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Parabelpunkte klassisch konstruieren

Parabel y=x²

Bekannte vs. cohaerentische Betrachtung

Bekannte Betrachtung:

Heute wird anhand sehr vieler verschiedener Konstruktionsbildern die Konstruktion der Normalparabel y=x²erklärt und bewiesen. Die bekannten rein geometrischen Beweisführungen zur Satzaussage y=x²erfordern gegenüber einer mit arithmetisch-algefraischer Berechnung erfordern etwas Ausdauer von den Lernenden. Meist basiert die Beweisführung in Lehrbüchern und Lexika auf dem gleichen paarweisen Abstant, den alle Parabelpunkte zur Leitlinie und zum Brennpunkt (Focus) haben. Dabei spielen die Begriffe "Leitlinie" , Scheitelpunkt" und "Brennpunkt (Focus)" eine wesentliche Rolle. Allein damit ist aber nur schwer nachzuvollziehen und zu verstehen, warum y= x² gilt.

Bei dieser häufig genutzten Schulbuch-Methode wird die zu beweisende Satz-Aussage y=x² nicht allein anhand eines Kostruktionsbildes mit Leitlinie und Brennpunkt geführt. Hier hilft zusätzlichen arithmetischen-algebraischen Wissen.

Wie die Situation zur Normalparabel y=x² und zu höhere Parabeln y=x^N (mit N=1; 2; 3....) aussieht, stellt die KI ChatGPT (28.8.20025) wie folgt dar:

"Du fragst, ob es allgemein gültige, rein geometrische Konstruktionen (nur Zirkel und Lineal) für die Kurven

𝑦 = 𝑥^𝑁 , 𝑁 = 1 , 2 , 3 , … gibt"

1. Der Fall N= 1 und N= 2

𝑁 = 1 N=1: Gerade. → trivial durch Lineal.
𝑁 = 2 N=2: Parabel. → Die Parabel ist klassisch nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar im strengen Sinne (sie ist keine „klassische Konstruktion“ wie Kreis, Gerade). Aber: Man kann sie geometrisch definieren (als Menge der Punkte mit gleicher Distanz zu Brennpunkt und Leitlinie). Ihre Punkte lassen sich konstruieren, indem man Abstände überträgt. Viele antike Konstruktionen (Menaichmos, Apollonios) beruhen darauf.

2. Höhere Exponenten N>2

Kurven wie 𝑦 = 𝑥3, 𝑦 =x4 etc. sind algebraische Kurven höherer Ordnung.

Sie sind im Allgemeinen keine klassischen „konstruierbaren“ Kurven im euklidischen Sinne (Zirkel+Lineal).
Die Euklidische Geometrie erlaubt nur Quadratkonstruktionen (Wurzeln 2. Grades).
Schon das Konstruieren von Kubikwurzeln (nötig für x3 ) ist mit Zirkel und Lineal unmöglich (Stichwort: „Delische Aufgabe“ – Verdopplung des Würfels). → Das bedeutet: Man kann nicht systematisch Punkte der Kurve 𝑦 = x3 mit Zirkel+Lineal erzeugen, da dazu kubische Gleichungen aufgelöst werden müssten.

3. Was aber möglich ist

Man kann Parabeln und kubische Parabeln mechanisch konstruieren (Schiebekonstruktionen, „Neusis-Konstruktionen“, Rollbewegungen von Kreisen etc.).
Klassisch bekannt:

– Kubische Parabel 𝑦 = x^3: als Kettenlinie oder durch spezielle mechanische Geräte konstruierbar.

– Fermatsche Parabeln 𝑦 = 𝑥^𝑛 ( 𝑛 ≥ 2) wurden in der klassischen Geometrie als „Potenzkurven“ untersucht.

In der projektiven Geometrie lassen sie sich elegant einbetten: durch Verknüpfungen von „Veronese-Abbildungen“ (Abbildung ( 𝑥 , 𝑦 ) ↦ ( 𝑥^𝑛 , 𝑦^𝑛 ). Diese sind aber nicht rein Zirkel-Lineal-konstruktiv.

4. Fazit

Für 𝑦 = 𝑥 (Gerade) trivial.

Für 𝑦 = 𝑥 ^{2 (}Parabel): nicht mit Zirkel+Lineal „als Ganze“ konstruierbar, aber einzelne Punkte konstruierbar über klassische Definitionen.

Für 𝑦 = x^𝑁 , 𝑁 > 2 : keine bekannten Zirkel+Lineal-Konstruktionen. Man stößt sofort auf die Unmöglichkeit, allgemeine Kubikwurzeln (oder höhere Wurzeln) mit Lineal und Zirkel darzustellen.

→ Allgemeine geometrische Konstruktionen mit nur Kreis und Gerade für alle Potenzkurven 𝑦 = x𝑁 sind nicht bekannt und im euklidischen Sinn auch unmöglich.

Cohaerentische Betrachtung

Die cohaerentische Betrachtung ist allgemein auf anschauliche Zusammenhang-Konstruktionen gerichtet, die möglichst in einem Bild für Satzaussage und Satzbeweis vereint sind. Die hier betrachteten Zusammenhang-Schwerpunkte sind das klassische Konstruieren von beliebigen Punkten von Parabeln der Form y=x^N mit N=1; 2; 3; .....

Die Betrachtung wird mit Parabelpunkten y=x²

. 1. Cohärentische Konstruktion von Parabelpunkten y=x²

mit Bezug

auf Brennpunkt, Scheitelpunkt und Leitlinie

2. Cohärentische Konstruktion von Parabelpunkten y=x²

ohne Bezug

auf Brennpunkt, Scheitelpunkt und Leitlinie

Die zuvor betrachten Parabelpunkt-Konstruktionen y=x^2 werden allein mit Sequenzen zusammenhängender Kreis- und Gerade- Objekte konstruieit,. Die euklidische Beschränkung auf Zirkel und Lineal werden dabei eingehalten und eine Nutzung von Zahlen findet nicht statt.

Die folgenden Bilder sind nachmals cohaerentische Konstruktionen ohne Bezug auf Brennpunkt und Leitlinie. Sie lassen die Abfolge der gezeichneten Grundobjekte deutlich hervor treten.

Mittleres Teilbild Die nacheinander konstruierten Objekte sind fortlaufend numeriert, um ihre Abfolge besser nachverfolgen zu können.

Vorbereitend werden die kartesische Koordinaten-Achsen X und Y mit Ursprungspunkt A gezeichent,

1. Schritt: Kreisbogen K1 wird mit Radius AB gezeichnet.

2. Schritt: Gerade G2 wird senkrecht über Punkt B gezeichnet.

3. Schritt: Gerade G3 wird senkrecht auf Y im Schnittpunkt S(Y,K1) gezeichnet

4. Schritt: Strahl G4 wird aus A durch Schnittpunkt S(G3,G4) gezeichnet.

5. Schritt Strahl G5 wird senkrecht auf X in Punkt (x/b) errichtet und schneidet Strahl G4 in S(G4,G5).

6. Schritt: Gerade G6 wird senkrecht in S(G4,G5) errichtet und schneidet G2 in S(G2,G6)

7. Schritt: Strahl G7 geht aus A duch S(G2,G6 ) und schneidet G5 in S()G5.G7)

Der Ergebnisschnittpunkt S(G5,G7) markiert die Ergebnisgröße y/b=(x/b)².

Linkes Teilbild: Gezeigt ist eine Konstruktion für eine unabhängige Variablen 0< x/b< (b=AB), mit der zur abhängige Variable y/b=(x/b)²mit y/b < AB gelangt wird.

Rechte Teilbild: Es zeigt, wie mit Hilfe der Normalparabel P8 und des Strahls g9 durch Punkt (x=AB; y=2AB) der Golden Schnitt konstruiert wird.

Parabelkurven symmetrisch zur Symmetrielinie y=x

Kohärenzsyteme mit Parabel

1. Beispiel

Gegeben:

Zwei Plunkte einer Parabel im R^2 - Raum (Ebene), ohne Koordinatenangabe
keine weiteren Parameter

Gesucht:

Weiteren Kurvenpunkte einer Parabel durch die gegebenen zwei Punkte. Sie sollen allein mit Sequenzen zusammenhängender Kreis- und Gerade- Objekte (Beschränkung auf Zirkel und Lineal, ohne Nutzung von Zahlen konstruiert werden?

2. Beispiel

Kohärenzsystem für Multiplikation / Division und für geometrische Mittel

Parabeln sind geometrische Objekte, zu denen auch im alltäglichen Leben Erfahrungen gesammelt werden können. Aus den Bewegungskurven geworfener Steine und hüpfender Bälle wird der Parabel-Zusammenhangs y=x^2. erkannt. Im Inernet-Lexikon Wikipedia werden unter „Parabel (Mathematik)“ verschiedenen Erzeugungsverfahren der Normalparabel mitgetielt. Hier betrachten wir nun ein noch weiteres klassich konstruiertes Erzeugungsverfahren für Parabelpunkte der Funktion y=x². Diese klassischen Konstruktionen sind überraschend einfach und können damit für die Rechenoperationen der Multiplikation und Division sowie Quadrieren und Ausziehen der Quadratwurzel; MUL-DIV sowie SQ-SQR genutzt werden, Sie sind “sehr gut anschaulich nachvollziehbar. wie es das folgende mit einem DGS-Programm konstruierte Kohärenzsystem-Bild zeigt.

Verhältnis- Gleichheit: |EF| / |AB| = |AB| / |CD|

Produkt- Gleichheit: |CD| * |EF| = |AB| * |AB|

_{Wert = Faktor} (|CD| >|AB|) = (|AB| * |AB|) / |EF|

_{Kehrwert = Faktor} (|EF|<|AB|) = (|AB| * |AB|) / |CD|

_{Geometrisches Mittel} |AB|=√|CD|*|EF|

Aus der Konstruktion geht weiter hervor:

y = x2 ; yrot = |CD| ; xrot=|AC| ; yblau = |EF| ; xblau = |AE|

yrot = (xrot= ca)2 ; yblau = (xblau= cb)2

ca2=|CD| ; cb2=|EF|

ca2 * cb2 = |CD|*|EF| = a2-c2a = b2-cb2 = |AB|2

a2 + b2 = |ca+ cb|2 = ca2 + cb2+ 2 * ca* cb

Beschreibung der DGS-Konstruktion

Wird Punkt C als unabhägig variable Rechengrösse x auf der x-Achse im DGS-Zugmodus bewegt, dann bewegt sich der in y-Richtung darüber liegende y-Parabelpunkt D gemäss dem Zusammenhang y=x2.

Die DGS-Konstruktion wird mit der Strecke AB auf der y-Achse begonnen. Dann wird das grüne Halbrechteck= Dreieck ECB gezeichnet. Nun werden senkrechte Geraden auf der y-Achse in den Punkten E und C errichtet, sowie von Punkt A aus auch senkrechte Geraden durch die Strecken |BCI=a und |BE|=b. Hierduch werden die Schnittpunkte D und F und damit auch die Strecken |CD|=yrot=xrot2=ca2 erzeugt und auch die Inverse Rechengrösse |EF|=yblau=xblau2=cb2.. Abhängig zum im DGS-Zugmodus bewegten Punkt C dreht sich das grüne Halbrechteck CBE um Punkt B und das Halbrechteck FAD um den Punkt A.

3. Beispiel

Beweis-Konstruktion zu: |EF|*|CD|=|AB|*AB||

An dieser Stelle stellt sich die Frage? Steht die voran gegangene Konstruktioin im Widerspruch zu dem in Wikipedia, "Konstruktion mit Zirkel und Lineal"(21.07.2020 ) dargelegtem Wissen? Dort ist zu lesen: "Unmögliche Konstruktionen

Viele geometrische Figuren können nicht allein mit Zirkel und Lineal exakt konstruiert werden. Darunter sind die klassischen Probleme der antiken Mathematik:

sowie

die Kegelschnitte (mit Ausnahme des Kreises) und
viele regelmäßige Vielecke."

Die hier gezeigten Kohärenzsysteme zeigen nachvollziehbar, wie Punkte der Parabelkurve exakt und nicht nur genähert klassisch konstruiert werden. Mit immer mehr Schritten wird eine Punktekurve mit immer kleinerem Punkteabstand entzeugt. Die Ausführung der klassischen Konstruktuion geschieht hier mit einem Computer und einem DGS-Programm.

Hier ist im besonders daran zu erinnern, dass, ohne Ausnahme, alle klassich konstruiertn oder numerisch berechneten erzeugten Kurven real immer nur Punkte-Kurven sind. Sie sind nur theoretisch kontinuierliche Kurven. Durch konsruiertes Berechnen entsteht eine Punktekurve und keine durchgezogene Spurkurve. Mit immer enger benachbarten Punkten geht die Punktekurve visuell in eine durchgezogene Spurkurve über. Echte Spurkurven können nur mit besonderen (mechanischen) Werkzeugen und mit Schablonen gezeichnet werden. Auf diese Weise sind sie aber auch immer nur beschränkt genau konstruierbar. In unserem Fall ist der konstruierte Berechnungsprozess für die Parabel-Punkte ein exakter Berechnungsprozess. Er führt zu exakt und nicht nur genähert erzeugt und dargestellten Folge-Punkten.