Pi_num als arithmetischer Mittelwert
Die bekannte endloses Reihe (Multisumme) für die Kreiszahl πnum
π / 4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 .....
wurde in den Jahren 1673–1676 von Leibnitz entwickelt und dabei auch der Zusammenhang mit dem Kreisverhältnis π erkannt. Ohne diesen π-Bezug war diese Reihe schon 1671 von dem englischen Mathematiker Gregory entdeckt und vorher auch schon im 14. Jahrhundert in Indien bekannt. Eine elementar nachvollziehbare Herleitung aus geometrischen Zusammenhängen ist dazu nicht überliefert.
Die Gregory-Leibnitz-Reihe ist eine Formel mit der die Darstellung der Kreiszahl zum Kreisverhältnis π =Kreisumfang/Durchmesser immer vollständiger berechnet werden kann. Am Ende der ausgeführten Rechenschritte verbleibt prinzipiell bis zur Größe des idealen geometrischen Grenzwertes immer eine mit einer Zahl-Darstellung nicht mehr darstellbare Restgröße. Diese nicht dargestellte Restgrösse wird mit anwachsenden Umfang eingerechneter Terme (Glieder, Brüche) immer kleiner.
| Eingerechnete Zahlen | πnum aus Leibnitz- Reihe | πnum aus Mittelungen |
| 1 bis 16 | 3 | 3,1415 |
| 1 bis 32 | 3,1 | 3,1415926 |
| 1 bis 256 | 3,1 | besser als |
| 1 bis 988 | 3,14 | 3,141592653 |
| 1 bis 4096 | 3,141 | |
| 1 bis 10416 | 3,141 |
