Sequentiell konstruierte Grenzprozesse modellieren   höhere  Rechenprozesse    

Überblick

Neben den bekannten Grenzprozessen, die sich inhaltlich mit Umwandeln periodischer Zahlen in Brüche und reinperiodisch und gemischtperiodische   Folgen,  Rekursionen, sowie    Strategien zur Grenzwertbestimmung befassen, gibt es die bei  Euklid (ca.330 v.u. Z.) unbetrachtet und bis heute unbetrachtet gebliebenen klassisch konstruierten Grenzprozesse. Inhaltlich sind diese insbesondere auf das  Berechnen der Länge von und die Fläche unter Kreisbögen, sowie  elementare  rotorisch <—> translatorische  (rot-lin) Transformationenen gerichtet.  Diese zweite andere Art "klassisch konstruierte  Grenzprozesse"  werden wir hier betrachten.

Historischer Abriß

In dem berühmten Grundlagenwerk ELEMENTE des Euklid um  330 v.u.Z.), welches  eine Sammlung  mathematischen Wissens aus dem dem antiken  Griechenland ist, sind keine klassische Konstruktionen  mit Sequenzen zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objekte aufgenommen, bei denen einem Grenzpunkt unbeschränkt zugestrebt wird.  

Bei den  heute bekannten numerischen Berechenprozessen mit Grenzprozessen, wie mit der Reihe x = 1/2+1/4+1/8+1/16+---=2, sind die modellhaften  Rechengrössen keine geometrischen Ausdehnungsgrößen sondern  "Zahlen" (https://www.mathe-online.at/mathint/grenz/i.html). Hier, bei den Cohaerentic-Betrachtungen werden nun auch klassisch konstruierten Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekte betrachtet, die eine endlose    Punkte-Folgen erzeugen, welche einem Grenzpunkt zustreben. Klassich konstruiertes Vorgehen erzeugt klassisch konstruierte Grenzprozesse. Im berühmten Sammelwerk ELEMENTE von Euklid (ca 330 v.u.Z.) sind für das Lösen der drei klassischen Aufgaben, Winkeldritteln, Quadrattur des Kreises und Würfeldoppelung,  keine zutreffenden klassisch konstruierter Grenzprozesse aufgenommen.  Auch neuerer Zeit   sind in der  Fachliteratur  keine Überlieferungen dazu zu finden. In Hilbert´s  berühmten "Grundlagen der Geometrie"   fehlen die klassisch konstruierten Grenzprozesse auch? Wurden und wird   diesen Verfahren keine  mathematische Bedeutung beigemessen?  Es wird bis heute zu diesen  besagten  klassisch konstruierten Grenzprozessen  nicht geforscht. Zu klassisch konstruierten Grenzprozessen gibt es  in Lehrbüchern und damit auch in den Lexika zur Mathematik keine Beiträge.  

Unsere Cohaerentic-Betrachtungen sind nun auch auf klassisch konstruierten  Grenzprozesse gerichtet, deren erzeugte Schnittpunkte-Folgen jeweils ihrem  Grenzpunkt unbeschränkt zustreben. 

 

Zu den  heute bekannten Grenzprozessen,  deren    Rechengrössen Zahlen sind,   gibt es  im Internet unter  https://www.mathe-online.at/mathint/grenz/i.html    folgende  Erklärung:

 

"Grenzprozesse (Grenzübergänge) und der Begriff des Grenzwerts (Limes) dienen dazu, das Unendiche in den Griff zu bekommen. Sie sind Errungenschaften der modernen Mathematik. Ihr Trick besteht darin, die Vorstellung von "unendlich klein", "unendlich groß" oder "unendlich nahe" als Prozess aufzufassen, bei dem eine Variable "beliebig klein", "beliebig groß" oder "beliebig nahe" zu etwas sind".

 

Mit den Cohaerentic-Betrachtungen wird mit den klassisch konstruierten Grenzprozeß-Kalkulationen Ähnliches angestrebt, nur daß die die Rechengrößen geometrische Objekte und keine Zahlen sind. Damit wird das oben angesprochene Wissen zu Unendlich vervollständigt. Auf diese Weise werden die  im antiken Griechenland angestrebten anschaulichen schrittweise  nachvollziehbaren Lösungszusammenhänge für   klassischen drei Aufgaben real möglich. Mit den erfundenen klassisch konstruierten Grenzprozessen kann das Ermitteln des  Winkeldrittels,  des Kreisverhältnisses π und der 3. Wurzel aus 2 für die Doppelung des Würfelvolumens  unbeschränkt immer genauer konstruiert werden und damit theoretisch  immer mehr bis endlos viele wahre  dezimale Nachkommastellen berechnet und dargestellt werden. Die  hierbei  erzeugte   Folge von Schnittpunkten  strebt  unbeschränkt ihrem  Grenzpunkt / Grenzwert zu. Dieser fällt exakt  mit dem Punkt zusammen, der das Winkeldrittel ist bzw. es markiert. Daß dies tatsächlich so ist, wird   anhand   zutreffender klassich konstruierten Kohärenz-Modellen (exakte Zielgestalt-Konstellation) später noch gezeigt werden.

 

Realisierung

Die  mit Zirkel und Lineal gezeichneten  klassich konstruierten Grenzprozesse können heute sehr effizient mit einem   DGS- Programm (DGS ... Dynamisches Geometrie-System) auf einem eltekronischen Rechner ausgeführt werden.  

Dabei wird dem erwarteten wahren Ergebnis  mit  jedem weiteren  Iterationszyklus noch näher gekommen.  So wird nach und nach das wahre Ergebnis immer vollständiger dargestellt. Solche gezeichneten Grenzprozesse gibt es  nicht nur für aufeinander folgende Punkte bei elementaren Kurven, sondern auch  für ganze Figuren, wie Kreise, Dreiecke und auch für zusammegesetzte Kreis-Gerade-Objekte.

 

Für die drei klassischen Aufgaben der Antike

 

Winkeldreiteilung

Quadratur des Kreises 

Volumendoppelung des Würfels 

 

sind die  die jeweils aktuell konstruierten Zwischenergebnisse (Zustände)  für  die n-aktuell aufgewendeten Schritte reproduzierbar.  Die dabei erzeugten Schnittpunkte, Strecken, Kreisbögen und Figuren einer Folge weisen in ihrem Verlauf insgesamt einen stetigen Trend auf und damit eine bemerkenswerte Kontinuität. 

 

_{Erstes  Beispiel "Klassisch konstrierter Grenzprozess für Abrolllängen von Vielecken bis zum Kreis"}

Gezeigt wird hier ein klassisch konstruierter Grenzprozess, der das im Erfahrungsraum gesammelte Kohärenz-Wissen nutzt. Begonnen wird mit  Vielecken von minimaler Anzahl der Ecken. Schon damit kann das Ende der  Abroll-Streckenlänge für den  Halbkreisumfangs als Grenzpunkt/Grenzwert-Ergebnis erzeugt werden. Meine hierzu erfundene  klassich konstruierte Schnittpunkte-Folge nähert sich  im Ergebnisgebiet (nahe Endlos, nahe Unendlich)als fortgesetzte Kohärenzkurve  immer mehr einer Kreiskurve, die mit dem Zirkel durch die drei letzten Zwischenergebnispunkte konstruierbar ist. Möglch ist dies, durch die kontinuierlichen Zusammenhänge im Erfahrungsraum. Das vorgezeigte   anschaulich  bildliche Kohärenzsystem macht die Zusammenhang- Gesetzmässigkeiten des Vieleck-Abrollens    bis hin zum Kreis nachvollziebar. 

Die Merkmale eines  Grenzprozesses bei dem eine konstruiert    konvergente   Folge von Schnittpunkten einem einem Grenzpunkt zustrebt, werden erfüllt..

Die erste Überlegungen zu solchen fundamentalen Berechnungsprozessen, die das Endlos einschliessen,  stammen von Antiphon und von Hippias von Elis ( alle 5. Jh. v.u.Z.). Ihre  Wissensansätze zu klassisch konstruierten Grenzprozessen, die endlos  fortgesetzt werden können, passten nicht so recht in die Vorstellungswelt des   alten antiken Griechenlandes. So kam es in der Wissensübelieferung zum bewussten Auslassen schon bekannten Wissens.  Besonders deutlich zeigt sich dies bei  Euklid (ca 330 v.u.Z.). In seinen ELEMENTEN  sparte er somit schon bekanntes Wissen aus.

Das Wissen zur fundamentalen Kurve Trisectrix = Quadratrix oder auch das Wissen zur Berechnung der Kreisfläche nach dem Vorschlag von Antiphon nimmt Euklid nicht in sein berühmtes Sammelwerk ELEMENTE auf, in welchem er das damals bekannte und akzeptierte mathematische Wissen  dargestellte.  Die Ansichtsweise zur Kurve Tresectrix und Kreisunfang /Kreisfläche passte nicht zu seinen Erwartungen.

Das von Euklid mit den ELEMENTEN geschaffene  Vorbild wirkt quasi bis heute fort. Im modernen richtungsweisenden Werk zur Elementargeometrie, D.Hilbert, Grundlagen der Geometrie, B.G.Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgard 1962,   werden keine klassisch konstruierten Grenzprozesse und Schnittpunkte-Folgen  erörtert. Im Internet  allgemein, aber  auch beim Portal  Wikipedia werden unter dem Suchbegriff "mathematischer Grenzprozess" immer nur solche Prozesse erörtert, bei denen die Rechengrössen Zahlen sind.

 

Über klassisch konstruierte Grenzprozesse und über konstruierte  Zahlen = konstruierte Punkte

Wir können uns in der Ebene einen beliebig gegebenen Punkt vorstellen, der  Schnittpunkt zweier  orthogonaler Achsgeraden X und Y ist.  Weitere   davon ausgehende  "klassisch  konstruierte   Schnittpunkte"  werden in der Mathematik als "konstruierte Zahlen" verstanden.  Ihre als Sequenz als zusammenhängend gezeichneter Urkurven-Objekte von Kreis und Gerade   sind anschaulich nachvollziehbar. 

Das folgende Bild-Beispiel  zeigt, wie   eine    Folge von Punkten für die Rektifikation durch klassisches Konstruieren entsteht. Diese Konstruktion wird später noch mehrfach ausfühlicher beschrieben werden. Das Durchnummerieren der konstruierten Objekte macht das Nachverfolgen der nacheiender konstruierten Objekte (Kurven und Schnittpunkte)  leichter.

Als ausgeführte Rechenoperationen kommen quasi nur die Ur-Operationen Doppeln und dessen Umkehrung das Halbieren (Anti-Doppeln) vor. Mit diesen Operartionen  wird eine   klassisch konstruierte Folge von Schnittpunkten konstruiert, die Endpunkte der immer mehr gerade gebogenen roten gleichlangen Kreisbögen  sind. Diese Bogenendpunkte konvertieren   gut erkennbar einem Grenzpunkt auf der Y-Achse zu, der einen Grenzabstand zum Nullpunkt  von der  exakten   Länge des Kreisumfangs hat. Alle Punkte dieser Folge werden in der Mathematik als „konstruierbare bzw. konstruierte  Zahlen“ verstanden. Es ist hier leicht einzusehen, die Folge der Punkte ist endlos fortsetzbar. Die Änderung des Abstandes von Punkt zum  nächsten  Punkt  bzw. von Punkt zum Nullpunkt strebt dabei immer mehr der Grösse Null zu, ohne Null jemals zu erreichen.  

Für diese direkt wahrnehmbare  Grenzwertgrösse, die heute symbolisch mit 2π = Kreisumfang /Durchmesser beschrieben wird, gibt es keinen letzten Punkt und damit  keine abgeschlossen konstruierte Ergebnis-Darstellung als diskrete Zahl. Eine solche kann nicht mit  endlich vielen  klassisch konstruierten Schritte erzeugt und dargestellt werden. Die Forderung nach einer diskreten Ergebnis-Darstellung (Zahl) einerseits und andererseits der Sachverhalt einer  nicht endenden Punkte-Folge bzw. Schritte-Sequenz  sind zueinander widersprüchlich.

Die Menge der konstruierbaren Punkte (konstruierbare Zahlen) füllt die unbegrenzte, aber auch die begrenzte ebene Fläche niemals vollständig aus.  Vom Prinzip her bleiben immer Lücken zwischen den konstruierten Punkten (=Raster-Punkte), egal wieviele diskret benennbare Schritte für die konstruierten Punkte schon ausgeführt sind. 

Über nichtkonstruierbare Zahlen = nichtkonstruierbare Punkte

"Kein  beliebig (zufällig) platzierter Punkt in der karthesischen Ebene  kann durch  eine  klassische Konstruktion   ohne Restfehler erzeugt oder ausgemessen werden. Diese beliebig (zufällig) platzierten Punkte  sind somit als "nichtklassisch konstruierbare  Punkte"  bzw. als  "nichtklassisch konstruierbare  Zahlen" zu verstehen.

Es sind, wie zuvor aufgezeigt,   prinzipielle  Gründe, warum das Winkeldrittel, die Quadratseite und die Würfelkante in ihrer vollständigen Grösse nicht als klassisch konstruierbarer Punkt bzw. nicht klassisch konstruierbare Zahl dargestellt werden können. Irreführend wird es  hier allerdings dann, wenn aus dem prinzipiellen  Sachverhalt der unvollständigen Ergebnis-Darstellung gefolgert wird, dass es keine klassisch konstruierten Lösungsverfahren geben könne.   Das obige Bild zeigt, dies ist falsch und   irreführend. "Unmöglich"  suggeriert die Erwartung, für die betrachteten drei klassichen Aufgaben der Antike  würde  es keine klassisch konstruierten exakten Lösungsprozesse geben könne.  Wie obiges Bild zeigt, kann unbeschränkt mit immer mehr Aufwand  zu immer genaueren  Ergebnisdarstellungen gelangt werden, zumindest gedanklich.

                                            

 

 

 - ganze Kreisfläche und ihre Teile (Tortenstücke, Kreissehnenabschnitt)

 - Winkeldrittelung, Winkelsiebentelung

 - Verhältnis-Transformation   Strecke<->Kreisbogen 

Mit immer mehr ausgeführten Rechenschritten, sprich gezeichneten Objekten, kann dabei die Genauigkeit der Ergebnis-Darstellung verbessert werden, indem sie  immer weiter vervollständigt wird. Dieses Vorgehen ist theoretisch ohne Ende fortsetzbar. Von besonderem Interesse sind deshalb solche klassich konstruierte  Grenzprozesse, die durch   eine verbesserte  Konvergenz-Eigenschaft eine gewählte Ergebnis-Genauigkeit schon mit kürzeren Rechengängen erreichen.

Mit konstruierten Grenzprzessen  grundlegende Transfomatonen berechnen   

Bei Cohaerentic Kalkulationen wird mit dem Begriff "Rechengrösse"  gearbeitet.  Im Erfahrngsraum ist eine  Rechengrösse ein Verhältnis  von Ausdehnungsobjekten gleicher Art.     Rechengrössen-Verhälrnis  können aus zwei Strecken oder aus zwei Kreisbögen bzw.   zwei Drehungen gebildet werden.   Von besonderer Bedeutng ist hier das Umrechnen, die  Transformation  von einer Art von Rechengrösse-Verhältnis in eine andere Art, beispielsweise von einem Drehungen-Verhältnis auf ein Strecken-Verhältnis und umgekehrt. 

 Natürliche Verhältnisse und Zahl-Verhältnisse

Während jede Zahl ein Verhältnis ist, kann kein beliebig gegebenes Verhältnis durch eine Zahl ohne Restfehler abgebildet werden.  Mit mehr investiertem Rechenaufwand (Aufwand zur Digitalisierung)  kann der verbleibende Restfehler immer kleiner gemacht werden.

Eine der wichtigsten Rechengrößen ist das Verhältnis π = gestreckte Kreisumfanglänge / Kreisdurchmesser. Genäherte numerische Abbilder des Kreisverhältnisses  werden mit  Näherungs- Kreiszahlen π_Zahl. dargestellt, Die gesuchte elementar konstruiert berechnete Abbildgröße ist der rektifizierte Halbkreisbogen ist als  Strecken-Verhältnis πgez.^{(Siehe Abschnitt Kreisverhältnis.}. Die  gezeichneter Kohärenzsysteme  der folgenden bilder zeigen nachvollziehbar, wie  Verhältnisse von Drehungen und systenkohärenten  Verhältnissen von Strecken zusammen hängen. An den folgenden Bildern ist zu   erkennen, bei den rot-lin- Transfomationen kommen schnell konstruierte endlose Grenzprozesse ins Spiel, insbesondere solche mit den Oparationen Doppel und Halbieren.   

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