Transformations-Kalkulationen Bogen <-> Strecke

 

Proportionale Transformation eines Bogen-Verhältnisses in ein gleich grosses Strecken-Verhältnis und umgekehrt 

 

Ein gegebenes beliebig grosses Winkel-Verhältnis  wird  in ein gleich grosses Strecken-Verhältnis   transformiert und umgekehrt. 

Kohärenzideen: Symmetrie; Erhalt-Grundsatz; Doppeln/Halbieren und Konvergenz verbessern 

Für ein vorteilhaftes Schritt um Schritt-Betrachten des folgenden Videos kann dieses mit dem Anklicken des Punkte der Zeitschiene  gestoppt und sogar  auch schrittweise vor und zurück bewegt werden.  Mit einem Klick rechts neben der Zeitschiene kann das Bild vergrössert werden, was vorteilhaft für das Betrachten ist.

Kurze Erklärung zum Bild und Video:

Die Strecke AB ist Radius für zwei Kreise mit den Mittelpunkten A und B. Die beiden gleichgrossen Winkel-Verhältnisse werden jeweils duch die roten und grünen Kreisbögen  anschaulich.  Wird die rote Strecke mit rotem Punkt um Punkt A gedreht, ändert sich die Grösse des  Winkel=Drehungen-Verhältnis und damit der Vorgabewert (Argument). Alle roten und grünen Kreisbogen werden durch ein Multi-Halbieren unterteilt und dazu immer eine Radiusstrcke gezeichnet. Die quasi simultanen Radiusstrecken von den  roten und grünen Kreisbogen   schneiden sich und erzeugen so eine Puktekurve, die ich eine rotorisch-lineale Kohärenzkurve nenne. Gedanklich  fortgesetzt schneidet sie die Abszissen-Achse im Ergebnispunkt, der das gesuchte gleichgrosse rot-grüne Strecken-Verhältnis erzeugt. Um den Winkel-Vorgabewerte und den erzeugten Strecken-Istwerte ausmessen und miteinander vergleichen zu können, wird  das Strecken-Verhältnis zwischen A und B von 100 auf 90 Grad umgerechnet. Dies erfolgt gleichfalls mit einer Cohaerentic-Kalkulation, die  rechts von Punkt B gezeichnet ist. Der  auf der Abszissen-Achse erzeugte  Istwert= Strecken-Verhältnis wird rechts von Punkt B mit dem Faktor (9/10) multipiziert. Mit den wenigen gezeichneten Objekten wird bereits eine Genauigkeit erreicht, welches über die Anforderungen für ein mit Zirkel und Linael gezeichnetes Berechnen und Darstellen bereits deutlich hinaus gehen. Bei Bedarf nach noch höheren Genauigkeiten (mehr wahren Nachkommazahlen) kann das gezeichnete Berechnen theoretisch endlos  forgesetzt werden,  denn dafür ist der gezeichnete bildliche Rechenplan  als Handlungsvorschrift vollständig vorhanden.

Schon das erste   Bild   und Video  zeigt überzeugend, dass mit dem gezeichneten bildlichen Kohärenzsystem für die obige Uraufgabe mehr Informationen zu den fundamentalen  Rechenoperationen  und den ihnen zugrunde liegenden systematischen Kohärenzen  transportiert werden, als es viele beschreibende Worte vermögen. 

Die  obige  Transformation betrifft  die folgende fundamentale Uraufgabe:  

Eine rotorische Bewegung (Drehbewegung) ist in eine simultane lineale Bewegung (Geradbewegung)  zu transformieren und umgekehrt.

Oder anders ausgedrückt:

Ein gegebenes beliebig grosses Winkel-Verhältnis ist in ein gleich grosses Strecken-Verhältnis zu transformieren und umgekehrt.

Diese Uraufgabe ist eine grundsätzliche mathematisch-geometrische Aufgabenstellung.   In der Fachliteratur  ist sie seit der Antike nicht zu finden,  auch  nicht im heutigen  InternetWas ist der Grund für diese Zurückhaltung, die es für entsprechenden   arithmetisch-trigonometrische  Berechnungen nicht gibt?   Der Grund ist, die in der Einführung aufgelisteten Aufgaben A) bis D) gelten in ihrer Art  als "unmöglich exakt lösbar", wenn der zu zeichnende Rechengang nur mit den  Kurven Kreis und Gerade dargestellt werden darf. Die hier mit den Kurven Kreis und Gerade gezeichneten   Cohaerentic- Kalkulationen zeigen, wie mit nur wenigen anschaulichen und logisch nachvollziehbaren Zeichenschritten bereits ein zweifelsfrei zutreffendes und ausreichend genaues Ergebnis  erreicht wird und nicht erst  nach theoretisch endlos vielen möglichen Zeichenschritten. Für die Cohaerentic- Kalkulation ist gefodert, der exakte Zusammenhang beim Berechnen muss erkennbar für alle Schritte bekannt sein. Eine zur rot-lin-Trasformation bekannt gewordene Näherungskonstruktion vom Lehrer Klee (1931) ist zwar über 90 Grad mit einem maximalem Fehler von 0,031 Grad erstaunlich genau, bleibt aber deutlich hinter der Genauigkeit unseres Ergebnisses zurück, das mit einer kleinen Zahl von Schritten berechnet ist.  Das erste Video zeigt, wie für den Bereich einer Vierteldrehung die Transformation der Drehbewegung in eine  lineale Bewegung stattfindet. Die gezeichneten Kohärenzsysteme sind mit nur endlich vielen Schritten dann als vollständige  Berechnungspläne gezeichnet, wenn sie auch den Zusammenhang des Berechnens für endlos viele weitere  Berechnungsschritte umfassen. So kann bei Bedarf nach einer noch höheren Ergebnisgenauigkeit die Berechnung so lange fortgesetzt werden, bis die angestrebte Genauigkeit  erreich ist.  Aus den Verlauf  der Cohaerentic-Kalkulation  kann  ein exakter Rechengang gefolgert werden. Aus dem Verlauf bekannter genäherten Konstruktionen  ist dies nicht möglich. Viele Ergebnisse aus elementaren Konstruktionen sind eine Überraschung, wie bei der π-Berechnung von Dinostratos (ca, 4Jh.v.u.Z.) und der lin<->rot-Transfomation von Klee (1931) oder auch beim regulären  Fünfeck, bei dem nicht von der Zahl 5 ausgegangen wird.

 

 

Nichtproportionale Transformation ohne Erhalt der  linealen und rotorischen Verhältnis-Grössen

 

Geradführung

 

 

 

 

 

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