Winkel
Kreisverhältnis π_geo und Kreiszahl π_num
Kreisverhältnis π und Kreiszahl πnum=∞
Klassische vs. cohaerentische Geoemtrie
Der Umfang eines jeden Kreises ist größer als sein Durchmesser. Das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser ist für alle Kreise gleich groß. Dieses Verhältnis wird als Kreisverhältnis π bezeichnet und stellt eine fundamentale geometrische Konstante dar. Die ideale Quantisierung dieses Verhältnisses führt zur Kreiszahl πₙᵤₘ = ∞.
In der klassischen Geometrie wird das Kreisverhältnis π weitgehend mit der Kreiszahl πₙᵤₘ = ∞ gleichgesetzt. Diese ist eine reelle Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen, die niemals vollständig dargestellt werden können. Für Lernende führt diese Gleichsetzung häufig zu Verwirrung. Die Zahl πₙᵤₘ = ∞ ist das abstrakte Ergebnis eines rechnerischen Grenzprozesses, jedoch selbst kein geometrisches Objekt.
Die cohaerentische Geometrie setzt an einem anderen Punkt an. Sie fragt nicht zuerst nach der Zahl πₙᵤₘ = ∞, sondern danach, wie das Kreisverhältnis geometrisch entsteht.
Ausgangspunkt ist ein ganzer Kreisbogen. Dieser wird schrittweise „gerade gebogen“, indem der Radius verdoppelt und der zugehörige Bogenwinkel jeweils halbiert wird. Die entstehende Folge von Teilbögen besitzt stets dieselbe Länge wie der ursprüngliche Kreisbogen, während ihre Krümmung schrittweise abnimmt. Die Endpunkte dieser Bogenfolge bilden dabei keine isolierte Punktmenge, sondern weisen eine durchgehende geometrische Kohärenz auf.
In ihrer Gesamtheit markieren diese Endpunkte eine Punktekurve, die als Funktionskurve im Koordinatensystem interpretiert werden kann. Mit zunehmender Anzahl der Aufbiegungsschritte nähert sich der jeweils zuletzt erzeugte Bogenendpunkt dem senkrecht auf dem x-achsialen Radiusende stehenden y-Strahl an.
Entscheidend ist nun, dass diese Funktionskurve nicht linear fortgesetzt wird. Stattdessen wird durch die letzten erzeugten Bogenendpunkte ein Schmiegkreis gelegt, der die lokale Krümmungsstruktur der Punktekurve erfasst und sie oskulierend fortsetzt. Der Schnitt dieses Schmiegkreises mit dem y-Strahl liefert eine konstruktive Fortsetzung der Kurve und bewirkt eine ausgeprägte Konvergenzbeschleunigung gegenüber einer bloßen Geradenextrapolation.
Das Kreisverhältnis entsteht damit nicht als Ergebnis einer rein linearen Grenzwertbildung, sondern aus der kohärenten, krümmungstreuen Fortsetzung einer geometrisch konstruierten Funktionskurve. Entscheidend ist: Dieser Vorgang wird nicht als bloße Rechenvorschrift verstanden, sondern als realer geometrischer Grenzprozess. Die Gerade entsteht als Grenzgestalt eines konstruktiv vollzogenen Umformungsprozesses vom Bogen zur Geraden.
In diesem Sinne ist das cohaerentische Kreisverhältnis nicht primär eine Zahl, sondern das Ergebnis einer anschaulich nachvollziehbaren Konstruktion. Erst nachgeordnet kann diesem geometrischen Ergebnis eine Zahl zugeordnet werden.
Die Kreiszahl πₙᵤₘ = ∞ bezeichnet dabei die prinzipiell unbegrenzte Dezimalentwicklung dieser Zuordnung. Gedanklich umfasst sie unendlich viele wahre Nachkommastellen; praktisch können jedoch aus begrenzter Zeit und begrenztem Aufwand immer nur endlich viele Ziffern bestimmt werden. Jede numerische Darstellung bleibt daher eine Annäherung an ein geometrisch konstruiertes Verhältnis.
Damit wird deutlich:
Während die klassische Geometrie das Kreisverhältnis primär als Zahl behandelt, lässt die cohaerentische Geometrie das Kreisverhältnis aus der Geometrie selbst hervorgehen – aus der Bewegung vom Kreisbogen zur Geraden.
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