Historisches und neueres Winkeldritteln
Überblick
Alles ist Ansichtssache!
Historische Überlieferungen zum Winkeldritteln mit klassisch konstruierten Grenzprozessen gibt es nicht. In der Neuzeit veröffentlichte Winkeldreiteilungen (WDT), wie die von Fialkowski von 1860 gerieten schnell in
Vergessenheit.
Ein erstes klassisch konstruiertes Verfahren zum Winkeldritteln veröffentlichte Nicolais Fialkowski in seinem Buch: N.Fialkowski, Theilung des Winkels und des Kreises, Wien 1860 Verlag Gerold´s Sohn.S.11
Exakter Winkeldrittel-Grenzprozeß nach N. Fialkowski
Fialkowski betrachtet mit der konstruierten endlosen Sequenzen von Kreis- und Geraden-Objekten einen konstruierten Grenzprozess. Mit der erzeugten endlosen Folge von Punkten wird schrittweise und unbeschränkt einem Grenzpunkt/Grenzwert als exakte Ergebnisgrösse zugestrebt. Dieser konstruierte Grenzprozesse ist konvergent und aich real ausführbar. Dieser Grenzprozeß ist auch mit Zahlen beschreibbar. Schon mit einer Sequenz von nur wenigen Schritten, bzw. wenigen gezeichneten Objekten von Kreisen und Geraden wird zu praktisch verschwindend kleinen Abweichungen, vom ideal Drittelwinkel gelangt. Der hier angestrebte Grenzpunkt fällt mit dem Punkt des Winkeldrittels exakt zusammen.
Schwach konvergente Reihen-Verfahren
(Fialkowski, Nicolaus. Theilung des Winkels und des Kreises Wien, Verlag Gerold´s Sohn 1860, S. 6 ff.)
Die Theoriefindung zum Winkeldritteln startet Fialkowski mit Bezug auf Nikomedes (ca 4.Jhd. v.u.Z.). Auf Seite 6 seines Buches schreibt:
„Wird nämlich der gegebene Winkel in 4 gleiche Theile getheilt, der 4te Theil wieder in 4, der 16te wieder in 4 u.s.w. gleiche Theile getheilt, so hat man: ... α (1/4+1/42+1/43+ 1/44 + ... ins ∞ ) = α /3“
Schliesslich leitet er daraus die 1/3-Reihe her, zu der er schreibt
" 1/3=1-1/2+1/4-1/8+1/16- ... u.s.w.; dies ist nun die Reihe die uns durch Halbierungen auf die Trisection des Winkels führt"
Das folgende Bild habe ich gegenüber dem Fialkowski-Bild um eine nach aussen verlaufende Zick-Zack-Linie ergänzt, welche die fortfolgenden Halbierungen besser nachverfolgbar macht.
Mit nur 11 Halbierungen wird bereits eine praktikable Winkeldrittel-Abweichung evon kleiner 1/1000 Grad erreicht.
Fialkowski erkennt, " ... die Trisection eines Winkels, die direkt durch Kreis und gerade Linie nicht zu erreichen ist, doch ohne etwas anderes, als diese Hilfsmittel zu gebrauchen, so nahe, wie man will zu kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als die kleinste möglicher Weise angebbare Grösse wird, oder als verschwindend zu betrachten ist."
Konvergenz verbessertes 1/3-Reihe-Verfahren (Fialkowski-Schleicher)
Das 1/3-Reihe-Verfahren wird mit einer konstruierten Mittelung ergänzt. Sie kann jeweils nach einer ausgeführten Stufe ausgeführt werden. Zweckmässig wird diese Mittelung bei der letzten aussen liegenden Teilungsstufe realisiert (rote Strecken im Bild).
Dieses Bild zeigt auch die Konbinaton mehrerer Möglichkeiten des Mittelns.
Autokonvergentes Grenzprozess-Verfahren (Schleicher)
Variante 1:
Ein Iterationzyklus umfasst die Objekte Gerade und Kreis ( g2;k3), (g4;k5) ; (g6;k7) usw. Für die
Radiusgrössen der Kreisbögen gilt: rk3=rk5=rk7= ... =2*rk1
Die Sequenz der konstruierten Objekte ist fortlaufend nummeriert, für den i-ten Kreis mit ki
und für eine nächstfolgende Gerade mit gi+1. Der jeweilige Schritt ist somit mit i angegeben. Ein Schnittpunkt zweier Kurvenobjekte kann dann z.B. mit Si=n+3(gi=n;ki=n+3) bezeichnet werden. Insgesamt wird so die Abfolge der Schritte bzw, der konstruierten Objekte nachverfolgbar und der Umfang der Schritte vergleichbar.
Betrachtungen zu den Lösungszusammenhängen:
Den Grenzzustand, den die exakten Grenzprozesse für das Winkeldritteln zustreben, zeigt der blaue Linienzug im Kreis mit zwei mal zwei parallelen Streckenpaaren. Er beschreibt eindeutug den fundamentalen 3-er Zusammenhang. Die zwei ähnlichen grünen Dreiecke im rechten Bild beweisen diesen 3-er Zusammehang nochmal anschaulich nachvollzoehbar. Meine neue Einsicht für dieses exakte Lösungskriterium (Lösungskonstellation) ist die Folgende: Die rote Strecke (linkes Bild), welche die X- und Y-Achse berührt (zwischenliegt) muss im Prozessverlauf mit ihrer Streckengrösse dem doppelten Kreisradius rk1 zustreben und letzlich diesen mit einem gedanklichen Sprung auch erreichen, Dieser Gedanke knüpft an die bekannte Sichtweise der Mathematik an, wonach 0,999... = 1 und 0,3 33... =1/3 gilt. Bei unseren betrachteten exakten Grenzprozessen zum Winkeldritteln fallen Grenzpunkt (Grenzwert) und Winkeldrittel-Punkt zusammen.
Das folgende Bild stellt den Zusammenhang her, den die obigen Grenzprozess-Verfahren zum Winkeldritteln zu dem Archimedes-Verfahren für das konstruierte Winkeldritteln haben. Dabei tritt nachvollziehbar die Gesetzmässigkeit des seriellen Zusammenhängens hervor. Dieses Wissen kann auch für Winkelteilungen genutzt werden, die über die Zahl 3 hinaus gehen.
Variante 2:
Das uralte Thema Winkeldritteln ist immer wieder aktuell und interessant für Laien, aber auch für Profis. Dies zeigt, das Internet-Lexikon Wikipedia. Hier gibt es ein anwachsenden Auflistung von genäherten und exakten Versuchen zur Winkeldreiteilung. Und dies trotz der im Jahre 1837 von P. Wantzel erarbeitete Beweiseinsicht „unmöglich bei Beschränkung allein auf Zirkel und Lineal bzw. eine Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten“. Das ursprünglich beanspruchte absolute „Unmöglich“ relativiert sich nun immer mehr.
Die seit Alters her immer noch offene Grundsatzfrage ist hierbei, reichen die Urkurven Kreis und Gerade für die Berechnungen im Erfahrungsraum aus? Schon im Altertum gab es viele Versuche den Prozeß des Winkeldrittel ns klassisch zu konstruieren. Ansätze zu Lösungen mit konstruierten Grenzprozesse wurden verworfen und ignoriert, da sie nicht in das gewachsene Erwartungsbild passten. Exakte Lösungsansätze gab es mit über Kreis und Gerade hinaus gehenden Kurven. Viele höheren Kurven, die früher als nur kinematich erzeugbare Kurven galten, können als beliebig dichte Punkte-Kurven klassich konstruiert werden. Die immer endlich klein bleibenden Punktabstände bedingen dann auch für klassiche Konstruktionen des Winkeldreiteilens eine endlich klein bleibende Ergebnisgenauigkeit.
Die klassisch konstruierten beschränkt genäherten Winkeldreiteilungen, wie die von Albrecht Dürer, liefern nur eine beschränkt genäherte Ergebnis-Genauigkeit. Hier können durch mehr betriebenen Lösungsaufwand die Ergebnis-Genauigkeiten nicht weiter verbessert werden.
Anders ist es bei den klassisch konstruierten unbeschränkt genäheten Winkeldreiteilungen von R. Descartes (17. Jh.) mit einer Parabelkurve und von N. Fialkowski (1860) mit „iterativen Halbierungen“. Sie sind exakte Verfahren des Winkeldrittelns. Theoretisch ermöglichen sie mit immer mehr investierten Lösungsaufwand die Ergebnis-Genauigkeit zu verbessern, und dies gedanklich ohne Ende, unbeschränkt.
Bei diesem Sachverhalt ist es falsch, wenn Wikipedia die mitgeteilte Dreiteilung durch „iterative Winkelhalbierungen“ bei den Näherungsverfahren einordnet. Auch falsch ist bei Wikipedia (10.08.2021) die Angabe zur Priorität für dieses Grenzprozess-Verfahren. Eine frühere Veröffentlichung zur Winkeldreiteilung, bei der eine endlose geometrische Reihe zur Erklärungsgrundlage genommen wird, findet sich bei N. Fialkowski in seinem Buch „Theilung des Winkels und des Kreises“, Druck und Verlag von Carl Gerold´s Sohn, Wien 1860, Seite 6 ff.
Die schwache Konvergenz dieser Fialkowski- Winkeldreiteilung durch Halbierungen kann mit einfachen Maßnahmen des Mittelns mit geringer Aufwanderhöhung zu einer starken Konvergenz gebracht werden. So wird bereits mit einer geringen Anzahl von Schritte-Zyklen, gemessen an den endlos vielen möglichen Schritte-Zyklen, zu einer für alle alltäglichen bis wissenschaftlichen Aufgaben ausreichenden Genauigkeit gelangt. Zu weiteren exakten anschaulichen Winkeldreiteilungen und zu Verbesserungen ihrer Konvergenz wird in meinem Buch „Cohaerentic“, Anschauliche Rechenzusammenhänge ohne und mit Zahlen (ISBN 9783982025216) und auch im Internet bei www.cohaerentic.com berichtet. Die Punkte-Folgen der Zwischenergebnisse streben dabei unbeschränkt anschaulich nachvollziehbar einem Grenzwert zu, beispielsweise einem für ein Winkeldrittel oder für eine gestreckte Kreisbogenlänge.
Historisches zum Winkeldritteln
Die Zeit des Nachdenkens zu nur mit Zirkel und Lineal bzw. Kreisen und Geraden konstruiertem Winkeldritteln reicht bis in die Antike zurück. Trotz des sehr langen Zeitraums steht heute im Lexikon der Mathematik, VEB Bibliographisches Institut Leipzi 1981 auf Seite 596 geschrieben,
"Nicht jeder Winkel vorgegebener Grösse ist allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar".
Diese Aussage zum unmöglichen klassischen Konstruieren trifft immer dann voll zu, wenn klassische Konstruktionen so ausgeführt werden, wie sie Euklid (ca. 330 v.u.Z.) in seinem berühmten Werk ELEMENTE mit seinen Zeichnungen demonstrierte. Klassisch konstruierte Grenzprozesse sind in den ELEMENTEN des Euklid und auch im richtungsweisenden Grudlagenwerk von Hilbert (D.Hlbert, Grundlagen der Geometrie , BG. Teubner..... 1962) nicht zu finden. Die Tradition des Nichtbetrachtens klassisch konstruierter Grenzprozessen wird bis heute fortgeführt. Im Jahr 1837 wurde das von vielen Geometern erwartete "unmöglich", durch den französischen Mathematiker P. Wantzel mit einem mathematischen Beweis konkretisiert.
Um hier Missverständnissen vorzubeugen, weisen wir nochmals auf den Unterschied hin, zwischen den dynamischen Prozessaktionen zum exakten Winkeldritteln, die als Grenzprozesse einen Grenzpunkt = Winkeldrittel haben und einer erwarteten, quasi statischen Ergebnisdarstellung eines Winkeldrittels, das nur als gedanklich abstrahierter Zustand existiert.
Unser Intesse gilt dynamischen Prozessaktionen für ein exaktes Winkeldritteln. Wir können zeigen, dass diese möglich sind und keine endlos viele Ausführungsschritte für ausreichend genau zutreffende Ergebnisse erfordern, wie vielfach angenommen wird. Für endlos viele notwendige Schritte fehle nicht nur die verfügbare Zeit sondern auch die materiellen Resourcen.
Verwirrend ist die folgende zu lesende Aussage, so auch bei Wikipedia: Prozesse, allein nur mit Kreis- und Gerade-Objekten konstriert, sind unmöglich. Wir können hier zeigen, unmöglich sind hier nicht exakt zutreffende Grenzprozesse, sondern nur die suggerierte Erwartung zu einem fertigen Produkt "Winkeldrittel" noch bevor der Erzeugungsprozess den Zustand der vollständigen Abarbeitung erreicht hat.
Das was auch heute noch von Vielen für mit nur wenigen gezeichneten Kreis- und Gerade-Objekten für unmöglich gehalten wird, ist fürs "gelebte" Leben möglich. Mit nur endlich vielen Schritten bzw, konstruierten Kreis- und Gerade-Objekten können beliebig grosse Winkeldrittel mit nur geringen Abweichungen im subatomaren Grössenbereich erzeugt werden.
Die Rechtfertigung, dass wir unsere Winkeldrittelungen mit klassisch konstrueirten Grenzprozessen exakte Verfahren und nicht Näherungsverfahren nennen, stützt sich auf Analogie, zur von der Mathematik heute gelehrten Gleichheit von 0,99 ... = 1 und 0,33 ... =1/3. Die Grenzprozesse zum Winkeldritteln haben einen Grenzpunkt, der mit dem Winkeldrittel-Punkt zusammenfällt.
Historisch bleiben Grenzprozesse bei euklidischen Konstruktionen unbetrachtet und ungenutzt
Das euklidiische klassische Konstruieren steht in der Tradition des Grundlagenwerkes ELEMENTE von Euklid (ca. 330 v.u.Z.). Es erfährt so nicht nur eine Beschränkung auf Zirkel und Lineal (bzw. Kreis und Gerade), sondern auch auf endliche Prozesse, die als endliche Kreis-Gerade-Sequenzen ausgeführt werden. Hier wirkt seit Euklid für klassisch konstruierte endlose Prozesse eine Betrachtungsblockade, die bis heute andauert. Deshalb sind in der historischen und der aktuellen Literatur keine Beschreibungen zu solchen klassisch konstruierten Grenzprozessen zu finden.
Für alle drei klassichen Aufgaben der Antike sind mit einem euklidischen klassischen Konstruieren nur beschränkt genäherte Ergebnis-Erzeugungen und Ergebnis-Darstellungen bekannt geworden.
Klassische Konstruktionen
Das „euklidische Ausschliessen" von konstruierten Grenzprozessen, die für "Kreisberechnungen" unerlässlich sind, ist ein willkürlicher Akt. Heute gibt es dafür keinen einsichtigen Grund. Wir werden deshalb auch exakte endlose Grenzprozesse betrachten und klassich konstruieren. Dabei streben deren Zwischen-Ergebnis-Punkte dem gesuchten gedanklichen Ergebnis-Grenzwertpunkt immer weiter zu. Mit immer mehr Schritten des endlosen, aber durch Wiederholungen vollständig beschriebenen (bekannten) Konstruktionsplanes wird dies immer vollständiger erreicht. Gesuchte Grenzwerte sind beispielsweise ein Winkeldrittel, ein gerade gestreckter gleichlanger Kreisbogen usw.
Falsch und verwirrend ist es hier, bei den erzeugten Zwischenergebnis-Punkten, deren Abstand zum wahren Ergebnispunkt mit mehr ausgeführten Schritten unbeschränkt immer weiter abnimmt, von einem nicht exakten sondern nur genäherten Berechnungsprozess zu sprechen.
Erster in der Literatur gefundener klassisch konstruierter Grenzprozess
Wie schon angesprochen, demonstriert Nikolais Fialkowski 1818-!903), in seinem Buch N. Fialkowski, Theilung des Winkels und des Kreises, Wien, Verlag von Carl Gerold´Sohn 1860, S.11 erstmals eine Winkeldreiteilung, die er mit einer geometrische Reihe erklärt. Fialkowski demonstriert hier ohne Nutzung einer höheren Kurve eine exakte klassische Konstrukton für ein exaktes Winkeldritteln. Als Rechenoperation des klassich konstruierten Grenzprozesses dominiert dabei das Halbieren. Die Konvergenz dieses exakten Winkeldrittelns ist schwach. Fialkowski hat deshalb seinem exakten Winkeldritteln durch Halbieren keine grosse praktische Bedeutung zuerkannt. Wir zeigen hier in der Rubrik "1/3-Winkel", wie schon mit wenigen einfachen Mitteln eine deutliche Verbesserung der Konvergenz erreicht werden kann.
Nicht klassische Konstruktionen
Bei den nicht klassischen Konstruktioen werden neben Zirkel und Lineal, bzw, Kreis und Gerade auch darüber hinaus weitere Werkzeuge, wie ein Masslineal, ein Rechtwinkelhaken usw. und auch höhere, über Kreis und Gerade hinausgehende Kurven erlaubt. Damit gibt es dann theoretische viele Möglichkeiten einen beliebigen Winkel exakt zu dritteln. Was bisher unbetrachtet bleibt, ist der Sachverhalt, dass die besagten Werkzeuge mit einem quasi endlosen Zurechtrücken in die erforderliche exakte Position gebracht werden müssen, was praktisch immer nur genähert erreicht wird. Die so erreichbaren Ergebnis-Darstellungen sind damit auch nur genäherte unvollständige Ergebnis-Darstellungen. Solche, die aber quasi unbeschränkt verbessert werden können.
