Kreisverhältnis π und Kreiszahl π_num

Das Kreisverhältnis und seine digitale Grössendarstellung Kreiszahl haben den griechischen Kleinbuchstaben Pi als Symbol . Ein Kreis mit dem Durchmesser 1 hat damit den Umfang π. Die Kreiszahl π wird auch Ludolphsche Zahl oder Archimedes-Konstante genannt.

Der Umfang eines jeden Kreises ist um ein bestimmtes Vielfaches grösser als sein Durchmesser. Dieses Vielfache ist als mathematische Konstante ein fundamentaler Proportionalitätsfaktor, das Kreisverhältnis π=Kreisumfang/Kreisdurchmesser, welches für alle Kreisgrössen die gleiche Grösse hat. Die digitalisierte (numerische) Darstellung des Kreisverhältnisses π ist die Näherung Kreiszahl, die immer nur mit endlich vielen wahren Nachkommazahlen dargestellt werden kann. Rückwärts kann aus einer solchen Kreiszahl mit klassischem Konstruieren eine Strecke als Darstellungsgrösse für das Kreisverhältnis erzeugt werden, die aber vom Prinzip her immer nur unvollständig in ihrer Grössendarstellung ist.

Was ist π mehr, ein geometrisches Verhältnis oder eine Zahl?

Die multifache Länge des Kreisumfangs gegenüber dem Durchmesser bzw. Radius kann nicht ohne weiteres vom Bild des Kreises abgelesen werden. Hierfür bedarf es erfundener Schritte des Konstruierens mit den Ur-Kurven Kreis und Gerade. Mit nachvollziehbarer Raumerfahrung wird hier zuerst auf das geometrische Kreisverhältnis π geschaut.

Das Kreisverhältnis π=Halbkreisumfang/Radius kann mit beschränkt genäherten und unbeschränkt exakten Berechnungsvorschriften ermittelt und dargestelt werden. Am häufigsten zitiert wird hier eine geometrischen Konstruktion von Kochanski (1683). Sie leistet nur ein beschränktes Nähern. Anders mit einer exakten Berechnungsvorschrift, wie sie aus einer geometrischen Konstruktion hervorgeht, die Fontana (1783) veröffentlichte. Es wird dabei eine π_geo-Darstellung als Strecke ermittelt. Mit immer mehr investiertem Kostruktionsaufwand fürs akuelle Berechnen wird der Grenzwert-Strecke für π_geounbeschränkt zugestrebt. Das reproduzierbare Ergebnis π_geowird so als Strecke immer genauer dargestellt.

π mit klassisch konstruiertem Grenzprozess berechnen und darstellen

Weniger gut nachvollziehbar sind Herleitungen der Berechnungsvorschriften für ein unbeschränkt genaues Berechnen von πnum, bei denen von unendliche Reihen und Produkten ausgegangen wird. Diese Grenzprozesse streben einem Grenzpunkt/Grenzwert zu.

Beim Urberechnen zum Kreis war schon der griechische Sophist Antiphon (5.Jh. v.u.Z.) viel weiter als spätere Geometer/Mathematiker. Antiphon brachte mit dem vollständige Ausfüllen der Kreisfläche, mit immer kleineren, klassisch konstruierten Dreiecken, einen Grenzprozess ins Spiel, den es damals als Begriff offenbar noch nicht gab. Die mit immer mehr Aufwand berechnete Flächen-Multisumme der Dreiecke führt letztlich zu einem unbebeschränkten, natürlich nachvollziehbarem Annähern an einen real erfahrbaren Grenzwert für die Kreisfläche und damit zugleich auch an einen Grenzwert für das Kreisverhältnis π . Seine modellhafte Grössen-Darstellung als Zahl ist somit immer nur eine Annäherung an den hierzu gedacht existierenden Grenzwert. Eine noch so ausführlich berechnete Kreiszahl π_num(n)hat nach sehr sehr vielen Schritten immer nur endlich viele wahre Nachkommastellen. Heute wissen wir, dieser Ansatz von Antiphon war der Denkanfang zu Infinitesimalität.

Die Rechengrössen in einem Kohärenzsystem sind immer Verhältnisse. Dargestellt werden sie auf eine Einheitsgrösse von gleicher Art bezogen. Fundamentale Kohärenzsysteme sind die Urkurven Kreis und Gerade mit geometrischen Verhältnissen als Rechengrössen. Das Digitalisieren (Ausmessen) dieser geometrischen Verhältnisse führt zu Zahlen als Rechengrössen, welche die ursprünglichen geometrischen Verhältnisse immer nur unvollständig als Dezimalzahldarstellung abbilden. Jede Zahl, beispielesweise die 5, ist ein Verhältnis 5/1. Für jedes beliebig gegebene Verhältnis a/b gibt es immer nur eine unvollständig abbildende Darstellung als Dezimalzahl. Bei der Digitalisierung bleibt immer ein nicht dargestellter (nicht digitalisierter) Rest übrig.

Beispiele für verschiedene π-Verhältnisse

Geometrische π-Definitionen

Die Definitionen für das Kreisverhältnis π geht aus Erfahrungen zum Kohärenzsystem Kreis hervor.

π = Kreisumfang / Durchmesser

= Halbkreisumfang / Radius

= Kreisfläche / (Quadrat über den Radius)

= 4*Kreisfläche / (Quadratfläche über dem Durchmesser)

= Kugeloberfläche / (Quadratfläche über dem Durchmesser)

= 6*Kugelvolumen / (Würfelvolumen mit Kantenlänge=Durchmesser)

Konstruiertes Kreisverhältnis πgeo(n)

Das konstruierte Verhältnis π_geo(n)ist das Ergebnsi eines klassisch konstruierten Grenzprozesses. Er bricht nach n Schritten ab und liefert als Zwischenergenis den gerade gestreckten Kreisumfang als Strecken-Verhältnis. Diese kann nun zum Kreisradius, die Einheit (Grundmass) ist, ins verhältnis gesetzt werden.

Ideelle Kreiszahl πnum(...)

Die symbolische Darstellung der ideellen Kreiszahl πnum(...) = 3,14159... weist mit den drei Punkten auf endlos viele wahre Nachkommaziffern hin, die man sich quasi als alle vorhanden vorstellt. Per Vereinbarung bildet nun die idelle, nicht endende Kreiszahl πnum(...) die Grösse des Kreisverhältnisses π vollständig ohne Rest ab. Trotzdem sind das Kreisverhältnis π und die ideelle Kreiszahl πnum(...) nicht ganz der gleiche Sachverhalt.

Die Fortschritte in der Rechentechnik machen hier immer wieder neue Rekorde für die Anzahl der berechneten wahren Nachkommaziffern möglich.

Berechnete Kreiszahl πnum(n)

Die im deutschen Sprachraum praktizierte Gleichsetzung von geometrischem Kreisverhältnis π = Kreisumfang/Durchmesser mit einer ideellen Kreiszahl πnum(...) ist nicht ganz korrekt und sorgt für Verwirrung. Auch jede aus einer konkrete Schritteanzahl n hervor gehende Kreiszahl-Darstellung πnum(n) ist nicht identisch mit dem Kreisverhältnis π. Die Symbole π, π_geo und πnum symbolisieren etwas verschiedene Sachverhalte und ihr Gleichsetzen führt daher zu Verwirrung, denn:

Jede Zahl ist ein Verhältnis, aber für kein beliebig gegebenes Verhältnis gibt es eine exakt abbildende Darstellung als Dezimalzahl (Kommazahl)

Dieser Sachverhalt gilt auch noch nach endlos vielen Rechenschritten, denn ein elementar konstruiertes geometrisches Kreisverhältnis π_geo(n)≈Kreisumfang/Durchmesser bleibt auch nach endlos vielen Schritten ein Verhältnis, für das es keine vollständige Darstellung als Kommazahl gibt.

Kreisverhältnis π und Kreiszahl πnum