Effiziente Konstruktionen für Vieleck-Abrollstrecken als Grenzprozesse für das Kreisverhältnis π
Historisches
Schon Archimedes (3. Jh.v.u.Z.) hat nach den Vorschlägen von Antiphon und Bryson (5. Jh. v.u.Z.) den Kreisumfang als Abrolllänge von Vielecken als Näherung berechnet. Aus Gründen steigenden Aufwandes mit steigender Vieleck - Eckenzahl hat er bei regulären 96-Aussen- und Innen-Vielecken aufgehört. Er berechnete die Abrolllängen als Zahlengrössen mit 3+10/71 und 3+10/70, zwischen denen er die wahre Grösse der Kreisabrollänge bzw, der Kreiszahl, bzw, das Kreisverhältnis π = Kreisumfang/Durchmesser sieht. Er weiß bereits, die extrapolierte Abrolllänge kann nicht endgültig vollständig als schrittweise zusammengesetzte Ergebnisgrösse dargestellt werden. Hier kann die Sequenz immer weiter fortgesetzt werden.
Eine elementare Konstruktion, wie wir sie nachfolgend als Sequenz von zusammenhängenden Kreisen und Geraden, mit dem Ergebnis Abrolllänge als Streckengrösse zeigen, ist weder von Archimedes und auch Anderen nicht vorgezeigt worden.
Neue effiziente Konstruktion eines Grenzprozesses für die Kreisabrolllänge
1. Beispiel
Das hier vorgezeigte Verfahren (entnommen aus dem Buch S.Schleicher, "Cohaerentic" Anschauliche Rechenzusammenhänge, ISBN 978-3-9820252-1-6 ) demonstriert eine effiziente Näherungskonstruktion. Bereits mit den Abrolllängen der 2- bis 4-Ecke wird eine erstaunlich genau genäherte Kreisabrolllänge erzeugt.
2. Beispiel
Die Steigerung der Effizienz wird mit gesammelte Erfahrung zum kontinuierlichen Raumzusammenhang möglich, die mit abrollenden Vielecke gesammelt wird. Die senkrechte Gerade des Abrollendes eines Vielecks und die horizontale Gerade für die kleinste Vieleck- Mittelpunkthöhe erzeugen eine kontinuierlich verlaufende Folge von Schnittpunkten, durch die eine Kreis- oder auch Kegelschnittkurve gelegt werden kann, welche den Trendverlauf fortsetzen und schließlich die Mittelpunktlinie des Abrollkreises schneiden.
Mit den 2-, 3- und 4- Ecken werden bereits drei wahre Nachkommestelle erzeugt. Eine Stelle mehr, wie sie das Archimedes-Verfahren mit den 96-Ecken erreicht. Unser Verfahren hat mit 6,2829 / 2= 3,1414 schon in der dritten Nachkommastelle die wahre Nachkommaziffer 1. Das Archimedes-Verfahren zeigt für die 96-Ecke mit 3,1409 für das Innenvieleck und 3,1428 für das Aussenvieleck bei der dritten Nachkommastelle schon eine fehlerhafte Ziffer. Mit berücksichtigten Vielecken mit nachfolgend höherer Eckenzahlen wird die erzeugte Abrollllänge bereits deutlucgh ergöht. (siehe zweites Bild).
3. Beispiel
