Parabel y=x2  ist  Kohärenzsystem für Multiplikation / Division und für geometrische  Mittel

Parabeln sind geometrische Objekte, zu denen auch im alltäglichen Leben Erfahrungen gesammelt werden können. Aus den Bewegungskurven geworfener Steine und hüpfender Bälle  wird der  Parabel-Zusammenhangs y=x2. erkannt. Bei Wikipedia wird unter „Parabel (Mathematik)“ zu verschiedenen Erzeugungsverfahren der Normalparabel berichtet. Hier betrachten wir nun ein noch weiteres klassich konstruiertes Erzeugungsverfahren für Parabelpunkte  der Funktion y=x2. Diese klassischen Konstruktionen sind überraschend einfach und können damit für die Rechenoperationen der Multiplikation und Division sowie Quadrieren und Ausziehen der Quadratwurzel; MUL-DIV sowie SQ-SQR “sehr gut nachvollzogen werden.  Das folgende  mit einem DGS-Programm konstruierte   Kohärenzsystem-Bild   zeigt wie  Raumzusammenhang  zugänglich und nachvollziehbar wird.  
  

Verhältnis- Gleichheit:   |EF| / |AB| = |AB| / |CD|

Produkt- Gleichheit:      |CD| * |EF| = |AB| * |AB|

Geometrisches Mittel:           |AB|=√|CD|*|EF|

Aus der Konstruktion geht weiter hervor:

y = x2  ;     yrot = |CD|     ;   xrot=|AC|       ;      yblau = |EF|        ;    xblau  = |AE|

                yrot = (xrot= ca)2                 ;      yblau = (xblau= cb)2
               ca2=|CD|                             ;      cb2=|EF|
              ca* cb= |CD|*|EF| = a2-c2= b2-cb= |AB|2
             a2 + b2 = |ca+ cb|2 = ca2 + cb2+ 2 * ca* cb

Beschreibung der DGS-Konstruktion

Wird Punkt C als   unabhägig variable Rechengrösse  x auf der x-Achse im DGS-Zugmodus bewegt, dann bewegt  sich der in y-Richtung darüber liegende y-Parabelpunkt D gemäss dem Zusammenhang  y=x2

Die DGS-Konstruktion  wird mit der Strecke AB auf der y-Achse begonnen. Dann wird das grüne  Halbrechteck= Dreieck ECB gezeichnet. Nun werden  senkrechte Geraden auf der y-Achse  in den Punkten E und C errichtet, sowie  von Punkt A  aus auch senkrechte Geraden durch die Strecken |BC=a| und |BE|=b. Hierduch werden die Schnittpunkte D und F und damit auch die Strecken |CD|=yrot=xrot2=caerzeugt und auch die Inverse  Rechengrösse |EF|=yblau=xblau2=cb2.. Wird der Punkt C im DGS-Zugmodus berwegt, dann dreht  sich das grüne Halbrechteck CBE um Punkt B und das Halbrechteck FAD um den Punkt A. 

Beweis-Konstruktion  zu:       |EF|*|CD|=|AB|*AB||

 
 

An dieser Stelle stellt sich die Frage, was ist mit dem   hier  Vorgezeigten? Steht es nicht im Widerspruch zu dem  in Wikipedia unter   "Konstruktion mit Zirkel und Lineal"(21.07.2020 )  dargelegtem Wissen? Dort ist zu lesen:     

 "Unmögliche Konstruktionen

Viele geometrische Figuren können nicht allein mit Zirkel und Lineal exakt konstruiert werden. Darunter sind die klassischen Probleme  der antiken Mathematik

sowie

Die hier gezeigten Kohärenzsysteme zeigen nachvollziehbar, wie   Punkte der Parabelkurve exakt und nicht nur genähert klassisch konstruiert werden. Mit immer mehr Schritten wird eine Punktekurve mit immer kleinerem Punkteabstand entzeugt. Die Ausführung der klassischen Konstruktuion geschieht hier mit einem Computer  und einem DGS-Programm.

In diesem Zusammenhang wird nochmals besonders daran  erinnert, dass ohne Ausnahme alle klassich konstruiert oder  numerisch berechnet erzeugten Kurven immer nur  Punkte-Kurven sind. Durch besagtes Berechnen entsteht   keine durchgezogene Spurkurve. Mit immer enger  benachbarten Punkten  geht  die Punktekurve visuell in eine durchgezogene Spurkurve über. Echte Spurkurven können nur mit besonderen (mechanischen) Werkzeugen und mit Schablonen gezeichnet werden.  Auf diese Weise sind sie aber auch  immer nur beschränkt genau konstruierbar. In unserem  Fall ist der konstruierte Berechnungsprozess für die Parabel-Punkte  ein exakter Berechnungsprozess, was dann auch zu exakt  und nicht nur  genähert erzeugt und dargestellten Punkten führt.

  

 

Geometrisches Mittel

 

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