lin<->rot-Transformation     

Translation (lin)  in/aus Rotation (rot)    

Translation-Rotation koppeln  

Bei der  lin-rot -Transformation  (lateinisch transformare bedeutet „umwandeln, umformen“)  werden das bidirektionale Koppeln von translatorischer (lin) und rotorischer (rot) -Bewegungen betrachtet.  Dabei wird  ein Strecken-Verhältnis    in ein gleich grosses   Drehungen-Verhältnis  transformiert  und umgekehrt. Um hierbei bei elementaren Kohärenzen zu bleiben, wird nur mit einer klassisch konstruierten Sequenz aus zusammenhängenden Kreis- und Gerade-Objekten gearbeitet. Schon sehr früh hat sich Hippias von Elis (ca 430 v.u.Z.)  eine spezielle geometrische Transformation mit einer Transformatonskurve ausgedacht,  die er  Trisectrix nannte. Heute wird diese   Kurven im allgemeineren Sinne als  Quadratrix   bezeichnet, um damit auf den π-Zusammenhang als Voraussetzung für die Quadratur der Kreisfläche hinzuweisen.  

 

Durch die Transformationskurve Trisectrix wird einem Punkt A auf einer Radiusstrecke  ein Punkt R auf dem zugehörigen Viertelkreisbogen zugeordnet und umgekehrt. Dabei haben  das Streckenverhältnis beim Radius und das Kreisbogenverhältnis beim Viertelkreis die gleiche Verhältnisgrösse.  Praktisch ausgeführt ist die besagte Kopplung mit der Transformatonskurve Trisectrix eine unbegrenzte Näherung, denn zu endlos vielen  vorgegebenen Strecken-Verhältnis AM/CM kann ein gesetzmässig  abhängiger Trisectrix-Punkt Q und weiter ein  abhängiges Bogen-Verhältnis RD/CD konstruiert werden. Auf diese Weise kann sich mit fortschreitender Abarbeitung der bekannten exakten endlosen Konstruktionsvorschrift der aktulle Ergebnispunkt immer mehr dem erwarteten exakten Lösungspunkt nähern.

Wegen der prinzipiell vorzeitig abzubrechenden unbegrenzten Näherung wird die besagte Transformatons-Methode des Hippis zu einer nur genäherten Transformaton  rückgestuft. Dies trifft aber  auf den konkreten lin-rot- Transformatons-Zusammenhang nicht zu. Das hier angewandte  exakte  Zusammenhangwissen ermöglicht es   immer dichter benachbarte   Punkte,  und dies theoretisch ohne Ende, zu konstruieren.   

Ein mit  DGS gezeichnetes Kohärenzsystem koppelt im Zugmodus mit der Kurve  Trisectrix (heute auch Quadratrix genannt) ein translatorisches Punktbewegen auf der Radiussrecke  auf ein rotorisches Punktbewegen auf dem Kreisbogen und umgekehrt.  Die damals schon bekannte Kohärenz-Methode "Kohärenzkurve" wurden von Euklid (ca.330v.u.Z) nicht  in sein Grundlagenwerk  ELEMENTE aufgenommen. Klassische  konstruierte  gerade<->krumm - Transformationen  sind daher bis heute nahezu unbetrachtet geblieben. Somit sind sie bei Wikipedia (29.08.2020) auch nicht in die „Liste von Transformationen in der Mathematik“ https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_von_Transformationen_in_der_Mathematik   aufgenommen.

 

Lösungsidee 1: Kleinwinkel-Kopplung mit fixer Kohärenzkurve  

Dieser Lösungszusammenhang ist meinem  Buch Cohaerentic (siehe Rubrik "Buch Cohaerentic") entnommen. Mit Hilfe einer vorher im Kleinwinkel-Grenzbereich gezeichneten Kohärenzkurve "Kreis", wird eine  Transformation einer Verschiebung auf eine Drehung und umgkehrt, ermöglicht. Die Transformation wird nicht mit den real grossen Verhältnissen von Verschiebung und Drehung ausgeführt, wie es bei der Quadratrix = Trisectrix des Hippias von Elis (5.Jh.v.u.Z.) der Fall ist, sondern die  gegebene Rechengrösse Drehung oder Verschiebung wird  mit   Schritten des Halbierens  immer weiter bis in den Bereich  quasi linearer Kohärenzen (Grenzbereich)   verkleinert. indem dann die   eigentliche  Transformation (gezeichnete Umrechnungsprozess)  stattfindet.   Die dabei an der Kohärenzkurve "Kreisbogen" erzeugte neue kleine Drehunggrösse oder in der anderen Richtung der Transformation die erzeugt kleine Verschiebungsgrösse wird dann mit gleich vielen Schritten wie beim Halbieren wieder in den Realbereich vergrössert. Mit nur wenigen   Halbierungen/Doppelungen werden hier bereits Genauigkeiten von mehreren Nachkommastellen erzielt. Da es für die  Verkleinerung  zum Kleinen hin (Zahl der Halbierungen)   theoretisch keine Grenzen gibt,  kann mit immer mehr Halbierungen die erzielbare Genauigkeit theoretisch immer weiter gesteigert werden. Dies ist aber für die alltäglichen und auch für die wissenschaftlichen Anwendungen wegen des genutzten starken Zusammenhangs  im Kleinwinkelbereich nicht notwendig.

 

 

Anschauliche  Transformation von Translation in Rotation mit unbewegter Kohärenzkurve "Kreis", nahe Punkt K2. Die beiden Bilder zeigen die gezeichnete Transformationskohärenz für einen kleineren und einen grösseren Winkel innerhalb einer ganzen Drehung. Das nachfolgende Video zeigt, das  die gezeichnete Transformationskohärenz auch über mehrere Drehungen funktioniert.

 

 

Der Zusammenhang der Transformation Translation-> Rotatation ist offenbar wenig oder gar nicht abhängig  von der Position des   Punktes  K2, wenn dieser rechts von Punkt A liegt. 

 

 

Lösungsidee 2:  Bewegte Kohärenzkurve

 

Transformation von Translation in Rotation mit konstruierter bewegter Kohärenzkurve.

 

 

 

 

 

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