt werden. Dies wird für ein Beschleunigen der Berechnungs-Konvergenz (weniger Schritte bis zur Ergebnisdarstellung einer gewählten Genauigkeit) genutzt.

Was motiviert ein verändertes Vorgehen?

Motivation ist es, Irritationen zu den drei klassischen Urberechnungen der Antike auflösen zu wollen. Dabei soll ein anschauliches nachvollziehbares Erklären und Verstehen klassisch konstruierter exakter Lösungsprozesse den Laien und Lernenden helfen. Mit der Cohaerentic-Sichtweise wird für die drei klassischen Aufgaben der Antike davon ausgegangen, dass der Umfang der Gültigkeitsbereiche der bekannten "Unlösbar-Beweise" aus dem 19. Jahrhunderts exakt nur für die Berechnugszusammenhänge gelten, welche für die Beweise als Zusammenhanggrundlage genommen wurden.

Man kann sich in der Ebene einen beliebig gegebenen Punkt und dazu abhängig konstruierte Schnitt-Punkte vorstellen, die das Ergebnis einer Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kurven-Objekte von Kreis und Gerade sind. Erzeugt können diese anschaulich nachvollziehbar mit den Werkzeugen Zirkel und Lineal. Die auf diese Weise erzeugten Schnitt-Punkte bzw. ihr Abstand zum gegebenen Bezugspunkt (oft der Nullpunkt) werden in der Mathematik „konstruierbare Zahlen“ genannt. Die Menge der konstruierbaren Punkte (konstruierbare Zahlen) füllt die unbegrenzte, aber auch die begrenzte Ebene niemals vollsständig aus. Vom Prinzip her bleiben immer Lücken zwischen den Raster-Punkten, egal wieviele diskret benennbare Schritte für die Raster-Punkte schon erzeugt sind.

Die Betrachtung kann auch umgedreht werden. In der Ebene sind jetzt zwei beliebig gelegene Punkte gegeben. Gesucht wird nun eine mögliche Sequenz der zu zeichnenden Kurven-Objekte von Kreis und Gerade, welche den zweiten gegebenen Punkt nach endlich vielen Schritten als Schnittpunkt exakt trifft? Dieses Ereignis tritt aber nie ein, denn der zweite beliebig gegebene Punkt liegt quasi immer in der Lücke zwischen zwei gegebenen Rasterpunkten, egal mit wieviel diskret benennbaren Schritten schon Rasterpunkte erzeugt ist.

Mit diesem grundsätzlichem Wissen rücken bei den Cohaerentic Kalkulationen sinnfällig nachvollziehbare Erzeugungsprozesse für gesuchte Ergebnisse in den Bickpunkt des Interesses. Es sind, wie oben schon angesprochen, insbesondere klassich konstruierte exakte Grenzprozesse mit denen Zwischenergebnisse erzeugt werden, die sich mit immer mehr ausgeführten, der vollständig bekannten Schritte des Konstruktionsplanes, dem Winkeldrittel, der Länge der Quadratseite und der Länge der Würfelkante immer weiter nähern, theoretisch ohne Ende. Hierbei wird mit den oben bereits angesprochenen Konvergenz-Verbesserung mit stark reduzierter Anzahl von Schritten zu den gewünscht genauen Ergebnis-Darstellungen gelangt. Die überraschenden Ergebnisse zu den klassisch konstruierten Aufgabenberechnungen erfordern es, die Gültigkeisbereiche der hierzu im 19. Jahrhundert bewiesenen und heute gelehrten "Unmöglich-Beweise" kritisch zu hinterfragen. So können heutige Missverständnisse zur elementaren Berechenbarkeit beseitigt werden, die aus dem Wissen hervorgehen, wie es im Jahr 2020 das Lexikon Wikipedia unter dem Suchbegriff "Konsruktionen mit Zirkel und Lineal" / "Unmögliche Konstruktionen" mitgeteilt.

"Viele geometrische Figuren können mit Zirkel und Lineal allein nicht exakt konstruiert werden. Darunter sind die klassischen Probleme der antiken Mathematik:

sowie

die Kegelschnitte Ellipse (mit Ausnahme des Kreises), Parabel, Hyperbel und
viele regelmäßige Vielecke.

Der Beweis, dass diese Probleme grundsätzlich nicht mit Zirkel und Lineal zu lösen sind, gelang jedoch erst im 19. Jahrhundert. Dennoch bewirkten die Versuche, das Unmögliche zu vollbringen, eine Reihe von Leistungen. Die Griechen fanden einige Lösungen der „klassischen“ Probleme mit anderen Hilfsmitteln, wobei sie viele Resultate der höheren Geometrie entdeckten."

Wir sind hier, wie später gezeigt wird, zu folgender abweichenden Einsicht gelangt:

Ergebnis-Darstellung und Ergebnis-Erzeugung werden unzulässig miteineander vermischt, quasi gleichgesetzt und führen so zu Irritationen.

Auch wenn die durch Schritte geprägten Prozesse klassisch konstruierter Ergebnis-Erzeugung und Darstellung für die drei klassichen Aufgaben prinzipiell nicht zu Ende kommen, quasi endlos fortsetzbar sind, bedeutet dies nicht zugleich, dass sie nur Näherungsprozesse für das Ergebnis-Erzeugen (konstruierte Berechnungsgänge) sind.

Was kennzeichnet Konstruktionen?

Euklidische Konstruktionen

Beschränkung auf Zirkel und Lineal (Urkurven Kreis und Gerade)
Grenzprozesse, die einem Grenzwert, beispielsweise einem Winkeldrittel als Ergebnis zustreben, bleiben unbetrachtet und ungenutzt.
Die Konstruktion muss nach endlich vielen Schritten beendet sein.

Das klassische Konstruieren steht in der Tradition des Grundlagenwerkes ELEMENTE von Euklid (ca. 330 v.u.Z.) und erfährt dadurch nicht nur eine Beschränkung auf Zirkel und Lineal (bzw. Kreis und Gerade), sondern auch auf endliche Prozesse bzw. endliche Kreis-Gerade-Sequenzen. Darüber hinausgehende endlose Kreis-Gerade-Sequenzen für Grenzprozesse, die einem Grenzwert (Grenzwertpunkt) zustreben, bleiben bei Euklid unbetrachtet. Dieser Sachverhalt begründet eine Denkblockade zu klassisch konstruierten Grenzprozessen, die bis heute andauert.

Für alle drei klassischen Aufgaben der Antike sind bislang durch klassisches Konstruieren nur genäherte Ergebnis-Erzeugungen mit genäherten Ergebnis-Darstellungen bekannt geworden.

Cohaerentic-Kalkulationen als klassische Konstruktionen

Lösungsauflagen

Beschränkung auf Zirkel und Lineal (Urkurven Kreis und Gerade).
Grenzprozesse, die einem Grenzwert /Grenzzustand als Ergebnis zustreben, werden betrachtet und genutzt.
Die Konstruktion ist nach endlich vielen Schritten beendet oder wird vorzeitig abgebrochen.
Die Konstruktion muss bis zum letzten denkbaren Schritt anschaulich logisch nachvollziehbar sein.

Die von Euklid (ca. 330 v.u.Z.) praktizierte Beschränkung auf endliche Prozesse / Kreis-Gerade-Seuquenzen ist willkürlich, denn es gibt mit dem heutigen Wissensstand keinen einsichtigen Grund dafür. Deshalb werden wir hier nun auch Grenzprozesse betrachten und klassisch konstruieren. Dabei strebt der jeweils letzte Zwischen-Ergebnis-Punkt dem gesuchten gedanklichen Ergebnis-Grenzwert-Punkt zu, der beispielsweise der Grenzwert für ein Winkeldrittel ist. Falsch und verwirrend wäre es hier, klassisch konstruierte exakte Grenzprozesse, die zu einem Grenzwert-Punkt konvergieren, auf ein nur genähertes Berechnen zurück zu stufen. Hier liegt ein klassisch konstruierter exakter Erzeugungsprozess vor, denn es wird mit immer mehr Schritten dem jeweiligen Grenzwertpunkt immer weiter zugestrebt. Ist dies nicht der Fall, handelt es sich um eine genäherte Ergebnis-Erzeugung.

Ein erstes klassisch konstruiertes Verfahren zum Winkeldritteln veröffentlichte Nicolais Fialkowski in seinem Buch: N.Fialkowski, Theilung des Winkels und des Kreises, Wien 1860 Verlag Gerold´s Sohn.

Exaktes Winkeldritteln nach N. Fialkowski

Im zweiten Bild ist eine nach aussen laufende Zickzack-Linie hilfsweise hinzugefügt, um die Folge der von Fialkowski ausgeführten Halbierungen leicher nachverfolgen zu können.

Die Konvergenz dieses exakten Winkeldrittelns ist schwach. Fialkowski hat deshalb seinem exakten Winkeldritteln durch Halbieren keine grosse praktische Bedeutung zuerkannt. Wir werden später noch zeigen, wie schon mit wenigen einfachen Mitteln eine deutliche Verbesserung der Konvergenz erreicht werden kann.

Weitere Erörterungen dazu und auch weiter Beisiele für klassich konstruiertes exaktes Winkeldritteln folgen in der Rubrik: Urberechnungen / Winkel / Drehung.

Exaktes Rektifizieren des Kreisbogens nach Fontana (1782)

In der Fachliteratur wird zur Problematik des konstruierten Berechnens des Kreisverhältnisses π=Halbkreisumfang / Radius immer zuerst die klassich konstruierte π -Näherung von Kochanski (1685) zitiert. Diese Näherung kann mit mehr Rechenaufwand bzw. Konstruktionsschritten nicht verbessert werden. Anders ist es bei dem immer wieder vergessen, schon (1782) erstmals vom italienischen Mathematiker Fontana vorgezeigten klassisch konstruierten Grenzprozess, der dem Grenzwert "gestreckte Länge des Kreisbogens" bzw. dem Kreisverhältnis π = Kreisumfang/Durchmesser zustrebt. So können unbeschränkt immer genauere Kreiszahlen πnum erzeugt werden. Die Fontana-Methode des klassisch konstruierten Berechnens kann sinnfällig bis zum letzten Schritt nachvollzogen werden. Die Kochanski-Näherungsmethode nicht. Mit der Fontana-Methode kann mit immer mehr bekannten Wiederholzyklen zu unbegrenzt immer genaueren Ergebnis-Darstellungen πnum gelangt werden. Auch mit meinen, später noch vorgezeigten klassisch konstruierten Abrolllängen können gleichfalls unbeschränkt verbesserte Kreiszahlen πnum erzeugt werden. Auch hier setzt der inverstierbare Aufwand die Grenzen beim Realisieren.

Heute wird in der Fachliteratur quasi nur dann von Grenzprozessen gesprochen, wenn die beteiligten Rechengrössen "Zahlen" sind. So liefert die Suche im Internet nach klassisch konstruierten Grenzprozessen, die einem Grenzwert im euklidischen Raum zustreben, keine Treffer. Wir werden hier künftig aus Analogiegründen auch dann von Grenzprozessen sprechen, wenn mit einer klassisch konstruierten "Kreis-Gerade-Sequenz" einem Grenzwert zugestrebt wird, beispielsweise der Sehnengrösse eines gerade gestreckten Keisbogens, wie es das folgende Bild zur Fontana-Methode (entnommen dem Buch Th. Vahlen Konstruktionen und Approvimationen, Verlag B.G.Teubner Leipzig und Berlin 1911, S. 314) zeigt.

Seit Antiphon (ca 450 v.u.Z.) ist für die Berechnung der Kreisfläche bekannt, dass diese mit einer immer weiter erhöhbaren Vieleckzahl auf eine nie endende, unbegrenzt genäherte Ergebnis-Erzeugung und Darstellung hinaus läuft. Trotzdem hat Euklid (ca 330 v.u.Z.), aus Gründen über die heute nur spekuliert werden kann, die Problematik der Grenzprozesse nicht in sein berühmtes Grundlagenwerk ELEMENTE aufgenommen. Er hat diese Problematik bewusst weggelassen. Dadurch kam es zu einer Denkblockade zu konstruierten Grenzprozessen, die noch bis heute nachwirkt. In der Geometrie bleiben in euklidischer Tradition somit klassisch konstruierte (gezeichnete) Grenzprozesse bis heute nahezu unbetrachtet und werden als solche nicht erkannt und nicht entsprechend gewürdigt. So geriet der Grenzprozess von Fontana immer wieder in Vergessenheit.

Weitere Beispiele für klassich konstruierte Erzeugungsprozesse folgen in der Rubrik Urberechnungen / Kreis und Urberechnungen / Würfel.

Nicht klassische Konstruktionen

Zusätzlich zu Zirkel und Lineal sind weitere Werkzeuge zugelassen, wie ein Masslineal, ein Rechtwinkelhaken, Tomahawk usw.
Auch über Kreis und Gerade hinaus gehende höhere Kurven, wie Parabel, Hyperbel usw. sind zugelassen.

Diese Arbeitsrichtung wird mit den Cohaerentic Kalkulationen nicht verfolgt, da mit ihrer Arbeitsrichtung "klassisches Konstruieren", allein mit Kreisen und Geraden ausgekommen wird und damit der Umfang der Grundlagen überschaubarer bleibt.

Historisches

Euklid (ca 330 v.u.Z.) hat in seinem berühmten Grundlagenwerk ELEMENTE das mathematische Wissen seiner Zeit gesammelt und wie Historiker heraus gefunden haben, Einiges von Vorgängern sogar direkt übernommen. Bei seinen Vorgängern und auch bei seinen eigenen Beiträgen bleiben klassisch konstruierte Grenzprozesse unbetrachtet, obwohl schon seit Antiphon (ca. 450 v.u.Z) vom Grundsätzlichen her bekannt war, dass endlose Prozesse für die Kreisflächen-Berechnung wegen der gebogenen Kreislinie unerlässlich sind. Bei Euklid bleiben nicht nur über Zirkel und Lineal hinaus gehenden Werkzeuge unbetrachtet, sondern auch die über Kreis und Gerade hinaus gehenden höheren Kurven und auch Grenzprozesse, die einem Grenzwert zustreben. Heute stellt sich immer mehr die Frage: Was geht verloren oder was wird gewonnen, wenn über die euklidische Beschränkung, keine konstruierten Grenzprozesse zu betrachten, hinaus gegangen wird?

Es war Euklid (ca 330 v.u.Z.), der in Alexandria lehrende Geometer, der mit seinem Grundlagenwerk ELEMENTE lange Zeit die Arbeitsausrichtung der Geometer / Mathematiker bestimmte. Seine in den ELEMENTEN demonstrierten Zirkel- und Lineal - Konstruktionen (klassische euklidische Konstruktionen) sind bis heute Vorbild für das erlaubte Vorgehen. Nach endlich vielen Schritten soll das endgültige Ergebnis vorliegen. Mit einer Sequenz nacheinander gezeichneter Kurven von Kreis und Gerade soll dabei mit einem letzten Schnittpunkt ein Ergebnis quasi fertig gestellt sein, das eine durch endlich viele klassisch konstruierte Schritte abhängige Grösse ist, die eine Strecke- oder ein Kreisbogen oder auch ein Winkel usw." sein kann.

Im 19. Jahrhundert wurde mit modernen mathematischen Methoden bewiesen, dass quasi mit nur endlich vielen klassisch konstruierten Schritten kein exaktes Winkeldrittel, oder keine exakte Quadratseitenlänge eines flächengleichen Quadrats zum Kreis oder auch keine exakte Würfelseitenlänge eines im Volumen verdoppelten Würfels dargestellt werden kann.

Ausgetretene Pfade verlassen

Über klassische euklidische Konstruktionen hinaus gehen.

Auch bei Beibehalten der klassischen Beschränkungen auf Zirkel und Lineal (heute sagen wir besser auf die Urkurven Kreis und Gerade) kann mit den Sequenzen von Stücken der Urkurven Kreis und Gerade auch über die klassischen euklidischen Konstruktionen hinaus gegangen werden. Wie wir schon wissen (siehe obige Bilder), ist es mit Wiederholungen möglich, quasi bis ins Endlose fortsetzbare Vorgänge mittels klassischer Konstruktionen zu beschreiben. Durch die möglichen Wiederholungen von bekannten Zyklen werden hier auch klassisch konstruierte Grenzprozesse möglich. Nacheinander ezeugte Zwischenergebnis-Punkte streben hierbei immer weiter einer Grenze zu, einem Grenzpunkt / Grenzwert bzw.Grenzzustand. Eine damit erzeugte Abstandgrösse in der Ebene kann Strecke oder Winkel oder auch ein gestreckter Kreisbogen sein.

Bei klassisch euklidischen Konstruktionen werden immer nur endlich viele Punkte erzeugt. Bei den erweiterten klassischen Konstruktionen, die auch Grenzprozesse umfassen, gibt es bei jedem aktuellen Ende (Abbruch) einen nicht abgeschlossenen Vorgang mit nur endlich viel erzeugten Punkten. Im Unterschied zu den klassischen eukidischen Konstruktionen gibt es hier immer die offene Möglichkeit, den Vorgang (Grenzprozess) sinnvoll fortzusetzen.

Ergebnisdarstellung mit "konstruierbaren Zahlen"

Bei arithmetischen Grenzprozessen, bei denen Zahlen als Ergebnis errechnet werden, gibt es die bekannte Vereinbarung zur Darstellung mit den drei Punkten, wie für die Zajl des Kreisverhältnisses π_num(...)=3,1415... . Die gleiche Darstellung für das Zahl-Ergebnis aus der π-Näherungskonstruktion von Kochanski (1685) wäre somit falsch, da das Kochanski-Verfahren nach endlich vielen Schritten beendet ist und das erzeugte Ergebnis durch mehr Schritte, z.B. beim Ausziehen von Wurzeln, nicht weiter verbessert werden kann. Es ist somit nur beschränkt genähert.

Die im 15. und 16. Jahrhundert zum Berechnen geometrischer Zusammenhang-Systeme erfundene „analytische Geometrie“ steht in der euklidischen Tradition und lässt auch hier klassisch konstruierte Grenzprozesse unbetrachtet, wie sie für das elementar gezeichnete Berechnen der Kreisfläche und des Winkeldrittels unerlässlich sind.

Missverständnisse vermeiden.

Die Betrachtungen zu Cohaerentic-Kalkulationen berühren auch die drei klassischen Aufgaben aus der Antike. Dabei werden für Lernende insbesondere die konkreten Gültigkeitsgrenzen für "unmögliche" und "mögliche" klassisch konstruierte Aufgabenlösungen deutlicher heraus gearbeitet. Ziel ist es, die für Lernende und Nichtmathematiker das ursprüngliche Berechnens besser verständlich zu machen. Es wird dabei erkannt, dass es zu Berechnungsprozessen, die mit exakten endlosen Grenzprozessen ausgeführt werden, niemals eine fertige, endgültige Ergebnisdarstellung geben kann. Hier kann es nur Darstellungen geben, die mit immer mehr ausgeführten Wiederholungen bekannter Schritte-Zyklen einem realen Ergebnis-Grenzwert immer weiter zustreben. Dieser Arbeitsausrichtung wird heute unterstellt, sie würde allgemein akzeptiertes mathematisches Wissen negieren, indem hier immer noch nach einem klassisch konstruiertem exakten Berechnen gesucht wird, obwohl dies unmöglich sei. Dem widersprecht aber vorzeigbere klassische Konstruktionen. Besomders interessant sind dabei die in der Konvergenz verbesserten Grenzprozess-Konstruktionen. Dabei werden bereits nach wenigen, der endlos vielen möglichen Schritte, zu ausreichend genauen Ergebnis-Darstellungen gelangt, die für das alltägliche Leben ausreichen.

Klassich konstruierte Rechenoperationen, _auch _mit Grenzprozessen

Mit konstruierten Kreis- und Gerade-Sequenzen können grundsätzliche Rechen-Operationen, bzw. mit nachvollziehbaren Zusammenhängen (bildliche Kohärenzmodelle) im Erfahrungsraum konstruiert werden. Schon seit Euklid (ca. 330 v.uZ.) bleiben mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruierte Grenzprozesse unbetrachtet, bei denen das jeweils aktuelle Zwischenergebnis einem diskreten Grenzwert immer weiter zustrebt, ohne ihn jemals zu erreichen. Das veränderte Interesse ist hier nicht auf die quasi immer unfertig bleibende Ergebnisgrösse gerichtet, für die es keine reproduzierbare diskrete Darstellung gibt. Nun interessiert ein zutreffender exakter Grenzprozess. Beim konstruierten geometrischen Berechnen wird anfangs noch ohne die Abstraktion "Zahl" für geometrische Rechengrössen gearbeitet. Die geometrischen Rechengrössen sind Verhältnisse von Strecken und Drehungen (Winkeln). Diese werden mit gegebenen und konstruierten Punkten beschrieben. Klassisch konstruiert können folgende elementare geometrisch fundierte Operationen ausgeführt werden:

die Addition und Subtraktion zweier Strecken oder Drehungen (Konstruktion einer Summe/Differenz),
die Multiplikation und Division zweier zweier Strecken (Konstruktion eines Produktes/Quotienten)
das Ausziehen der Quadratwurzel aus dem Produkt der Seiten des Rechtecks (Konstruktion der Seite des flächengleichen Quadrats und die Umkehrung).
gezeichnete Grenzprozesse (z.B. geometrische Folge für Kreisrektifikation, Winkeldreiteilung ...)

Mit der veränderten Betrachtungsweise ist der Blick nicht mehr auf diskrete Ergebniszahlen gerichtet, die im Altertum aus mystisch-esoterischen Vorstellungen heraus erwartet wurden. Bei den gezeichneten Cohaerentic Kalkulationen interessiert nun sinnfällig nachvollziehbare Rechengänge, dier sicherstellen, dass mit immer mehr ausgeführten Schritten auch dem gedanklichen ideellem Ergebnis immer weiter (strikt) zugestrebt wird. Gefragt wird nun, wie können die Punkte der Urkurven Kreis, Parabel, Hyperbel und Ellipse oder auch solcher Kohärenzkurven wie die Quadratix konstruiert berechnet, dargestellt und genutzt werden? Gibt es hier nachvollziehbare Verwandtschaften untereinander, die nur mit klassisch konstruierten Punkten der Ur-Kurven Kreis unf Gerade beschrieben und dargestellt werden können? Wie kann ein Schritt um Schritt nachvollziehbar gezeichnetes Konstruieren von Kreisumfang und Kreisfläche gestaltet werden? Ein Schwerpunkt ist auch, wie können die Rechengrössen von Translation und Rotation, vor- und rückwärts, miteinander verknüpft werden?

Bei den erweiterten klassischen Konstruktionen der Cohaerentic-Kalkulationen werden die bekannten Beschränkungen auf Kreis und Gerade beibehalten und nur um die Nutzung konstruierter Grenzprozesse erweitert. Nach einem jeden solch konstruiertem Berechnen können mit dem bekannten mathematischen Wissen die beteiligten geometrischen Rechengrössen in entsprechende funktionale und digitale Darstellungsformen übergeführt werden. Dies wird später noch vielfach demonstriert werden.

Was ist B e r e c h n e n und gibt es dafür eine allgemeine Definition?

Alle Aktionen eines geometrisch konstruierten Berechnens haben, wie auch alle Berechnungen mit Zahlen, das Ziel, zu mehr Durchblick zu gelangen, um dann bessere Entscheidungen treffen zu können. Eine Definition für das mathematische Berechnen ist in der Fachliteratur und auch im Internet nicht zu finden.

Den Begriff Cohaerentic haben wir für ein Wissen zu Rechenzusammenhängen gewählt, die sich mit Hilfe konstruierter Sequenzen von Kreis und Gerade (= antike Beschränkung auf Zirkel und Linael) in anschaulichen bildlichen Urkohärenz-Systemen abbilden und so erfahrbar werden. Cohaerentic-Kalkulationen gehen in der Anschaulichkeit und dem Rechnen mit konstruierten Grenzprozessen über die in der Elementargeometrie bekannten klassischen euklidischen Konstruktionen hinaus und können daher mehr leisten, was später immer umfassender erklärt wird.

Berechnen ist ein Wahrnemen, Durchdenken und Handeln in Schritten

Es ist ein grosses Rätsel, warum die Hauptaktionen beim Berechnen in Schritten ablaufen, das sind das Wahrnehmen, das Durchdenken und das Handeln. Hängt dies damit zusammen, dass das Herz quasi auch in Schritten arbeitet? Ohne Zahlen kann durchaus berechnet werden, nicht aber ohne Schritte!

Bei den Cohaerentic- Kalkulationen werden geometrisch konstruierte Rechenprozesse mit endlos vielen Schritten als etwas Natürliches betrachtet. Ein Rechteck kann bei Erhalt seiner Flächengrösse durchaus mit vielen und bis endlos kleinen Schritten in seiner Gestalt verändert werden. Real kann die Kleinseite endlich oft halbieret und die Grossseite endlich oft verdoppelt werden, in Gedanken sogar endlos oft. Für den Erhalt der Flächengrösse müssen nur die beiden gegenläufigen Rechenoperationen quasi simultan stattfinden. Die endlose Iteration wird immer dann beendet werden, wenn sie zur sinnlosen Aktion wird.

Die seit der Antike historisch immer weiter vererbte Forderung nach Berschränkung der Anzahl der Schritte bis zur Ergebnisdarstellung erweist sich als Denkblockade. Diese Beschränkung grenzt vielfach willkürlich das Berechnen auf nur sehr grob dargestellte Ergebnisgrössen ein. Nun werden bei den elementar gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen auch Grenzprozesse mit theoretisch endlos vielen möglichen Schritten betrachtet. Dabei wird trotzdem das Ziel verfolgt, schon mit wenigen Schritten ein befriedigend genaues Ergebnis darstellen zu können. Dies führt zur Aufgabe, nicht für Grenzprozesse mit Zahlen, sondern auch für gezeichnet konstruierte Grenzprozessen nach Verkürzungen zu forschen.

Beispiele von Urberechnungen zu Uraufgaben

Geometrische Uraufgaben mit klassisch konstruierten Cohaerentic-Kalkulationen berechnen.

Mit Urberechnen wird hier ein konstruiertes Berechnen einer geometrischen Uraufgabe bezeichnet, die oft einen mathematischen Satz betriff, wie den Höhensatz des Euklid und den Satz des Pythagoras usw. Es gibt aber auch eine Reihe von Uraufgaben für die bis heute keine elementarer Lösungszusammenhang gefunden wurde, der mit einem solch mathematischen Satz beschrieben werden kann. Eine Uraufgabe, die einen wesentlichen Zusammenhang anspricht, lautet:

Der Kreisumfang bzw. das geometrische Verhältnis π ist mit einer konstruierten Sequenz der Urkurven von Kreis und Gerade sinnfällig nachvollziehbar zu berechnen.

Eng damit verknüpft ist die folgende Uraufgabe und ihre Umkehrung:

Es ist mit einer konstruierten Sequenz der Urkurven von Kreis und Gerade die Transformation eines gegebenen beliebigen Drehungen-Verhältnisses in eine gleichgrosse Strecken-Verhältnis, oder umgkehrt, sinnfällrig nachvollziehbar zu berechnen.

Oder anders beschrieben:

Allein mit einer konstruierten Sequenz der Urkurven Kreis und Gerade ist ein bildliches Kohärenzsystem zu erzeugen, in dem Translation und Rotation proportional miteinander verknüft sind, so dass es zu jedem Drehungen- Verhältnis ein gleich grosses Strecken-Verhältnis gibt und umgekehrt.

Die aus der Antike bekannte Kohärenzkurve Trisectrix des Hippias von Elis (5.Jh.v.u.Z.) (heute Quadratrix genannt) kann mit Hilfe der Kreis- Gerade-Sequenzen als Punktekurve beliebig veiler Punkten konstruiert werden. Exakte Transformationen sind hier nur mit den konstruierten exakten Punkten möglich. Zwischen den Punkten gibt es nur genäherte Transformationen.

Insgesamt wird die Konvergenz verbessert, wenn zwischen 3 benachbarte Punkten ein Krümmungskreis gezeichnet wird. Mit den immer mehr eakt konstruierten Punkten wird sich immer mehr den gedanklich exakten Ergebnis unbeschränkt genähert. Der exakte Erzeugungsprozess der Punkte der Kohärenzkurve macht dies möglich.

Cohaerentic-Kalkulationen gehen in ihrer Zielstellung und ihrem Vermögen auch exakte Grenzprozesse klassich zu konstruieren, über die klassischen euklidischen Konstruktionen hinaus. Dies wird später noch ausführlich gezeigt werden. Cohaerentic-Kalkulationen umfassen auch anschaulich nachvollziehbare Beweise zum Richtigsein und für ein zweifelsfreies Zutreffen.

1. Beispiel:

Klassische konstruierter Grenzprozess Winkeldreiteilung

Bemerkenswert ist, es wird hier mit nur einer Zirkelöffnung (nur ein Kreisradius) ausgekommen.

- Bild fehlt noch! -

2. Beispiel:

2.1. Höhen-Satz des Euklid (ca 330 v.u.Z.)

Quadratur des Rechteck

Aufgabe: Aus einem Rechteck ein flächengleiches Quadrat gezeichnet berechnen und umgekehrt.

Die folgende elementar gezeichnete endlicheCohaerentic-Kalkulation betrifft den Höhensatz des Euklid, zu dem Euklid von Alexandria (ca. 330 v.u.Z.) in seinem berühmten Grundlagenwerk ELEMENTE (Euklid, ELEMENTE 1.Teil, II. Buch, § 14 (A.2), OSTWALDS KLASSIKER 235, Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G. Leipzig 1933) eine elementare Konstruktion zeigt und zum Beweis des Richtigseins verbale Ausführungen macht.. Dabei arbeitete er mit den Begriffen Ergänzungen im Parallelogramm, die sich bis heute im Satz der Ergänzungsparallelogramme erhalten haben.

Die hier vorgezeigte Cohaerentic Kalkulation ist ein überzeugendes Beispiel für den Unterschied zur euklidischen elementaren Konstruktion samt verbaler Beweisführung zum Richtigsein, die auf schon schon vorhandenes Rechenwissen aufbaut. Die Cohaerentic Kalkulation geht mit dem grossen Rechteck KJLC und der Symmetrie-Diagonale KL über die von Euklid zu seiner Satzaussage gezeichnete elementare Konstruktion mit den Punkten E; B; C; D; G; F und H hinaus. Damit wird der oben angesprochene Unterschied b) zur elementaren Konstruktion nachvollziehbar.

Mit der hier im Bild erfahrbar gemachten Flächengleichheit von rotem Rechteck und rotem Quadrat wird die Kernaussage des Höhensatzes sehr anschaulich und ohne zusätzliche Hilfsbetrachtungen nachvollziehbar. Dabei spielt die gestrichelte Diagonale KL als Symmetrielinie die entscheidende Rolle, um die Richtigkeit der Flächengleicheit von rotem Rechteck und rotem Quadrat zweifelsfrei erkennen zu können. In der elementaren Konstruktion des Euklid und allen später hierzu in der Fachliteratur veröffentlichten elementaren Konstruktionen fehlt das Rechteck KJLC mit der Symmetrie-Diagonale KL. Später wird unter der Rubrik "Urberechnungen" zur Problematik Höhensatz des Euklid noch mehr ausgeführt werden. Weitere Betrachtungen gibt es dann auch noch zur Kreisquadratur, zur allgemeinen Kreisteilung in beliebige ganzzahlig viele Sektoren (Tortensstücke) und zu weiteren Urzusammenhängen.

2.2 Quadratur des Rechteck

Aufgabe: Aus einem Rechteck ein flächengleiches Quadrat elementar konstruiert berechnen und umgekehrt.

Für diese Uraufgabe gibt es verschiedene Lösungsansätze und nicht nur den im 1. Beispiel beschriebenen Ansatz. Mein hier mit einer Cohaerentic-Kalkulation gezeichnetes Urkohärenzsystem zeigt einen allgemein gültigen Rechengang, der kein Grenzprozess ist und damit endgültig nach endlich vielen Schritten das Ergebnis darstellt. Mit der gestrichelten Diagonale geht die Cohaerentic-Kalkulation auch hier über eine elementare Konstruktion hinaus. Mit der Symmetrielinie "Diagonale" wird die Richtigkeit des Ergebnisses der Flächengleichheit auf kurzem anschaulichen Weg gezeigt.

Das folgende Video zeigt für beliebige Rechteckformen (Diagonalendrehungen) einen anschaulich nachvollziehbar gezeichnetes Kohärenzsystem zur Quadratur des Rechtecks und lässt damit zugleich auch den geomtrisch fundierten Berechnungszusammenhang erkennen. Dabei beweist die gestrichelte Diagonale den richtigen Berechnungszusammenhang für alle möglichen Rechteckformen.

Der Ablauf-Punkt auf der Zeitschiene kann durch Anklicken angehalten werden und auch vorwärts und rückwärts bewegt werden.

3. Beispiel: KLassisch konstruierter Grenzprozess für π

Aufgabe: Das Geradebiegen des Kreisbogen gezeichnet berechnen.

Bildbeschreibung zur Rektifikation

Mit einem verdoppeloten Durchmesser und einem halbierten Zentriwinkel wird jeweils ein neuer Kreisbogen mit unveränderter (konstanter) Länge bei halbierter Krümmung gezeichnet und dargestellt. Gedanklich kann dieser endlose Prozess immer weiter fortgesetzt werden. Real wird jedoch immer nach endlich vielen Schritten abgebrochen, so bald das praktische Endekriteruim erfüllt ist und keine Bogenkrümmung mehr erkannt werden kann. Später wird noch demonstriert werden, wie auf der Grundlage eines kontinuierlichen Zusammenhangs der gezeichnete Grenzprozess deutlich verkürzt werden kann. Schon nach wenigen Schritten, gemessen an den möglichen endlos vielen Schritten wird dann bereits eine befriedigend genaue Ergebnis-Darstellung erreicht. Diese kann bei Bedarf mit weiter investiertem Rechenaufwand weiter verbessert werden. Diese Möglichkeit gibt es bei genäherten Berechnungsprozessen nicht.

Beim vorgezeigten obigen Rechengang kann das gezeichnet berechnete Ergebnis, die gestreckte Länge des Kreisumfangs (Unterschied b), zweifelsfrei gefolgert werden. Es wird hier ein natürlich konvergierender Berechnungsprozess (Rechengang) vorgezeigt, der einem Grenzwert zustrebt und damit ein Grenzprozess ist. Mit dem Erreichen des Krümmungs-Grenzwertes Null wird die gestreckte Kreisumfanglinie als Strecke erkannt.

Offene Fragen:

Hier wird auch gefragt werden, welchen Schaden gibt es, wenn vom Alters her geforderte Ausschluss endloser Berechnungsprozesse abgerückt wird? Ich behaupte, es geht hiedurch nichts verloren. Im Gegenteil, es werden viele gezeichnete exakte Berechnungen so erst möglich, die zu einem Mehr an Verstehen führen, was Berechnen ist. Für Cohaerentic-Kalkulationen sind deshalb alle elementar zeichenbaren Berechnungsprozesse zugelassen, deren gezeichnete Rechengänge bis zum letzten Schritt anschaulich sinnfällig nachvollzogen werden können.

4. Beispiel: Verkürzter klassich konstruierter Grenzprozess für π

Aufgabe: Den Halbkreisbogen Schritt um Schritt, bei konstanter Länge, immer weiter gerade biegen

Der Ablauf-Punkt auf der Zeitschiene kann durch Anklicken angehalten werden und auch vorwärts und rückwärts bewegt werden.

Beim realisierten Grenzprozess bilden die Endpunkte der immer weiter aufgebogenen Kreisbogen gleicher Länge eine Punktekurve mit stetigem Verlauf und immer dichterer Punktfolge. Nach endlos vielen Schritten des Aufbiegen liegt der letzte Bogenendpunkt immer noch vor der Ordinaten-Achse. Die gedachte stetig verlaufende Kurve ist bei den letzten drei Bogenendpunkten einem Kreis sehr ähnlich. Eine Verkürzung des Grenzprozesses wird erreicht, indem ein Kreis durch die letzten drei Bogenendpunkt gezeichnet wird, der dann die Ordinaten-Achse schneidet und ein Ergebnisgrösse für den konkreten Umfang an Schritten liefert.

Das Kreisverhältnis π ist definiert als Verhältnis π=gestreckter Kreisumfang / Kreisdurchmesser. Leicht nachvollziehbar ist, mit immer mehr investiertem Aufwand (n; (n+1); (n+2) ... - Schritte) in exakte nur mit Kreis und Gerade konstruierte Berechnungsprozesse (endlose Grenzprozesse) wird die Grösse eines aktuell erzeugten π_geo(n) immer enger an die ideale Grösse von π heran gerückt, was theoretisch ohne Ende fortführbar ist.

Per Vereinbarung bildet die symbolisierte Kreiszahl πnum(...) die Grösse des Kreisverhältnisses π vollständig ab. So weist die symbolischen Kreiszahl- Darstellung πnum(...) = 3,14159... mit den drei Punkten auf nicht endend viele wahre Nachkommaziffern hin, die man sich quasi als alle vorhanden vorstellt. Die fortsschreitende Rechentechnik macht hier immer wieder neue Rekorde für die Anzahl der berechneten wahren Nachkommaziffern möglich.

5. Beispiel: Digitalisierung des geometrischen Kreisverhältnis π zur Kreiszahl πnum