Klassisch konstruierte Grenzprozesse

Für Lernende und Laien decken sich  die elementar, nur mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruiertem Berechnungen mit ihrem  Erfahrungswissen. Heute helfen hier  besonders die  klassischen Konstruktionen mit dem Computer.  Es wird   quasi nur mit einem Zirkel und und einem strichlosen Lineal gearbeitet. Es sind die konstruierten Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten, die den betrachteten Rechenzusammenhang ausgehend vom Raumzusammenhnag nachvollziehbar machen. Heute werden diese Sequenzen mit  dynamischen Zeichenprorammen (DGS-Softwareprogramme, beispielsweise Geogebra und andere), gezeichnet. Die so gezeichneten Kurven  sind  nur in Gedanken zusammenhängende Spurkurven. Real sind sie  immer nur endlich viele dicht benachbarte Punkte. Visuell und in gedanklicher Abstraktion werden diese nicht mehr als Punktekurve wahrgenommen, sondern als zusammenhängende Spurkurve = Strichkurve.  
Über konstruierte  Zahlen = konstruierte Punkte
Wir können uns in der Ebene einen beliebig gegebenen Punkt vorstellen, der  Schnittpunkt zweier  orthogonaler Achsgeraden x und y ist. Weitere   davon ausgehende  "klassisch  konstruierte   Schnittpunkte"  werden in der Mathematik als "konstruierte Zahlen" verstanden.  Sie sind  als Sequenz zusammenhängend gezeichneter Urkurven-Objekte von Kreis und Gerade   anschaulich nachvollziehbar. 
Das folgende Bild-Beispiel  zeigt, wie   eine    Folge von Punkten für die Rektifikation durch klassisches Konstruieren entsteht. Diese Konstruktion wird später noch mehrfach ausfühlicher beschrieben werden. Das Durchnummerieren der konstruierten Objekte macht das Nachverfolgen  der nacheiender konstruierten Objekte (Kurven und Schnittpunkte)  leichter.
Als ausgeführte Rechenoperationen kommen quasi nur die Ur-Operationen Doppeln und dessen Umkehrung das Halbieren (Anti-Doppeln) vor. Mit diesen Operartionen  wird eine   klassisch konstruierte Folge von Schnittpunkten konstruiert, die Endpunkte der immer mehr gerade gebogenen roten gleichlangen Kreisbögen  sind. Diese Bogenendpunkte konvertieren   gut erkennbar einem Grenzpunkt auf der y-Achse zu, der einen Grenzabstand zum Nullpunkt  von der  exakten   Länge des Kreisumfangs hat. Alle Punkte dieser Folge werden in der Mathematik als „konstruierbare bzw. konstruierte  Zahlen“ verstanden. Es ist hier leicht einzusehen, die Folge der Punkte ist endlos fortsetzbar. Die Änderung des Abstandes von Punkt zum  nächsten  Punkt  bzw. von Punkt zum Nullpunkt strebt dabei immer mehr der Grösse Null zu, ohne Null jemals zu erreichen.  
Für diese direkt wahrnehmbare  Grenzwertgrösse, die heute symbolisch mit 2π = Kreisumfang /Durchmesser beschrieben wird, gibt es keinen letzten Punkt und damit   keine abgeschlossene  Ergebnis-Darstellung als diskrete Zahl, die durch endlich viele  klassisch konstruierte Schritte erzeugt und dargestellt werden kann. Die Forderung nach einer diskreten Ergebnis-Darstellung (Zahl) einerseits und andererseits der Sachverhalt einer  nicht endenden Punkte-Folge bzw. Schritte-Sequenz  sind zueinander widersprüchlich.
Die Menge der konstruierbaren Punkte (konstruierbare Zahlen) füllt die unbegrenzte, aber auch die begrenzte Ebene niemals vollständig aus.  Vom Prinzip her bleiben immer Lücken zwischen den konstruierten Punkten (=Raster-Punkte), egal wieviele diskret benennbare Schritte für die konstruierten Punkte schon ausgeführt sind. 
 

Über nichtkonstruierbare Zahlen, die  nichtkonstruierbare Zahlen sind 

"Kein  beliebig (zufällig) platzierter Punkt in der karthesischen Ebene  kann durch  eine  klassische Konstruktion   ohne Restfehler erzeugt oder ausgemessen werden. Diese beliebig (zufällig) platzierten Punkte  sind somit als "nichtklassisch konstruierbare  Punkte"  bzw. als  "nichtklassisch konstruierbare  Zahlen" zu verstehen.
Es sind, wie zuvor aufgezeigt,   prinzipielle  Gründe, warum   das Winkeldrittel, die Quadratseite und die Würfelkante in ihrer vollständigen Grösse nicht als klassisch konstruierbarer Punkt bzw. nicht klassisch konstruierbare Zahl dargestellt werden können. Irreführend wird es  hier allerdings, wenn aus diesem prinzipiellen  Sachverhalt der unvollständigen Ergebnis-Darstellung gefolgert wird, dass es hier für die Aufgabenlösungen keine exkaten  Sequenzenvon Kreis und Gerade ( Zusamenhänge) zur exakten Ergebniserzeugung geben würde. Das obige Bild zeigt, dies ist falsch und   irreführend. "Unmöglich"  suggeriert die Erwartung, für die betrachteten drei klassichen Aufgaben der Antike  würde  es keine klassisch konstruierten exakten Lösungsprozesse geben können, deren Lösungszusammenhänge mit endlich vielen Konstruktionsschritten vollständig beschrieben werden können. Wie obiges Bild zeigt, kann mit immer mehr Aufwand  zu immer genaueren  Ergebnisdarstellungen gelangt werden.
                                            
Phönomen - Grenzprozesse  
a) Klassisch konstruierte Grenzprozesse 
Sie sind klassisch konstruierter Folgen von Schnittpunkten, die  einem geometrischen/r Grenzpunkt /-wert /-lage von Abständen, Drehungen und Translationen zustreben. Das folgende Bildbeispiel 
 
zeigt meinen erfundenen, klassisch, mit einer Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten gezeichneten Grenzprozess. Sein Grenzpunkt markiert das exakte Winkeldrittel im Gesamtsystem der Winkelkohärenzen. Es handelt sich hier um einem autokonvergenten Grenzprozess, bei dem im Prozessverlauf keine prozessbeeinflussenden Entscheidungen getroffen werden müssen. Ein besonderer klassisch konstruierter Grenzprozess ist der, mit dem  das exakte Berechnen des Kreisverhältnisses   π  =Kreisumfang /Kreisdurchmesser möglich wird. Diese Art von klassisch konstruierten Grenzprozessen mit geometrischen Rechengrössen fehlen im Lehrgebäude der Mathematik. Sie fehlen bereits im berühmten Sammelwerk ELEMENTE, das einst der berühmte Euklid (ca 330 v.u.Z.) zusammenstellte und heraus gab. Die Vorbildwirkung der ELEMENTE führte hier zu einer gewissen Betrachtungsblockade, Diese wirkt bis heute nach. Eine Suche in der Internet-Enzyklopädie Wikipedia liefert somit für „klassisch konstruierte Grenzprozesse“ keine Treffer. 
 
b) Grenzprozesse mit Zahlen als Rechengrössen
Hier sind   die Rechengrössen, das sind endlos viele  Zahlen,   mit elementaren Rechenoperatoren verknüpft. Bei den unendlichen Reihen dominieren die Operatoren „Plus“ und „Minus“. Bei den unendlichen Produkten sind es die Operatoren   „Multiplikation und „Division“.
 
Heute werden beim Recherchieren nach    Grenzprozessen und ihren Grenzwerten  nur solche gefunden, deren  Zusammenhänge   Funktionen und Zahlen betreffen. Wir wissen bereits, der berühmte Euklid (ca 330 v.u.Z.) hat endlose Prozesse nicht in sein richtungsweisendes Grundlagenwerk ELEMENTE aufgenommen, obwohl seit  Antiphon und Dinostratos (beide 5.Jh.v.u.Z.) schon Wissen zu endlosen Rechenprozessen bekannt war.  Für gezeichnete Cohaerentic Kalkulationen  werden wir nun abweichend zur euklidischen Tradition auch endlose, elementar mit Kreis- und Gerade- Objekten  konstruierte  Berechnungsprozesse  betrachten. Mit dem anderen Paradigma der Cohaerentic  wird  über die euklidischen Konstruktionen hinaus gegangen, wie sie aus den Konstruktionen in den ELEMENTEN gefolgert werden können. 
Beim nächsten Bild wird quasi mit zwei simultan gezeichneten Grenzprozessen, die gesamte Kreisumfangkurve (rot und schwarz) gerade gestreckt. Anhand eines späteren Videos wird es  gut nachvollziehbar, dass die gestreckte Länge des Kreisumfangs als Summe von rot und schwarz immer gleich gross ist, unabhängig von der Drehposition der roten Radiusstrecke im Kreis.
 
Dabei wird  mit immer mehr ausgeführten Schritte-Zyklen (Durchmesser verdoppeln und Winkel halbieren) einem  Ergebnis als Grenzwert zugestrebt, ohne diesen  jemals endgültig zu erreichen. Wir erkennen an diesem Beispiel, Grenzprozesse  gibt es nicht nur für  Lösungsberechnungen auf arithmetisch-algebraischer Grundlage sondern auch auf der Grundlage erfahrbarer kontinuierlicher räumlischer Kohärenz.
Im mathematischen Sinne verstehn wir eine Folge nun nicht nur als eine Aufzählung von Zahlen, sondern auch ein aufeinander folgendes Erzeugen von Punkten (Schnittpunkten), die als Punktekurve einen Grenzpunkt mit einem Grenzabstand zustreben und so die Merkmale für einen Grenzprozess erfüllen, der als klassisch Konstruktion ausgeführt wird.
 
Anhand der beiden obigen letzten Bild-Beispiele stellt sich die Frage, ob  das dazu heute  Gelehrte noch voll zutrifft? Bei Wikipedia steht unter dem Suchbegriff "Konstruktionen mit Zirkel und Lineal"/ "Unmögliche Konstruktionen" geschrieben, 
"Viele geometrische Figuren können nicht allein mit Zirkel und Lineal exakt konstruiert werden" wozu auch die "Quadratur des Kreises "  zählt.
Die obigen beiden Bilder stehen in einem gewissen Widerspruch zu dieser allgemein akzeptierten Einsicht. Diese Bilder  demonstrieren ein klassich   konstruiertes Geradebiegen des  Kreisbogens bei gleicher Länge. Dieses Wissen ist eine Vorassetzung, um die Quadratur des  Kreises   als dynamische   klassische Konstrktion ausführen zu können.  Das Geradebiegen wird mit  einem exaktem   klassisch konstruiertem Grenzprozess ausgeführt und mit einer Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kreis - und Gerade-Objekte realisert. Hier handelt es sich um einen exakten klassischen Konstruktionsprozess bei dem das erzeugte Ergebnis "Kreisbogenlänge" der erwarteten Grenzwert-Grössse  mit mehr aufgewendeten Schritten immer mehr zustrebt. Die Schritt um Schritt fortschreitende exakte Konstruktion ist tatsächlich sinnfällig  nachvollziehbar. "Unmöglich" ist hingegen, eine vollständige Darstellung der zusammengesetzten Ergebnisgrösse, wie sie bei den  notwendigen endlosen Grenzprozesses vom Prinzip her auftreten.
 Für folgende Uraufgaben sind  gezeichnete Grenzprozesse für die gezeichneten Lösungsberechnungen erforderlich
 - Abroll-Länge vom Kreis, 
- Länge des gerade gestreckte Kreisbogen (Rektifikation), 

 - ganze Kreisfläche und ihre Teile (Tortenstücke, Kreissehnenabschnitt)

 - Winkeldrittelung, Winkelsiebentelung

 - Verhältnis-Transformation   Strecke<->Kreisbogen 

Mit immer mehr ausgeführten Rechenschritten, sprich gezeichneten Objekten, kann dabei die Genauigkeit der Ergebnis-Darstellung verbessert werden, indem sie  immer weiter vervollständigt wird. Dieses Vorgehen ist theoretisch ohne Ende fortsetzbar. Von besonderem Interesse sind deshalb solche klassich konstruierte  Grenzprozesse, die durch   eine verbesserte  Konvergenz-Eigenschaft eine gewählte Ergebnis-Genauigkeit schon mit kürzeren Rechengängen erreichen.

 

Überlieferungs-Situation zu klassich konstruierten Grenzprozessen

Die Suche in Lexika und auch im Internet nach klassich konstruierten Grenzprozessen liefert kein direktes Ergebnis.  Hingegen gibt es viele Treffer für Grenzprozesse mit Zahlen als Rechengrössen. Etwas näher dran ist da  ein Annähern der Kreisfläche mit Grenzprozessen (https://home.ph-freiburg.de/deisslerfr/geometrie_II/sicher_geoII_06_07/Kapitel_2_06-07.pdf). Hierbei kann aber von einem klassich konstruiertem Grenzprozess keine Rede sein. Insbesondere wird da keine gezeichnete  Ergebnisgrösse als  Strecke erzeugt, die zweifelsfrei das Verhältnis π bildlich abbildet (π=gestreckter Kreisumfang /Kreisdurchmesser  = Kreisfläche / Quadratfläche über dem Radius). Dabei wird sich für das Berechnen der   Kreiszahl πnum      im Rahmen des bekannten  und heute gelehrten Wissens bewegt. 

Das elementar gezeichnete Kalkulieren  mit einem konvergentem  Grenzprozess, der einem Grenzwert zustrebt,  ist wie eingangs schon angesprochen, vom Prinzipiellem her mindestens seit dem griechischen Sophisten Antiphon (5.Jh.v.u.Z.) angedacht.   Man erkannte, das gezeichnet berechnete  Verhältnis πgeo und sein abgeleitetes  πnum   sind    zwar exakt  berechenbare, aber nur unvollständig zusammensetzbare  Ergebnisgrössen. 

Mit der veränderten Sichtweise für die Cohaerentic-Kalkulationen  wird der klassich konstruierte  Grenzprozess des Antiphon als ein  elementares exaktes Berechnen der Kreisfläche verstanden. Hierzu gibt es keine Alternative eines  noch elementareren  Berechnens. Die Ergebnisdarstellung als Rechteckfläche bildet den Grenzwert Kreisfläche   mit immer mehr  Aufwand beim Berechnen immer genauer ab. Die Genauigkeit der Ergebnisdarstellung ist an den Umfang der hierfür  geleisteten Schritte gebunden.

Seit Alters her bis heute ist aus esoterischen, religiösen und noch anderen Erwartungen heraus das Interesse an  diskret darstellbaren  Zahlen grösser als an den zwischenliegenden, nicht diskret als Zahl dastellbaren Positionen. Eine solche zwischenliegende, nicht endgültig diskret darstellbare Rechengrösse ist auch die Verhältnisgrösse  π=Kreisumfang/Durchmesser. 

Für Hilbert (1864-1943) waren Berechnungen mit klassich konstruierten Grenzprozessen offenbar ein Problemfeld  von geringer Bedeutung. Daher hat auch er, wie Euklid,  sie  nicht in sein grundlegendes Werke "Grundlagen der Geometrie"  aufgenommen.  Klassich gezeichnete Grenzprozesse haben bis heute in der Mathematik keine hohe  Bedeutng erlangt. Es fehlt das breite Interesse daran, was fehlende Beiträge  in Lehrbüchern, und heute auch im Internet, belegen.

Mit den gezeichneten Cohaerentic Kalkulationen rücken nun auch Uraufgaben des Berechnen in den Blickpunkt des Interesses, deren Lösungen  klassich konstruierte  Grenzprozesse erfordern.

 

 

 

Mit konstruierten Grenzprzessen  grundlegende Transfomatonen berechnen   

Bei Cohaerentic Kalkulationen wird mit dem Begriff "Rechengrösse"  gearbeitet.  Im Erfahrngsraum ist eine  Rechengrösse ein Verhältnis  von Ausdehnungsobjekten gleicher Art.   Strecken   als  Rechengrössen-Verhälrnis  ist etwas anderes als , oder auch ein Kreisbögen bzw.  eine Drehung als Rechengrößen-Verhältnis.    Von besonderer Bedeutng ist hier das Umrechnen, die  Transformation  von einer Art von Rechengrösse-Verhältnis in eine andere Art, beispielsweise von einem Drehungen-Verhältnis auf ein Strecken-Verhältnis und umgekehrt. 

 Natürliche Verhältnisse und Zahl-Verhältnisse

Während jede Zahl ein Verhältnis ist, kann kein beliebig gegebenes Verhältnis durch eine Zahl ohne Restfehler abgebildet werden.  Mit mehr investiertem Rechenaufwand (Aufwand zur Digitalisierung)  kann der verbleibende Restfehler immer kleiner gemacht werden.

Eine der wichtigsten Rechengrößen ist das Verhältnis π = gestreckte Kreisumfanglänge / Kreisdurchmesser. Genäherte numerische Abbilder des Kreisverhältnisses  werden mit  Näherungs- Kreiszahlen πZahl. dargestellt, Die gesuchte elementar konstruiert berechnete Abbildgröße ist der rektifizierte Halbkreisbogen ist als  Strecken-Verhältnis πgez.(Siehe Abschnitt Kreisverhältnis.. Die  gezeichneter Kohärenzsysteme  der folgenden bilder zeigen nachvollziehbar, wie  Verhältnisse von Drehungen und systenkohärenten  Verhältnissen von Strecken zusammen hängen. An den folgenden Bildern ist zu   erkennen, bei den rot-lin- Transfomationen kommen schnell konstruierte endlose Grenzprozesse ins Spiel, insbesondere solche mit den Oparationen Doppel und Halbieren.   

 

Bogen im Verhältnis teilen

 

 

======

Sequentiell konstruierte Grenzprozesse modellieren   höhere  Rechenprozesse    

Überblick

Neben den bekannten Grenzprozessen, die sich inhaltlich mit Umwandeln periodischer Zahlen in Brüche und reinperiodisch und gemischtperiodische   Folgen,  Rekursionen, sowie    Strategien zur Grenzwertbestimmung befassen, gibt es die bei  Euklid (ca.330 v.u. Z.) und bis heute unbetrachtet gebliebenen klassisch konstruierten Grenzprozesse, welche  inhaltlich insbesondere auf das  Berechnen der Länge von gerade gestreckten Kreisbögen, auf die Kreisfläche und auf elementare  rotorisch <—> translatorische  (rot-lin) Transformationenen gerichtet ist.  Diese zweite andere Art von Grenzprozessen werden wir hier betrachten.

Historischer Abriß
In dem berühmten Grundlagenwerk ELEMENTE des Euklid um  330 v.u.Z.), das eine Sammlung  mathematischen Wissens aus dem dem antiken  Griechenland ist  und auch später um das Jahr 1900 sind  in Hilbert´s  "Grundlagen der Geometrie"  keine klassische Konstruktionen  mit Sequenzen zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objekte aufgenommen, bei denen einem Grenzpunkt unbeschränkt zugestrebt wird.   Hier ist zu fragen, warum fehlen diese konstruierten Grenzprozesse? Wurden und werden   ihnen keine entsprechende mathematische Bedeutung beigemessen?   
Bei den  heute bekannten numerischen Berechenprozessen mit Grenzprozessen, wie mit der Reihe x = 1/2+1/4+1/8+1/16+---=2, sind die modellhaften  Rechengrössen keine geometrischen Ausdehnungsgrößen sondern  "Zahlen" (https://www.mathe-online.at/mathint/grenz/i.html). Hier, bei den Cohaerentic-Betrachtungen werden nun auch klassisch konstruierten Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekte betrachtet, die eine endlose    Punkte-Folgen erzeugen. Dieses "klassich konstruierte" Vorgehen erzeugt klassisch konstruierte Grenzprozesse. In dem berühmten Sammelwerk ELEMENTE von Euklid (ca 330 v.u.Z.) werden keine solchen   klassisch konstruierter Grenzprozesse für das Lösen der drei klassischen Aufgaben, Winkeldritteln, Quadrattur des Kreises und Würfeldoppelung,  betrachtet.  Auch in der Zeit danach sind in der  Fachliteratur  keine Überlieferungen dazu zu finden. Zu diesen  besagten  klassisch konstruierten Grenzprozessen wurde und wird   bis heute nicht geforscht. 
 Die Cohaerentic-Betrachtungen sind hier auf klassisch konstruierten  Grenzprozesse gerichtet, deren erzeugten Schnittpunkte-Folgen jeweils einem Grenzpunkt unbeschränkt zustreben. . Zu solchen konstruierten Grenzprozessen gibt es   in Lehrbüchern und damit auch in den Lexika zur Mathematik keine Beiträge.  
 
Zu den  heute bekannten Grenzprozessen,  deren    Rechengrössen Zahlen sind,   gibt es  im Internet unter  https://www.mathe-online.at/mathint/grenz/i.html    folgende  Erklärung:
 
"Grenzprozesse (Grenzübergänge) und der Begriff des Grenzwerts (Limes) dienen dazu, das Unendiche in den Griff zu bekommen. Sie sind Errungenschaften der modernen Mathematik. Ihr Trick besteht darin, die Vorstellung von "unendlich klein", "unendlich groß" oder "unendlich nahe" als Prozess aufzufassen, bei dem eine Variable "beliebig klein", "beliebig groß" oder "beliebig nahe" zu etwas sind".
 
Mit den Cohaerentic-Betrachtungen  zu den klassisch konstruierten Grenzprozeß- Kalkulationen wird das oben angesprochene Wissen zu Unendlich vervollständigt. Damit werden die  im antiken Griechenland angestrebten anschaulichen schrittweise  nachvollziehbaren Lösungszusammenhänge für   klassischen drei Aufgaben möglich. Mit den erfundenen klassisch konstruierten Grenzprozessen kann das Ermitteln des  Winkeldrittels,  des Kreisverhältnisses π und der 3. Wurzel aus 2 für die Doppelung des Würfelvolumens  unbeschränkt immer genauer konstruiert werden und damit theoretisch   auch   endlos viele wahre  Nachkommastellen berechnet und dargestellt werden. Die  hierbei  erzeugte   Folge von Schnittpunkten  strebt als exakter Prozeß  unbeschränkt seienem  Grenzpunkt / Grenzwert zu. Dieser fällt exakt  mit dem Punkt zusammen, der das Winkeldrittel ist bzw. es markiert, usw. Daß dies tatsächlich so ist, wird   anhand   zutreffender klassich konstruierten Kohärenz-Modellen (exakte Zeilgestalt) später noch gezeigt werden.
 
Realisierung
Die  mit Zirkel und Lineal gezeichneten  klassich konstruierten Grenzprozesse können heute sehr effizient mit einem   DGS- Programm (DGS ... Dynamisches Geometrie-System) auf einem eltekronischen Rechner ausgeführt werden.  
Dabei wird dem erwarteten wahren Ergebnis  mit  jedem weiteren  Iterationszyklus noch näher gekommen.  So wird nach und nach das wahre Ergebnis immer vollständiger dargestellt. Solche gezeichneten Grenzprozesse gibt es  nicht nur für aufeinander folgende Punkte bei elementaren Kurven, sondern auch  für ganze Figuren, wie Kreise, Dreiecke und auch für zusammegesetzte Kreis-Gerade-Objekte.
 
Für die drei klassischen Aufgaben der Antike
 
Winkeldreiteilung
Quadratur des Kreises 
Volumendoppelung des Würfels 
 
treffen die jeweils aktuell erreichten Zwischenergebnisse (Zustände) immer  für  die n-aktuell aufgewendeten Schritte zu.  Die dabei erzeugten Schnittpunkte, Strecken, Kreisbögen und Figuren einer Folge weisen in ihrem Verlauf insgesamt einen stetigen Trend, eine bemerkenswerte Kontinuität  auf. 
 
Erstes  Beispiel "Klassisch konstrierter Grenzprozess für Abrolllängen von Vielecken bis zum Kreis"
Gezeigt wird hier ein klassisch konstruierter Grenzprozess, der das im Erfahrungsraum gesammelte Kohärenz-Wissen nutzt. Begonnen wird mit  Vielecken von minimaler Anzahl der Ecken. Schon damit kann das Ende der  Abroll-Streckenlänge für den  Halbkreisumfangs als Grenzpunkt/Grenzwert-Ergebnis erzeugt werden. Meine hierzu erfundene  klassich konstruierte Schnittpunkte-Folge nähert sich  im Ergebnisgebiet (nahe Endlos, nahe Unendlich)als fortgesetzte Kohärenzkurve  immer mehr einer Kreiskurve, die mit dem Zirkel durch die drei letzten Zwischenergebnispunkte konstruierbar ist. Möglch ist dies, durch die kontinuierlichen Zusammenhänge im Erfahrungsraum. Das vorgezeigte   anschaulich  bildliche Kohärenzsystem macht die Zusammenhang- Gesetzmässigkeiten des Vieleck-Abrollens    bis hin zum Kreis nachvollziebar. 
Die Merkmale eines  Grenzprozesses bei dem eine konstruiert    konvergente   Folge von Schnittpunkten einem einem Grenzpunkt zustrebt, werden erfüllt..

Die erste Überlegungen zu solchen fundamentalen Berechnungsprozessen, die das Endlos einschliessen,  stammen von Antiphon und von Hippias von Elis ( alle 5. Jh. v.u.Z.). Ihre  Wissensansätze zu klassisch konstruierten Grenzprozessen, die endlos  fortgesetzt werden können, passten nicht so recht in die Vorstellungswelt des   alten antiken Griechenlandes. So kam es in der Wissensübelieferung zum bewussten Auslassen schon bekannten Wissens.  Besonders deutlich zeigt sich dies bei  Euklid (ca 330 v.u.Z.). In seinen ELEMENTEN  sparte er somit schon bekanntes Wissen aus.

Das Wissen zur fundamentalen Kurve Trisectrix = Quadratrix oder auch das Wissen zur Berechnung der Kreisfläche nach dem Vorschlag von Antiphon nimmt Euklid nicht in sein berühmtes Sammelwerk ELEMENTE auf, in welchem er das damals bekannte und akzeptierte mathematische Wissen  dargestellte.  Die Ansichtsweise zur Kurve Tresectrix und Kreisunfang /Kreisfläche passte nicht zu seinen Erwartungen.

Das von Euklid mit den ELEMENTEN geschaffene  Vorbild wirkt quasi bis heute fort. Im modernen richtungsweisenden Werk zur Elementargeometrie, D.Hilbert, Grundlagen der Geometrie, B.G.Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgard 1962,   werden keine klassisch konstruierten Grenzprozesse und Schnittpunkte-Folgen  erörtert. Im Internet  allgemein, aber  auch beim Portal  Wikipedia werden unter dem Suchbegriff "mathematischer Grenzprozess" immer nur solche Prozesse erörtert, bei denen die Rechengrössen Zahlen sind.

 

 
 
 
Über klassisch konstruierte Grenzprozesse
Für Lernende und Laien decken sich  die elementar, nur mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruiertem Berechnungen mit ihrem  Erfahrungswissen. Heute helfen hier  besonders die  klassischen Konstruktionen mit dem Computer. . Es wird   quasi nur mit einem Zirkel und und einem strichlosen Lineal gearbeitet. Es sind die konstruierten Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten, die den betrachteten Rechenzusammenhang ausgehend vom Raumzusammenhnag nachvollziehbar machen. Heute werden diese Sequenzen mit  dynamischen Zeichenprorammen (DGS-Softwareprogramme, beispielsweise Geogebra und andere), gezeichnet. Die so gezeichneten Kurven  sind  nur in Gedanken zusammenhängende Spurkurven. Real sind sie  immer nur endlich viele dicht benachbarte Punkte. Visuell und in gedanklicher Abstraktion werden diese nicht mehr als Punktekurve wahrgenommen, sondern als zusammenhängende Spurkurve = Strichkurve.  
 
Über konstruierte  Zahlen = konstruierte Punkte
Wir können uns in der Ebene einen beliebig gegebenen Punkt vorstellen, der  Schnittpunkt zweier  orthogonaler Achsgeraden x und y ist. Weitere   davon ausgehende  "klassisch  konstruierte   Schnittpunkte"  werden in der Mathematik als "konstruierte Zahlen" verstanden.  Sie sind  als Sequenz zusammenhängend gezeichneter Urkurven-Objekte von Kreis und Gerade   anschaulich nachvollziehbar. 
Das folgende Bild-Beispiel  zeigt, wie   eine    Folge von Punkten für die Rektifikation durch klassisches Konstruieren entsteht. Diese Konstruktion wird später noch mehrfach ausfühlicher beschrieben werden. Das Durchnummerieren der konstruierten Objekte macht das Nachverfolgen  der nacheiender konstruierten Objekte (Kurven und Schnittpunkte)  leichter.
Als ausgeführte Rechenoperationen kommen quasi nur die Ur-Operationen Doppeln und dessen Umkehrung das Halbieren (Anti-Doppeln) vor. Mit diesen Operartionen  wird eine   klassisch konstruierte Folge von Schnittpunkten konstruiert, die Endpunkte der immer mehr gerade gebogenen roten gleichlangen Kreisbögen  sind. Diese Bogenendpunkte konvertieren   gut erkennbar einem Grenzpunkt auf der y-Achse zu, der einen Grenzabstand zum Nullpunkt  von der  exakten   Länge des Kreisumfangs hat. Alle Punkte dieser Folge werden in der Mathematik als „konstruierbare bzw. konstruierte  Zahlen“ verstanden. Es ist hier leicht einzusehen, die Folge der Punkte ist endlos fortsetzbar. Die Änderung des Abstandes von Punkt zum  nächsten  Punkt  bzw. von Punkt zum Nullpunkt strebt dabei immer mehr der Grösse Null zu, ohne Null jemals zu erreichen.  
Für diese direkt wahrnehmbare  Grenzwertgrösse, die heute symbolisch mit 2π = Kreisumfang /Durchmesser beschrieben wird, gibt es keinen letzten Punkt und damit   keine abgeschlossene  Ergebnis-Darstellung als diskrete Zahl, die durch endlich viele  klassisch konstruierte Schritte erzeugt und dargestellt werden kann. Die Forderung nach einer diskreten Ergebnis-Darstellung (Zahl) einerseits und andererseits der Sachverhalt einer  nicht endenden Punkte-Folge bzw. Schritte-Sequenz  sind zueinander widersprüchlich.
Die Menge der konstruierbaren Punkte (konstruierbare Zahlen) füllt die unbegrenzte, aber auch die begrenzte Ebene niemals vollständig aus.  Vom Prinzip her bleiben immer Lücken zwischen den konstruierten Punkten (=Raster-Punkte), egal wieviele diskret benennbare Schritte für die konstruierten Punkte schon ausgeführt sind. 
 Über nichtkonstruierbare Zahlen = nichtkonstruierbare Punkte
"Kein  beliebig (zufällig) platzierter Punkt in der karthesischen Ebene  kann durch  eine  klassische Konstruktion   ohne Restfehler erzeugt oder ausgemessen werden. Diese beliebig (zufällig) platzierten Punkte  sind somit als "nichtklassisch konstruierbare  Punkte"  bzw. als  "nichtklassisch konstruierbare  Zahlen" zu verstehen.
Es sind, wie zuvor aufgezeigt,   prinzipielle  Gründe, warum   das Winkeldrittel, die Quadratseite und die Würfelkante in ihrer vollständigen Grösse nicht als klassisch konstruierbarer Punkt bzw. nicht klassisch konstruierbare Zahl dargestellt werden können. Irreführend wird es  hier allerdings, wenn aus diesem prinzipiellen  Sachverhalt der unvollständigen Ergebnis-Darstellung gefolgert wird, dass es hier für die Aufgabenlösungen keine exkaten  Sequenzenvon Kreis und Gerade ( Zusamenhänge) zur exakten Ergebniserzeugung geben würde. Das obige Bild zeigt, dies ist falsch und   irreführend. "Unmöglich"  suggeriert die Erwartung, für die betrachteten drei klassichen Aufgaben der Antike  würde  es keine klassisch konstruierten exakten Lösungsprozesse geben können, deren Lösungszusammenhänge mit endlich vielen Konstruktionsschritten vollständig beschrieben werden können. Wie obiges Bild zeigt, kann mit immer mehr Aufwand  zu immer genaueren  Ergebnisdarstellungen gelangt werden.
                                            
Phönomen - Grenzprozess  
a) Klassisch konstruierte Grenzprozesse 
Sie sind klassisch konstruierter Folgen von Schnittpunkten, die  einem geometrischen/r Grenzpunkt /-wert /-lage von Abständen, Drehungen und Translationen zustreben. Das folgende Bildbeispiel 
 
zeigt meinen erfundenen, klassisch, mit einer Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten gezeichneten Grenzprozess. Sein Grenzpunkt markiert das exakte Winkeldrittel im Gesamtsystem der Winkelkohärenzen. Es handelt sich hier um einem autokonvergenten Grenzprozess, bei dem im Prozessverlauf keine prozessbeeinflussenden Entscheidungen getroffen werden müssen. Ein besonderer klassisch konstruierter Grenzprozess ist der, mit dem  das exakte Berechnen des Kreisverhältnisses   π  =Kreisumfang /Kreisdurchmesser möglich wird. Diese Art von klassisch konstruierten Grenzprozessen mit geometrischen Rechengrössen fehlen im Lehrgebäude der Mathematik. Sie fehlen bereits im berühmten Sammelwerk ELEMENTE, das einst der berühmte Euklid (ca 330 v.u.Z.) zusammenstellte und heraus gab. Die Vorbildwirkung der ELEMENTE führte hier zu einer gewissen Betrachtungsblockade, Diese wirkt bis heute nach. Eine Suche in der Internet-Enzyklopädie Wikipedia liefert somit für „klassisch konstruierte Grenzprozesse“ keine Treffer. 
 
b) Grenzprozesse mit Zahlen als Rechengrössen
Hier sind   die Rechengrössen, das sind endlos viele  Zahlen,   mit elementaren Rechenoperatoren verknüpft. Bei den unendlichen Reihen dominieren die Operatoren „Plus“ und „Minus“. Bei den unendlichen Produkten sind es die Operatoren   „Multiplikation und „Division“.
 
Heute werden beim Recherchieren nach    Grenzprozessen und ihren Grenzwerten  nur solche gefunden, deren  Zusammenhänge   Funktionen und Zahlen betreffen. Wir wissen bereits, der berühmte Euklid (ca 330 v.u.Z.) hat endlose Prozesse nicht in sein richtungsweisendes Grundlagenwerk ELEMENTE aufgenommen, obwohl seit  Antiphon und Dinostratos (beide 5.Jh.v.u.Z.) schon Wissen zu endlosen Rechenprozessen bekannt war.  Für gezeichnete Cohaerentic Kalkulationen  werden wir nun abweichend zur euklidischen Tradition auch endlose, elementar mit Kreis- und Gerade- Objekten  konstruierte  Berechnungsprozesse  betrachten. Mit dem anderen Paradigma der Cohaerentic  wird  über die euklidischen Konstruktionen hinaus gegangen, wie sie aus den Konstruktionen in den ELEMENTEN gefolgert werden können. 
Beim nächsten Bild wird quasi mit zwei simultan gezeichneten Grenzprozessen, die gesamte Kreisumfangkurve (rot und schwarz) gerade gestreckt. Anhand eines späteren Videos wird es  gut nachvollziehbar, dass die gestreckte Länge des Kreisumfangs als Summe von rot und schwarz immer gleich gross ist, unabhängig von der Drehposition der roten Radiusstrecke im Kreis.
 
Dabei wird  mit immer mehr ausgeführten Schritte-Zyklen (Durchmesser verdoppeln und Winkel halbieren) einem  Ergebnis als Grenzwert zugestrebt, ohne diesen  jemals endgültig zu erreichen. Wir erkennen an diesem Beispiel, Grenzprozesse  gibt es nicht nur für  Lösungsberechnungen auf arithmetisch-algebraischer Grundlage sondern auch auf der Grundlage erfahrbarer kontinuierlicher räumlischer Kohärenz.
Im mathematischen Sinne verstehn wir eine Folge nun nicht nur als eine Aufzählung von Zahlen, sondern auch ein aufeinander folgendes Erzeugen von Punkten (Schnittpunkten), die als Punktekurve einen Grenzpunkt mit einem Grenzabstand zustreben und so die Merkmale für einen Grenzprozess erfüllen, der als klassisch Konstruktion ausgeführt wird.
 
Anhand der beiden obigen letzten Bild-Beispiele stellt sich die Frage, ob  das dazu heute  Gelehrte noch voll zutrifft? Bei Wikipedia steht unter dem Suchbegriff "Konstruktionen mit Zirkel und Lineal"/ "Unmögliche Konstruktionen" geschrieben, 
"Viele geometrische Figuren können nicht allein mit Zirkel und Lineal exakt konstruiert werden" wozu auch die "Quadratur des Kreises "  zählt.
Die obigen beiden Bilder stehen in einem gewissen Widerspruch zu dieser allgemein akzeptierten Einsicht. Diese Bilder  demonstrieren ein klassich   konstruiertes Geradebiegen des  Kreisbogens bei gleicher Länge. Dieses Wissen ist eine Vorassetzung, um die Quadratur des  Kreises   als dynamische   klassische Konstrktion ausführen zu können.  Das Geradebiegen wird mit  einem exaktem   klassisch konstruiertem Grenzprozess ausgeführt und mit einer Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kreis - und Gerade-Objekte realisert. Hier handelt es sich um einen exakten klassischen Konstruktionsprozess bei dem das erzeugte Ergebnis "Kreisbogenlänge" der erwarteten Grenzwert-Grössse  mit mehr aufgewendeten Schritten immer mehr zustrebt. Die Schritt um Schritt fortschreitende exakte Konstruktion ist tatsächlich sinnfällig  nachvollziehbar. "Unmöglich" ist hingegen, eine vollständige Darstellung der zusammengesetzten Ergebnisgrösse, wie sie bei den  notwendigen endlosen Grenzprozesses vom Prinzip her auftreten.
 Für folgende Uraufgaben sind  gezeichnete Grenzprozesse für die gezeichneten Lösungsberechnungen erforderlich
 - Abroll-Länge vom Kreis, 
- Länge des gerade gestreckte Kreisbogen (Rektifikation), 

 - ganze Kreisfläche und ihre Teile (Tortenstücke, Kreissehnenabschnitt)

 - Winkeldrittelung, Winkelsiebentelung

 - Verhältnis-Transformation   Strecke<->Kreisbogen 

Mit immer mehr ausgeführten Rechenschritten, sprich gezeichneten Objekten, kann dabei die Genauigkeit der Ergebnis-Darstellung verbessert werden, indem sie  immer weiter vervollständigt wird. Dieses Vorgehen ist theoretisch ohne Ende fortsetzbar. Von besonderem Interesse sind deshalb solche klassich konstruierte  Grenzprozesse, die durch   eine verbesserte  Konvergenz-Eigenschaft eine gewählte Ergebnis-Genauigkeit schon mit kürzeren Rechengängen erreichen.

 

Überlieferungs-Situation  zu klassich konstruierten Grenzprozessen

Die Suche in Lexika und auch im Internet nach klassich konstruierten Grenzprozessen liefert kein direktes Ergebnis.  Hingegen gibt es viele Treffer für Grenzprozesse mit Zahlen als Rechengrössen. Etwas näher dran ist da  ein Annähern der Kreisfläche mit Grenzprozessen (https://home.ph-freiburg.de/deisslerfr/geometrie_II/sicher_geoII_06_07/Kapitel_2_06-07.pdf). Hierbei kann aber von einem klassich konstruiertem Grenzprozess keine Rede sein. Insbesondere wird da keine gezeichnete  Ergebnisgrösse als  Strecke erzeugt, die zweifelsfrei das Verhältnis π bildlich abbildet (π=gestreckter Kreisumfang /Kreisdurchmesser  = Kreisfläche / Quadratfläche über dem Radius). Dabei wird sich für das Berechnen der   Kreiszahl πnum      im Rahmen des bekannten  und heute gelehrten Wissens bewegt. 

Das elementar gezeichnete Kalkulieren  mit einem konvergentem  Grenzprozess, der einem Grenzwert zustrebt,  ist wie eingangs schon angesprochen, vom Prinzipiellem her mindestens seit dem griechischen Sophisten Antiphon (5.Jh.v.u.Z.) angedacht.   Man erkannte, das gezeichnet berechnete  Verhältnis πgeo und sein abgeleitetes  πnum   sind    zwar exakt  berechenbare, aber nur unvollständig zusammensetzbare  Ergebnisgrössen. 

Mit der veränderten Sichtweise für die Cohaerentic-Kalkulationen  wird der klassich konstruierte  Grenzprozess des Antiphon als ein  elementares exaktes Berechnen der Kreisfläche verstanden. Hierzu gibt es keine Alternative eines  noch elementareren  Berechnens. Die Ergebnisdarstellung als Rechteckfläche bildet den Grenzwert Kreisfläche   mit immer mehr  Aufwand beim Berechnen immer genauer ab. Die Genauigkeit der Ergebnisdarstellung ist an den Umfang der hierfür  geleisteten Schritte gebunden.

Seit Alters her bis heute ist aus esoterischen, religiösen und noch anderen Erwartungen heraus das Interesse an  diskret darstellbaren  Zahlen grösser als an den zwischenliegenden, nicht diskret als Zahl dastellbaren Positionen. Eine solche zwischenliegende, nicht endgültig diskret darstellbare Rechengrösse ist auch die Verhältnisgrösse  π=Kreisumfang/Durchmesser. 

Für Hilbert (1864-1943) waren Berechnungen mit klassich konstruierten Grenzprozessen offenbar ein Problemfeld  von geringer Bedeutung. Daher hat auch er, wie Euklid,  sie  nicht in sein grundlegendes Werke "Grundlagen der Geometrie"  aufgenommen.  Klassich gezeichnete Grenzprozesse haben bis heute in der Mathematik keine hohe  Bedeutng erlangt. Es fehlt das breite Interesse daran, was fehlende Beiträge  in Lehrbüchern, und heute auch im Internet, belegen.

Mit den gezeichneten Cohaerentic Kalkulationen rücken nun auch Uraufgaben des Berechnen in den Blickpunkt des Interesses, deren Lösungen  klassich konstruierte  Grenzprozesse erfordern.

 

 

  • Benutzer 50
  • Beiträge 113
  • Beitragsaufrufe 480847

Aktuell sind 14 Gäste und keine Mitglieder online