Einführung
"
Der erste Beweis dieser Negativaussage stammt von Pierre Wantzel aus dem Jahr 1837. In ihm wird das Problem auf eine algebraische Gleichung dritten Grades reduziert und argumentiert, dass deren Lösungen keine konstruierbaren Zahlen sind, sie sich also nicht in endlich vielen Schritten mit Zirkel und Lineal aus der Länge 1 konstruieren lassen". Offenbar kannte Wantzel das im Jahr 1647 veröffentlichte Buch "La Geometrie" von Rennè Descartes (1596-1650) nicht, das etwas im Widerspruch zu seiner Beweis-Einsicht steht. Nach den descartschen Lösungsansätzen wird mit Hilfe einer gegebenen quadratischen Parabel nach endlich vielen Schritten zur vollständigen Größendarstellung des Winkeldrittels gelangt. Im Buch des Autors "Cohaerentic, ISBN 9783982026216 ist deshalb auf Seite 302 geschrieben:
"Wir erkennen hierzu, dass der Unmöglich.Beweis von P. Wantzel (1818-1848) nicht so allgemein gültig ist, wie es heute erwartet wird. Das bewiesene "Unmöglich" trifft dann zu, wenn eine gezeichnete Winkeldreiteilung von der Kohärenzgrundlage ausgeht, die beim "Unmöglich-Beweis" zugrunde gelegt wurde.
Wanzel nimmt für das Problem des konstruierten Winkeldrittelns die Gleichungen vom 3.Grad
cos (β=3α) = 4 cos3(α) - 3 cos (α) bzw. sin (β=3α) =3 sin (α) - 4 sin3(α) zur Grundlage der Zusammenhänge. Mit diesen Kohärenzen kann ausgehend vom gegebenen Winkel α bzw. cos α bzw. sin α die exakte Lösungsgröße mit einer Sequenz endlich viel konstruierter Kreis-Gerade-Objekte vollständig und nachvollziehbar konstruiert werden. Dies zeigt unser nachfolgendes Bild, mit der blau gezeichneten Lösungs-Objekte-Sequenz für die (sin 3α) - Kohärenz und mit der magenta gezeichneten Lösumgs-Objekte-Sequenzn für die (cos 3α) -Kohärenz.
Unmöglich ist es mit den Zusammenhängen
cos (β=3α) = 4 cos3(α) - 3 cos (α) bzw. sin (β=3α) =3 sin (α) - 4 sin3(α) für ein beliebig gegebenes β bzw. sin β oder cos β dann die die vollständige Größendarstellung für α=β/3 mit endlich viel konstruierten Objektenzu konstruieren.
Wanzels Erwartung war, sein hier betrachter Zusammenhang ist exakt und einzigartig, was Betrachtungen zu noch anderen eventuell möglichen Kohärenzen nicht mehr erfordert.
Heute ist in der verfügbaren Literatur für ein konstruiertes Winkeldritteln zwar einerseits allgemein akzeptiert, dass das bewiesene "Unmöglich" generell zutrifft. Andererseits liefert aber die historische und nun auch neuere Fachliteratur einige Beispiele, die zum generellen wanzelschen "Unmöglich" im Widerspruch stehen. Wir erkennen, durch diese "Gegenbeispiele" wird der Geltungsbereich für den wanzelschen Unmöglichbeweis zum Winkedrittlen eingeschränkt. Das von Wanzel bewiesene "Unmöglich" trifft nur dann zu, wenn das konstruierte Winkeldritteln auf der Grundlage der 3er-Zusammenhänge
cos (β=3α) = 4 cos3(α) - 3 cos (α) bzw. sin (β=3α) =3 sin (α) - 4 sin3(α)
konstruiert wird. Für andere eventuell noch mögliche 3er-Zusammenhänge zum Winkeldritteln trifft der wanzelsche "Unmöglich-Beweis" nicht zu, wie folgend genannten Gegenbeispiele zeigen.
Erstes Gegenbeispiel
Ein Ansatz zum klassisch konstruierten Winkeldritteln mit quadratischer Parabel findet sich im Buch von René Descartes (1596-1650), "La Geometrie", das im Jahre 1647 veröffentlicht wurde.
Die Fachwelt sieht die descartsche Lösung nur als Näherung. Deshal abstrahiert das KI-Portal "frage.de" aus der Fachliteratur, 09.11.2024,:
Ja, das Descartes-Winkeldritteln kann nur genähert mit einer quadratischen Parabel gelöst werden. Laut Wantzel ist es nicht möglich, Winkel mit nur einem Zirkel und einem Lineal exakt zu dritteln, da dies eine Lösung einer Gleichung dritten Grades erfordert. Die Verwendung einer quadratischen Parabel ermöglicht lediglich eine Annäherung an die Lösung, jedoch keine exakte Lösung des Problems. [x]
Wir demonstrieren hier ein klassich konstruiertes Winkeldritteln mit quadratischer Parabel.
Aus unserer anschaulich nachvollziehbaren Konstruktion kann gefolgert werden, der Prozeß des Winkeldrittlens ist eine exakter und kein genäherter, wie ihn Wanzel sieht. Das gesuchte Winkeldrittel wird in seiner Größe mit endlich vielen Objekten von Kreis und Gerade vollständig ohne Restfehler konstruiert.
Später werden wir den exakte Winkedritteln mit Parabel noch ausführlich betrachten.
Zweites, anderes Gegenbeispiel
Ein klassisch konstruiertes Winkeldritteln, veröffentlichte Nikolaus Fialkowski (1818-1902) im Jahre 1860 in seinem Buch"Theilung des Winkels und des Kreises", Wien Verlag Gerolds Sohn 1860, S. 11; 12". Dabei lonstruiert er mit einem konvergentem Grenzprozess, mit endlos vielen unbeschränkt fortsetzbaren Halbierungen, eine immer dichtere Punktefolge, die gesetzmässig ihrem Grenzpunkt, dem exakten Winkeldrittelpunkt zustrebt.
.
Weitere Gegenbeispiele mit Schritt um Schritt konstruierten Neusis-Prozessen
Diese Gegenbeispiele Sie basieren auf bekannten und neuen Winkeldrittelungen, bei denen mit analogen Neusis-Prozessen die konstruierten Lösungsgestalten auf die exakten Zielgestalt-Konstruktionen zu bewegt werden bis sie schließlich übereinstimmen und so das Winkeldrittel erreicht ist. Der Fortschritt besteht in der Überführung das quasi analogen Neusis-Prozesses in einen "digitalen", Schritt um Schritt konstruierten Grenzprozess. Dabei werden mit endlos unbeschränkt fortsetzbaren Wiederholzyklen immer dichtere Punktefolgen konstruiert, die gesetzmässig ihrem Grenzpunkt, den exakten Winkeldrittelpunkt zustreben.
Pierrè Wanzel (1818-1848) kannte offenbar das im Jahr 1847 veröffenntlichte Buch von Descartes mit der "Parabel-Konstruktion" nicht. Er hätte sonst nicht behauptet, das mit endlich vielen konstruierten Objekten die Winkeldrittelung mit keiner Gleichung geringer als vom 3. Grad möglich und vollständig vollziehbar sei. Erstaunlich ist, dass heute trotz des Wissens zum descartschen Buch von 1647 mit bekanntem Parabel-Zusammenhnag, die wantzelsche Einsicht bislang nicht hinterfragt wird. Warum?
Bevor wir uns den konkreten Betrachtungen zu den Gegenbeispielen zuwenden, schauen wir noch auf klassische Konstruktionen, die im Kohärenzsystem "Kreis mit Achskoordinaten" über die bekannten 3er-Winkelzusammenhängen hinaus gehen. Dieses anschaulich nachvollziehbare Kohärenzwissen spielt eine wichtige Rolle bei der Beantwortung der Frage, ob das Winkedritteln mit Parabel nur genähert oder doch exakt ist.
3er-Winkelzusammenhänge im Kohärenzsystem "Kreis mit orthogonalen Achskoordinaten"
Die Winkel in einem Viertelkreis, einem Halbkreis und einem Kreis sind Teil eines Gesamtsystems und hängen wie gezeigt, gesetzmäßig untereinander zusammen.
Ist einer von zwei Winkeln im Halbkreis gedrittelt, so sind es auch die anderen bis zum Halbkeisende und zusätzlich bis zur Y-Achse. Infolge gegebener Symmetrie sind dann auch die Winkeldrittel in der anderen unteren Kreishälfte gegeben, was nachfolgendes Bild zeigt.
1. Gegenbeisiel:
Winkedritteln mit einer quadratischen Parabel nach René Descartes (1596-1650)
Der berühmte René Descartes nutzte für das Winkeldritteln eine quadratische Parabel, deren Gleichung vom 2. Grad ist, Auf diese Weise gelangt er nach endlich vielen Schritten zu einer vollständig konstruierten Größendarstellung des dreigeteilten Winkel-Ergebnisses α=β/3 bzw. cos(α=β/3). Im originalen descartes´schen Bild vom Buch "La Geometrie", Seite 399,
ist kein anschaulich nachvollziebarer Zusammenhang zum Winkeldritteln zu erkennen. Erschwerend ist hier, es gibt keine übereinstimmenden gemeinsamen Buchstaben-Symbole in der linken und rechten Teilkonstruktion.
Beim obigen rechten Teilbild sind ein zu dreiteilender Winkel ∠PON und die gesuchten Drittelwinkel ∠POT, ∠TOQ und ∠QON zu erkennen. Leider findet sich keiner der Punkte vom rechten Teilbild im linken Teilbild wieder und umgekehrt, was das Verständnis zum konstruierten Zusammenhang behindert. So ist aus dem linken Teilbild heraus kein Bezug zur Dreiteilung direkt zu erkennen. Die von Descartes etwas unglücklich gewählte Darstellung des konstruierten Lösungsprozesses hat dazu geführt, daß sein erdachter Lösungsprozeß etwas in Vergessenheit geraten ist. Im Internet-Lexikon Wikipedia sind unter dem Suchwort Dreiteilung des Winkels viele Lösungsversuche zur Dreiteilung des Winkels gesammelt und ausführlich besprochen. Die Descartes-Lösung ist dabei nur kurz erwähnt. Obiges Bild von Descartes ist ganz weggelassen und seine Lösung bleibt unbetrachtet und unerklärt. Gegenüber den vielen anderen bei Wikipedia ausführlich abgehandelten Lösungsversuchen ist die Bedeutung des exakten descartschen Lösungsprozesses mit vollständig konstruierter Grössendarstellung des Winkeldrittels nicht erkannt.
Mit unserem folgenden Bild werden die Zusammenhänge eines mulitifachen Winkeldrittelns mit Parabel im Kohärenzsystem "Halbkreis" nachvollzihebar.
Die vom Bild mit Kreisen und Parabel vermittelten Zusammenhänge beschreiben zwei Kohärenzen, einmal für eine Parabel y=x2 mit innerem und äusseren Kreis um Punkt M mit Radien der Größe 1 und 2, sowie zugleich auch für eine Parabel y=2x2 mit Radien der Kreise um M von der größe 0,5 und 1.
Beschreibung der Konstrukton und der Objekt-Bezeichnungen
Zunächst betrachten wir beim linken und rechten Teilbild einen gesetzmäßigen Zusammenhang für drei Winkel im Halbkreis. Dies wird nachvollziehbar, indem im rechten Teilbild eine Sehne den inneren Kreis um M tangiert und dabei am äusseren Kreis endet. In linken Teilbild ist der innere Kreis mit k1 bezeichnet. Er weist nur die halbe Radiusgröße des größeren Kreises k2 auf. Die Schittpunkte S9(k2xg9) und S8(k2xg8) auf Kreis k2 sind die Endpunkte der Sehne, welche Drittelpunkte markiert. Im rechten Teilbild wird durch die Ausfüllungen der Winkel mit ihren Winkelditteln in Gestalt aneinander gereihter zwei roter Kreise, dann grüner und links zweier blauer Kreise der Zusammenhang im Kohäremzsystem "Halbkreis" anschaulich erfahrbar. Auf den linken Teilbild ist zu erkennen, daß ein Kreis k6 die Parabel p7 drei mal schneidet und so drei verschiedene Winkeldrittelpunkte liefert.
Mit der Objektbezeichnung "g3" kennzeichnet der Buchstaben g ein Geraden-Objekt und mit der Zahl 3 den erzeugenden Konstruktionsschritt in der Sequenzfolge. So kennzeichnet k2 mit k ein Kreis-Objekt um Mittelpunkt M mit doppeltem Radius zu Kreis k1. Die Zahl 2 kennzeichnet den erzeugenden Konstruktioinsschritt bzw. das zweite konstruierte Objekt. Das Schild S7.1(k6³×p7) kennzeichnet einen mit dem 7.1 Schritt erzeugten Schnittpunkt, indem sich die Objekte k6 und p7 schneiden. Das Schneiden wird hier mit "x bzw. ⊗" symbolisiert. Das Schild S7.2(k6xp7) kennzeichnet einen mit dem 7.2- Schritt erzeugten Schnittpunkt, indem sich die Objekte k6 und p7 schneiden.
Der zu drittelnde Winkel ist ∠BMS3(k2xg3). Sein Radiusstrahl g3=MS3 schneidet Kreis k2 im Schnittpunkt S(k2xg3 und ist Ausgangspunkt für Gerade g5, die Gerade g4 schneidet und den Schnittpunkt S5(g4xg5) erzeugt, welcher Mittelpunkt für Kreis k6 ist. Der Kreis k6 schneidet die gegebene Parabel p7 drei mal und erzeugt die Schnittpunkte S7.1(k6xp7),S7.2(k6xp7 ) und S7.3(k6xp7). Diese sind Ausgangspunkt für die zur Y-Achse parallelen Strecken g8, g9 und g10, welch den Kreis k3 schneiden. Die Schnittpunkt S8(k2xg8), S9(k2xg9) und S10(k2xg10) markieren drei verschiedene Drittelungswinkel, was das linke Bild deutlich zeigt,
Konstruiertes Winkeldritteln ohne gegebene, schon gezeichnete, quadratische Parabel
Mit folgendem Bild knüpfen wir an das eingangs schon erörterte descartes´sche Verfahren an, das allein mit Zirkel und Lineal bzw. Kreis und Gerade auskommt. Eine gegebene gezeichnete Parabelkurve p, die hier als gestrichelte blaue Kurve p angedeutet ist, wird hier für die Lösungskomstruktion nicht mehr benötigt.
Die rote Winkelgradzahl im Bild ist die verdreifachte Ergebniszahl und kann so leichter mit der schwrzen Startzahl verglichen werden.
Im Schnittpunkt-Bereich S(p, k3) werden drei exkate Punkte der Parabel p klassich konstruiert. Dies gelingt mit einer endlichen Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten, wie es für die klassiche Konstruktion von Punkten einer quadratischen Parabel bei den Cohaerentic-Betrachtungen an anderer Stelle schon mehrfach beschrieben wurde. Die Erzeugung kann aberauch aus im Konstruktionsbild eindeutig nachvollzogen werden. Der Parabel-Krümmungskreis k4 im Ergebnisgebiet wird duch die hier drei konstrierten Parabelpunkte gezeichnet. Gestartet wird die Konstruktion mit einem grob geschätzten Drittelwinkel, indem der mittlere Parabelpunkt E in der Nähre von Kreis k3 platziert wird. Die beiden anderen Parabelpunkte F und G werden quasi symmetrisch rechts und links nebem Punkt E platziert, wobei sie einmal im Kreis k3 und einmal ausserhalb von kreis k3 liegen sollen.
Beim nächsten Bild werden zwei aufeinander folgend konstruierter Berechnungszyklen gezeigt. Der 1. Zyklus ist rot-rechts und der 2. Zyklus ist blau-links gezeigt. Gestartet wird der zweite Zyklus mit dem Ergebniswinkel ais dem 1. Zyklus (rot). In 2. Zyklus werden über die 14 wahre Stellen an Ergebnisgenauigkeit im ersten Zyklus nun alle vollen 15 Stellen erreicht und offenbar deutlich mehr. Wieviele kann hier nicht mehr erkannt werden, da die Rechengenauigkeit des verwendeten Geogebra-Programms nur 15 Nachkommastellen leistet.
2. Gegenbeisiel:
Winkeldritteln durch Halbierungs-Grenzprozess nach Nikolaus Fialkowski (1818-1902)
Nicolaus Fialkowski (1818.1902) war ein österreichischer Mathematiker. In seinem Buch "Theilung des Winkels und des Kreises", Wien Verlag Gerolds Sohn 1860, S. 11; 12 hat er einen exakten Winkeldreiteilungsprozess durch fortgesetzte gezeichnete Halbierungen veröffentlicht.
Fialkowski nennt seine Winkeldreiteilen durch Halbieren eine Näherung und bleibt damit "quasi in der amtlichen" Begriffswelt der Mathematik. Tatsächlich geht es hier aber um einen exakten Grenzprozeß, dessen aktuelle Zwischenergebnisse unbeschränkt dem Grenzpunkt = exakter Winkeldrittelpunkt zustreben. Die Bezeichnung der Mathematik "Näherung" wurde hier wohl deshalb gewählt, weil das exakte Grenzpunkt-Ergebnis wegen der notwendigen endlos vielen Schritte niemals erreicht wird.
Die Ergebnis-Darstellung ist hier mit endloch vielen Schritten zusammengesetzte Zahldarstellung oder konstruierte Drehung niemals ganz vollständig erzeugt. Trotzem ist ihr Erzeugungsprozeß ein unbeschränkter exakter Prozeß und kein genäherter, wie der für die häufig zitierte Streckenkonstruktion, welche der polnische Mathematiker Adam Kochanski(1631-1700) im Jahre 1647 für das genäherte Kreisverhältnis π veröffentlichte.
Hier kommt auch das Problem der Quantisierung ins Spiel. Dazu ist bei Wikipedia 7.11.2024 unter Suchwort " "Quantisierungsabweichung" zu lesen:
"Die Quantisierungsabweichung oder der Quantisierungsfehler ist die Abweichung, die bei der Quantisierung von analogen Größen entsteht (z. B. bei der Analog-Digital-Umsetzung). Während analoge Signale dem Wertebereich der reellen Zahlen genügen, werden in der digitalen Darstellung nur diskrete Werte verwendet.
Fialkowski erkennt ganz klar, sein Winkelteilen ist ein konstruiertes exaktes Berechnen, bei dem mit mehr Schritten die Ergebnisgenauigkeit unbeschränkt erhöht werden kann. Er schreibt hierzu:
"Mann kann durch fortgetztes Halbiren der Trisection des Winkels so nah, wie man will, kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als jede angebbare Grösse wird".
Leider trägt Fialkowski selbst zu einem schnelles Vergessen seiner erfundenen exakten Halbierungs-Winkeldreiteilung bei. Er schreibt hierzu:
"Allein diese Construktion hat für das praktische Zeichnen gar keinen Werth; erstens weil man die nach und nach kleiner und kleiner entstehenden Winkel geometrisch nicht so leicht nach dieser Art halbiren kann, aus welchen Gründen diese Methode beim praktischen Zeichnen nicht anwendbar ist."
Theoriefindung zum Halbierungs-Winkeldritteln nach Fialkowski
Bei der Theoriefindung zum Winkeldritteln nennt Fialkowski in seinem Buch auch den Nikomedes (ca 4.Jhd. v.u.Z.), der eine Konchiode für das Winkeldritteln ins Spiel bringt. Auf Seite 6 seines Buches schreibt Fialkowski dann:
„Wird nämlich der gegebene Winkel in 4 gleiche Theile getheilt, der 4te Theil wieder in 4, der 16te wieder in 4 u.s.w. gleiche Theile getheilt, so hat man: ... α (1/4+1/42+1/43+ 1/44 + ... ins ∞ ) = α /3“
Schliesslich leitet Fialkowski daraus die 1/3-Reihe " 1/3=1-1/2+1/4-1/8+1/16- ... u.s.w.;" her und schreibt:
" ... dies ist nun die Reihe die uns durch Halbierungen auf die Trisection des Winkels führt"
Verkürzte Halbierungs-WDT durch nachgeschaltetes konstruiertes Dritteln
Das Verfahren von Fialkowski, welches die 1/3-Reihe nutzt, kann um eine nachgeschaltetes klassisch konstruiertes Drittelln verkürzt und damit effizienter gemacht werden. Das folgende Bild zeigt einen hierfür genutzten Zusammenhang.
In aufeinander folgenden Teilrechengängen (Zyklen) werden stufenweise immer genauere Berechnungen ausgeführt. Die elementar konstruierte Dreiteilungsberechnung kann hier bis ins Endlos fortgetzt werden.
Geometrische Konstruktopn als Berechnungsplan
Als konstruierten Berechnungsplan verstehen wir auch die Sequenz der klassiche Konstruktion, die durch Wiederholaktionen bis ins Endlose reichende Aktionen beschreiben kann. Die Gesamtheit der Teilrechengänge sind als endloser Grenzprozeß zu verstehen, bei dem einem Ergebnis als Grenzrechteck bzw. Grenzpunkt zugestrebt wird. Durch ein hierzu analoge gezeichnetes Prozeßvorgehen kann auch für Kreisbögen bzw. Winkel zu einem klassisch konstruierten Grenzprozeß zum Dritteln gelangt werden. Voraussetzung hierfür ist, der Radius muß viel größer als die Bogenlänge sein.
Die real ausgeführte Konstruktion zu einem exakten Grenzprozesse ist zugleich Kostruktionsplan und beschreibt alle Schritteaktionen bis ins Endlose vollständig. Möglich wird dies erst mit der Nutzung von sich wiederholenden Schritteaktionen (Teilsequenzen). Dieses Fortsetzen ist theoretisch endlos möglich und damit unbeschränkt. Beim folgenden Bild endet das Fortsetzen schon nach 7 Halbierungen.
Beim nächsten Bild werden von Innen nach Außen geometrischen Drittelungen vorgenommen, die mit diagonal gezeichenten Strecken realisiert werden. Zuerst nach 3 Halbierungen, dann nach 4 und außen nach 5.
Beim folgenden Bild erleichtert die von Innen nach Außen gezeichnet Zick-Zack-Linie das Nachverfolgen der nacheinander konstruierte Halbierungen. Bei diesem konkreten Bild gibt es keine nachgeschaltetes geometrisches Dritteln. So wird hier erst nach 11 Halbierungen eine praktikable Winkeldrittel-Abweichung von wenigel als 1/1000 Grad erreicht.
Zusammefassend schreibt Fialkowski zu seiner Halbierungs-WDT:
"... die Trisection eines Winkels, die direkt durch Kreis und gerade Linie nicht zu erreichen ist, doch ohne etwas anderes, als diese Hilfsmittel zu gebrauchen, so nahe, wie man will zu kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als die kleinste möglicher Weise angebbare Grösse wird, oder als verschwindend zu betrachten ist."
Weitere Gegenbeisiele zum konstruierten Winkeldritteln:
Schrittweis konstruierte Neusis-Prozesse realisieren Zielgestalt-Konstruktionen
Zielgestalt-Kostruktionen für das Winkeldritteln
Eine Zielgestalt ist eine Konstruktion, welche den einfachen Winkel und dessen vervielfachte Winkel aufweist. Wird eien Lösungsgestalt-Konstruktion mit der Zielgestalt-Konstruktion in Übereinstimmung gebracht, weist sie auch den einfachen Winkel und dessen vervielfachte Winkel auf, wie es nachfolgendes Bild zeigt.
Der Zusammenhang unsere nachfolgenden Zlelgestalt-Konstruktion abstrahiert als nochmals als Kreuzschleifen-Konstruktion die 3-er Winkelhohärenz für einen vergrößerten Winkelbereich. Die folgenden Bildern zeigen verschieden große zu drittelnden Winkel (blaue Radiusstrecke) in den vier Quadranten eines descartschen Koordinatensystems.
Zusammenhängende Zielgestalt-Streckenzüge verbinden einen beliebig gegebenen Winkel (rotes Dreieck) mit seinem verdreifachten Winkel (Summe der roten, grünen und blauen Dreiecke). Dabei kommen diese vier Konstruktionen nur mit endlich vielen zusammenhängenden Kreis- und Gerade-Objekten aus. Je nach Betrachtungsrichtung vom Drittelwinkel (= rote Radiusstrecke) zum dreifachen Winkel (= grüne Radiusstrecke), oder umgekehrt, vom dreifachen Winkel (= grüne Radiusstrecke) zum Drittelwinkel (= rote Radiusstrecke) gibt es hier eine exakte Verdreifachung oder eine Drittelung. Allerdings begründet hier nicht die allgemein bekannte Verdreifachung eines Winkels durch zwei gleichgroße aneinander gereihte Kreise den systematischen 3er-Winkelzusammenhang. Die Verdreifachung entsteht durch die Sequenz der zusammenhängenden Strecken-Objekte im Kreisinnern und den Achsgeraden. Mit Drehung der grünen Radiusstrecke gleitet der rote Kreuzschleifenbalken, der die Größe vom Grundkreis-Durchmesser hat, mit seinen beiden Endpunkten auf den X- und Y-Achsgeraden. Der Balkenmittelpunkte M zeichnet dann als Spurkurve den Grundkreis um Mittelpunkt U.
Einprägsame Streckenzug-Zielgestalt
Bei den nun folgenden Bildern wird die Abstraktion weiter zu einer sehr einprägsamen "Streckenzug-Zielgestalt-Konstruktion" geführt. Sie umfasst wieder einen gegebenen Winkel und seinen verdreifachten Winkel. Der besagte systematische Zusammenhang ist nun auch auch über eine Umdrehung (einen Vollwinkel) hinaus nachvollziehbar. Für die "Streckenzug-Zielgestalt-Kosnstruktion" gilt:
Ein 3er-Winkelzusammenhang ist dann gegeben, wenn ein zusammenhängender
schwarzer Streckenzug im Kreisinnern aus zwei Paaren
paraller Strecken besteht.
Die folgenden zwei Bilder sind Beispiele für die als LÖsungs-Gestalt angestrebten zwei Paare paraller Strecken im inneren des Kreises, hier die den Grundkreis innen berührender Streckenzüge AMBCD bzw.
A1M1B1C1D1. Die besagten zwei Sreckenzug verbinden den einfachen Winkel α und den dreifachen Winkel 3α bestmöglich. Die erste und dritte Strecke AM und BC sowie die zweite und vierte Strecke MB und CD sind zueinander parallel.
Um die angestrebte Übereinstimmung herbei zu führen, wird die rote Kreiszschleifen-Balkenstrecke CD solange um Punkt D gedreht bis die abhängige sich drehende Strecke MB parallel zur Strecke DC zu liegen kommt. Beim folgenden Bildbeispiel ist der zu drittelnde Winkel größer einer Umdrehung. Er liegt im 5. Quadranten. Der verbindende Streckenzug besteht hier aus den vier gestrichelten roten Strecken.
Beim folgenden Bild bewegt sich der Balkenmittelpunkt C von Strecke EF auf einer Kreiskurve um Mittelpunkt M, wenn die Balkenstrecke mit ihren Endpunkten E und F an den orthogonalen Achsen X un Y entlang gleitet.
Anhand der zwei Paare paralleler roter Strecken im Kreis um M kann die hier natürlich vorhandene Dreierkohärenz für Winkel gut nach vollzogen werden.
Der bekannt analoge Neusis-Prozeß istein Zurechtschieben bis zur vollständigen Deckung / Übereinstimmung mit der Zielgestalt, was nur theoretisch im Gedankenspiel erreicht wird. Daraus erwächst der Wunsch zu einem klassich konstruiertem Prozeß des "Zurechtschiebens", zu einem digitalen Neusis-Prozess, zu gelangen. Wünschenswert ist für diesen veränderten Prozeß, daß er nur mit den Objekten Kreis und Gerade konstruiert wird. Damit kann dann die in der Antike gefoderte Beschränkung auf Zirkel und Linieal bzw. Kreis- und Gerade-Objekte eingehalten werden. Von der Antike bis heute sind in der Fachliterarur keine solche Lösungen zu finden. Sie werden auch bis heute nicht angestrebt, denn sie werden nicht erwartet.
Winkeldritteln mit kombinierten Zielgestalten
Im folgenden linken Bild sind zwei Zielgestalt-Konstellationen für die 3-er Winkelkohärenz miteinder kombiniert. Links gibt es die Zielgestalt als "Streckenzug im Kreisinnern mit "schwarzer Strecke= AM, dann folgen drei rote Strecken. Nach schliesst sich blaue Streckenzug an. Der gesamte nach rechts orientierte kombierten "Streckenzug umfasst die "schwarze Radiusstrecke = AM dann Strecke rot, dann Strecke blau und Strecke blau".
Die rechte Konstruktion zeigt einen stark konvergierender Winkeldrittel-Grenzprozeß welcher mit der kombinierten Zielgestalt und einem digitalen Neusis-Prozess arbeitet. Der kombinierte Streckenzug umfasst die "schwarze Radiusstrecke= AM, dann eine rote Strecke und zwei blaue Strecken . Wegen der starken Konvergenz kann der digitale Neusis-Prozess schon nach wenigen konstruierten Objekten mit Schnittpunkt S4(k3xg4) beendet werden. Die Ergebnisgenauigkeit ist dann mit über 15 wahre Nachkommastellen bereits ausreichend groß. Zum Zweck eines leichten direkten Vergleichens der Ergebnisgenauigkeit wird der konstruiert errechnete Drittelwinkel vor dem Vergleichen verdreifacht. Dies leisten die, zwei roten Kreise mit ihren Mittelpunkten auf dem roten Kreis um Mittelpunkt M. Der vergrößerten Bereich um Punkt S4(k3xg4) wird mit nachfolgenden Bild gezeigt.
Beschreibung der Konstruktion:
Gegebene Objekte:
- die Achsen X und Y, sowie der Grundkreis k0 um M
- der gegebene zu drittelnde Winkel ∠AMQ mit den Strecken MA und MQ
Die konstruierte Sequenz umfasst folgende Objekte:
1. Strecke g1 parallel zur Y-Achse
2. Strahl g2, so in M gedreht, daß er g1 in M2 schneidet
3. Kreis k3 um M2 mit einem Radius = 2* MA
4. Strahl g4 parallel zur X-Achse Gerade durch Punkt Q, der den Kreis k3 im Schnittpunkt S4(k3×g4) schneidet.
5. blaue Strecke g5 = / M,S4(k3×g4) / schneidet Gerade g1 in Schnittpunkt S5(g1×g5)
6. Kreis k6 um S5(g1×g5) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S6(g5×k6) und S6.1(g4×k6).
7. Strahl g7= / M,S6.1(g4×k6) / der Gerade g1 in Schnittpunkt S7(g1×g7) schneidet.
8. Kreis k8 um S7(g1xg7) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S8(g7×k8) und S8.1(g4×k8).
9. Strahl g9 = / M,S8.1(g4×k8) / der Gerade g1 in Schnittpunkt S9(g1×g9) schneidet.
10. Kreis k10 um S9(g1×g9) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S10(g7×k10) und S10.1(g4×k8).
11. Strahl g11 = / M,S10.1(g4×k10) / der Gerade g1 in Schnittpunkt S11(g1×g11) schneidet.
12. Kreis k12 um S11(g1×g11) mit Radius=2*MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S12(g11×k12) und S12.1(g4×k12).
13. Kreis k13 durch die drei Punkte S8(g7×k8); S10(g7×k10) und S12(g11×k12), der auf Gerade g4 den Schnittpunkt S13(g4×k13 ) erzeugt, welcher das erreichte Zwischenergebnis für den Drittelwinkel markiert.
-14. Strahl g14 durch den Schnittpunkt S13(g4×k13) markiert den gesuchten Drittelwinkel ∠AMD.
Tiefer gehende Einsichten
Die folgenden zwei Bilder führen zu noch tiefergehende Einsichten zum Winkeldritteln. Im linken Bild liegt der zu drittelnde Winkel im 2. Quadranten und rechts im 1. Qudranten.
Winkeldrittelung mit konstruiertem Neusis-Prozess
Im folgenden Bild wird ein weiteres, weniger effizientes Ganzbalken-Verfahren gezeigt, bei dem der Grenzprozeß etwas anders realisiert wird. Die erste konstruierte Berechnungs-Teilsequenz startet mit den Strahl g2 durch den frei gewählten Startpunkt 2 und endet mit Schnittpunkt K=S(Xxk7). Die zweite konstruierte Berechnungs-Teilsequenz startet mit Strahl g8 durch Startpunkt K und endet mit dem Schnittpunkt T=S(Xxk14). Im nächsten Bild ist die Umgebung der Punkte K; L und T vergrößert gezeigt.
Nach dem ersten Teilsequenz-Zyklus wird mit Kreis k7 der Punkt K=S(Xxk7) auf der X-Achse erzeugt. Der Zwischenergebniswinkel ist dann mit 2 wahren Nachkommastellen erzeugt. Mit dem zweiten Teilsequenz-Zklus wird dann die Ergebnisgenauigkeit um 4 wahre Nachkommastellen erhöht usw.
Winkeldrittlelnmit digitalen autokonvergenten Neusis-Prozess
1. Winkeldritteln mit konstruierten Objekten im Inneren des Grundkreises
Beim nachfolgendem Bild eines Grenzprozeß-Winkeldrittelns verläßt die konstruierte Sequenz der kohärenten Strecken-Objekte das Innere des Kreises nicht. Der Grenzprozeß, der stringent dem Grenzpunkt als Ergebnis zustrebt, hat die Eigenschaft "autokonvergent" zu sein. Autokonvergent beschreibt hier, daß keine probierenden Schritte erforderlich sind. Das folgenden Bild mit den laufenden Nummern an den Objekten zeigt einen gut verfolgbaren fortschreitenden Verlauf des mit den zwei Paaren paralleler Strecken konstruierten Grenzprozesses. Die Strecken 3 ; 7 ; 11 usw. drehen sich immer weiter in die Richtung der X-Achse bis sie zu dieser parallel laufen. Nun markieret der rechte Schnittpunkt mit den Grundkeis den gesuchten Winkeldrittelpunkt. Ein verkürztes Beenden des Grenzprozesses wird erreicht, indem durch die letzten drei Mittelpunkte der Streckenfolge 3; 7; 11 usw. der Kreis K20 konstruiert wird, welcher die Y-Achse im Punkt S(YxK20) schneidet. Durch diesen Punkt ist dann die gesuchte zur Y-Achse parallele Strecke gezeichnet, welche rechts mit ihrem Schnittpunkt mit dem Grundkreis den gesuchten Winkeldrittelpunkt markiert. Die Ergebnis-Genauigkeit in Grad ist hier nach ca. 20 konstruierten Objekten 4 wahre Nachkommastellen.
2. Winkeldritteln mit konstruierten Objekten im Inneren des Grundkreises
Es gibt mit der Kreuzschleifen-Zielgestalt-Konstellation (Ziel-Kohärenz-Modell) noch weitere mögliche Varianten für konstruierte Grenzprozesse, wie bereit weiter oben schon erörtert.
Um den Umfang der Berechnungs-Sequenzen (iterierende Zyklen) vergleichbar zu halten, sind die konstruierten Objekte im folgenden Bild fortlaufend nummeriert. Für den im i-ten Schritt erzeugten Kreis ist die Bezeichnung ki und für die im nächsten Schritt erzeugte Gerade gi+1.
Die erste Teil-Sequenz umfasst hier die Objekte Gerade und Kreis ( g2;k3), (g4;k5) ; (g6;k7), usw. Für die Radiusgrössen der Kreisbögen gilt: rk3=rk5=rk7= ... =2*rk1 . Die konstruierten Punkte D; G; K usw bilden eine gesetzmäßige Punkte-Folge zu einer gedachten "Kohärenzkurve". Diese strebt den Grundkreis k1 zu und schneidet ihn letztlich im Punkt PWinkeldrittel. Da sich Im Ergebnisbereich der Verlauf der Kohärenzkurve immer mehr einer Kreiskurve nähert, wird durch die letzten drei Folgepunkte eine Kreiskurve gezeichnet, welche den Grundkreis k1 schneidet. Im folgenden linken Bild wird der halbe Kreuzschleifen-Balken zischen Y-Ache und Grundkreis k1 eingepasst.
Die eingangs gezeigten Kreuzschleifen-Konstruktionen sind im linken Bild ein Halbbalken-Verfahren und im rechten Bild ein Ganzbalken-Verfahren.
Halbbalken (links) und Ganzbalken (rechts) - Verfahren
Die folgenden Bilder zeigen zwei unserer neuen Winkeldrittelungen in zwei Ausprägungen. Bei beiden liegen die zu drittelnden Winkel im ersten Quadranten. Der konsruierte Neusis-Prozess strebt mit einer autokonvergenten Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten (g2; k3 usw.) der jeweiligen Zielgestalt zu.
Im linken Bild wird der halbe Kreuzschleifenbalken zwischen Y-Achse und Kreislinie Schritt um Schritt eingepasst, wodurch als Ziel-Gestalt die zwei zusammenhängenden gleichschenkligen roten und grünen Dreiecke entstehen. Im rechten Bild wird der ganze Kreuzschleifenbalken zwisch Y- und X-Achs eingepasst, wodurch als Ziel-Gestalt wieder die zwei zusammenhängenden gleichschenkligen roten und grünen Dreiecke entstehen. Archimedes (287-212 v.u.Z.) löst das quasi analoge Einpass-Schieben ( Neusis-Prozess) der halben Kreuzschleifenbalken-Strecke mit einem Lineal mit Strichen im Abszand vom Grundkreis-Radius. Inder rechten Kostruktion wird der ganze Kreuzschleifenbalken eingepasst, was Vorteile bei der Konvergenz hat. Insgesamt ersetzen wir den bekannte analogen Neusis-Prozeß durch eine konstruierte Schritte-Sequenz aus Kreis-Gerade-Objekten. Zur Abgrenzung von einem quasi analogen Prozess sprechen wir nun von einem "digitalen Neusis-Prozeß", der quasi Schritt um Schritt mit jedem Wiederholungszyklus aus Strecke und Kreis dem Grenzpunkt = Winkeldrittelpunkt auf der Kreislinie unbeschränkt zustrebt.
Die Abläufe unserer beiden hier gzeigten Winkeldrittel-Grenzprozesse konvergieren unterschiedlich schnell zum exakten Winkeldrittelpunkt. Rechts wird bereits nach 5 "Gerade-Kreis-Teilsequenzen eine Übereinstimming des verdreifachten Ergebniswertes (rote Winkelzahl) mit dem Startwinkelwert (schwarze Zahl) von 10 wahren Nachkommastellen erreicht. Hingegen werden links mit dem weniger stark konvergierenden Grenzprozess erst nach 7 "Gerade-Kreis-Sequenzen 3 wahre Nachkommastellen erzielt. Unsere beiden Grenzpozess-Winkeldreilungen arbeiten als autokonvergente Grenzprozesse, die allein mit den Urkurven Kreis und Gerade von beliebig großen Startwerten zum exakten Winkeldrittel führen. Hierbei sind die in der Antike gefoderte Beschränkung der Werkzeuge auf Zirkel und strichloses Lineal eingehalten.
Wir behaupten, die Lösung der Aufgabe, eine beliebige Winkelgröße zu dritteln, ändert sich vom mathematisch bewiesenem „unmöglich“ in „möglich“, sobald das Wissen zur Quantisierung (heute wird hier meist von Digitalisierung gesprochen) einbezogen wird. So wissen wir auch, für beliebig große zu drittelnden Winkel gibt es keine vollständige quantisierte klassich konstruierte Größendarstellung ohne Restfehler. Diese Tatsache trifft damit auch auf die vom Startwinkel abgeleiteten 1/3-Winkel zu.
Wir wissen auch, dass ein exakter Grenzprozess zum Winkeldritteln den gedachten endlosen Umfang der Operationen nicht vollständig abarbeiten kann. Bleibt die Frage, führen unsere konstruierten Grenzprozesse tatsächlich, wenn sie endlos fortgeführt werden könnten, zum erwarteten vollständigen Größenabbild des Winkeldrittels? Nach den Schlüssen, welche aus dem wantzelschen Beweis gezogen werden, gibt es keine zutreffenden Zusammenhänge, die allein mit Kreis- und Gerade-Objekten auskommen. Daher stempelt die "amtliche Mathematik" solche Versuche ohne jede weite Überprüfung als falsch ab. Heute wird dazu gelehrt, für die Überwindung des Unmöglich-Problems brauche es zusätzliche Hilfsmittel, die über Kreis- und Gerade-Kurve hinaus gehen. So kann bei Wikipedia
https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels dazu nachgelesen werden:
"Obwohl eine klassische Konstruktion nicht möglich ist, kann die Dreiteilung eines Winkels unter Zuhilfenahme von Hilfsmaterialien und Werkzeugen, wie eines markierten Lineals, als sogenannte
Neusis-Konstruktion vollzogen werden"
Diese Sichtweise schafft Verwirrung, denn auch der analoge Neusis-Prozess schafft die endlos genaue Verschiebung mit einem quasi endlos kleinen Schritt nicht real, sondern nur in Gedanken. Solange hier keine Grenzprozesse zugelassen sind, sind auch die analogen Neusis-Prozesse keine strenge Lösung zum Winkeldrittelproblem. Was dann weiter zu lesen ist, lenkt vom Kernprolem des Winkeldrittelns ab, das Halbieren und das Dritteln habe das gleiche Prinzip des Zusammenhangs zur Grundlage, was offenbar nur teilweise stimmt?:
"In auffälligem Gegensatz zum Problem der Winkeldreiteilung steht die unter Verwendung der
Winkelhalbierenden sehr leicht machbare Winkelhalbierung mit Zirkel und Lineal."
Tatsache ist, zwei Winkelhalbe gibt es nach einer Verzweifachung, sowie auch nach einer Zwei-Teilung. Drei Winkeldrittel gibt es nach einer Verdreifachung, sowie auch nach einer Drei-Teilung.
Cchaerentic-Sichtweise
Was wird mit der Cohaerentic-Sichtweise angestrebt? Es sind anschaulich zugleich logisch nachvollziehbare exakt zutreffende Rechenzudammenhänge. Auch solche, die stringent dem Winkelldrittel zustreben und dabei eine anschaulich nachvollziehbare Konvergenz aufweisen. Unser gefundenes Ergebnis überrascht sehr. Schon mit weniger als 20 kohärent konstruierten Kreis und Gerade-Objekten wird ein für alle praktischen Aufgaben ausreichend genaue reproduziebare Darstellung der Ergebnisgröße erreicht, deren Fehler im subatomaren Bereich liegt. Die Größenodrnung für ein Atom liegt bei 10-10 m.
Wir geben uns hier mit einer letztlich praktisch immer genauer erzeugbaren und nur gedanklich vollständig erzeugten exakten Winkeldrittelgrösse zufrieden. Bei diesem Sachverhalt ist es angebracht sich an Euklid (ca. 330 v.u.Z.) und auch an Hilbert(1862-1943) zu erinnern. Deren definierte Zusammenhänge für die Geometrie-Grundlagen sind rein gedanklich abtrahierte Konstrukte, welche von der Erfahrung mit realen Objekten ausgehen. Wir sehen deshalb unser angestrebtes Winkeldrittel-Ergebnis als erreicht, da unsere Prozessbeschreibung mit den nachvollziehbar kohärenten Objekten von Kreis und Gerade bis zum endlos fernen Schritt reicht. Dabei spielen Wiederholungen von Teilsequenzen eine wichtige Rolle. Wir sehen es als unzutreffend und verwirrend an, die exakten Grenzprozesse zum Winkeldritteln als falsch und als das Ziel doch nicht erreichende Näherungsprozesse darzustellen. Ganz im Widerspruch dazu steht, daß mit immer höherer Quantisierung ein immer kleinerer Quantisierungsfehler erzielt wird. Wegen dieses Sachverhaltes ist es schon seit der Antike sinnlos und falsch, für das Winkeldritteln nach einem klassich konstruierten Lösungsprozess zu suchen, der schon nach endlich vielen logisch zusammensetzenden Schritten eine diskrete, vollständig konstruierte Darstellung der Lösungsgröße ohne Restfehler erzeugen soll.
Wir fragen hier, warum wurde in der Antike das Wissen zum Quantisierungsfehler ausgeblendet? Waren die ererbten Erwartungen auf ganze Zahlen gerichtet? Offenbar fehlte einfach noch das besagte Wissen zur Quantisierung?
Unsere Cohaerentic-Sichtweise gibt sich mit einem praktikablen immer weiter verringerbaren Quantisierungsfehler zufrieden, so auch beim klassisch konstruierten Winkeldritteln. Die tatsächlich zu lösende Aufgabe war und ist es hier, nach best effizienten Lösungswegen zu forschen. Schon in der Antike wäre es sinnvoll und richtig gewesen nach einem solchen klassich konstruierten Lösungsprozess zu suchen. Anstelle dessen wurde zu klassich konstruierten Grenzprozessen immer mehr ein Denkverbot aufgebaut und praktiziert. Es fehlte offenbar die motivierende Erwartung. Daran hat sich offenbar, bis auf das hier abweichende Interesse der Amateure, bis heute nicht viel geändert.
Konstruktion zum Winkeldritteln nach Archimedes (287-212 v.u.Z.)
Zur Abgrenzung zu den eingangs beschriebenen digitalen Neusis-Grenzprozess sprechen wir hier bei der Archimedes-Konstruktion von einem mechanisch analogen Neusis-Prozess, welcher heute der wohl bekannteste ist. Er ist aber nicht die älteste. Das folgende Bild zeigt die Neusis-Konstrktion vom Prinzip her.
Archimedes (287-212 v.u.Z.) erkannte, die Aufgabe ist exakt gelöst, wenn er seine konstruierten Dreiecke in eine gleiche Gestalt zur Zielgestalt-Konstellationen aus den zwei aufeinander folgenden gleichschenkligen Dreiecken bringt, wie sie das kleine Bild, links oben im großen Bild, zeigt. Die zur Deckung gebrachte Konstruktion erfüllt den exakten 3-er Winkelzusammenhang. Um dies zu erreichen, fügte Archimedes dem Lineal zwei Striche hinzu bzw. die Punkte S(Xx2G) und S(2Gx3.1K) mit einem Abstand von der Radiusgröße = /M,S(XxK)/. Wird das auf der X-Achse und dem Punkt S(6KxK) aufliegende Lineal nach rechts verschoben, erfährt es eine Drehung gegenüber X- und Y-Achse. Der gesuchten exakte Drittelwinkel ist erreicht, wenn der Punkt S(2Gx2.1K) auf dem Kreis K zu liegen kommt. Real kann dies aber nie vollständig erreicht werden, sondern nur gedanklich. Für die angestrebte Gestalt-Übereinstimmung müssen die aufeinander folgenden zwei Dreiecke jeweils Schenkel-Seiten mit gleicher Größe erreichen. Die Betrachtungsrichtung für die Dreieckfolge bestimmt, ob ein Vervilefachen zum Großen hin oder ein Vervielfachen zum Kleinen hin erfolgt.
Parabel-Konstruktion zum Winkeldritteln nach Descartes (1596-1650)
Aus den linken Teilbild mit der Parabel ist zu erkennen, daß ein Kreis eine Parabel vier mal schneidet. Beim rechten Teilbild sind ein zu dreiteilender Winkel ∠PON und die gesuchten Drittelwinkel ∠POT, ∠TOQ und ∠QON zu erkennen. Leider findet sich keiner der Punkte vom rechten Teilbild im linken Teilbild wieder und umgekehrt, was das Verständnis behindert. Si ist aus dem linken Teilbild heraus kein Bezug zur Dreiteilung direkt zu erkennen. Descartes etwas unglücklich gewählte Darstellung des konstruierten Lösungsprozesses hat dazu geführt, daß sein erdachter Lösungsprozeß etwas in Vergessenheit geraten ist. Im Internet-Lexikon Wikipedia unter Suchwort Dreiteilung des Winkels sind viele Lösungsversuche zur Wnkeldreiteilung gesammelt und ausführlich besprochen. Die Descartes-Lösung ist dabei nur kurz erwähnt. Sein obiges Bild ist ganz weggelassen. Es bleibt somit unbetrachtet und unerklärt. Gegenüber den bei Wikipedia anderen ausführlich abgehandelten Lösungsversuchen ist die Bedeutung des exakten descartschen Lösungsprozesses offenbar nicht erkannt.
Die Ansätze zu den umfassenderen Dreier - Winkelzusammenhang finden wir schon in Rene Descartes (1596-1650) Buch "Geometria", welches im Jahre 1637 veröffentlicht wurde.
Wantzel kannte offenbar das Buch "Geometria" von Descartes nicht, denn in seinen Betrachtungen zum unmöglichen Winkeldritteln kommt er zu der Einsicht, erst eine Gleichung vom dritten Grad beschreibe den Winkeldrittel-Zusammenhang exakt. Das Problem sei nicht auf eine Gleichung vom 2. Grad rückführbar. Daher sei eine Auflösung mit einer konstruierten Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten unmöglich. Diese Argumentation findet sich auch bei heutigen verkürzten "Unmöglich"-Beweisen, die für einen zu drittelnden Winkel vom konstruierbaren Winkel von 60 Grad geführt werden. (D.Laugwitz, Eine elementare Methode für die Unmöglichkeitsbeweise bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, In Elemente der Mathematik, 17 / 1962 S 54...). Diese Argumenten widerspricht der von Descartes beschriebene Konstruktion zum exakten Winkedritteln, welche mit einer Parabelkurve vom 2. Grad auskommt. Heute gilt in der Fachwelt, die descartsche Lösung sei zwar ein exakter Lösungszusammenhang mit leztlich nur endlich vielen Schritten. Sie verstösse aber mit einer vorab gegebenen Parabel (Schablone) gegen die geforderte Beschränkung auf die Werkzeuge Zirkel und Lineal. Heute wisse wir, alle Punkte einer quadratischen Parabel sind allein nur mit Zirkel und Lineal bzw. Kreis- und Gerade-Objekten klassich konstruierbar. Daß die quadratische Parabelkurve vorab als unzulässiges Hilfswerkzeug "Schablone" gegeben sein muß, fällt somit heute weg. Unsere folgende Konstruktion, die später noch ausführlich betrachtet wird, zeigt hierzu eine vollständige klassiche Konstruktion. Bereits nach wenigen Schritten sind drei aktuelle Parabelpunkte für den Parabel-Krümmungskreis k4 im Ergebnisbereich konstruiert, welcher die Kreiskurve k3 schneidet. Auch hier wird wird bereits mit einer überschaubaren Anzahl konstruierter Objekte ein aktueller Quantisierungsfehler im subatomaren Grössenbereich erzielt.
Wie wird die Fachwelt dazu argumentieren? Dieser fehlerfreie Lösungsprozeß sei zwar sehr interessant, aber doch nicht unsere erwartete Lösung. Es wird eine fehlerfreie Größendarstellung des Winkeldrittels erwartet. Manchmal wird hier sogar behauptet, da das erwartete Ergebnis mit endlich vielen Schritten nicht erreicht wird, müsse der Lösungsweg falsch sein, was nicht zutrifft.
Die vorgezeigten Cohaerentic-Lösungsprozesse sind als klassisch klassich konstruierte Grenzprozesse überraschend praktikabel. Die konstruierte Ergebnisgröße Winkeldrittel ist hier der Grenzwert einer unendlichen Konstruktion und kann mit dieser beliebig genau konstruiert berechnet werden.
Paradoxe Situation
Die drei klassischen Aufgaben der Antike, die Dreiteiung des Winkels, die flächengleiche Umwandlung der Kreisfläche in ein Quadrat und das Verdoppeln des Würfelvolumens berühren Zusammenhänge grundsätzlicher Berechungsprozesse. Diese werden erst durch klassische Konstruktionen voll nachvollziebar. Eine sehr fundamentale Aufgabe liegt dem folgenden konstruierten Berechnen zugrunde:
"Ein gezeichnetes beliebig gegebenes Verhältnis von Drehungen ist in ein gleichgrosses Strecken-Verhältnis überzuführen und umgekehrt."
Die dazu passende Situation finden wir in der Praxis mit dem Rad, dessen Abrollweggröße für eine Umdrehung interessiert? Ähnlich ist es mit der länge eines Seils, das von einer drehenden Seiltrommel abrollt.
Eine fundamentale Einsicht ist:
Für beliebig gegebenen Ausdehnungsgrößen gibt es keine vollständig exakt abbildende Zahl, die nur endlich viele wahren Nachkommastellen umfasst.
In der frühen Antike ist die Erwartung , "alles ist Zahl". So werden immer diskrete Ergebnisgrößen-Darstelliungen erwartet. Solche, die nur durch endlich viel konstruierte Kreis-/Gerade-Objekte erzeugt werden. Verwirrend wird es hier für die Lernenden, wenn die Größe des Kreisverhältnisses π gleich der Kreiszahl gesetzt wird. Dies widerspricht er obigen allgemeinen Einsicht. Eine reale Zahl als Größendarstellung für das Kreisverhältnis bleibt immer nur ein unvollständiges Größenabbild. Die Gleichsetzung von Kreisverhältnis und Kreiszahl birgt somit einen Widerspruch in sich. Aktuelle diskrete Kreiszahl-Abbilder sind entweder beschränkte oder unbeschränkte Näherungsdarstellungen, je nachdem, ob sie aus einem beschränkten oder unbeschränkten Erzeugungsprozeß hervorgehen. Ein beschränkten Erzeugungsprozeß kann nur eine bestimmte beschränkte Ergebnisgenauigkeit liefern. Diese kann nicht weiter verbessert werden. Ein unbeschränkter Erzeugungsprozeß ist ein exakter Prozeß, bei dem mit mehr Aufwand die Ergebnisgenauigkeit immer weiter verbessert werden kann, zumindest theoretisch.
Ähnlich ist es mit der exakten Winkeldrittelgröße, die auch nur mit unendlich vielen Grenzprozeß-Zyklen (Schritten) vollständig ohne Restfehler dargestellt werden kann, was aber in der Wirklichkeit niemals erreicht wird. Und so mündet auch jedes Ausmessen des Kreisunfangs mittels arithmetischem oder konstruiertem Berechnen des Kreisverhältnisses in einem klassisch konstruierten endlosen Grenzprozeß.
Trisections-Jäger
Die Aufgabenstellung zur Dreiteilung des Winkels kann einfach verstanden werden und ist damit auch Amateuren zugänglich. So suchen Amateure trotz mathematisch bewiesener Unmöglichkeit einer Winkeldrittelkonstruktion weiterhin nach klassisch konstruierten Lösungen. Was sie vorzeigen bezeichnen sie oft auch als exaktes Verfahren eines konstruierten Berechnens. Ihre Näherung nennen sie oft besonders effizient. Hier kommen Trisektions-Jägern ins Spiel, welche die falschen Winkeldreiteilungen der Amateure aufdecken und hier und da auch etwas belustigende Beurteilungen zu den Lösungsversuchen abgeben. Alles mündet darin, daß wegen der "Unmöglich-Beweise" alle vorgezeigten Versuche ohne einzele Nachprüfung mit falsch abgetan werden. Es werden sogar Fahndungshinweise gegeben, woran naive und uneinsichtige Trisezierer und Kreis-Quadrierer zu erkennen sind und wie man durch Nichtbeachten mit ihnen umgeht. Hier fällt auf, daß bei den Trisections-Jägern auch die klassisch konstruierten exakten Lösungsverfahren, wie das Parabel-Winkeldritteln von Descartes und das Halbierungs-Winkeldrtteln von Fialkowski unbetrachtet und unbeachtet bleiben. So werden bis heute konstruierte Grenzprozeß-Verfahren nicht erwartet, wohl auch wegen der notwendigen endlos vielen Schritte bis zum brauchbaren Grenzpunkt-Ergebnis, die unmöglich alle ausgeführt werden können.
Ausgangspunkt für das Verstehen des Winkeldrittelzusammenhangs ist wieder die konstruierte Zielgestalt aus zwei gleichgroßen gleichschenkligen Dreiecken, rot und grün, wie es das Bild zeigt. Dabei wird vom gegebenen, von A ausgehenden Radiusstrahl des zu dtrittelnden Winkels ausgegangen. Aus Symmetriegründen kann der Neusis-Schiebeprozeß primär mit Punkt T auf der X-Aches und symmetrisch nachfolgend mit Punkt Z erfolgen oder auch umgekehrt.
Wie der manuell schwierige Schiebeprozeß als Sequenz klassich konstruierter Kreis- und Gerade-Objekte im Einzelnen ausgeführt wird, haben wir bereits weiter oben schon beschrieben.
