Winkeldritteln mit der Grenzprozess-Methode von F i a l k o w s k i
Nach langer erfolgloser Suche, die vom alten Griechenland bis in die Neuzeit reichte, hat Nikolaus Fialkowski (Buch: Nikolais Fialkowski „Theilung des Winkels und des Kreises“, Druck und Verlag von Carl Gerold´s Sohn, Wien 1860,Seite 11). erstmals gezeigt, wie ein exaktes Winkeldritteln mit einem klassich konstruiertem Grenzprozess bis zu jeder gewünschten Genauigkeit ausgeführt werden kann. Mit der von Fialkowskis vorgestellten klassich konstruierte Grenzprozess-Metkode kommt die Frage auf, ist der wantzelschen Beweis zur gefolgerten unmöglich klassisch konstruierbaren Winkeldreiteilung falsch? Nein, denn dieser Beweis bezieht sich nur auf einem bestimmten Prozessablauf, bei dem die Rechnung des Ausziehens einer Kubikwurzel unmöglich fertig konstruiert und dargestellt werden kann.
Das folgende Bild zeigt die Grenzprozess-Methode des Fialkowski zum Winkeldritteln, deren Hauptaktionen endlos fortsetztbare Halbierungen sind. Hier ist erst nach gedanklich endlos vielen Schritten das Winkeldrittel exakt erzeugt und dargestellt.
Zum Zweck des besseren Nachverfolgens der Schritte-Sequenz habe ich die Halbierungsstrahlen mit einer zusätzlichen nach aussen strebenden Zichzacklinie verbunden. Diese Zickzacklinie dient nur der Nachverfolgung. Die erst Strecke beginnt mit der laufenden Nummer 1 und endet hier mit 11. Erreicht werden damit bereits 3 wahre Nachkommastellen, wie es die gemessenen Werte im Bild zeigen.
Bei immer späterem Beenden der Halbierungen werden die Ergebnisdarstellungen vom Drittelwinkel, die Zwischenergebnisse sind, mit immer geringeren Abstand zum Grenzwert Winkeldrittel erzeugt. Fialkowski hat seiner Methode die folgende konvergente Reihe mit dem Grenzwert 1/3 zugrunde gelegt:
1/3 = 1/2 -1/4 +1/8 -1/16 +1/32- ...
Fialkowski erkannte, dass seine Methode ein klassich konstruierter exakter Drittelungsprozess ist. Wir nennen ihn hier klassich konstruierter Grenzprozess für ein Winkeldritteln.
Wegen der nur schwachen Konvergenz hält Fialkowski er aber nicht viel von seiner Methode. Er schreibt hierzu:
„Allein diese Construction hat für das praktische Zeichnen gar keinen Wert; erstens weil man zu viele Halbirungen vornehmen muss, und zweitens weil man die nach und nach kleiner und kleiner entstehenden Winkel geometrisch nicht so leicht nach dieser Art halbiren kann, aus welchen Gründen diese Methode beim praktischen Zeichnen nicht anwendbar ist.“
Die von Fialkowski vorgezeigte Methode und noch andere weitere, die mit klassisch konstruierten Grenzprozessen über die von Euklid vorgezeigten Konstruktionen hinaus gehen, führt zu folgender Einsicht. Das im 19. Jahrhundert bewiesene "Unmöglich" trifft für elementare Konstruktionen zu, wie sie Euklid versteht. Konstruktionen, die mit klassisch konstruierten Grenzprozessen über die von Euklid praktizierten Beschränkungen hinaus gehen, liegen somit nicht mehr im Gültigkeitsbereich für das besagte bewiesene "Unmöglich". Die von Fialkowski vorgezeigte Methode ist mit ihrem klassich konstruiertem Grenzprozess ein exakter Erzeugungsprozess für das Winkeldrittel. Fialkowski war der feine Unterschied zwischen seinem möglichem exaktem Winkeldritteln und dem unmöglichem exaktem Darstellen des Winkeldrittels bewusst, das mit einer endlichen Sequenz von Kreisen und Geraden bzw, mit einer Notation als Dezimalzahl erfolgen soll.
Exaktes Winkeldritteln mit F i a l k o w s k i / S c h l e i c h e r - Grenzprozess-Methode
Mein nächstes Bild macht den Zusammenhang im Erfahrungsraum für das Urberechnen "Dritteln" anschaulich und sinnfällig nachvollziehbar. Es geht von obigen 1/3-Reihe aus. Jeweils zwei Reihenglieder zusammen gefasst ergeben:
1/3 = 1/4 +1/16 +1/64 + ...
Für 2/3 gilt dann:
2/3= 1/2 +1/8 + 1/32 + ...
Das Bild ist quasi selbst erklärend. Mit zwei simultan ablaufenden Grenzprozessen rot und blau wird eine Rechteck-Zeile und dann das ganze Quadrat in zwei Teilflächen rot und blau zerteilt. Die rote Grenzwert-Grösse ist 2/3 und die grüne Grenzwert-Grösse ist 1/3.
Wie sich zeigt, sind die der exakten Fialkowski-Methode zugrunde gelegten Verknüpfungszusammenhänge offensicht etwas andere, als sie P.Wantzel im Jahre 1837 seinem immer wieder zitiertem "Unmöglich-Beweis" für die Winkeldreiteilung zugrunde legte. Damit erklärt sich nachvollziehbar, warum nicht alle klassisch konstruierten exakten Winkeldreiteilungen unmöglich sind.
Das vorherige Bild und auch das nächste leiten zu einem Beschleunigen des Grenzprozesses über. Die Beschleunigung bringen hier einfach und mehrfach ausgeführtes Mitteln, wie es die Bilder im Einzelnen zeigen.
Die gleiche 2/3 und 1/3 Zerteilung wie im Quadrat-Bild links findet auch bei der rechten Kreis-Bildhälfte für einen Winkel von 60° statt. Durch meine hinzugefügte Massnahme zum Beschleunigen der Konvergenz werden bereits nach 8 Halbierungschritten schon 7 wahre Nachkommastellen erzeugt. Hingegen werden beim originalen Fialkowski-Winkeldritteln mit 11 Halbierungschritten gerade mal 3 wahre Nachkommastellen erzeugt.
Gemessen an den endlos vielen möglichen Schritten, wird nun bereits nach nur 8 Schritten des Halbierens eine erzeugtes Zwischenergebnis vom Drittelwinkel mit 20,0000000° gemessen. Ausgeführt ist diese Urberechnung "Winkeldritteln" mit dem DGS-Programm Geogebra.
Zu klassisch konstruierten Grenzprozessen für das Winkeldritteln und zu Massnahmen zum Beschleunigung der Konvergenz sind bisher keine Forschungen und auch keine Beiträge in Lehrbüchern bekannt geworden.
Ein noch genaueres Winkeldritteln
Ausgangspunkt für den fortgesetzten Rechengang ist die zuvor vorgestellte Vorgehensweise mit einer einfach verbesserten Konvergenz für den 1/3-Grenzprozess. Nun wird auch das Wissen zu den systematischen Fehlern der erreichten 1/3- und 2/3-Ergebnisdarstellungen, sowie zu den Symmetriegesetze im Erfahrungsraum hinzu genommen und berücksichtigt. Als gemessene Grössen stellen sich, wegen gesetzmässiger Symmetrie, die klassich konstruierten 1/3- und die 2/3 -Ergebnisse mit einem systematischen Winkelfehler f° wie folgt dar:
(20°-f°)= 19,999955372318773°
und
(40°+f°)= 40,0000446276812°
Mit dem blauen Kreis wird die Drehung 19,999955....° verdoppelt und ergibt 39,99991074463748°=(40°-2f°). Um zum erwarteten Ergebnis 40° zu gelangen muss nun der Drehungsabschitt von (40°-2f°) bis (40°+f°) noch einmal dreigeteilt werden.
Geschieht dies mit der bekannten Vorgehensweise (Bild, wie es die Vergrösserung im vorherigen Bild zeigt, wird insgesamt schon nach wenigen Schtitten ein Ergebnis erreicht, das mehr als 15 wahre Nachkommastellen "Null" aufweist. Vom PC wird die gemessene, zuvor berechnete Drehungsgrösse mit 40° angezeigt, was ausführlich dargestell 40,000000000000000° bedeutet. Theoretisch kann mit mehr Rechenaufwand dieses genaue Ergebnis natürlich immer weiter verbessert werden, da dafür ein vollständiger und exakter Konstruktionsplan (=Rechenplan) bekannt ist.
Diese hier vorgezeigten Rechengänge zum Winkeldritteln (WDT) sind besser zu verstehen, wenn diese Schritt um Schritt nachgezeichnet und dabei ihre Sinnfälligkeit nachvollzogen wird.
