Sequentiell konstruierte Grenzprozesse modellieren höhere Rechenprozesse
Überblick
Neben den bekannten Grenzprozessen, die sich inhaltlich mit Umwandeln periodischer Zahlen in Brüche und reinperiodisch und gemischtperiodische Folgen, Rekursionen, sowie Strategien zur Grenzwertbestimmung befassen, gibt es die bei Euklid (ca.330 v.u. Z.) unbetrachtet und bis heute unbetrachtet gebliebenen klassisch konstruierten Grenzprozesse. Inhaltlich sind diese insbesondere auf das Berechnen der Länge von und die Fläche unter Kreisbögen, sowie elementare rotorisch <—> translatorische (rot-lin) Transformationenen gerichtet. Diese zweite andere Art "klassisch konstruierte Grenzprozesse" werden wir hier betrachten.
Historischer Abriß
In dem berühmten Grundlagenwerk ELEMENTE des Euklid um 330 v.u.Z.), welches eine Sammlung mathematischen Wissens aus dem dem antiken Griechenland ist, sind keine klassische Konstruktionen mit Sequenzen zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objekte aufgenommen, bei denen einem Grenzpunkt unbeschränkt zugestrebt wird.
Bei den heute bekannten numerischen Berechenprozessen mit Grenzprozessen, wie mit der Reihe
x = 1/2+1/4+1/8+1/16+---=2, sind die modellhaften Rechengrössen keine geometrischen Ausdehnungsgrößen sondern "
Zahlen" (
https://www.mathe-online.at/mathint/grenz/i.html). Hier, bei den
Cohaerentic-Betrachtungen werden nun auch klassisch konstruierten Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekte betrachtet, die eine endlose Punkte-Folgen erzeugen, welche einem Grenzpunkt zustreben. Klassich konstruiertes Vorgehen erzeugt
klassisch konstruierte Grenzprozesse. Im berühmten Sammelwerk ELEMENTE von
Euklid (ca 330 v.u.Z.) sind für das Lösen der drei klassischen Aufgaben,
Winkeldritteln, Quadrattur des Kreises und Würfeldoppelung, keine zutreffenden
klassisch konstruierter Grenzprozesse aufgenommen. Auch neuerer Zeit sind in der Fachliteratur keine Überlieferungen dazu zu finden. In
Hilbert´s berühmten "
Grundlagen der Geometrie" fehlen die klassisch konstruierten Grenzprozesse auch? Wurden und wird diesen Verfahren keine mathematische Bedeutung beigemessen? Es wird bis heute zu diesen besagten klassisch konstruierten Grenzprozessen nicht geforscht. Zu klassisch konstruierten Grenzprozessen gibt es in Lehrbüchern und damit auch in den Lexika zur Mathematik keine Beiträge.
Unsere Cohaerentic-Betrachtungen sind nun auch auf klassisch konstruierten Grenzprozesse gerichtet, deren erzeugte Schnittpunkte-Folgen jeweils ihrem Grenzpunkt unbeschränkt zustreben.
"Grenzprozesse (Grenzübergänge) und der Begriff des Grenzwerts (Limes) dienen dazu, das Unendiche in den Griff zu bekommen. Sie sind Errungenschaften der modernen Mathematik. Ihr Trick besteht darin, die Vorstellung von "unendlich klein", "unendlich groß" oder "unendlich nahe" als Prozess aufzufassen, bei dem eine Variable "beliebig klein", "beliebig groß" oder "beliebig nahe" zu etwas sind".
Mit den Cohaerentic-Betrachtungen wird mit den klassisch konstruierten Grenzprozeß-Kalkulationen Ähnliches angestrebt, nur daß die die Rechengrößen geometrische Objekte und keine Zahlen sind. Damit wird das oben angesprochene Wissen zu Unendlich vervollständigt. Auf diese Weise werden die im antiken Griechenland angestrebten anschaulichen schrittweise nachvollziehbaren Lösungszusammenhänge für klassischen drei Aufgaben real möglich. Mit den erfundenen klassisch konstruierten Grenzprozessen kann das Ermitteln des Winkeldrittels, des Kreisverhältnisses π und der 3. Wurzel aus 2 für die Doppelung des Würfelvolumens unbeschränkt immer genauer konstruiert werden und damit theoretisch immer mehr bis endlos viele wahre dezimale Nachkommastellen berechnet und dargestellt werden. Die hierbei erzeugte Folge von Schnittpunkten strebt unbeschränkt ihrem Grenzpunkt / Grenzwert zu. Dieser fällt exakt mit dem Punkt zusammen, der das Winkeldrittel ist bzw. es markiert. Daß dies tatsächlich so ist, wird anhand zutreffender klassich konstruierten Kohärenz-Modellen (exakte Zielgestalt-Konstellation) später noch gezeigt werden.
Realisierung
Die mit Zirkel und Lineal gezeichneten klassich konstruierten Grenzprozesse können heute sehr effizient mit einem DGS- Programm (DGS ... Dynamisches Geometrie-System) auf einem eltekronischen Rechner ausgeführt werden.
Dabei wird dem erwarteten wahren Ergebnis mit jedem weiteren Iterationszyklus noch näher gekommen. So wird nach und nach das wahre Ergebnis immer vollständiger dargestellt. Solche gezeichneten Grenzprozesse gibt es nicht nur für aufeinander folgende Punkte bei elementaren Kurven, sondern auch für ganze Figuren, wie Kreise, Dreiecke und auch für zusammegesetzte Kreis-Gerade-Objekte.
Für die drei klassischen Aufgaben der Antike
Winkeldreiteilung
Quadratur des Kreises
Volumendoppelung des Würfels
sind die die jeweils aktuell konstruierten Zwischenergebnisse (Zustände) für die n-aktuell aufgewendeten Schritte reproduzierbar. Die dabei erzeugten Schnittpunkte, Strecken, Kreisbögen und Figuren einer Folge weisen in ihrem Verlauf insgesamt einen stetigen Trend auf und damit eine bemerkenswerte Kontinuität.
Erstes Beispiel "Klassisch konstrierter Grenzprozess für Abrolllängen von Vielecken bis zum Kreis"
Gezeigt wird hier ein klassisch konstruierter Grenzprozess, der das im Erfahrungsraum gesammelte Kohärenz-Wissen nutzt. Begonnen wird mit Vielecken von minimaler Anzahl der Ecken. Schon damit kann das Ende der Abroll-Streckenlänge für den Halbkreisumfangs als Grenzpunkt/Grenzwert-Ergebnis erzeugt werden. Meine hierzu erfundene klassich konstruierte Schnittpunkte-Folge nähert sich im Ergebnisgebiet (nahe Endlos, nahe Unendlich)als fortgesetzte Kohärenzkurve immer mehr einer Kreiskurve, die mit dem Zirkel durch die drei letzten Zwischenergebnispunkte konstruierbar ist. Möglch ist dies, durch die kontinuierlichen Zusammenhänge im Erfahrungsraum. Das vorgezeigte anschaulich bildliche Kohärenzsystem macht die Zusammenhang- Gesetzmässigkeiten des Vieleck-Abrollens bis hin zum Kreis nachvollziebar.
![](/images/bilder/slideshow/4_Users_drschl_Documents_buch-2015_lyx_CLS-Bildmodelle_Pi-Berechnung_Kreisumfang_Siggi-Pi-Idee.jpg)
Die Merkmale eines Grenzprozesses bei dem eine konstruiert konvergente Folge von Schnittpunkten einem einem Grenzpunkt zustrebt, werden erfüllt..
Die erste Überlegungen zu solchen fundamentalen Berechnungsprozessen, die das Endlos einschliessen, stammen von Antiphon und von Hippias von Elis ( alle 5. Jh. v.u.Z.). Ihre Wissensansätze zu klassisch konstruierten Grenzprozessen, die endlos fortgesetzt werden können, passten nicht so recht in die Vorstellungswelt des alten antiken Griechenlandes. So kam es in der Wissensübelieferung zum bewussten Auslassen schon bekannten Wissens. Besonders deutlich zeigt sich dies bei Euklid (ca 330 v.u.Z.). In seinen ELEMENTEN sparte er somit schon bekanntes Wissen aus.
Das Wissen zur fundamentalen Kurve Trisectrix = Quadratrix oder auch das Wissen zur Berechnung der Kreisfläche nach dem Vorschlag von Antiphon nimmt Euklid nicht in sein berühmtes Sammelwerk ELEMENTE auf, in welchem er das damals bekannte und akzeptierte mathematische Wissen dargestellte. Die Ansichtsweise zur Kurve Tresectrix und Kreisunfang /Kreisfläche passte nicht zu seinen Erwartungen.
Das von Euklid mit den ELEMENTEN geschaffene Vorbild wirkt quasi bis heute fort. Im modernen richtungsweisenden Werk zur Elementargeometrie, D.Hilbert, Grundlagen der Geometrie, B.G.Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgard 1962, werden keine klassisch konstruierten Grenzprozesse und Schnittpunkte-Folgen erörtert. Im Internet allgemein, aber auch beim Portal Wikipedia werden unter dem Suchbegriff "mathematischer Grenzprozess" immer nur solche Prozesse erörtert, bei denen die Rechengrössen Zahlen sind.
Über klassisch konstruierte Grenzprozesse und über konstruierte Zahlen = konstruierte Punkte
Wir können uns in der Ebene einen beliebig gegebenen Punkt vorstellen, der Schnittpunkt zweier orthogonaler Achsgeraden X und Y ist. Weitere davon ausgehende "klassisch konstruierte Schnittpunkte" werden in der Mathematik als "konstruierte Zahlen" verstanden. Ihre als Sequenz als zusammenhängend gezeichneter Urkurven-Objekte von Kreis und Gerade sind anschaulich nachvollziehbar.
Das folgende Bild-Beispiel zeigt, wie eine Folge von Punkten für die Rektifikation durch klassisches Konstruieren entsteht. Diese Konstruktion wird später noch mehrfach ausfühlicher beschrieben werden. Das Durchnummerieren der konstruierten Objekte macht das Nachverfolgen der nacheiender konstruierten Objekte (Kurven und Schnittpunkte) leichter.
![](/images/bilder/slideshow/Rektifikation-02.jpg)
Als ausgeführte Rechenoperationen kommen quasi nur die Ur-Operationen Doppeln und dessen Umkehrung das Halbieren (Anti-Doppeln) vor. Mit diesen Operartionen wird eine klassisch konstruierte Folge von Schnittpunkten konstruiert, die Endpunkte der immer mehr gerade gebogenen roten gleichlangen Kreisbögen sind. Diese Bogenendpunkte konvertieren gut erkennbar einem Grenzpunkt auf der Y-Achse zu, der einen Grenzabstand zum Nullpunkt von der exakten Länge des Kreisumfangs hat. Alle Punkte dieser Folge werden in der Mathematik als „konstruierbare bzw. konstruierte Zahlen“ verstanden. Es ist hier leicht einzusehen, die Folge der Punkte ist endlos fortsetzbar. Die Änderung des Abstandes von Punkt zum nächsten Punkt bzw. von Punkt zum Nullpunkt strebt dabei immer mehr der Grösse Null zu, ohne Null jemals zu erreichen.
Für diese direkt wahrnehmbare Grenzwertgrösse, die heute symbolisch mit 2π = Kreisumfang /Durchmesser beschrieben wird, gibt es keinen letzten Punkt und damit keine abgeschlossen konstruierte Ergebnis-Darstellung als diskrete Zahl. Eine solche kann nicht mit endlich vielen klassisch konstruierten Schritte erzeugt und dargestellt werden. Die Forderung nach einer diskreten Ergebnis-Darstellung (Zahl) einerseits und andererseits der Sachverhalt einer nicht endenden Punkte-Folge bzw. Schritte-Sequenz sind zueinander widersprüchlich.
Die Menge der konstruierbaren Punkte (konstruierbare Zahlen) füllt die unbegrenzte, aber auch die begrenzte ebene Fläche niemals vollständig aus. Vom Prinzip her bleiben immer Lücken zwischen den konstruierten Punkten (=Raster-Punkte), egal wieviele diskret benennbare Schritte für die konstruierten Punkte schon ausgeführt sind.
Über nichtkonstruierbare Zahlen = nichtkonstruierbare Punkte
"Kein beliebig (zufällig) platzierter Punkt in der karthesischen Ebene kann durch eine klassische Konstruktion ohne Restfehler erzeugt oder ausgemessen werden. Diese beliebig (zufällig) platzierten Punkte sind somit als "nichtklassisch konstruierbare Punkte" bzw. als "nichtklassisch konstruierbare Zahlen" zu verstehen.
Es sind, wie zuvor aufgezeigt, prinzipielle Gründe, warum das Winkeldrittel, die Quadratseite und die Würfelkante in ihrer vollständigen Grösse nicht als klassisch konstruierbarer Punkt bzw. nicht klassisch konstruierbare Zahl dargestellt werden können. Irreführend wird es hier allerdings dann, wenn aus dem prinzipiellen Sachverhalt der unvollständigen Ergebnis-Darstellung gefolgert wird, dass es keine klassisch konstruierten Lösungsverfahren geben könne. Das obige Bild zeigt, dies ist falsch und irreführend. "Unmöglich" suggeriert die Erwartung, für die betrachteten drei klassichen Aufgaben der Antike würde es keine klassisch konstruierten exakten Lösungsprozesse geben könne. Wie obiges Bild zeigt, kann unbeschränkt mit immer mehr Aufwand zu immer genaueren Ergebnisdarstellungen gelangt werden, zumindest gedanklich.
Phönomen - Grenzprozess
a) Klassisch konstruierte Grenzprozesse
Diese Prozesse sind klassisch konstruierte Folgen von Schnittpunkten, die einem geometrischen Grenzpunkt /Grenzwert /einer Grenzlage von Abständen, Drehungen und Translationen zustreben. Das folgende Bildbeispiel
![](/images/13-21_page_1.png)
zeigt meinen erfundenen, klassisch konstruierten Grenzprozess zum Winkeldritteln. Sein Grenzpunkt markiert das exakte Winkeldrittel im Gesamtsystem der 3er-Winkelkohärenz. Es handelt sich hier um einem autokonvergenten Grenzprozess, bei dem im Prozessverlauf keine probierenden Schritte eingebaut werden müssen. Ein anderer klassisch konstruierter Grenzprozess ist auf das exakte Berechnen des Kreisverhältnisses π=Kreisumfang /Kreisdurchmesser gerichtet. Diese Art von klassisch konstruierten Grenzprozessen mit geometrischen Rechengrössen fehlen im Lehrgebäude der Mathematik. Sie fehlen bereits im fundamentalen Sammelwerk ELEMENTE, das einst der berühmte Euklid (ca 330 v.u.Z.) zusammenstellte und heraus gab. Die Vorbildwirkung der ELEMENTE führte hier zu einer gewissen Betrachtungsblockade, die bis heute nachwirkt. Eine Suche in der Internet-Enzyklopädie Wikipedia liefert somit für „klassisch konstruierte Grenzprozesse“ keine Treffer.
b) Die heute bekannten Grenzprozesse haben Zahlen als Rechengrössen
Hier sind die Rechengrössen, das sind endlos viele Zahlen, mit elementaren Rechenoperatoren verknüpft. Bei den unendlichen Reihen dominieren die Operatoren „Plus“ und „Minus“. Bei den unendlichen Produkten sind es die Operatoren „Multiplikation und „Division“.
Beim nächsten Bild wird quasi mit zwei simultan gezeichneten Grenzprozessen, die gesamte Kreisumfangkurve (rot und schwarz) gerade gestreckt. Anhand eines späteren Videos wird es gut nachvollziehbar, dass die gestreckte Länge des Kreisumfangs als Summe von rot und schwarz immer gleich gross ist, unabhängig von der Drehposition der roten Radiusstrecke im Kreis.
![](/images/bilder/slideshow/Screenshot 2017-08-07_21-15-52.jpg)
Dabei wird mit immer mehr ausgeführten Schritte-Zyklen (Durchmesser verdoppeln und Winkel halbieren) einem Ergebnis als Grenzwert zugestrebt, ohne diesen jemals endgültig zu erreichen. Wir erkennen an diesem Beispiel, Grenzprozesse gibt es nicht nur für Lösungsberechnungen auf arithmetisch-algebraischer Grundlage sondern auch auf der Grundlage erfahrbarer kontinuierlicher räumlischer Kohärenz.
Im mathematischen Sinne verstehn wir eine Folge nun nicht nur als eine Aufzählung von Zahlen, sondern auch ein aufeinander folgendes Erzeugen von Punkten (Schnittpunkten), die als Punktekurve einen Grenzpunkt mit einem Grenzabstand zustreben und so die Merkmale für einen Grenzprozess erfüllen, der als klassisch Konstruktion ausgeführt wird.
Anhand der beiden obigen letzten Bild-Beispiele stellt sich die Frage, ob das dazu heute Gelehrte noch voll zutrifft? Bei Wikipedia (2024) steht unter dem Suchbegriff "Konstruktionen mit Zirkel und Lineal"/ "Unmögliche Konstruktionen" geschrieben,
"Viele geometrische Figuren können nicht allein mit Zirkel und Lineal exakt konstruiert werden" wozu auch die "Quadratur des Kreises " zählt.
Die obigen beiden Bilder stehen in einem gewissen Widerspruch zu dieser allgemein akzeptierten Einsicht. Diese Bilder demonstrieren ein klassich konstruiertes Geradebiegen des Kreisbogens bei gleicher Länge. Dieses Wissen ist eine Vorassetzung, um die Quadratur des Kreises als dynamische klassische Konstrktion ausführen zu können. Das Geradebiegen wird mit einem exaktem klassisch konstruiertem Grenzprozess ausgeführt und mit einer Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kreis - und Gerade-Objekte realisert. Hier handelt es sich um einen exakten klassischen Konstruktionsprozess bei dem das erzeugte Ergebnis "Kreisbogenlänge" der erwarteten Grenzwert-Grössse mit mehr aufgewendeten Schritten immer mehr zustrebt. Die Schritt um Schritt fortschreitende exakte Konstruktion ist tatsächlich sinnfällig nachvollziehbar. "Unmöglich" ist hingegen, eine vollständige Darstellung der zusammengesetzten Ergebnisgrösse, wie sie bei den notwendigen endlosen Grenzprozesses vom Prinzip her auftreten.
Für folgende Uraufgaben sind gezeichnete Grenzprozesse für die gezeichneten Lösungsberechnungen erforderlich:
- Abroll-Länge vom Kreis,
- Länge des gerade gestreckte Kreisbogen (Rektifikation),
- ganze Kreisfläche und ihre Teile (Tortenstücke, Kreissehnenabschnitt)
- Winkeldrittelung, Winkelsiebentelung
- Verhältnis-Transformation Strecke<->Kreisbogen
Mit immer mehr ausgeführten Rechenschritten, sprich gezeichneten Objekten, kann dabei die Genauigkeit der Ergebnis-Darstellung verbessert werden, indem sie immer weiter vervollständigt wird. Dieses Vorgehen ist theoretisch ohne Ende fortsetzbar. Von besonderem Interesse sind deshalb solche klassich konstruierte Grenzprozesse, die durch eine verbesserte Konvergenz-Eigenschaft eine gewählte Ergebnis-Genauigkeit schon mit kürzeren Rechengängen erreichen.
Mit konstruierten Grenzprzessen grundlegende Transfomatonen berechnen
Bei Cohaerentic Kalkulationen wird mit dem Begriff "Rechengrösse" gearbeitet. Im Erfahrngsraum ist eine Rechengrösse ein Verhältnis von Ausdehnungsobjekten gleicher Art. Rechengrössen-Verhälrnis können aus zwei Strecken oder aus zwei Kreisbögen bzw. zwei Drehungen gebildet werden. Von besonderer Bedeutng ist hier das Umrechnen, die Transformation von einer Art von Rechengrösse-Verhältnis in eine andere Art, beispielsweise von einem Drehungen-Verhältnis auf ein Strecken-Verhältnis und umgekehrt.
Natürliche Verhältnisse und Zahl-Verhältnisse
Während jede Zahl ein Verhältnis ist, kann kein beliebig gegebenes Verhältnis durch eine Zahl ohne Restfehler abgebildet werden. Mit mehr investiertem Rechenaufwand (Aufwand zur Digitalisierung) kann der verbleibende Restfehler immer kleiner gemacht werden.
Eine der wichtigsten Rechengrößen ist das Verhältnis π = gestreckte Kreisumfanglänge / Kreisdurchmesser. Genäherte numerische Abbilder des Kreisverhältnisses werden mit Näherungs- Kreiszahlen πZahl. dargestellt, Die gesuchte elementar konstruiert berechnete Abbildgröße ist der rektifizierte Halbkreisbogen ist als Strecken-Verhältnis πgez.(Siehe Abschnitt Kreisverhältnis.. Die gezeichneter Kohärenzsysteme der folgenden bilder zeigen nachvollziehbar, wie Verhältnisse von Drehungen und systenkohärenten Verhältnissen von Strecken zusammen hängen. An den folgenden Bildern ist zu erkennen, bei den rot-lin- Transfomationen kommen schnell konstruierte endlose Grenzprozesse ins Spiel, insbesondere solche mit den Oparationen Doppel und Halbieren.
Bogen im Verhältnis teilen
![](/images/bilder/lin_rot-Kohrenz-003b.jpg)
![](/images/bilder/lin_rot-Kohrenz-003c.jpg)
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