Einführung 

Was ist klassisch konstruiertes Berechnen?

Gehen Rechenoperationen auf  Erfahrung zurück?

Was motiviert ein verändertes Vorgehen?

Was kennzeichnet   eine klassische Konstruktion?

Erste Beispiele zu Cohaerentic Kalkulationen für Uraufgaben

 1. Beispiel     Klassische konstruierter Grenzprozess  Winkeldreiteilung

 2. Beispiel     Klassische Konstruktionen  für Flächengleichheit

 3. Beispiel     Klassisch konstruierter Grenzprozess  für das  "Kreisverhältnis π" 

 4. Beispiel      Video, "Verkürzter   Grenzprozess für π" 

 

 

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 Was ist klassisch konstruiertes Berechnen?

  • bisher:   Eine Darstellung und Beschreibung  klassisch mit Zirkel und Lineal konstruierter Rechenoperationen gibt es schon im Altertum. Die Enzyklopädie Wikipedia gibt unter dem Suchbegriff "Konstruktionen mit Zirkel und Lineal", Algebraische Operationen einen Überblick. Schwerpunkt  ist hier, das klassisch konstruierte Erzeugen des Ergebnisses und seiner  Darstellung  auf der Zahlengerade. Dazu werden  die Werkzeuge Zirkel und Lineal bzw. die Kurven Kreis und Gerade nur endlch oft   benutzt. Vorbild bleibt hier bis in die Neizeit das  richtungsweisende Sammelwerk ELEMENTE,  in das Eukid (ca. 330 v.u.Z.)  geometrische Wissen der Antike aufnahm, das er auswählte. Es fällt auf,  von Antiphon (5. Jh.v.u.Z.) und anderen schon angedachte klassisch konstruierte   Grenzprozesse für den Kreis und Winkel bleiben durch  Euklid   weitgehend unbetrachtet und  ungenutzt.  Sein Vorbild wirkt bis in die Heutezeit.  Heute wird dieses  Weglassen  auch damit begründet, dass mit abgebrochenen endlosen Grenzprozessen  kein  Ergebnis  vollständig berechnet und als solches reproduzierbar dargestellt werden könne. Selbst bei exaktem Berechnungsprozessen sei  die letzte aktuell erzeugte Ergebnisdarstellung, z.B.  eine  zusammengesetzte  Fläche,   eine vom Prinzip her  zwar unbeschränkte   Ergewbnisdarstellung, die aber dann doch immer beschränkt hingeschrieben wird.
  • neu:      Bei  Cohaerentic-Kalkulationen  werden insbesondere auch  Betrachtungen zu "endlich ausgeführten" endlosen Prozesse und  Grenzprozessen ausgeführt. Sie werden  allein mit Zirkel und Lineal  bzw. den Urkurven Kreis und Gerade konstruiert.  Dabei   wird nicht  in  der von  Euklid   hierzu ausgehenden Denkblockade verharrt.  Auf zusätzliche Werkzeuge, die mit endlosvielen Schritten in eine exakte Postion gerückt werden müssen, kann hier verzichtet werden.  Überraschend ist, für   nachvollziehbare nutzbare Ergebnisse bedarf es keine endlos viel gezeichneter Kreise und Geraden. Das Arbeiten mit konstruierten endlosen Grenzprozessen ist real möglich, da der Umfang der Schritte bis zu einem brauchbaren Ergebis ist dehr gerimg, gemessen an den endlos viel möglichen Schritten bzw. zu  zeichnenden Objekten. Dabei bleiben diese  konstruierten Grenzprozesse anschaulich nachvollziebar und  verständlich.

 

Gehen Rechenoperationen auf  Erfahrung zurück?

Was ist Berechnen? Hierzu gibt es keine Definition. Offenbar sind die Aktionen des mathematischen Berechnens  zu verschieden und zu vielfältig, um sie in einer kurzen Definition vollständig zu beschreiben?  Allen Aktionen des Berechnens ist gemeinsam, sie kommen nicht ohne Schritte  aus. Relativ schnell iwird erkannt, es gibt Berechnungen, die enden nach endlich vielen Schritten und andere haben kein solches Ende. Sie sind  endlos fortsetzbare Prozesse, mit denen auch  Kommazahlen  mit immer mehr wahren Nachkommastellen herbei geschafft werden können.  

Hier betrachten wir nun auch klassisch konstruiertes Berechnen, bei dem räumliche Rechengrössen  zu neuen  verknüpft werden und so elementar nachvollziehbar verständlich bleiben. Die daraus abstrahierten Rechenoperationen sind Addition/Subtraktion für Strecken und Drehungen (Winkel), Multiplikation und Division für Strecken. Sie sind auch in die Internet-Enzyklopädie Wikipedia aufgenommen. 

Prozess und Grenzprozess?  

Da die Enzyklopädie Wikipedia bekanntes Wissen aus der Literatur wiedergibt, folgt sie mit ihren Einträgen dem Verlauf der  historischen Entwicklung. Diese wurde in der Geometrie stark durch die ELEMENTE des Euklid (ca.330 v.u.Z.) geprägt. Wie in den ELEMENTEN, so fehlen  auch bei Wikipedia klassisch konstruierte Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten, die  endlose autokonvergente Punkte-Folgen erzeugen. Diese streben  nach Gesetzen des Erfahrungsraums hin zu Grenzpositionen / Grenzwerten. Die Grenzpunkte sind  im betrachteten Kohärenzsystem die abhängige Variable, sind das Ergebnis. Diese gezeichneten Prozessabläufe nennen wir deshalb klassich konstruierte Grenzprozesse. Müssen dabei keine den Prozess beeinflussenden Entscheidungen getroffen werden, sprechen wir hier von einem autokonvergenten Grenzprozess.

Das  folgende Bild zeigt, abweichend zur  euklidischen Tradition,  wie mit einen klassisch konstruierten autokonvergenten Grenzprozess   ein Winkel  ∠AMB  zum Winkeldrittel   ∠BGGrenzZ bzw. ∠AMZ gedrittelt wird.  

 
 
Mein vorgezeigtes klassisch konstruiertes Grenzprozess-Bild wird durch eine Sequenz von Kreis-und Gerade-Objekten (Zirkel und Lineal) realisiert, die mit nur einer Zirkelöffnung (Radius r1=|MA|=r3=|DC1|= r5 = r7  usw.) auskommt. 
Dieses Vorgehen   liegt  ausserhalb der euklidschen Tradition, die solche klassisch konstruierte Grenzprozesse meidet und nicht betrachtet.  Durch Wiederholungen von Schritte-Zyklen (gund kn+1, dann gn+2; und kn+3 usw.) kann bei Bedarf der Prozess endlos fortgesetzt werden. Dabei strebt die erzeugte Folge von Schnittpunkten D=S(g2;x; x; k3); G; K usw.  einem Grenzpunkt GGrenz auf dem Kreis k1 endlos zu. Dabei wird der letzte Punkte-Abstand gegenüber dem vorletzten Punkte-Abstand immer kleiner. 
Probierende und korrigierende Schritte finden hierbei nicht statt, so dass ein autokonvergenter Prozess vorliegt. Die  nacheinander gezeichneten Objekte sind fortlaufend nummeriert. Das im zweiten Schritt gezeichnet Objekt Gerade ist hier mit g2 und das im dritten Schritt gezeichnet Objekt Kreisbogen mit k3 gekennzeichnet usw. Das "x" zwischen beiden Objekten symbolisiert das Schneiden der beiden Kurven-Objekte g2 und k3.

Der beliebig gegebene Kreisbogen |AB| zwischen den Punkten A und C  wird  offensichtlich in zwei Abschnitte geteilt, einmal in ein Drittel |AZ|/|AB| = (1/3) und einmal in  Zweidrittel  |ZB|/|AB|=(2/3). Schon mit weniger als 10 gezeichneten Objekten geht die erzielte Ergebnis-Genauigkeit über die Anforderungen  des alltäglichen Lebens hinaus. Vom Prinzip her gibt es hier aber keine Grenzen.  

Seit Alters her wäre es wünschenswert gewesen ein  nachvollziehbares systematisches  Zusammenhangwissen uz besitzen, das    geometrisches Getriebe genannt werden könnte. Mit ihm könnte  Schritt um Schtritt nachvollziehbar die Bewegungsform  Translation in Rotation und umgekehrt Rotation in Translation umgewandelt werden. Dieses Urwissen, bei dem nur die Urkurven Kreis und Gerade verwendet werden, gibt es bislang nicht. Die bis heut offene Frage ist somit, können Schritte beider  Bewegungsformen allein durch klassisches Konstruieren mit Kreis- und Gerade- Objekten direkt miteinander verknüpft werden? Solches Wissen würde auch das allgemeine Winkelteilen durch klassisches Konstruieren ermöglichen, was heute als unmöglich gelehrt wird.

Wegen dier besagten  Lücke in dem Sammelwerk  ELEMENTE des  Euklid (ca. 330 v.u.Z. )sind bis heute zu den drei Uraufgaben  der Antike   nur wenige und  unbefriedigend nachvollziehbare   Lösungsprozesse in der Fachliteratur zu finden.  Dies kann sich   erst dann ändern, wenn die  Tradition von Euklid verlassen wird, welche  klassisch konstruierte Grenzprozesse nicht als exaktes Berechnen akzeptiert  und deshalb  in den ELEMENTEN  solche  Betrachtungen einfach weggelässt.    Mit dem Willen,   auch mit einer Sequenz von Kreis-  und Gerade-Objekten konstruierte endlose Lösungsprozesse, als ein exaktes Berechnen zu akzeptieren, werden auch die drei klassischen Aufgaben der Antike mit den Urkurven Kreis und Gerade lösbar und zwar anschaulich elementar nachvollziehbar:

Die Kreiskurve  betrachten wir  als die Urkurve  im Erfahrungsraum. Ihre  Kurvenpunkte P haben zum Mittelpunkt M alle den gleichen Abstand. Der  Radius r = |MPK|=konstant hat Grössen von Null bis zu endlos Gross.  Die Grösse der Kreiskurvenkrümmung ϱ =1/r   ist dabei umgekehrt proportional zur  Radiusgrösse. Die erfahrbare Erscheinungsform des Kreises reicht damit vom gedanklichen Punkt ohne Ausdehnung und endlos grosser Krümmung der Kreislinie  bis hin zu Kreisen ohne Krümmung, die als Gerade wahrgenommen werden. So gesehen betrachtet die Cohaerentic bei klassisch konstruierten Berechnungen nur Sequenzen zusammenhängender Kreiskurven mit endlos kleinen bis endlos grossen Radien bzw. endlos grossen und endlos kleinen Krümmungen.  

Urberechnen mit „klassisch konstruierten Grenzprozessen“ 
Beispiel Kreisumfang und Kreisabrolllänge 
Bekanntes Wissen: 
Seit Antiphon (5.Jh.v.u.Z.) und noch konkreter seit Archimedes (3.Jh.v.u.Z.) ist bekannt, dass die Abrolllängen regulärer Vielecke, die einen Kreis ausfüllen oder einschliessen, mit anwachsender Anzahl der Ecken gegen einen Grenzwert wachsen. Dieser ist die Kreis-Abrolllänge, die mit n endlich vielen Ecken  immer nur in unvollständiger  Grösse  dargestellt wird,  aber   mit  n+1 Ecken  usw.  immer vollständiger dargestellt werden kann.  Hier können wir dann von klassisch konstruierten Grenzprozessen sprechen.
 
Neues Wissen:
Bei Cohaerentic-Kalkulationen werden auch elementar konstruierte Grenzprozesse zugelassen. Ein geistiges Auseinandersetzen mit diesem Vorgehen ist hier nicht mehr blockiert.  Ohne diese Blockade können mit erdachten elementar konstruierten exakten Berechnungsplänen auch die Urberechnungen zum Winkeldreiteilen, zur Kreisbogenrektifikation und zur Kreisabrolllänge, sowie auch zur Transformationen von Verhältnissen der Rotation in/aus Translation exakt berechnet werden. Nun können mit endlich vielen, der endlos viel möglichen Schritte, zwar nur unvollständige Zwischenergebnis-Darstellung   ralisiert werden, die aber aber immer genauer gemacht werden können, da die vollständigen  Berechnungspläne  mit Wiederholungen von Schrittzyklen bis ins Endlose bekannt sind. Das weitere Vervollständigen der Ergebnis-Darstellung ist nun allein durch die verfügbaren Ressourcen von Zeit und materiellen Aufwendungen begrenzt.
 
Beispiel zur Kreis-Abrolllänge:
Wird die besagten Blockade ignoriert, zeigt sich bereits anhand konstruierter abgerollter Dreieckflächen eines Quadrates (reguläres 4-Eck), eines regulären 6-Ecks und eines regulären 8-Ecks ein nutzbarer systematischer Raumzusammenhang. Auf der Grundlage dieses Wissens kann ich eine kontinuierliche Trendkohärenzkurve „Kreis“ durch die letzten Abrollt-Endpunkte legen, hier die Punkte vom 4-; 6- und 8-Eck. Die Punkte-Koordinaten werden durch die Summe der Abrollseiten und die Höhe der Dreiecke bestimmt.
 
Das Bild zeigt, die fortgesetzte Trendkurve Kreis erzeugt einen Schnittpunkt mit der zur Abrollgeraden parallen, Geraden durch den Kreismittelpunkt.   Es wird hier eine schon recht genaue Approximation mit 3,14152 für die Abrolllänge erzeugt.  Archimedes (3.Jh.v.u.Z.) berechnet hier mit Vielecken der Anzahl 96  nur zwei wahre Dezimalstellen (3+10/71=3,1408< π <3+10/70=3,1428).  
Um hier insgesamt elementar zu bleiben, wurde das angestrebte Kohärenzmodelle allein nur mit einer Sequenz zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objekte konstruiert. 

Das  obige  Bild macht nachvollziehbar, wie mit dem den gezeichneten  Plan des endlosen Rechengangs mit immer mehr Eckpunkten und einer Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kreis- und Gerade-Objekte  zum  exakten Grenzpunkt = Grenzwert  gelangt wird, zumindest gedanklich. Der endlose Plan ist hier mit nur endlich vielen  Schritten vollständig dargelgt, was durch zutreffende   Wiederholzyklen möglich wird.  Prinzipielle Beschränkungen an Zeit und matriellen Aufwendungen  führen dazu, dass der vollständig beschriebene endlose Rechengang  niemals vollständig umgesetzt (abgearbeitet) werden kann. Trotz des exakten Rechenplans (Rechengangs) kann die Grösse des Grenzwertes bzw, die Lage des Grenzpunktes als Ergebnisgrösse  niemals vollständig, sprich endgültig fertig dargestellt werden.  

Dieses eben dargelegte Vorgehen bedeutet ein Durchbrechen der  uralte euklidschen Denkblockade, die vom richtungsweisenden Grundlagenwerk ELEMENTE ausgeht, das einst der berühmte  Euklid (ca 330 v.u.Z.) zusammenstellte und auch mit eigenen Beiträgen veröffentlichte. Das   vorige  Bild ist ein Beispiel dafür, wie mit dem veränderten Paradigma der Cohaerentic   abweichend zu den  Zielen und Erwartungen, wie sie Euklid (ca. 330 v.u.Z.) in seinem Grundlagenwerk ELEMENTE in richtungsweisender Art demonstriert, nun auch Punktefolgen endloser Erzeugungsprozesse angestrebt  und dargestellt werden. Dabei wird gefordert, es muss nachvollziehbar sein, wie dem Ergebnis  "Grenzpunkt bzw. einen Grenzwert"  logisch nachvollziehbar zugestrebt wird.   Ein besonderes Schwerpunktziel   ist dabei das elementar konstruierte Berechnen des   Endpunktes vom gleichlangen, gerade gestreckten bzw. abgerollten Kreisbogen. Dieses Vorgehen mit vollständig nachvollziehbaren Schritten orientiert sich an der Lehre des  Konfuzius mit: "Der Weg ist das Ziel".   Das Interesse  ist hier auf real nachvollziehbare  Grenzrozesse  eines   "einsichtigen, nachvollziehbaren" exakten Ergebnis-Erzeugungsprozesses gerichtet.  Auf diese Weise werden  nun auch   klassisch konstruierte   Lösungsprozesse für dasWinkeldrittel, die Quadratseitenlänge des zum Kreis flächengleichen Quadrates oder die Würfelkantenlänge bei doppeltem oder halbiertem Würfelvolumen und Weiteres möglich. Das Ziel sind exakte verständlich nachvollziehbare und nicht nur genäherte konstruierte Zusammenhänge für das Berechnen.

Mit den im 19. Jahrhundert geführten „Unmöglichbeweisen“ zu den drei klassischen Aufgaben der Antike, Winkeldritteln, Kreisflächenbestimmung und Würfelvolumendoppelung  entsteht der Eindruck , als könne es für diese drei Uraufgaben generell kein elementar nur mit Kreisen und Geraden konstruiertes exaktes Berechnen und Ergebnisdarstellen (allein mittels Kreis- und Gerade-Sequenzen) geben. Das  im Rahmen der Cohaerentic hierzu gesammelte Wisssen zeigt aber:
  • Beliebige Winkel und Winkeldrittel können zwar nicht mit  einer endlichen Anzahl von Schritten  als Zahl oder als klassisch konstruierte Abstandsgrösse vollständig dargestellt werden, wohl aber als unbeschränkter Grenzprozess  für ein exaktes Winkeldritteln. 
  • Die Längengrösse des abgerollten oder gestreckten Kreisbogens kann zwar nicht  mit  einer endlichen Anzahl von Schritten  als Zahl oder als klassisch konstruierte Abstandsgrösse vollständig dargestellt werden,  wohl aber als unbeschränkter Grenzprozesse zum exakten Abrollen oder Aufbiegen / Geradestrecken.
  • Die Grösse der  neuen Würfelseite bei verdoppeltem Würfelvolumen kann zwar nicht  mit  einer endlichen Anzahl von Schritten  als Zahl oder als klassisch konstruierte Abstandsgrösse vollständig dargestellt werden, wohl aber  als klassisch konstruierter Prozess   eines exakten unbeschränkten Volumenverdoppelns.
Die besagten „Unmöglich-Beweise“ aus dem 19. Jahrhundert, aus denen uneingeschränkt die „Unlösbarkeit der drei klassischen Aufgaben gefolgert wird, haben wie spätere Lösungsbeispiele noch mehrfach zeigen werden,  offensichtlich keine  allgemeine, sondern nur eine begrenzten Gültigkeit. Deren konkreter Gültigkeitsumfang  ist jeweils an den konkret betrachteten Berechnungszusammenhang beim Beweis geknüpft. Beim Lindemannschen Transzendenzbeweis für π ist es die Eulersche Identität  (e +1 = 0). 
im Rahmen der Cohaerentic wird hier noch gezeigt werden, wie die klassisch konstruierten Punktefolgen   jeweils einem gesetzmässigen kontinuierlichen  Verlauf aufweisen und im  Ergebnisbereich immer mehr einer  kreisähnliche Punktekurve zustreben. Diese Kurve  kann in ihrem  Trendverlauf  als gezeichneter Kreis fortgesetzt werden. Dies wird    für ein Beschleunigen der Berechnungs-Konvergenz (weniger Schritte bis zur Ergebnisdarstellung einer gewählten Genauigkeit)  genutzt.  
 

Was motiviert   ein  verändertes Vorgehen?

Motivation ist es,  Irritationen zu den drei klassischen  Urberechnungen der Antike auflösen zu wollen. Dabei  soll ein anschauliches nachvollziehbares Erklären und Verstehen  klassisch konstruierter exakter Lösungsprozesse  den Laien und Lernenden helfen. Mit der Cohaerentic-Sichtweise wird für die drei klassischen Aufgaben der Antike davon ausgegangen, dass   der Umfang der Gültigkeitsbereiche der  bekannten "Unlösbar-Beweise"  aus dem  19. Jahrhunderts  exakt nur für die  Berechnugszusammenhänge gelten, welche für die Beweise als Zusammenhanggrundlage genommen wurden.   
Man kann sich in der Ebene einen beliebig gegebenen Punkt und dazu abhängig konstruierte Schnitt-Punkte vorstellen, die das Ergebnis einer Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kurven-Objekte von Kreis und Gerade sind.  Erzeugt können diese  anschaulich nachvollziehbar mit den Werkzeugen Zirkel und Lineal. Die auf diese Weise erzeugten Schnitt-Punkte bzw. ihr Abstand zum gegebenen Bezugspunkt (oft der Nullpunkt) werden in der Mathematik „konstruierbare Zahlen“ genannt. Die Menge der konstruierbaren Punkte (konstruierbare Zahlen) füllt die unbegrenzte, aber auch die begrenzte Ebene niemals vollsständig aus. Vom Prinzip her bleiben immer Lücken zwischen den Raster-Punkten, egal wieviele diskret benennbare Schritte für die Raster-Punkte schon erzeugt sind. 
Die Betrachtung kann auch umgedreht werden. In der Ebene sind jetzt zwei beliebig gelegene Punkte gegeben. Gesucht wird nun eine mögliche Sequenz der zu zeichnenden Kurven-Objekte von Kreis und Gerade, welche den zweiten gegebenen Punkt nach endlich vielen Schritten als Schnittpunkt exakt trifft? Dieses Ereignis   tritt aber nie ein, denn der zweite beliebig gegebene Punkt liegt quasi immer in der Lücke zwischen zwei   gegebenen Rasterpunkten, egal mit wieviel diskret benennbaren Schritten schon Rasterpunkte erzeugt ist.
Mit diesem grundsätzlichem Wissen rücken bei den Cohaerentic Kalkulationen   sinnfällig nachvollziehbare Erzeugungsprozesse für  gesuchte Ergebnisse in den Bickpunkt des Interesses.  Es sind, wie oben schon angesprochen,  insbesondere klassich konstruierte  exakte  Grenzprozesse mit denen Zwischenergebnisse  erzeugt werden, die sich mit immer mehr ausgeführten, der vollständig bekannten Schritte des Konstruktionsplanes,  dem   Winkeldrittel, der Länge der Quadratseite und der Länge der Würfelkante  immer weiter nähern, theoretisch ohne Ende. Hierbei wird mit  den oben bereits  angesprochenen   Konvergenz-Verbesserung mit stark reduzierter Anzahl von  Schritten zu den gewünscht  genauen Ergebnis-Darstellungen  gelangt.  Die überraschenden Ergebnisse zu den klassisch konstruierten  Aufgabenberechnungen   erfordern es,  die Gültigkeisbereiche der hierzu im 19. Jahrhundert  bewiesenen und heute gelehrten "Unmöglich-Beweise"  kritisch zu hinterfragen. So können heutige Missverständnisse zur elementaren Berechenbarkeit beseitigt werden,  die aus dem Wissen hervorgehen, wie es im Jahr 2020 das Lexikon Wikipedia unter dem Suchbegriff "Konsruktionen mit Zirkel und Lineal" / "Unmögliche Konstruktionen" mitgeteilt.

"Viele geometrische Figuren können mit Zirkel und Lineal allein nicht exakt konstruiert werden. Darunter sind die klassischen Probleme der antiken Mathematik:

sowie

  • die Kegelschnitte Ellipse (mit Ausnahme des Kreises), Parabel, Hyperbel und
  • viele regelmäßige Vielecke.

Der Beweis, dass diese Probleme grundsätzlich nicht mit Zirkel und Lineal zu lösen sind, gelang jedoch erst im 19. Jahrhundert. Dennoch bewirkten die Versuche, das Unmögliche zu vollbringen, eine Reihe von Leistungen. Die Griechen fanden einige Lösungen der „klassischen“ Probleme mit anderen Hilfsmitteln, wobei sie viele Resultate der höheren Geometrie entdeckten."

Wir sind hier, wie später gezeigt  wird, zu folgender abweichenden Einsicht gelangt:  
Ergebnis-Darstellung und Ergebnis-Erzeugung werden unzulässig miteineander vermischt, quasi gleichgesetzt und führen so zu Irritationen.  
Auch wenn die durch Schritte geprägten Prozesse klassisch konstruierter  Ergebnis-Erzeugung und Darstellung  für die drei klassichen Aufgaben  prinzipiell nicht zu Ende kommen, quasi endlos fortsetzbar sind,  bedeutet dies nicht  zugleich, dass sie nur Näherungsprozesse für das   Ergebnis-Erzeugen   (konstruierte Berechnungsgänge) sind.
 
 
 

Was kennzeichnet klassische Konstruktionen?

Euklidische Konstruktionen 

  • Beschränkung auf Zirkel und Lineal (Urkurven Kreis und Gerade)
  • Grenzprozesse, die einem Grenzwert, beispielsweise  einem Winkeldrittel als Ergebnis zustreben,  bleiben unbetrachtet und ungenutzt.
  • Die Konstruktion muss  nach  endlich vielen Schritten  beendet sein.

Das klassische Konstruieren steht in der Tradition des Grundlagenwerkes ELEMENTE von Euklid (ca. 330 v.u.Z.) und erfährt dadurch nicht nur eine Beschränkung auf Zirkel und Lineal (bzw. Kreis und Gerade), sondern auch auf endliche Prozesse bzw. endliche Kreis-Gerade-Sequenzen. Darüber hinausgehende endlose Kreis-Gerade-Sequenzen für Grenzprozesse, die einem Grenzwert (Grenzwertpunkt) zustreben, bleiben bei Euklid   unbetrachtet. Dieser Sachverhalt begründet  eine Denkblockade zu klassisch konstruierten Grenzprozessen, die bis heute andauert. 

Für alle drei klassischen Aufgaben der Antike sind bislang durch klassisches Konstruieren nur genäherte Ergebnis-Erzeugungen mit genäherten  Ergebnis-Darstellungen bekannt geworden. 
Endlichkeitsforderung
Wieviel Sinn macht die seit der Antike erhobene Endlichkeitsforderung für in der Geometrie klassisch konstruierte Prozesse, die Zusammenhänge beschreiben und erzeugen? Diese Forderung hat in den berühmten ELEMENTEN des Euklid (ca. 330 v.u.Z) zu einer Wissenslücke geführt. Dort bleiben klassisch konstruierte Grenzprozesse unbetrachtet. Diese quasi „euklidsche Denkblockade“ wurde immer weiter vererbt und hält bis heute an. Hat die Forderung nach immer nur endlich vielen Schritten einen Sinn? Sie resultiert offenbar aus der Einsicht, dass endlos viele Schritte niemals realisiert werden können. Andererseits wurde aber auch immer klarer erkannt, dass bereits für jede beliebig gegebene Ausdehnungsgösse im Raum kein fehlerfrei abbildendes Grössenmodell (u.a. auch als Zahl) erzeugt werden kann, welches mit endlich vielen Schritten reproduzierbar dargestellt ist. Eine berechtigte Frage ist deshalb: Was wäre gewonnen, wenn Rechenergebnisse, wie ein Winkeldrittel oder das Kreisverhältnis π  = gestreckte Halbkreisumfanglänge / Kreisradius, nach endlich vielen Schritten fertig erzeugt und als reproduzierbare Grösse dargestellt wäre?
Die heute erzeugten Ergebnis-Situationen nach eine numerischen oder klassisch konstruierten Berechnung lassen sich wie folgt erklären: Es wurde entweder mit einem genähertem oder einem nur unvollständig ausgeführtem exaktem numerischen oder auch klassisch konstruierten Berechnungsprozess gearbeitet. In der alltäglichen mathematischen Praxis führt es hier immer wieder zu Verwirrung, wenn die tatsächlich genäherten und auch die exakten, aber nur unvollständig ausgeführten Berechnungsprozesse den Näherungen zugeordnet werden. Es sollte hier zumindest zwischen beschränkten Näherungen und unbeschränkten Annäherungen unterschieden werden.
Bei Wikipedia ist das unbeschränkte Annähern an das Winkeldrittel auf der Grundlage der 1/3-Reihe, deren schrittweise Rechengänge auch als Halbierungen realisiert werden können, in die Näherungsverfahren eingeordnet. Dies ist nach meiner Sichtweise falsch, denn dieses Winkeldritteln auf der Grundlage der endlosen 1/3-Reihe ist ein klassisch konstruierter Grenzprozess, der dem wahren Winkeldrittel eindeutig zustrebt und dieses mit seinem Grenzpunkt eindeutig markiert.
 
So kommt es dann zu etwas verwirrenden Aussagen, wie die Folgende: Zu finden im www.matheboard.de / Forum Geometrie /Klassisch konstruierter Grenzprozess; 17.09.2021; 19:32
Mir ging es einzig und allein darum, deine unterschwellig verallgemeinernde Behauptung richtig zu stellen, dass die "in der Fachliteratur bekannten Näherungen" nicht exakt seien. 
Zu verstehen ist diese Aussage dann, wenn der exakte Grenzprozess des Winkeldrittelns mit der 1/3-Reihe eine Näherung genannt wird, und diese dann „richtig gestellt“, doch nicht nur genähert sondern exakt berechnet/ konstruiert.
 
Für mich bleibt es dabei, die wohl bekannteste, am meisten in der Fachliteratur zitierte Näherung einer klassisch konstruierten Pi-Erzeugung von Kochanski (1685) erzeugt die Ergebnisgrösse Pi tatsächlich nur als beschränkte Näherung. Hingegen werden die heute immer genauer berechneten Kreiszahlen als unbeschränkte Näherung mit exakten endlosen Berechnungsprozessen, mit immer begrenzter Schrittzahl, erzeugt.

 

Cohaerentic-Kalkulationen als klassische Konstruktionen 

Lösungsauflagen

  • Beschränkung auf Zirkel und Lineal (Urkurven Kreis und Gerade).
  • Grenzprozesse, die einem Grenzwert /Grenzzustand als Ergebnis zustreben,  werden betrachtet und genutzt.
  • Die Konstruktion ist nach  endlich vielen Schritten  beendet oder wird vorzeitig abgebrochen.
  • Die Konstruktion muss bis zum letzten denkbaren Schritt anschaulich logisch nachvollziehbar sein.

Die von Euklid (ca. 330 v.u.Z.) praktizierte Beschränkung auf endliche Prozesse / Kreis-Gerade-Seuquenzen ist willkürlich, denn es gibt mit dem heutigen Wissensstand keinen  einsichtigen Grund dafür.  Deshalb werden wir hier nun auch Grenzprozesse betrachten und klassisch konstruieren. Dabei strebt der jeweils letzte Zwischen-Ergebnis-Punkt  dem gesuchten gedanklichen Ergebnis-Grenzwert-Punkt zu, der  beispielsweise der Grenzwert für ein Winkeldrittel ist.  Falsch und verwirrend wäre es hier,  klassisch konstruierte exakte  Grenzprozesse, die zu einem Grenzwert-Punkt konvergieren, auf  ein nur genähertes  Berechnen  zurück zu stufen.  Hier liegt ein klassisch konstruierter exakter Erzeugungsprozess  vor, denn es wird  mit immer mehr Schritten dem jeweiligen Grenzwertpunkt immer weiter zugestrebt. Ist dies nicht der Fall,  handelt es sich um eine  genäherte  Ergebnis-Erzeugung.

Ein erstes  klassisch konstruiertes Verfahren zum Winkeldritteln veröffentlichte Nicolais Fialkowski in seinem Buch: N.Fialkowski, Theilung des Winkels und des Kreises, Wien 1860  Verlag Gerold´s Sohn.
Exaktes Winkeldritteln nach N. Fialkowski  
Im zweiten Bild ist eine nach aussen laufende Zickzack-Linie hilfsweise hinzugefügt, um die Folge der von Fialkowski ausgeführten Halbierungen  leicher nachverfolgen zu können.
Die Konvergenz dieses exakten Winkeldrittelns ist schwach. Fialkowski hat deshalb seinem exakten Winkeldritteln durch Halbieren keine grosse praktische Bedeutung zuerkannt. Wir werden später noch zeigen, wie schon mit wenigen einfachen Mitteln eine deutliche Verbesserung der Konvergenz erreicht werden kann. 
Weitere Erörterungen dazu und auch weiter Beisiele für klassich konstruiertes exaktes Winkeldritteln folgen in der Rubrik:  Urberechnungen / Winkel / Drehung
 
Exaktes Rektifizieren  des Kreisbogens  nach  Fontana (1782) 
In der Fachliteratur wird zur Problematik des konstruierten Berechnens des Kreisverhältnisses  π=Halbkreisumfang / Radius immer zuerst die klassich konstruierte  π -Näherung von Kochanski (1685) zitiert. Diese Näherung kann mit mehr Rechenaufwand bzw. Konstruktionsschritten nicht verbessert werden. Anders ist es bei dem immer wieder vergessen,   schon (1782) erstmals vom italienischen Mathematiker Fontana vorgezeigten klassisch konstruierten  Grenzprozess, der dem Grenzwert "gestreckte Länge des   Kreisbogens"   bzw. dem Kreisverhältnis π = Kreisumfang/Durchmesser zustrebt. So können  unbeschränkt immer  genauere  Kreiszahlen πnum erzeugt werden. Die Fontana-Methode des klassisch konstruierten Berechnens kann sinnfällig bis zum letzten Schritt nachvollzogen werden. Die Kochanski-Näherungsmethode nicht. Mit der Fontana-Methode kann mit immer mehr   bekannten Wiederholzyklen zu  unbegrenzt  immer genaueren Ergebnis-Darstellungen πnum   gelangt werden. Auch mit meinen, später noch vorgezeigten klassisch konstruierten Abrolllängen können gleichfalls unbeschränkt verbesserte  Kreiszahlen πnum erzeugt werden. Auch hier setzt der inverstierbare Aufwand die Grenzen beim Realisieren.
Heute wird in der Fachliteratur  quasi nur dann von   Grenzprozessen  gesprochen, wenn  die beteiligten   Rechengrössen "Zahlen"  sind.  So liefert die Suche im Internet nach klassisch konstruierten Grenzprozessen,  die einem  Grenzwert im euklidischen Raum zustreben, keine Treffer.  Wir werden hier künftig aus Analogiegründen   auch dann von  Grenzprozessen sprechen, wenn mit einer klassisch konstruierten  "Kreis-Gerade-Sequenz"   einem  Grenzwert  zugestrebt wird, beispielsweise der Sehnengrösse eines gerade gestreckten Keisbogens, wie es das   folgende  Bild  zur Fontana-Methode (entnommen dem Buch Th. Vahlen Konstruktionen und Approvimationen,  Verlag B.G.Teubner Leipzig und Berlin 1911, S. 314) zeigt.
Seit Antiphon (ca 450 v.u.Z.) ist für die Berechnung der Kreisfläche bekannt, dass diese  mit einer immer weiter erhöhbaren Vieleckzahl auf eine nie endende, unbegrenzt genäherte  Ergebnis-Erzeugung und Darstellung hinaus läuft. Trotzdem hat Euklid (ca 330 v.u.Z.), aus  Gründen über die heute nur spekuliert werden kann, die Problematik der Grenzprozesse nicht in sein  berühmtes Grundlagenwerk ELEMENTE aufgenommen. Er hat diese   Problematik bewusst weggelassen. Dadurch kam es zu einer  Denkblockade zu konstruierten Grenzprozessen, die noch bis heute nachwirkt. In der Geometrie bleiben in euklidischer Tradition  somit klassisch konstruierte (gezeichnete) Grenzprozesse  bis heute nahezu unbetrachtet und werden als solche nicht erkannt und nicht entsprechend gewürdigt. So geriet der Grenzprozess von Fontana  immer wieder in Vergessenheit.

Weitere Beispiele für klassich konstruierte  Erzeugungsprozesse  folgen in der Rubrik Urberechnungen / Kreis  und   Urberechnungen / Würfel.

 

Nicht klassische Konstruktionen

  • Zusätzlich zu Zirkel und Lineal sind weitere Werkzeuge zugelassen, wie ein Masslineal, ein Rechtwinkelhaken, Tomahawk usw.
  • Auch über Kreis und Gerade hinaus gehende höhere Kurven, wie Parabel, Hyperbel usw. sind zugelassen.

Diese  Arbeitsrichtung wird mit  den Cohaerentic Kalkulationen nicht verfolgt, da mit ihrer Arbeitsrichtung "klassisches Konstruieren",  allein mit Kreisen und Geraden ausgekommen wird und damit der Umfang der Grundlagen überschaubarer bleibt.

Historisches 

Euklid (ca 330 v.u.Z.) hat in seinem berühmten Grundlagenwerk ELEMENTE das mathematische Wissen seiner Zeit gesammelt und wie Historiker heraus gefunden haben,  Einiges  von Vorgängern sogar direkt übernommen. Bei seinen  Vorgängern  und auch bei seinen eigenen Beiträgen bleiben klassisch konstruierte Grenzprozesse unbetrachtet, obwohl  schon seit Antiphon (ca. 450 v.u.Z)  vom Grundsätzlichen her bekannt war, dass endlose Prozesse für die Kreisflächen-Berechnung  wegen der gebogenen Kreislinie unerlässlich sind. Bei Euklid bleiben nicht nur über  Zirkel und Lineal hinaus gehenden Werkzeuge  unbetrachtet,  sondern  auch  die über  Kreis und Gerade hinaus gehenden höheren Kurven und auch Grenzprozesse, die einem Grenzwert zustreben.   Heute stellt sich immer mehr die Frage:  Was geht verloren oder was wird gewonnen, wenn  über die euklidische Beschränkung, keine konstruierten Grenzprozesse zu betrachten,   hinaus gegangen wird?
Es war Euklid (ca 330 v.u.Z.), der in Alexandria lehrende Geometer, der mit  seinem Grundlagenwerk ELEMENTE lange Zeit die Arbeitsausrichtung der   Geometer / Mathematiker bestimmte. Seine in den ELEMENTEN demonstrierten  Zirkel- und Lineal - Konstruktionen (klassische euklidische Konstruktionen)  sind bis heute Vorbild für das erlaubte Vorgehen.  Nach endlich vielen Schritten  soll das endgültige  Ergebnis vorliegen. Mit einer Sequenz nacheinander gezeichneter Kurven von Kreis und Gerade soll  dabei mit einem letzten Schnittpunkt ein  Ergebnis quasi fertig gestellt sein, das  eine   durch endlich viele klassisch konstruierte Schritte abhängige Grösse ist, die   eine   Strecke- oder ein  Kreisbogen oder auch ein Winkel  usw." sein kann.

Im  19. Jahrhundert wurde mit modernen mathematischen Methoden bewiesen, dass quasi mit nur endlich vielen  klassisch konstruierten Schritten kein exaktes Winkeldrittel, oder keine exakte Quadratseitenlänge eines  flächengleichen Quadrats zum Kreis oder auch keine exakte Würfelseitenlänge  eines   im Volumen verdoppelten Würfels dargestellt werden kann. 

 

 

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Über klassische euklidische Konstruktionen hinaus gehen.
Auch bei Beibehalten der klassischen Beschränkungen auf Zirkel und Lineal (heute sagen wir besser auf die Urkurven Kreis und Gerade) kann mit den Sequenzen von Stücken der Urkurven Kreis und Gerade   auch über die klassischen euklidischen Konstruktionen hinaus gegangen werden. Wie wir schon wissen (siehe obige Bilder),  ist es mit Wiederholungen möglich,  quasi bis ins Endlose fortsetzbare Vorgänge mittels klassischer Konstruktionen zu beschreiben. Durch die möglichen Wiederholungen von bekannten Zyklen werden hier  auch klassisch konstruierte Grenzprozesse möglich. Nacheinander ezeugte Zwischenergebnis-Punkte  streben hierbei  immer weiter einer Grenze zu, einem Grenzpunkt / Grenzwert bzw.Grenzzustand. Eine damit  erzeugte  Abstandgrösse in der Ebene kann Strecke oder Winkel oder auch ein gestreckter Kreisbogen sein.
Bei   klassisch  euklidischen Konstruktionen werden immer nur  endlich viele   Punkte erzeugt. Bei den erweiterten klassischen  Konstruktionen, die auch   Grenzprozesse umfassen, gibt es bei jedem  aktuellen Ende (Abbruch) einen nicht abgeschlossenen Vorgang mit nur endlich viel erzeugten Punkten. Im Unterschied zu den klassischen eukidischen Konstruktionen gibt es hier immer die offene Möglichkeit,  den Vorgang (Grenzprozess) sinnvoll fortzusetzen. 
Ergebnisdarstellung mit "konstruierbaren Zahlen"
Bei arithmetischen Grenzprozessen, bei denen Zahlen als Ergebnis errechnet werden, gibt es die bekannte Vereinbarung zur Darstellung mit den drei Punkten, wie für die Zajl des Kreisverhältnisses πnum(...)=3,1415... . Die gleiche Darstellung für das Zahl-Ergebnis aus der π-Näherungskonstruktion von Kochanski (1685) wäre somit falsch, da das Kochanski-Verfahren nach endlich vielen Schritten beendet ist und das erzeugte  Ergebnis durch mehr Schritte, z.B. beim Ausziehen von  Wurzeln, nicht weiter verbessert werden kann. Es ist somit nur beschränkt  genähert.
Die im 15. und 16. Jahrhundert zum Berechnen  geometrischer Zusammenhang-Systeme erfundene   „analytische Geometrie“ steht in der euklidischen  Tradition   und lässt  auch hier  klassisch konstruierte  Grenzprozesse unbetrachtet, wie sie für das elementar gezeichnete Berechnen der Kreisfläche und des Winkeldrittels unerlässlich sind.
Missverständnisse vermeiden. 
Die Betrachtungen zu Cohaerentic-Kalkulationen berühren auch die drei klassischen Aufgaben aus der Antike. Dabei werden  für Lernende insbesondere  die konkreten Gültigkeitsgrenzen für "unmögliche" und "mögliche" klassisch konstruierte Aufgabenlösungen deutlicher heraus gearbeitet.  Ziel ist es, die für Lernende und Nichtmathematiker    das ursprüngliche   Berechnens besser verständlich zu machen.   Es wird dabei erkannt, dass es zu  Berechnungsprozessen, die  mit   exakten endlosen Grenzprozessen ausgeführt werden,  niemals eine fertige, endgültige  Ergebnisdarstellung geben kann. Hier kann es   nur Darstellungen geben, die  mit immer mehr ausgeführten Wiederholungen   bekannter Schritte-Zyklen einem realen  Ergebnis-Grenzwert immer weiter zustreben. Dieser Arbeitsausrichtung wird heute unterstellt, sie würde allgemein akzeptiertes mathematisches Wissen negieren, indem  hier  immer noch nach einem klassisch konstruiertem exakten Berechnen gesucht wird, obwohl dies unmöglich sei.  Dem widersprecht aber vorzeigbere klassische Konstruktionen.   Besomders interessant sind dabei die  in der Konvergenz verbesserten  Grenzprozess-Konstruktionen. Dabei werden bereits nach wenigen, der endlos vielen möglichen Schritte,  zu  ausreichend genauen  Ergebnis-Darstellungen gelangt, die für das alltägliche   Leben  ausreichen.  

Klassich konstruierte  Rechenoperationen, _auch _mit Grenzprozessen 

Mit konstruierten Kreis- und Gerade-Sequenzen  können  grundsätzliche  Rechen-Operationen, bzw. mit nachvollziehbaren Zusammenhängen  (bildliche Kohärenzmodelle) im Erfahrungsraum konstruiert werden. Schon seit Euklid (ca. 330 v.uZ.)  bleiben  mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruierte Grenzprozesse unbetrachtet, bei denen das jeweils aktuelle Zwischenergebnis einem diskreten Grenzwert immer weiter zustrebt, ohne ihn jemals zu erreichen. Das veränderte Interesse ist hier nicht auf die quasi   immer unfertig bleibende  Ergebnisgrösse gerichtet, für die es  keine  reproduzierbare diskrete Darstellung gibt. Nun interessiert  ein   zutreffender exakter Grenzprozess.  Beim konstruierten geometrischen Berechnen wird anfangs noch ohne die Abstraktion "Zahl" für  geometrische  Rechengrössen gearbeitet. Die geometrischen Rechengrössen sind Verhältnisse von Strecken und Drehungen (Winkeln). Diese werden mit gegebenen und konstruierten Punkten beschrieben. Klassisch konstruiert  können folgende elementare geometrisch fundierte Operationen ausgeführt werden:
  • die Addition und Subtraktion zweier Strecken oder Drehungen (Konstruktion einer Summe/Differenz),
  • die Multiplikation und Division zweier zweier Strecken  (Konstruktion eines Produktes/Quotienten)
  • das Ausziehen der Quadratwurzel aus dem Produkt der Seiten des Rechtecks (Konstruktion der Seite des flächengleichen Quadrats und die Umkehrung). 
  • gezeichnete Grenzprozesse (z.B. geometrische Folge für Kreisrektifikation, Winkeldreiteilung ...)
Mit der   veränderten Betrachtungsweise ist  der Blick nicht mehr auf  diskrete Ergebniszahlen gerichtet, die   im Altertum aus mystisch-esoterischen Vorstellungen heraus erwartet wurden. Bei den  gezeichneten Cohaerentic Kalkulationen  interessiert nun   sinnfällig nachvollziehbare  Rechengänge, dier sicherstellen, dass mit immer mehr ausgeführten Schritten auch dem gedanklichen ideellem Ergebnis immer weiter (strikt) zugestrebt wird. Gefragt wird nun, wie können die Punkte der Urkurven Kreis, Parabel,  Hyperbel und Ellipse oder auch solcher Kohärenzkurven wie die Quadratix konstruiert berechnet, dargestellt und genutzt  werden? Gibt es  hier nachvollziehbare Verwandtschaften untereinander,  die  nur mit klassisch konstruierten Punkten der Ur-Kurven Kreis unf Gerade beschrieben und dargestellt werden können? Wie kann ein  Schritt um Schritt  nachvollziehbar gezeichnetes Konstruieren  von Kreisumfang und Kreisfläche gestaltet werden? Ein  Schwerpunkt ist auch, wie können die Rechengrössen von Translation und Rotation, vor- und rückwärts,  miteinander verknüpft werden?
Bei den erweiterten klassischen  Konstruktionen der Cohaerentic-Kalkulationen  werden die bekannten Beschränkungen auf Kreis und Gerade beibehalten und nur um die Nutzung konstruierter Grenzprozesse erweitert. Nach einem jeden solch  konstruiertem Berechnen können mit dem bekannten mathematischen Wissen die beteiligten geometrischen Rechengrössen in entsprechende funktionale und digitale Darstellungsformen   übergeführt werden. Dies wird später noch vielfach demonstriert werden.

Was ist    B e r e c h n e n   und gibt es dafür eine allgemeine Definition?

Alle Aktionen eines geometrisch konstruierten Berechnens haben, wie auch alle Berechnungen mit Zahlen, das Ziel,  zu mehr Durchblick zu gelangen, um dann bessere Entscheidungen treffen zu können. Eine Definition für das mathematische Berechnen ist  in der Fachliteratur und auch im Internet nicht zu finden. 

Den Begriff Cohaerentic  haben wir für ein Wissen zu  Rechenzusammenhängen gewählt, die sich mit Hilfe  konstruierter  Sequenzen von Kreis und Gerade (= antike Beschränkung auf Zirkel und Linael)    in anschaulichen bildlichen Urkohärenz-Systemen abbilden und so erfahrbar werden. Cohaerentic-Kalkulationen gehen in der Anschaulichkeit und dem Rechnen mit konstruierten Grenzprozessen über die  in der Elementargeometrie bekannten klassischen euklidischen  Konstruktionen hinaus und können daher mehr leisten, was später immer umfassender  erklärt wird.  

Berechnen ist ein  Wahrnemen, Durchdenken und Handeln  in Schritten

Es ist ein grosses Rätsel, warum  die Hauptaktionen beim Berechnen in Schritten ablaufen, das sind das Wahrnehmen, das Durchdenken und das Handeln. Hängt dies damit zusammen, dass das Herz quasi auch in Schritten arbeitet? Ohne Zahlen kann durchaus berechnet werden, nicht aber ohne Schritte!

Bei den Cohaerentic- Kalkulationen werden   geometrisch konstruierte Rechenprozesse mit endlos vielen Schritten als  etwas Natürliches betrachtet.   Ein Rechteck kann bei Erhalt seiner Flächengrösse durchaus mit   vielen und  bis endlos kleinen Schritten in seiner Gestalt verändert werden. Real kann die Kleinseite endlich oft halbieret und die Grossseite endlich oft verdoppelt werden, in Gedanken sogar endlos oft.   Für den Erhalt der Flächengrösse müssen nur die beiden gegenläufigen Rechenoperationen quasi simultan stattfinden. Die endlose Iteration wird immer dann beendet werden, wenn sie zur sinnlosen Aktion wird.

Die seit der Antike historisch immer weiter vererbte  Forderung nach Berschränkung der Anzahl der Schritte  bis zur Ergebnisdarstellung erweist sich als Denkblockade.  Diese Beschränkung grenzt  vielfach willkürlich das Berechnen auf  nur sehr grob dargestellte Ergebnisgrössen ein. Nun werden bei den elementar gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen  auch Grenzprozesse mit theoretisch endlos vielen möglichen Schritten betrachtet. Dabei wird trotzdem  das Ziel verfolgt, schon mit wenigen  Schritten ein befriedigend genaues Ergebnis darstellen zu können. Dies führt  zur Aufgabe, nicht für Grenzprozesse mit Zahlen, sondern auch für  gezeichnet  konstruierte Grenzprozessen nach Verkürzungen zu forschen.  

 

Erste Beispiele zu Cohaerentic Kalkulationen für Uraufgaben der Geometrie

Die Uraufgaben werden hier mit klassisch konstruierten Cohaerentic Kalkulationen berechnet. Die  Urberechnen betreffeb hier oft  einen mathematischen Satz, wie den  Höhensatz des Euklid und den  Satz des Pythagoras usw. Es gibt aber auch eine Reihe von Uraufgaben für die bis heute  keine  elementaren endlichen Lösungszusammenhänge gefunden wurden, die mit einem solch mathematischen Satz beschrieben werden kann.  Eine Uraufgabe, die einen wesentlichen Zusammenhang anspricht, lautet:

Der Kreisumfang bzw. das geometrische Verhältnis π ist mit einer  konstruierten Sequenz der Urkurven von Kreis und Gerade sinnfällig nachvollziehbar  zu berechnen.

Eng damit verknüpft ist die folgende  Uraufgabe und ihre Umkehrung:    

Es ist  mit einer  konstruierten Sequenz der Urkurven von Kreis und Gerade  die Transformation eines gegebenen beliebigen Drehungen-Verhältnisses  in eine gleichgrosse Strecken-Verhältnis, oder umgkehrt, sinnfällrig nachvollziehbar zu berechnen.

Oder anders beschrieben:

Allein mit einer konstruierten Sequenz der Urkurven Kreis und Gerade ist ein bildliches Kohärenzsystem zu erzeugen, in dem Translation und Rotation proportional miteinander verknüft sind, so dass es zu jedem Drehungen- Verhältnis  ein gleich grosses Strecken-Verhältnis  gibt und umgekehrt.

Die aus der Antike bekannte Kohärenzkurve Trisectrix des Hippias von Elis (5.Jh.v.u.Z.)  (heute Quadratrix genannt) kann mit Hilfe der  Kreis-  Gerade-Sequenzen als Punktekurve  beliebig veiler Punkten konstruiert werden. Exakte Transformationen sind hier nur mit den konstruierten exakten Punkten möglich.  Zwischen den Punkten gibt es nur    genäherte Transformationen.

Insgesamt wird die Konvergenz  verbessert, wenn zwischen 3 benachbarte Punkten ein Krümmungskreis gezeichnet wird.  Mit den immer mehr eakt konstruierten Punkten wird  sich immer mehr den gedanklich exakten Ergebnis unbeschränkt genähert. Der exakte Erzeugungsprozess der Punkte der Kohärenzkurve macht dies möglich.

Cohaerentic-Kalkulationen gehen in ihrer Zielstellung und ihrem Vermögen auch exakte Grenzprozesse  klassich zu konstruieren, über die klassischen euklidischen Konstruktionen hinaus. Dies wird später noch ausführlich gezeigt werden. Cohaerentic-Kalkulationen umfassen auch  anschaulich nachvollziehbare Beweise zum Richtigsein  und  für ein zweifelsfreies Zutreffen.

 

 

 
1. Beispiel:  

Klassische konstruierter Grenzprozess  Winkeldreiteilung

Bemerkenswert ist, es wird hier mit nur einer Zirkelöffnung (nur ein Kreisradius) ausgekommen.

 

 

2. Beispiel:    

2.1.   Höhen-Satz  des Euklid (ca 330 v.u.Z.)

Quadratur des Rechteck 

Aufgabe: Aus einem Rechteck ein flächengleiches Quadrat gezeichnet  berechnen und umgekehrt.

Die folgende elementar gezeichnete endlicheCohaerentic-Kalkulation  betrifft den  Höhensatz des Euklid, zu dem  Euklid von Alexandria (ca. 330 v.u.Z.)  in seinem berühmten Grundlagenwerk ELEMENTE   (Euklid, ELEMENTE  1.Teil, II. Buch, § 14 (A.2), OSTWALDS KLASSIKER 235, Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G. Leipzig 1933)   eine elementare Konstruktion zeigt und zum Beweis des Richtigseins verbale Ausführungen macht.. Dabei  arbeitete   er  mit den Begriffen Ergänzungen im Parallelogramm, die sich bis heute im Satz der Ergänzungsparallelogramme erhalten haben.  

 

Die hier vorgezeigte  Cohaerentic Kalkulation ist ein überzeugendes Beispiel  für  den Unterschied zur euklidischen   elementaren Konstruktion samt verbaler  Beweisführung zum Richtigsein, die auf schon schon vorhandenes Rechenwissen aufbaut. Die Cohaerentic Kalkulation geht   mit dem grossen Rechteck KJLC und der Symmetrie-Diagonale KL  über die von Euklid zu seiner Satzaussage gezeichnete  elementare  Konstruktion mit den Punkten E; B; C; D; G; F und H hinaus.  Damit wird der    oben  angesprochene   Unterschied  b)  zur elementaren Konstruktion nachvollziehbar.

Mit der hier im Bild erfahrbar gemachten  Flächengleichheit von rotem Rechteck und  rotem  Quadrat wird die Kernaussage des Höhensatzes sehr anschaulich und  ohne zusätzliche Hilfsbetrachtungen nachvollziehbarDabei  spielt die gestrichelte Diagonale KL als Symmetrielinie die entscheidende Rolle, um die Richtigkeit der Flächengleicheit von rotem Rechteck und rotem Quadrat   zweifelsfrei erkennen zu können. In der elementaren Konstruktion des Euklid und allen später hierzu in der Fachliteratur  veröffentlichten elementaren Konstruktionen fehlt das Rechteck KJLC mit der Symmetrie-Diagonale KL. Später wird unter der Rubrik "Urberechnungen" zur Problematik  Höhensatz des Euklid  noch mehr ausgeführt werden. Weitere Betrachtungen gibt es dann  auch noch zur Kreisquadratur, zur allgemeinen Kreisteilung in beliebige ganzzahlig viele Sektoren (Tortensstücke)  und zu  weiteren Urzusammenhängen.

 

2.2   Quadratur des Rechteck

Aufgabe: Aus einem Rechteck ein flächengleiches Quadrat elementar konstruiert  berechnen und umgekehrt.

Für diese Uraufgabe gibt es verschiedene Lösungsansätze und nicht nur den im 1. Beispiel  beschriebenen Ansatz. Mein hier mit einer Cohaerentic-Kalkulation gezeichnetes Urkohärenzsystem zeigt einen allgemein gültigen  Rechengang, der kein Grenzprozess ist und damit endgültig nach endlich vielen Schritten das Ergebnis darstellt.  Mit der gestrichelten Diagonale geht die Cohaerentic-Kalkulation auch hier über eine elementare Konstruktion hinaus.  Mit der Symmetrielinie "Diagonale"  wird   die Richtigkeit des Ergebnisses der Flächengleichheit auf kurzem anschaulichen Weg gezeigt.

 

 

Das folgende Video zeigt für beliebige  Rechteckformen (Diagonalendrehungen)  einen anschaulich  nachvollziehbar  gezeichnetes Kohärenzsystem zur Quadratur des Rechtecks und lässt damit zugleich auch  den geomtrisch fundierten Berechnungszusammenhang erkennen. Dabei beweist die gestrichelte Diagonale  den richtigen Berechnungszusammenhang für alle möglichen Rechteckformen.

Der Ablauf-Punkt auf der Zeitschiene kann durch Anklicken angehalten werden und  auch vorwärts und rückwärts bewegt werden.  

 

 

3. Beispiel:   KLassisch konstruierter Grenzprozess für π   

Aufgabe: Das Geradebiegen des Kreisbogen  gezeichnet  berechnen.

 

 

Bildbeschreibung zur Rektifikation

Mit einem verdoppeloten  Durchmesser und einem halbierten Zentriwinkel wird jeweils ein neuer Kreisbogen mit unveränderter (konstanter)  Länge bei halbierter Krümmung gezeichnet  und dargestellt. Gedanklich kann dieser endlose Prozess immer weiter fortgesetzt werden.  Real wird jedoch immer nach endlich vielen Schritten abgebrochen, so bald  das praktische Endekriteruim erfüllt ist und keine  Bogenkrümmung mehr erkannt werden kann. Später wird noch demonstriert werden, wie auf der Grundlage eines kontinuierlichen Zusammenhangs der gezeichnete  Grenzprozess   deutlich verkürzt werden kann. Schon nach wenigen Schritten, gemessen an den möglichen endlos vielen Schritten  wird dann bereits eine befriedigend genaue  Ergebnis-Darstellung  erreicht. Diese kann bei Bedarf mit weiter investiertem Rechenaufwand  weiter verbessert werden. Diese Möglichkeit gibt es bei genäherten  Berechnungsprozessen nicht.

Beim vorgezeigten obigen Rechengang  kann das gezeichnet berechnete Ergebnis, die gestreckte Länge des Kreisumfangs (Unterschied b), zweifelsfrei gefolgert werden.  Es wird hier ein natürlich konvergierender Berechnungsprozess (Rechengang)  vorgezeigt, der einem Grenzwert zustrebt und damit  ein Grenzprozess ist. Mit dem Erreichen des  Krümmungs-Grenzwertes Null  wird  die  gestreckte  Kreisumfanglinie als  Strecke erkannt.    

Offene Fragen:

Hier wird auch gefragt werden, welchen Schaden gibt es, wenn vom  Alters her geforderte Ausschluss   endloser  Berechnungsprozesse abgerückt wird?  Ich behaupte, es geht hiedurch nichts verloren. Im Gegenteil, es werden viele gezeichnete exakte  Berechnungen so erst möglich, die zu einem  Mehr an  Verstehen führen, was  Berechnen ist.  Für Cohaerentic-Kalkulationen sind deshalb alle elementar zeichenbaren Berechnungsprozesse zugelassen, deren  gezeichnete Rechengänge   bis zum letzten Schritt     anschaulich  sinnfällig   nachvollzogen werden können.  

 

4. Beispiel:    Verkürzter klassich konstruierter Grenzprozess für π 

Aufgabe: Den Halbkreisbogen Schritt um Schritt, bei konstanter Länge, immer weiter gerade biegen

Der Ablauf-Punkt auf der Zeitschiene kann durch Anklicken angehalten werden und  auch vorwärts und   rückwärts bewegt werden.  

Beim realisierten Grenzprozess bilden die Endpunkte der immer weiter aufgebogenen Kreisbogen gleicher Länge   eine Punktekurve mit stetigem Verlauf und immer dichterer Punktfolge. Nach endlos vielen Schritten des Aufbiegen liegt der letzte Bogenendpunkt immer noch vor der Ordinaten-Achse. Die gedachte stetig verlaufende Kurve ist bei den letzten drei Bogenendpunkten einem Kreis sehr ähnlich.    Eine Verkürzung des Grenzprozesses wird erreicht, indem ein Kreis durch die letzten drei Bogenendpunkt gezeichnet wird, der dann die Ordinaten-Achse schneidet und ein Ergebnisgrösse für den konkreten Umfang an Schritten liefert.

Das Kreisverhältnis π ist definiert als Verhältnis  π=gestreckter Kreisumfang / Kreisdurchmesser. Leicht nachvollziehbar ist, mit immer mehr investiertem Aufwand (n; (n+1); (n+2) ... - Schritte) in exakte  nur mit Kreis und Gerade konstruierte Berechnungsprozesse  (endlose  Grenzprozesse) wird die  Grösse eines  aktuell  erzeugten   πgeo(n)   immer enger an die ideale Grösse von π heran gerückt, was theoretisch ohne Ende fortführbar ist.  

Per Vereinbarung bildet die symbolisierte Kreiszahl πnum(...)    die Grösse des Kreisverhältnisses π vollständig ab.  So weist die symbolischen Kreiszahl- Darstellung πnum(...) = 3,14159...   mit den drei Punkten auf  nicht endend viele  wahre Nachkommaziffern hin, die man sich quasi als alle vorhanden vorstellt. Die fortsschreitende Rechentechnik macht hier immer wieder neue Rekorde für die Anzahl der berechneten wahren Nachkommaziffern möglich.  

 

 

 
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