Pi aus Grenprozess der Kreisbogen - Rektifikation
Fontana (1784) und weitere
Th.Vahlen hat in seinem Buch, Theodor Vahlen, Konstruktionen und Approximationen, Verlag G.B.Teibner Leipzig und Berlin 1911, die nachfolgende klassische Konstruktion zur Rektifikation eines Kreisbogens aufgenommen. Sie wurde wohl erstmals im Jahre 1784 vom italienischen Mathematiker Fontana veröffentlicht.
Die Erklärung der wesentlichen Zusammenhänge für die Rektifikation fallen bei Vahlen nicht gerade einfach aus. Die betrachtete systematische Kohärenz wird anhand von schon bekannten Formeln erklärt. In dem obigen Bild fehlen die gleichlangen Kreisbögen und damit anschaulich erkennbare nachvollziehbare geometrische Zusammenhänge, die das Erklären stark unterstützen.
Beschreibung des klassisch konstruierten Grenzprozesses für π
Das Kreisverhältnis π als Länge des Halbkreisbogens bezogen auf den Kreisradius definiert. Die hier vorgezeigte klassisch konstruierte Cohaerentic-Kalkulation ist ein Grenzprozess, denn mit jedem Iterationszyklus "Doppeln des Kreisradius und quasi simultanes Halbieren der Drehung (Winkel)" wird ein neuer Endpunkt eines nur noch halb so sehr gekrümmten Kreisbogens gleicher Länge erzeugt. Mit jedem solchen Doppeln-Halbieren-Zyklus strebt das n-aktuelle Zwischenergebnis Kreisverhältnis πgeo(n<∞) immer mehr dem Grenzpunkt mit Grenzwert Kreisverhältnis πgeo(n=∞) = (gestreckter Kreisumfang) / Kreisdurchmesser zu.
Anhand des obigen Bildes ist leicht einzusehen, dieses klassisch konstruierte Berechnen geschieht allein mit einer Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kurvenstücke von Kreis- und Gerade. Zum leichteren Verfolgen der Abfolge der Schritte sind die gezeichneten Objekte mit laufenden Nummern und Buchstaben, K für Kreis, G für Gerade und S für Schnittpunkt versehen. Anschaulich nachvollziehbar wird der Halbkreisbogen bei Erhalt der ursprünglichen Bogenlänge immer weiter aufgebogen. Der Grenzwert ist dann erreicht, wenn keine Krümmung mehr erkannt werden kann. Jeder neue jeweils gleichlange Bogen mit doppelt grossen Radius hat einen halb so grossen Zetriwinkel. Die Grösse des Grenzwertes wird mit endlich vielen Schritten bzw. auch Interationszyklen niemals erreicht. Die konstruierte Ergebnisdarstellung wird hier mit immer mehr ausgeführten Schritten immer vollständiger.
Verkürzter klassisch konstruierter Grenzprozess für ein πgeo
Prinzipieller Darstellungsfehler
Bei einer gezeichneten und auch bei einer numerischen π-Berechnung bleibt vom Prinzip her, nach einem willkürlich gewähltem letzten Rechenschritt, von den endlos viel möglichen Schritten, immer ein mehr oder minder kleiner nicht in der Ergebnis-Darstellung berücksichtigter Restfehler. Ein solcher prinzipieller Fehler bleibt somit auch bei einer gezeichneten Cohaerentic Kalkulation. Allerdings wird hier mit einer besonderen Massnahme, welche den kontinuierlichen Raumzusammenah ausnutzt, zu einer verbesserten Konvergenz gelangt. Der Umfang an notwendigen Schritten, der für eine gewählte Ergebnis-Genauigkeit (Anzahl wahrer Nachkommastellen) erforderlich sind, reduziert sich dabei. Die Massnahme zur Verbesserung der Konvergenz wird im folgenden Video gezeigt.
Video
Das folgende Bild veranschaulicht die folgende Einsicht. Die Summe der roten und schwarzen Kreisbögen -Längen gleicher Krümmung ist immer gleich gross und unabhängig von der Drehungsgrösse der roten Radiusstrecke, die den Kreisumfang unterteilt..
