Parabelpunkte klassisch konstruieren

Normalparabel y=x2

Gegeben:
Karthesische Koordinatensystem im R^2 - Raum (Ebene)
 
Gesucht:
 Kurvenpunkte einer Parabel für y=x^2, die allein mit Sequenzen zusammenhängender Kreis- und Gerade- Objekte (Beschränkung auf Zirkel und Lineal,  ohne Nutzung von Zahlen) konstruiert werden? 
 

Die nacheinander konstruierten Objekte sind fortlaufend numeriert, mit K1 für Kreis. G2 für Gerade (Strecke) usw.

 

 
Weitere  Parabelpunkte klassisch konstruieren 
Gegeben:
  • Zwei Plunkte einer Parabel im R^2 - Raum (Ebene), ohne Koordinatenangabe
  • keine weiteren Parameter
Gesucht:
Weiteren Kurvenpunkte einer Parabel durch die gegebenen zwei Punkte. Sie sollen  allein mit Sequenzen zusammenhängender Kreis- und Gerade- Objekte (Beschränkung auf Zirkel und Lineal,  ohne Nutzung von Zahlen konstruiert werden? 

Normalparabel-Kohärenzsystem für Multiplikation / Division und für geometrische  Mittel

Parabeln sind geometrische Objekte, zu denen auch im alltäglichen Leben Erfahrungen gesammelt werden können. Aus den Bewegungskurven geworfener Steine und hüpfender Bälle  wird der  Parabel-Zusammenhangs y=x2. erkannt. Im Inernet-Lexikon Wikipedia wird unter „Parabel (Mathematik)“ zu verschiedenen Erzeugungsverfahren der Normalparabel berichtet. Hier betrachten wir nun ein noch weiteres klassich konstruiertes Erzeugungsverfahren für Parabelpunkte  der Funktion y=x2. Diese klassischen Konstruktionen sind überraschend einfach und können damit für die Rechenoperationen der Multiplikation und Division sowie Quadrieren und Ausziehen der Quadratwurzel; MUL-DIV sowie SQ-SQR genutzt werden, Sie sindsehr gut anschaulich nachvollziehbar. wie es das folgende  mit einem DGS-Programm konstruierte   Kohärenzsystem-Bild   zeigt.   
  

Verhältnis- Gleichheit:   |EF| / |AB| = |AB| / |CD|

Produkt- Gleichheit:      |CD| * |EF| = |AB| * |AB|

              Wert = Faktor         (|CD| >|AB|) = (|AB| * |AB|) /  |EF|
                                                         Kehrwert = Faktor     (|EF|<|AB|) = (|AB| * |AB|) /  |CD|
 
Geometrisches Mittel              |AB|=√|CD|*|EF|

 

 Aus der Konstruktion geht weiter hervor:

y = x2  ;     yrot = |CD|     ;   xrot=|AC|       ;      yblau = |EF|        ;    xblau  = |AE|

                yrot = (xrot= ca)2                 ;      yblau = (xblau= cb)2
               ca2=|CD|                             ;      cb2=|EF|
              ca* cb= |CD|*|EF| = a2-c2= b2-cb= |AB|2
             a2 + b2 = |ca+ cb|2 = ca2 + cb2+ 2 * ca* cb

Beschreibung der DGS-Konstruktion

Wird Punkt C als   unabhägig variable Rechengrösse  x auf der x-Achse im DGS-Zugmodus bewegt, dann bewegt  sich der in y-Richtung darüber liegende y-Parabelpunkt D gemäss dem Zusammenhang  y=x2

Die DGS-Konstruktion  wird mit der Strecke AB auf der y-Achse begonnen. Dann wird das grüne  Halbrechteck= Dreieck ECB gezeichnet. Nun werden  senkrechte Geraden auf der y-Achse  in den Punkten E und C errichtet, sowie  von Punkt A  aus auch senkrechte Geraden durch die Strecken |BCI=a und |BE|=b. Hierduch werden die Schnittpunkte D und F und damit auch die Strecken |CD|=yrot=xrot2=caerzeugt und auch die Inverse  Rechengrösse |EF|=yblau=xblau2=cb2.. Abhängig zum im DGS-Zugmodus bewegten  Punkt C  dreht  sich das grüne Halbrechteck CBE um Punkt B und das Halbrechteck FAD um den Punkt A. 

Beweis-Konstruktion  zu:       |EF|*|CD|=|AB|*AB||

 
 

An dieser Stelle stellt sich die Frage? Steht es  im Widerspruch zu dem  in Wikipedia unter   "Konstruktion mit Zirkel und Lineal"(21.07.2020 )  dargelegtem Wissen? Dort ist zu lesen:     

 "Unmögliche Konstruktionen

Viele geometrische Figuren können nicht allein mit Zirkel und Lineal exakt konstruiert werden. Darunter sind die klassischen Probleme  der antiken Mathematik

sowie

Die hier gezeigten Kohärenzsysteme zeigen nachvollziehbar, wie   Punkte der Parabelkurve exakt und nicht nur genähert klassisch konstruiert werden. Mit immer mehr Schritten wird eine Punktekurve mit immer kleinerem Punkteabstand entzeugt. Die Ausführung der klassischen Konstruktuion geschieht hier mit einem Computer  und einem DGS-Programm.

In diesem Zusammenhang wird  besonders daran  erinnert, dass ohne Ausnahme alle klassich konstruiertn oder  numerisch berechneten erzeugten Kurven real immer nur  Punkte-Kurven sind und theoretisch kontinuierliche Kurven. Durch konsruiertes  Berechnen entsteht  eine Punktekurve und  keine durchgezogene Spurkurve. Mit immer enger  benachbarten Punkten  geht  die Punktekurve visuell in eine durchgezogene Spurkurve über. Echte Spurkurven können nur mit besonderen (mechanischen) Werkzeugen und mit Schablonen gezeichnet werden.  Auf diese Weise sind sie aber auch  immer nur beschränkt genau konstruierbar. In unserem  Fall ist der konstruierte Berechnungsprozess für die Parabel-Punkte  ein exakter Berechnungsprozess, was dann auch zu exakt  und nicht nur  genähert erzeugt und dargestellten Folge-Punkten führt.

  

 

Geometrisches Mittel

 

image.jpeg

Parabeln y=xn

 

 

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