Winkel

Einführung in klassisch konstruiertes Urberechnen  

 

Klassisch konstruierte Grenzprozeß-Folgen werden mit Seqenzen von Kreis- und Gerade-Objekten  realisiert.

Die gesuchten  konstruierten  Grenzprozesse werden nicht  als eine mit endlich vielen Schritten konstruierbare Zahl  bzw. Strecke erwartet, sondern als konvergente Folge konstruierter Punkte, die dem erwarteten Ergebnis als  Grenzpunkt zustreben.  Es interessieren nur  real Schritt um Schritt nachvollziehbare  exakte  Lösungswege. Diese sind Aktionen, die als klassisch konstruierter Grenzprozess  einem Grenzzustand Grenzpunkt /Grenzwert zustreben. 

_{Geometrische Konstruktion auch als Berechnungsplan} 

Die real ausführbaren Konstruktionspläne  für die besagte  exakten Grenzprozesse müssen durch  Schritteaktionen vollständig bis ins Endlose beschrieben sein, was erst durch Wiederholzyklen möglich wird. Mit einem immer vollständiger konstruierten  Kohärenzmodell  wird die Genauigkeit der erreichten  diskreten  Ergebnisdarstellung immer weiter erhöht,  zumindest theoretisch.  

Von Alters her gibt es zu den  konstruierten Grenzprozessen   Irritationen und Denkblockaden. Sie resultieren aus   unterschiedliche Sichtweisen zur  Erzeugung und  Darstellung des Ergebnisses.   Schon sehr früh gab es im alten Griechenland  erste  Lösungsversuche  für die  klassisch zu konstruierenden drei Aufgaben, dem Winkeldreiteilen, der flächengleichen Kreisquadratur und dem Doppeln des Würfelinhalts. Besonders zu nennen sind hier  Antiphon und Bryson (5Jh.v.u.Z.), sowie Hippias von Elis und Dinostratos (5/4.Jh.v.u.Z.).   Diesen alten Griechen war offenbar vom Grundsätzlichen her klar, dass  bei der Kreisquadratur die  mit Geraden  begrenzten  gleichgrosse Quadratfläche aus den zerkleinerten Kreissegmenten zusammengetzt werden müssen.  Bei realer Ausführung wir die   Multi-Teilung und nachfolgende  Multi-Summation  immer vorzeitig   abgebrochen. Trotz des exakten Lösungsvorgehens  führt der  nur unvollständig ausgeführtem  Lösungsprozess zu einer nur unvollstängigen Grössen-Darstellung  der neu zusammengesetzten Quaratfläche . Anders als bei bekannten beschränkten Näherungen, wie der oft zitierte Näherung für das Kreisverhältnis π von Kochanski (1684). Bei einer   unbeschränkten Näherung kann mit immer mehr ausgeführten Schritten eines exakten Grenzprozeß-Planes   zu   immer vollständigeren   Ergebnisdarstellungen gelangt werden, der  ohne Ende fortgesetzt werden kann. 

An das seit Antiphon (5.Jh.v.u.Z.) bekannte Wissen zu  Zusammenhängen des Berechnens der Kreisfläche knüpft  der berühmte Geometer Euklid (ca 330 v.u.Z.) in seinem  richtungsweisendes  Grundlagenwerk ELEMENTE aber  nicht an. Euklid zeigt  hier nur statische Zusammenhangsysteme, wie die  Konstruktion eines Mittelpunktes oder eines Rechtecks usw.  Seine klassich konstruierten exakten Ergebnisse sind nach endlich vielen zusammenhängend gezeichneten  Kreis  und Gerade- Objekten endgültig fertiggestellt. Er knüpft nicht an den  von Antiphon hier angedachte endlosen Prozeß an,  die Zahl der Eckpunkte bei regulären Vielecken zu erhöhen, bis schliesslich  eine lückenlose   Spurkurve Kreis entsteht.  Euklid betrachtet keine konstruierten Grenzprozesse und so bleiben sie  in der Geometrie bis heute weitgehend unbetrachtet.  Für Euklid  waren nur  mit endlich vielen Schritten  konstruierte   Sequenzen zusammenhängender  Kreis-  und Gerade-Objekte  exakte Berechnungen. Euklid´s Sichtweise setzt sich bis heute fort. Mit den ELEMENTEN   begründet Euklid eine   bis heute anhaltende Denkblockade zu  klassisch konstruierten Grenzprozessen. Historisch gesehen verlief die Entwicklung  zu Grenzprozessen im Zusammenhang mit Zahlen (unendliche _{Reihen / Multisummen und unendliche Multiprodukte)} anders. Ihr Betrachten beginnt  in der Neuzeit   mit Vieta (1550-1603), der für das Kreisverhältnis π einen endlosen Berechnungsprozess als unendliches Produkt  angab:

Klassisch konstruierte  exakte Grenzprozesse  bleiben  so bis heute  weitgehend unbetrachtet und ungenutzt. Weil es  für diesen bremsenden Sachverhalt keine überzeugende Begründung gibt, werden wir im  Rahmen der Cohaerentic-Kalkulationen  nun auch  klassisch konstruierte  exakte Grenzprozesse, die einem exakten Grenzwert / Grenzzustand zustreben, betrachten und nutzen.

Was soll mit Urberechnungen erreicht werden?

Durch das methodische Erweitern  des klassischen Konstruierens um Grenzprozeß-Folgen  wird  das Phänomen des "elementaren Berechnens" verständlicher. Dabei werden die Urkurven   "Kreis und Gerade"  als  effiziente Kohärenzsysteme zur Beschreibung der Raumkohärenzen verstanden. 

Massnahmen zur Verbesserung der Effizienz konstruierter Grenzprozesse

Mit ihrem sehr kontinuierlichen Verlauf legen diese Punktefogen der konstruierten Grenzprozesse  eine Fortsetzung  nahe. Diese Folgepunkte werden  für   eine   durch die drei  letzten  Folgepunkte gelegte  Kurve, beispielsweise eine  Kreiskurve, konstruiert.  Auf diese Weise  sind schon mit wenigen zusätzlichen Schritten, gemessen an den endlos vielen möglichen Schritten, stark verbesserte   Ergebnisdarstellungen erreichbar. Das folgende Bild ist eine Beispiel dafür. Der kontinuierliche natürliche Raumzusammenhang macht die Verkürzung des Grenzprozesses möglich, bei dem die Eckenanzahl immer weiter erhöht wird, um die Kreisfläche  bzw, auch die Kreisumfanglänge immer vollständiger zu berechnen. Das Bild zeigt wie hier mit den Abrollprozessen von regulärem 4-Eck,  6-Eck und 8-Eck  zur Fortsetzungskurve  "Kreis" gelangt wird. Wir erkennen, der natürliche  kontinuierliche Raumzusammenhang  ist schon mit dieser geringen Eckenanzahl  auch  für alle weiteren Eckenanzahlen modeliert  und kann entsprechend genutzt werden.

Das  immer weitere Erhöhen der regulären Eckenanzahl  Fortsetzen des Konstruierens (Berechnens) zur sinnlosen Aktion werden, da die  erreichte höhere Genauigkeit nicht mehr sinnvoll verwertet werden kann.

Mein nachfolgendes Beispielbild zeigt einen klassisch konsruierten Konstruktionsplan für den Grenzprozess des Drittelns einer Strecke. Mit der gleichen Methode gelingt auch  das klassisch konstruierte  Dritteln eines immer kleineren Kreisbogens (Radius >>Bogenlänge).  Dadurch ist  dieses Vorgehen prinzipiell auch für den Konstruktionsprozeß  eines exakten Winkeldrittelns anwendbar.

Beschränkte euklidische und unbeschränkte klassische Konstruktion

Die Unterschiede  zwischen einer     e u k l i d i s c h e n   Konstruktion  und einer darüber hinaus gehenden unbeschränkten klassischen Konstruktion   wird anhand  des  folgenden  Bildes   erklärt. 

Ohne die eingezeichnete  Hyperbelkurve im ersten Quadranten wäre das Bild eine klassisch euklidische Konstruktion.   Die   Lösungsweg-Beschränkung  auf endlich viele   zusammenhängende   Kreis- und Gerade-Objekte und das Weglassen elementar konstruierter   Folgeprozesse / Grenzprozesse wäre hier voll erfüllt.  Diese  eben genannten Beschränkungen wurden  im antiken Griechenland  praktiziert,  ohne dass es besonders hervor gehoben wurde. Mit der eingezeichneten Hyperbelkurve ist mein vorgezeigtes  Bild eine erweiterte klassische   Konstruktion. Mein bildliches Kohärenzsystem "Rechteck-Kreis" ist Erzeugungsplan (Algorithmus) für das    klassische Konstruieren beliebig viele Punkte der Hyperbelkurve. Eine durchgezogene Hyperbel-Spurkurve entsteht so aber nicht. Sie ist quasi erst das gedankliche Ergebnis nach endlos vielen konstruierten Hyperbelpunkten, die dann endlos dicht benachbart sind und damit dann den Grenzzustand " zusammenhängende Punktefolge = Spurkurve"  erreichen.   

Das  gezeigte  bildliche Kohärenzsystem lässt  systematische  Zusammenhänge zwischen Hyperbelkurve  und Rechteck erkennen. Das gelbe Rechteck mit konstanter Flächengrösse  hängt  hier durch seine  verschiedenen Gestaltausprägungen  systematisch  mit  Kurvenpunkten der Hyperbel und des Kreises zusammen. Beide Kurven sind somit miteinander verwandte  Kurven. Jedem Punkt einer Kurven ist hier jeweils eindeutig ein Punkt der anderen Kurve zugeordnet und umgekehrt.  Dieser gezeichnete Kohärenz-Sachverhalt wird  in der Abstraktion mit den bekannten grundsätzlichen Rechenoperationen von Multiplikation/Division beschrieben. Unter den Überschriften "Duplikaten" und "Binärlogarithmen" wird später ein noch effizienteres, umfassenderes  Beschreiben der systematischen Zusammenhänge des Erfahrungsraums aufgezeigt.  

Insgesamt wird mit den gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen der Frage nachgegangen, ob   letztlich   so alle     klassich konstruierten Rechenzusammehängen der  Rechenoperationen erklärt werden können?  Schon die Kurven von Kreis und Gerade (Bescränkung auf Zirkel und Lineal) nenne wir Urkurven modellieren bildhaft fundamentale Raum- und Rechenzusammenhänge.  Da die höheren Rechenzusammenhänge  allein auf die niederen aufbauen, können auch die  Punkte der über Kreis  und Gerade hinaus gehenden  höheren Kurven mit gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen exakt konstruiert und darstellt werden. Weitere   hier    interessierenden Kurven sind  quadratische und kubische Parabeln,  Hyperbel- und  Potenzkurven,  sowie  auch weitere krumme Kohärenzkurven, die spezielle Zusammenhänge modellieren. 

Heutiger Wissenstand zu elementaren Konstruktionen

Schon  die einfach verständlichen drei klassischen Aufgaben der Antike, Winkeldreiteilung, Kreisflächenberechnung (Quadratur des Kreises) und Würfeldoppelung, sind unlösbar. Das erwartete Ergebnis kann unmöglich vollständig  konstruiert werden.  Die Aussage,  warum es unmöglich ist, stützen sich auf  im 19. Jahrhundert geführte  berühmter mathematischer Beweise.  Für die  Winkeldreiteilung und die Würfeldoppelung stehe keine elementar konstruiert berechnetes Ausziehen einer dritten Wurzel zur Verfügung. Für die   Kreisfläche  fehle   es an einem elementar konstruiertem exakten Berechnen des Kreisverhältnisses π = Kreisumfang /Durchmesser.  Diebeim Beweis zur π-Transzendenz von Lindemann zugrunde gelegte  Eulersche  Identität e^iπ+1=0  könne in keinen klassisch konstruierten  Rechenzusammenhang übergeführt werden.  Immer wieder, auch bei Wikipedia,  kann man lesen, für diese klassischen Aufgaben gebe es durchaus einfache exakte Lösungen, wenn die folgenden euklidischen  Beschränkungen für den Lösungsweg, auch geometrische Prinzipien genannt, nicht erfüllt, nicht eingehalten werden:

a) - keine weiteren Werkzeuge und Hilfsmittel neben  Zirkel und Lineal   

b) - keine schon gezeichneten Kurven verwenden, die über Kreis und Gerade hinaus gehen.

c) - konstruierte Grenzprozesse   bleiben unbetrachtet,  da sie nicht  erwartet werden. 

Nachvollziehbare  ernsthafte Erklärungen, warum diese Beschränkungen  eingehalten werden sollen, sind nicht überliefert.  Führen die Beschränkungen zu Vorteilen oder nur zum  Wohlgefallen der Götter?  Als Motivation bleibt noch der sportliche Aspekt, wie beim Errichten von Hürden, was  eine  Laufstrecke  schwieriger und damit interessanter  macht.  In der Fachliteratur und heute auch bei Wikipedia im Internet  sind Beispiele für exakte Lösungsberechnungen zu finden, bei denen die Beschränkungen  a) und  b) nicht eingehalten werden.  Dabei wird mit den Werkzeugen  Archimedes-Lineal mit Strich,   Bieberbach-Rechwinkelhaken, Tomahawk  usw. gearbeitet. Ein bislang unbetrachtetes Problem ist, diese hinzu genommenen weiteren Werkzeuge, Kurven und Hilfsmittel   sind in idealer räumlicher Anordnung zu nutzten. Sie müssen mit immer kleineren,  letztlich endlos kleinen und damit endlos vielen Schritten erzeugt und letztlich zurecht gerückt werden. Dies hat zur Folge,  wenn  solche zusätzliche Hilfsmittel genutzt werden, wird die mit Beschränkung c)   verbundene "Endlichkeitsforderung" niemals  vollständig erfüllt.   

Für die Beschränkungen  a) bis   c)  ist lange Zeit  kein  exaktes Lösungsberechnen  gesucht und  gefunden worden. Hinderungsgrund war  wohl auch die Vorstellung, niemand hat die  Zeit, endlos viele Schritte auszuführen.   

Historisches zu Grenzprozessen der Kreisberechnung

Antiphon (5. Jh. v.u.Z.)

Der Ursprung des Gedankens zu Grenzprozessen   findet sich bei Antiphon (5. Jh.v.u.Z.). Mit immer kleineren Dreieckflächen will er den Kreis immer vollständiger ausfüllen. Mit unseren heute gebräuchlichen Begriffen gilt: Wächst die Zahl der kleinen Dreiecke ins Endlose, dann wächst deren Multi-Summe gegen den Grenzwert der Kreisfläche. Über eine von Antiphon durchgeführte praktische Ausführung seiner Berechnungsidee ist nichts überliefert. Später wird sein fundamentaler Lösungsansatz immer wieder aufgegriffen und weiterentwickelt. Dies findetr statt, obwohl dem Antiphon mangelndes Wissen und auch Trugschlüsse zu seinem fundamentalem Berechnungsvorschlag  unterstellt wurden und werden. Bryson hat dem Innen-Vieleck seines Zeitgenossen Antiphon das Aussen-Vieleck hinzugefügt, wodurch die wahre Kreisfläche zwischen beiden Vielecken eingeschlossen war.  

Archimedes (285-212 v.u.Z.)

Archimedes ist der Erste, der auf der Grundlage der Ideen von Antiphon und Bryson eine praktische Berechnung mit einem regulären einbeschriebenem und umbeschriebenem 96-Eck ausführt. Er weiss, wie auch Antiphon und Bryson, es muss theoretisch eigentlich bis zu endlos vielen Ecken  forgesetzt gerechnet werden. Dies ist in der Realität nicht möglich, so daß immer nur ein Zwischenergebnis und eine unvollständig Ergebnis-Darstellung, beispielsweise mit nur 5 wahren Nachkommastellen, zustande kommt. Ohne Nutzung der Zahlen wird hier zu keinem Ergebnis gelangt. Das Archimedes-Ergebnis ist somit keines aus einer  klassich konstruierte Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten. 

Fontana (ca 1784)

Fontana, ein italienischer Mathematiker, veröffentlichte im Jahr 1784 (gefunden im Buch: Theodor Vahlen  "Konstruktionen und Approximationen" Verlag B.G.Teiner 1911, S. 314) als erster ein mit Kreis und Gerade konstruierte  unbeschränkte Näherung  für das exakte  Berechnen der Kreisbogenlänge durch einen  Grenzprozess. Er verletzt die  Beschränkung c), schenkt dieser keine Bedeutung und Beachtung. Sein konstruiertes Berechnen gerät aber schnell in Vergessenheit, da es eine schwache Konvergenz aufweist und  von der Fachwelt   als   nur  genäherter Berechnungsprozess  angesehen wird.   

_{Historisches zu Grenzprozessen des  Winkeldrittelns}

Archimedes (285-212 v.u.Z.)

Archimedes ist auch der Erste, der auf der Grundlage der Ideen von Hippias von Elis (5.Jh. v.u.Z.)  eine praktische Berechnung des Winkeldrittels angeht. Anhand eines Lineals mit einer Abstansmarkierung erklärt er, bei welcher Konstellation des Linealanlegens das Winkeldrittel erreicht ist. Bei abstrakter Betrachtung dieses Vorgehens läuft es immer auf eine  herbeiprobierte  Lösung hinaus. Wird  die erreichte Anlegesituation  immer so lange "gezoomt", bis   eine noch vorhanden Abweichung erkannt wird, muss auch immer noch  ein Nachrücken des Masslineals erfolgen.  Dieses Vorgehen hat vom Prinzip her kein Ende. Archimedes weiss sehr wohl, dass er einen quasi endlos fortzusetzenden  Prozess des Berechnens vorzeitig abbricht.

Fialkowski(1818-1902)

Nicolaus Fialkowski, ein österreichischer Mathematiker, hat in seinem Buch, Nikolaus Fialkowski, "Theilung des Winkels und des Kreises", Wien Verlag Gerolds Sohn 1860, S. 11; 12   als erster eine  exakte Winkeldreiteilung durch gezeichnete fortgesetzte Halbierungen veröffentlicht. Auch er hat hier  die Beschränkung  c)  nicht beachtet.    

Damit  die Folge der Aktionsschritte "Halbieren"   besser nachverfolgt werden kann, ergänze ich die  Zeichnung von Fialkowski   mit  einem Hilfsstreckenzug mit laufenden Nummern dran, welche die aktuellle Zahl der Halbierungen benennen.

Fialkowski  selbst nennt sein gezeichnetes  exaktes Berechnen der  Winkeldreiteilung eine Näherung und genügt damit der quasi amtlichen Mathematik, die bei endlosen exakten Berechnungen (konstruierten Grenzprozessen) wegen der nicht ausgeführten endlos vielen Schritte von Näherungen spricht. Andererseits hat Fialkowski aber erkannt, dass sein Winkelteilen doch ein gezeichnetes exaktes Berechnen ist. Er schreibt hierzu:

"Mann kann durch fortgetztes Halbiren  der Trisection des Winkels so nah, wie man will, kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als jede angebbare Grösse wird".

Fialkowski sorgt sogar  selbst für ein schnelles Vergessen seiner  erfundenen Winkeldreilung, denn er schreibt:

"Allein diese Construktion hat für das praktische Zeichnen gar keinen Werth; erstens weil man die nach und nach kleiner und kleiner entstehenden Winkel geometrisch nicht so leicht nach dieser Art halbiren kann, aus welchen Gründen  diese Methode beim praktischen Zeichnen nicht anwendbar ist."

Eine schwache Konvergenz bedeutet,  eine  Zwischenergebnis-Darstellung  ist nach vielen Schritten  immer noch weit vom wahren Ergebnis entfernt (es gibt nur wenige wahre Nachkommatellen bei numerischer Nachrechnung).  Hier stellt sich die Frage, wie wird von einer schwachen zu einer   starken Konvergenz gelangt, bei der schon nach  wenigen Schritten das Zwischenergebnis  sehr nahe  am idealen Ergebnis angelangt ist?

Mit   meinem klassich konstruierten  Cohaerentic-Kalkulationen werden die drei klassischen und auch weitere Uraufgaben exakt berechnet und   immer weitere unbeschränkt genäherte  Ergebnisse erzeugt.  Dabei wird   die Beschränkung c) nach einer endlichen Konstruktionsprozedur erfüllt, aber dann doch auch nicht ganz vollständig. Es wird schon nach  wenigen, gemessen an den endlos viel möglichen Schritten, zu sehr genauen Ergebnisdarstellungen gelangt. Theoretisch kann hier ohne Probieren mit anwachsendem Rechenaufwand die Ergebnisdarstellung immer  weiter verbessert werden. Hierbei wird schon sehr bald  die Wiederholung der bekannten Schrittezyklen  zur sinnlosen Aktion, da die erreichte hohe Genauigkeit nicht gebraucht wird.      

Cohaerentic.Kalkulationen zu fundamentale Uraufgaben

Das neue Berechnungswissen der Cohaerentic-Kalkulationen führt  zu   paradox erscheinenden Sachverhalten, insbesonder auch für die drei klassischen Aufgaben der Antike:

Einerseits wird heute gelehrt, mit einer endlichen  Kreis-Gerade-Sequenz ist es unmöglich  einen Lösungsprozeß  für eine exakte unbeschränkte Erzeugung  der  Ergebnisgrössen zu realisieren.

Andererseits  kann mit Wiederhloungen (Iterationen) von  Sequenzen zusammenhängend gezeichneter Kreis- und Geraden-Objekte, die  elementar konstruierte Grenzprozesse sind, den erwarteten Ergebnispunkten als Grenzpunkten  unbeschränkt  immer weiter zugestrebt werden.

Liegen hier echte Widersprüche vor oder nicht?  Hilft hier die Betrachtung zur Uraufgabe des Winkeldrittelns? Bekannterwiese kann ein beliebig gegebener zu drittelnder Winkel nicht in eine exakt abbildende Zahl  mit nur endlichen Nachkommastellen ohne Restfehler konstruiert ausgemssen werden. Was hier nicht konstruiert werden kann,  kann natürlich auch beim exakt gedrittelten Winkel nicht konstruiert werden.  Der gegebene Winkel kann aber mit einem unbeschränktem exakten Ausmessprozeß immer vollständiger ausgemessen und in  immer genaueren  Zahldarstellungen gespeichert werden. Was hier beim gegebenen Winkel geht, gehrt natürlich auch beim gedrittelten Winkel. Nun fehlt nur noch der  exakten Grenzprozeß des Winkeldrittelns? Lässen sich solche  Prozesse entwickeln und finden? Hierfür sind die "elementar konstruierten Sequenzen der zusammenhängenden  Kreis- und Gerade-Objekte" tiefgehender   betrachten.

Arithmetik

Die Arithmetik ist die "Rechenkunst" mit Zahlen als Rechengrössen.  Die Algebra ist die "Rechenkunst"  mit Buchstaben als Platzhalter in Gleichungen, wie  beispielsweise bei  3x+7=2   oder c²=a²+b² beim Satz des Pythagoras.   Für Cohaerentic-Kalkulationen schauen wir nicht auf Arithmetik und Algebrac als Wissensquelle, sondern  auf  die elementare Geometrie, welche zu den systematischen Kohärenzen des  Erfahrungsraums forscht. Hierbei interessiert, wie  räumlich ausgedehnte  Objekte miteinander zusammenhängen, beispielsweise die Kreisflächengrösse mit der Kreisradiusgrösse.  Dargestellt wird das gesammelte Wissen dann  in  abstrakten Sätzen zu bildlichen Kohärenzmodellen wie im Satz des Thales, im Satz des Pythagoras, im Höhen- und Kathetensatz des Euklid usw.  Im 15.Jahrhundert  mündet dies Alles in abstrakteren  symbolischen Darstellungsformen, insbesondere in Kegelschnitt-Gleichungen, das als Wissensgebiet  mit  "Analytische  Geometrie" bezeichnet wird.  Die  direkte anschauliche Erfahrung  wird dabei und fortan immer weniger in Anspruch genommen. Anders ist es nun bei den klassisch konstruierten  Cohaerentic-Kalkulationen, mit einer Rückbesinnung auf die Wissensquelle  Erfahrungsraum.

Der Bergriff Cohaerentic ist ein  erfundenes Kunstwort, das Bezug auf das lateinische "cohaerentia = Zusammehang" nimmt. Bezeichnet wird damit  ein Wissensgebiet zum klassich konstruierten  "Kalkulieren" mit natürlichen Rechengrössen, die mit  zusammenhängenden Kurvenstücken  von Kreis und Gerade (Beschränkung auf Zirkel und Lineal) gezeichnet werden. Hierbei sprechen wir von einem Urberechnen, dessen Grundlagen die Wissensquellen der  klassisch konstruireten  Kohärenzsysteme sind und nicht die von Arithmetik und Algebra. 

Unterschied von euklidischer Konstruktion und klassisch konstruierten Berechnungen  

Unterschied a)     

Klassich konstruierte Berechnungen  und  elementare  Konstruktionen    werden  beide mit den Urkurven Kreis und Gerade gezeichnet. Bei elementaren Konstruktionen sind nur endlich viele Schritte bzw. gezeichnete Objekte bzw. Grundrechenoperationen zugelassen. Hingegen sind bei konstruierten Berechnungen   auch   Berechnungsprozesse für Grenzwerte mit  Zyklen-Wiederholungen zugelassen, was theoretisch  endlos fortsetztbar ist.   Auf diese Weise kann jede gewünschte Ergebnis-Genauigkeit herbei konstruiert  werden.

Historischer Abriss:    

Schon sehr früh bringt  der griechische Sophist  Antiphon (5.Jh.v.u.Z.) das Problem des Berechnens mit endlos vielen Berechnungsschritten  ins Spiel, um für die Kreisfläche zu einer reproduzierbar berechneten  Grenzwert-Darstellung zu gelangen. Er schlug vor, die Kreisfläche mit  immer mehr kleinen Dreiecken immer vollständiger auszufüllen, was einer Kreisannäherung mit einem regulären Vieleck mit immer mehr Ecken gleichkommt.  Theoretisch kann hier die Eckenanzahl ohne Ende erhöht werden. Diese Idee  stösst aber bis heute  auf ablehnende Interpretationen.  Antiphon erliege dem  Trugschlüss,  seine    vorgeschlagene  Vorgehensweise  führe für das reguläre Endlos-Vieleck zur wahren Grösse der Kreisfläche. Tatsächlich werde aber nie zur exakten Kreisflächengrösse gelangt.

Seitdem wird für  elementare  Konstruktionen  die wohl esoterisch und religiös motivierte  Erwartung  vererbt, dass gezeichnete Berechnungsprozesse  nur dann exakte  Berechnungen sind, wenn sie  mit endlich vielen  Schritten   eine diskrete,   endgültige  Ergebnisdarstellung erzeugen. 

Da heute die einst  esoterisch und religös motivierten Ausschlussgründe für endlos fortsetzbare Berechnungsprozesse nicht mehr überzeugen, lassen wir sie   sie   bei den elementar gezeichneten Cohaerentic - Kalkulationen weg. Nun sind auch theoretisch endlose Prozesse zugelassen,  was neue  Quellen für wichtiges   Wissen zum Berechnen zugänglich macht. 

Unterschied b)    

Bei Cohaerentic-Kalkulationen soll zusätzlich für den gesamten Rechengang das Kriterium für ein anschaulich sinnfällig nachvollziehbares  Zutreffen  erfüllt sein. Dafür muss aus den gezeichneten bildlichen  Sequenzen der zusammenhängend gezeichneten Kreis- und Gerade-Objekte das erwartete Ergebnis immer zweifelsfrei nachvollziehbar gefolgert werden können. Zweifel am exakten Zutreffen des Ergebnisses werden so ausgeschlossen. Dieses Kriterium  wurde  im historischen Zeitraum nicht und wird auch heute nicht betrachtet. So kommt es, dass die   Ergebnisse einer elementaren Konstruktion  oft überraschen, wie bei einem Zaubertrick. Die Frage, warum funktioniert es,  bleibt dann offen? Die von Dinostratos  (ca. 450.v.u.Z.) und Kochanski (1683) vorgezeigten   elementaren  Konstruktionen für ein gezeichnetes  genähertes Kreisverhältnis  π = Kreisumfamg /Kreisdurchmesser  sind Beispiele  für die besagte Überraschung.  Durch mehr investierten Rechenaufwand, beispielsweise   beim Ausziehen von Wurzeln, werden hier die mit  elementarer  Konstruktion   erzeugten  Näherungen (Approximationen)  nicht verbessert. Sie sind beschränkte Näherungen.

Anschauliches Beispiel eines konstruierten Berechnen für die Unterschiede  a) und  b)

Die folgende elementar gezeichnete Kalkulation  betrifft den  Höhensatz des Euklid, zu dem einst Euklid von Alexandria (ca. 330 v.u.Z.)  in seinem berühmten Grundlagenwerk ELEMENTE schon im Buch II eine elementare Konstruktion und einen  zum Richtigsein geführten Beweis veröffentlichte. Die hier vorgezeigte  Cohaerentic Kalkulation  ist ein anschauliches  Beispiel  für  den Unterschied zur euklidischen  klassischen Konstruktion samt der euklidischen Beweisführung zum Richtigsein. 

 Die Cohaerentic- Kalkulation geht hier mit dem grossen Rechteck KJLC und der Symmetrie-Diagonale KL  über die von Euklid zu seiner Satzaussage gezeichnete  elementare  Konstruktion mit den Punkten E; B; C; D; G; F und H hinaus und macht damit den oben  angesprochenen  Unterschied b)  zur elementaren Konstruktion anschaulich.

Mit der hier im Bild erfahrbar gemachten  Flächengleichheit von rotem Rechteck und  rotem  Quadrat wird die Kernaussage des Höhensatzes sehr anschaulich und  ohne zusätzliche Hilfsbetrachtungen nachvollziehbar. Dabei  spielt die gestrichelte Diagonale KL als Symmetrielinie die entscheidende Rolle, um die Richtigkeit der Flächengleicheit von rotem Rechteck und rotem Quadrat   zweifelsfrei erkennen zu können. In der elementaren Konstruktion des Euklid und allen später hierzu in der Fachliteratur  veröffentlichten elementaren Konstruktionen fehlt das Rechteck KJLC mit der Symmetrie-Diagonale KL. Später wird unter der Rubrik "Uraufganen/Kreis/Kreis-Objekte/... zur Problematik  Höhensatz des Euklid  noch mehr ausgeführt werden und   auch noch zur Kreisquadratur, zur allgemeinen Kreisteilung in beliebige ganzzahlig viele Sektoren (Tortensstücke)  und zu  weiteren Urzusammenhängen.

Beispiel für ein quasi endlose Cohaerentic-Kalkulation   (Unterschied a))

Auch bei diesem Beispiel kann  aus dem vorgezeigten Rechengang  das gezeichnet berechnete Ergebnis zweifelsfrei gefolgert werden. Es ist die gestreckte Länge des Kreisumfangs. Diese  Art   des Berechnen  nennen wir ein Urberechnen zu einer fundamentalen Uraufgabe. Konkret wird hier ein natürlich konvergierender Berechnungsprozess  (Rechengang) für den Krümmungs-Grenzwert des betrachteten Kreisbogens vorgezeigt. Mit dem Erreichen dieses Grenzwertes wird die  gestreckte  Kreisumfanglinie zur Strecke.     

Bildbeschreibung zur Rektifikation

Es sind immer mehr neue Kreisbogen bei unveränderter (konstanter)  Länge und  halbierter Krümmung gezeichnet berechnet und dargestellt. Gedanklich kann dieser endlose Prozess immer weiter fortgesetzt werden.  Real wird jedoch immer nach endlich vielen Schritten abgebrochen, sobald   das Endekriteruim praktisch erfüllt ist und keine  Bogenkrümmung mehr erkannt werden kann. Später wird noch demonstriert werden, wie durch besondere Massnahmen die Konvergenz dieses gezeichneten  Grenzprozesses  deutlich verbessert werden kann. Schon nach wenigen Schritten wird dann eine befriedigend genaue  Ergebnis-Darstellung  erreicht. 

Lesenden  werden hier  fragen, welchen Schaden gibt es, was an Verständnis zum Berechnen  geht verloren,  wenn der geforderte Ausschluss   endloser  Berechnungsprozesse nicht befolgt  wird? Ich behaupte, es geht nichts verloren, im Gegenteil, es werden viele gezeichnete exakte  Berechnungen so erst möglich und damit auch ein Mehr an zweifelsfreiem Verstehen zum  Berechnen.  Für Cohaerentic-Kalkulationen sind deshalb alle elementar zeichenbaren Berechnungsprozesse zugelassen, deren  gezeichneten Rechengänge   bis zum letzten Schritt     anschaulich  sinnfällig   Nachvollzogen werden können.  

Endlose  Multisummen 

Auch das nächste   Bildbeispiel unterstützt den Zugang zum  Wissensgebiet der Cohaerentic- Kalkulationen. Vorgezeigt wird ein  bildliches  Kohärenzsystem zu Grenzwerten, die endlose   Multisummen sind.   Die Aufgabe des Berechnens lautet  hier: Ein Summe-Quadrat soll erzeugt werden aus zwei Grenzwerten   endloser Multisummen aus Rechtecken und Quadraten. 

Bildbeschreibung zu  Multisummen aus Grenzprozessen

Die Lösungszeichnung  zeigt eine bestimmte Ordnung beim Platzierens der Rechtecke und Quadrate.  Die Rechteckflächen sind  die Summe zweier kleineren gleichgrossen Quadrate. Insgesamt weist das grosse Quadrat  eine unsymmetrische ungleiche, aber dennoch systematische  Aufteilung auf. Dieses Wissen zur ungleichen Aufteilung werden wir später für ein anschaulich sinnfällg  gezeichnetes exaktes Berechnen der Winkeldreiteilung nutzen, das heute als unmögliche Aktion einer elementaren Konstruktion gelehrt wird. Das später unter der Überschrift "Winkeldreiteilung" vorgezeigte, mit einer Cohaerentic-Kalkulation erzeugte  Winkeldrittel- Ergebnis   ist dabei nicht überraschend herbei gezaubert und auch nicht durch probierendes Annähern erzeugt. Es wird stringent, Schritt um Schritt exakt herbei gerechnet und zwar anschaulich sinnfällig nachvollziehbar.   

Lernende können anhand  gezeichneterursprünglicher Cohaerentic-Kalkulationen, noch  ohne Zahlen,  das Phänomen und Wesen des an Schritte gebundenen "Berechnens" entdecken,  und besser verstehen.  Dabei helfen  konkrete  natürliche Objekte, die sich mit  alltäglicher Erfahrung decken, wie Grenzlinien ohne Breite und natürliche Rechengrössen wie  Drehung (Winkel), räumlicher Abstand, Fläche usw. Auch die Urrechenoperationen  Doppeln  und Halbieren mit beliebigen Duplikatoren spielen hierbei eine dominierende Rolle.   Mit dem  elementaren Vorgehen zeigt sich, exakte Rechenprozesse gibt es nicht nur mit Zahlen, sondern primär  mit  realen  Rechengrössen in natürlichen bildlichen Kohärenzsystemen. Höhere Rechenarten  werden dabei auf niedere, die Grundrechenarten und auf quadratische, mit   Kreis und  Gerade zeichenbare  Rechenzusammenhänge rückgeführt. 

Grenzwert, Stetigkeit und Konvergenz 

Mit Cohaerentic-Kalkulationen  kommen für die mathematischen Begriffe "Grenzwert, Stetigkeit und Konvergenz",  neue Bezüge hinzu,  insbesondere solche mit natürlichen Sachverhalten.  So wird entdeckt: Fundamentale Konstanten  sind zuerst Ergebnisse  gedanklicher und dann  gezeichneter Grenzwert-Prozesse im natürlichen Erfahrungsraum und dann erst  Zahl-Abbild für einen gezeichnet berechneten Grenzwert. Der gezeichnete Grenzwert "Kreisverhältnis π = Kreisumfang / Durchmesser"  ist somit zutreffender und damit fundamentaler als sein numerisches Abbild die Kreiszahl π_Zahl.  

Worauf ist für die Grundlagen des Berechnens  zuerst zu schauen? Sind es Zahlen als Rechengrössen   oder sind es  die mit den  Urkurven Kreis und Gerade gezeichneten geometrisch ausgeprägten Rechengrössen in elementar gezeichneten  Kohärenzssystemen?  Welche  der beiden angesprochenen Arten des Berechnens ist ursprünglicher und mit seiner    Kohärenzgrundlage  besser verständlich? 

Der Sachverhalt, dass mit Cohaerentic Kalkulationen die fundamentale Konstante π  als natürlicher Grenzwert entdeckt werden konnte, spricht für Folgendes: Für die Einsichten zu den Grundlagen des Berechnens  ist den nur mit Kreis und Gerade gezeichneten Berechnungen  ein Vorrang gegenüber solchen mit  Zahlen einzuräumen, für die es keine direkten Bezüge zum Erfahrungsraum gibt.

Verbesserte Effizienz

Für die Cohaerentic-Kalkulationen werden   Massnahmen angestrebt und erfunden, welche die gezeichneten konvergenten endlosen Rechengänge auf einen real ausführbaren Umfang an Schritten abkürzen. Es soll mit weniger Schritten zu einem für alle Anforderungen der Praxis ausreichend  genau dargestelltem Ergebnis   gelangt werden.  Damit werden Uraufgaben auf  elementarer, anschaulich verständlicher  Ebene  exakt  und zugleich effizient berechenbar. Solche erfundene, den Umfang an Schritten verkürzende Massnahmen  wurden schon für  die   Kreisfläche, den Kreisumfang, die Winkelteilung,  die Winkelerzeugung, das Duplizieren mit beliebigen Duplikatoren und auch  für Potenzkurven gefunden. 

Wenn die Cohaerentic- Kalkulationendie Eigenschaft "konvergent" aufweisen,   streben sie mit wachsendem Sequenzumfang (Anzahl der Schritte) stringent und ohne probierende Schritte immer mehr einem gedanklichen  Ergebnispunkt  zu, beispielsweise auch einem Punkt für ein gesuchtes Winkeldrittel.  Der Abstand eines solchen Punktes zu einem ursprünglich gegebenem Punkt (Nullpunkt)  ist dann Grenzwert oder Limes für eine endlose  Sequenz.  Nicht betrachtet werden hier gezeichnete divergente Berechnungsprozesse.  

Insgesamt leisten die elementar gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen  mit ihren "anschaulich verständlichen Rechengängen" etwas, was viele ebenfalls nur mit Kreis und Gerade (Beschränkung auf Zirkel und stirchloses Lineal) gezeichnete  elementaren Konstruktionen nicht leisten.  Dieses fehlende "Etwas"  gibt es   schon  bei den elementaren  Konstruktionen im  berühmten Grundlagenwerk des Geometers Euklid (ca 330 v.u.Z.), so auch zum Höhen und Katheten-Satz, den Satz des Pythagoras usw. Dazu werden später noch ausführliche Betrachtungen geführt.

Motivation für ein Rechnen mit geometrischen Zusammenhängen 

•  die Dreiteilung des Winkels
• die Quadratur des Kreise (flächengleiche Überführung derKreisflächen eine Quadratfläche
• die Doppelung bzw Halbierung des Würfelvolumens, 

Gegebenen höheren Kurven bzw, Gleichungen vom 2. Grad und höher:

       Konchoide_{(Nikomedes, 4.Jhd.v.u.Z.)}

       Kubische Gleichung_{(Archimedes 3.Jhd.v.u.Z.),    (Pappus, 4.Jhd)}   

       Hyperbel_{(Pappus, 4.Jhd)}

       Parabel_{(Descartes, 17.Jhd.)} 

Später werden dazu vertiefende  Betrachtung  unter   _{Konstruierte Grenzprozesse/Winkel/Drehung}   gefährt.

_{Klassiche WDT-Verfahren:}

Für ein klassich konstruiertes  Kohärenzmodell für das Winkeldreiteilen  hat der Autor auch   einen    

        Kreis_(Schleicher)

als  eine  Kohärenzkurve vom 2. Grad erkannt. Die Kohärenzkurve  K r e i s   verletzt  die  euklidische Beschränkung auf Zirkel und Lineal bzw. Kreis und Gerade nicht. In unserem folgenden   Bild zum besagten exakten Kohärenzmodells zum Winkeldreiteilen ist die  Kohärenzkurve   K r e i s  durch den Streckenzug AMBCD  immer in Bogenabschitte "rot"  und "grün" unterteilt, wobei der grüne Bogen doppelt so groß ist wie der rote Bogen.

Es gilt  somit  ∠AMB=1/3 *∠AMD. Eine Beschränkung auf nur kleine Winkel bzw. nur eine ganze Umdrehung gibt es nicht.  Die beiden Strecken-Paare   AM parallel BC und MB parallel CD machem die  Dreier-Kohärenz nachvollziehbar.

Eine tiefer gehende  Betrachtung folgt später im Abschnitt   Konstruierte Grenzprozesse/Winkel/Drehung. 

Vorarbeiten zum obigen Beitrag am 14.08.2023

Kalkulationen für Uraufgaben

 1. Beispiel     Klassische konstruierter Grenzprozess  Winkeldreiteilung

 2. Beispiel     Klassische Konstruktionen  für Flächengleichheit

 3. Beispiel     Klassisch konstruierter Grenzprozess  für das  "Kreisverhältnis π" 

 4. Beispiel      Video, "Verkürzter   Grenzprozess für π" 

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Warum Cohaerentic ?

Betrachtungen zu klassisch konstruiertem Berechnen?

• bisher:   Eine Darstellung und Beschreibung  klassisch mit Zirkel und Lineal konstruierter Rechenoperationen gibt es schon im Altertum. Die Enzyklopädie Wikipedia gibt unter dem Suchbegriff "Konstruktionen mit Zirkel und Lineal", Algebraische Operationen einen Überblick. Schwerpunkt  ist hier, das klassisch konstruierte Erzeugen des Ergebnisses und seiner  Darstellung  auf der Zahlengerade. Dazu werden  die Werkzeuge Zirkel und Lineal bzw. die Kurven Kreis und Gerade nur endlch oft   benutzt. Vorbild bleibt hier bis in die Neizeit das  richtungsweisende Sammelwerk ELEMENTE,  in welches  Eukid (ca. 330 v.u.Z.)  das geometrische Wissen der Antike aufnahm.  Es fällt auf,  von Antiphon (5. Jh.v.u.Z.) und anderen schon angedachte klassisch konstruierte   Grenzprozesse für den Kreis und Winkel bleiben durch  Euklid   weitgehend unbetrachtet und  ungenutzt.  Sein Vorbild wirkt bis in die Heutezeit und wird damit erklärt, dass mit abgebrochenen endlosen Grenzprozessen  kein  Ergebnis  vollständig berechnet und als solches reproduzierbar vollständig dargestellt werden könne. Selbst bei exaktem Berechnungsprozess   sei  die letzte aktuell erzeugte Ergebnisdarstellung, z.B.  eine  zusammengesetzte  Fläche, immer nur  unvollständig  dargestellt. Und um immer  nahezu endlos viele Schritte auszuführen, fehle einfach auch die Zeit. 
• neu bei  Cohaerentic-Betrachtungen:  Es werden insbesondere auch klassisch konstruierte endlose  Grenzprozessen betrachtet. Sie können allein mit Zirkel und Lineal  bzw. den Urkurven Kreis und Gerade konstruiert werden.  Dabei   wird nicht  in  der von  Euklid   hierzu ausgehenden Denkblockade verharrt.  Auf zusätzliche Werkzeuge, die mit endlos vielen Schritten in eine exakte Postion gerückt werden müssen, kann hier verzichtet werden.  Sehr überraschend ist der Sachverhalt, dass es  für im Alltag nutzbare Ergebnisse   nur weniger und nicht endlos viel gezeichneter Kreise und Geraden bedarf. Das reale Arbeiten mit konstruierten endlosen Grenzprozessen ist wegen ihrer starken Konvergenz real möglich.  Die Cohaerentic-Kalkulationen bleiben auch bei ihren klassisch konstruierten Grenzprozesse   anschaulich nachvollziebar und  verständlich.

Gehen Rechenoperationen auf  Erfahrung zurück?

Was ist Berechnen? Hierzu gibt es keine Definition. Offenbar sind die Aktionen des mathematischen Berechnens  zu verschieden und zu vielfältig, um sie in einer kurzen Definition vollständig zu beschreiben?  Allen Aktionen des Berechnens ist gemeinsam, sie kommen nicht ohne Schritte  aus. Relativ schnell kann erkannt werden, es gibt Berechnungen, die enden nach endlich vielen Schritten und andere haben kein solches Ende. Sie sind  endlos fortsetzbare Prozesse, mit denen auch  Kommazahlen  mit immer mehr wahren Nachkommastellen herbei geschafft werden können.  

Hier betrachten wir nun auch klassisch konstruiertes Berechnen, bei dem räumliche Rechengrössen  zu neuen  verknüpft werden und so elementar nachvollziehbar verständlich bleiben. Die daraus abstrahierten Rechenoperationen sind Addition/Subtraktion für Strecken und Drehungen (Winkel), Multiplikation und Division für Strecken. Sie sind auch in die Internet-Enzyklopädie Wikipedia aufgenommen. 

Klassisch konstruierte Grenzprozess?  

Da die Enzyklopädie Wikipedia bekanntes Wissen aus der Literatur wiedergibt, folgt sie mit ihren Einträgen dem Verlauf der  historischen Entwicklung. Diese wurde in der Geometrie stark durch die ELEMENTE des Euklid (ca.330 v.u.Z.) geprägt. Wie in den ELEMENTEN, so fehlen  auch bei Wikipedia klassisch konstruierte Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten, die  endlose autokonvergente Punkte-Folgen erzeugen. Diese streben  nach Gesetzen des Erfahrungsraums hin zu Grenzpositionen / Grenzwerten. Die Grenzpunkte sind  im betrachteten Kohärenzsystem die abhängige Variable, sind das Ergebnis. Diese gezeichneten Prozessabläufe nennen wir deshalb klassich konstruierte Grenzprozesse. Müssen dabei keine den Prozess beeinflussenden Entscheidungen getroffen werden, sprechen wir hier von einem autokonvergenten Grenzprozess.

Das  folgende Bild zeigt, abweichend zur  euklidischen Tradition,  wie mit einen klassisch konstruierten autokonvergenten Grenzprozess   ein Winkel  ∠AMB  zum Winkeldrittel   ∠BG_GrenzZ bzw. ∠AMZ gedrittelt wird.  

Der beliebig gegebene Kreisbogen |AB| zwischen den Punkten A und C  wird  offensichtlich in zwei Abschnitte geteilt, einmal in ein Drittel |AZ|/|AB| = (1/3) und einmal in  Zweidrittel  |ZB|/|AB|=(2/3). Schon mit weniger als 10 gezeichneten Objekten geht die erzielte Ergebnis-Genauigkeit über die Anforderungen  des alltäglichen Lebens hinaus. Vom Prinzip her gibt es hier aber keine Grenzen.  

Seit Alters her wäre es wünschenswert gewesen ein  nachvollziehbares systematisches  Zusammenhangwissen uz besitzen, das    geometrisches Getriebe genannt werden könnte. Mit ihm könnte  Schritt um Schtritt nachvollziehbar die Bewegungsform  Translation in Rotation und umgekehrt Rotation in Translation umgewandelt werden. Dieses Urwissen, bei dem nur die Urkurven Kreis und Gerade verwendet werden, gibt es bislang nicht. Die bis heut offene Frage ist somit, können Schritte beider  Bewegungsformen allein durch klassisches Konstruieren mit Kreis- und Gerade- Objekten direkt miteinander verknüpft werden? Solches Wissen würde auch das allgemeine Winkelteilen durch klassisches Konstruieren ermöglichen, was heute als unmöglich gelehrt wird.

Wegen dier besagten  Lücke in dem Sammelwerk  ELEMENTE des  Euklid (ca. 330 v.u.Z. )sind bis heute zu den drei Uraufgaben  der Antike   nur wenige und  unbefriedigend nachvollziehbare   Lösungsprozesse in der Fachliteratur zu finden.  Dies kann sich   erst dann ändern, wenn die  Tradition von Euklid verlassen wird, welche  klassisch konstruierte Grenzprozesse nicht als exaktes Berechnen akzeptiert  und deshalb  in den ELEMENTEN  solche  Betrachtungen einfach weggelässt.    Mit dem Willen,   auch mit einer Sequenz von Kreis-  und Gerade-Objekten konstruierte endlose Lösungsprozesse, als ein exaktes Berechnen zu akzeptieren, werden auch die drei klassischen Aufgaben der Antike mit den Urkurven Kreis und Gerade lösbar und zwar anschaulich elementar nachvollziehbar:

Die Kreiskurve  betrachten wir  als die Urkurve  im Erfahrungsraum. Ihre  Kurvenpunkte P_k  haben zum Mittelpunkt M alle den gleichen Abstand. Der  Radius r = |MP_K|=konstant hat Grössen von Null bis zu endlos Gross.  Die Grösse der Kreiskurvenkrümmung ϱ =1/r   ist dabei umgekehrt proportional zur  Radiusgrösse. Die erfahrbare Erscheinungsform des Kreises reicht damit vom gedanklichen Punkt ohne Ausdehnung und endlos grosser Krümmung der Kreislinie  bis hin zu Kreisen ohne Krümmung, die als Gerade wahrgenommen werden. So gesehen betrachtet die Cohaerentic bei klassisch konstruierten Berechnungen nur Sequenzen zusammenhängender Kreiskurven mit endlos kleinen bis endlos grossen Radien bzw. endlos grossen und endlos kleinen Krümmungen.  

Das  obige  Bild macht nachvollziehbar, wie mit dem den gezeichneten  Plan des endlosen Rechengangs mit immer mehr Eckpunkten und einer Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kreis- und Gerade-Objekte  zum  exakten Grenzpunkt = Grenzwert  gelangt wird, zumindest gedanklich. Der endlose Plan ist hier mit nur endlich vielen  Schritten vollständig dargelgt, was durch zutreffende   Wiederholzyklen möglich wird.  Prinzipielle Beschränkungen an Zeit und matriellen Aufwendungen  führen dazu, dass der vollständig beschriebene endlose Rechengang  niemals vollständig umgesetzt (abgearbeitet) werden kann. Trotz des exakten Rechenplans (Rechengangs) kann die Grösse des Grenzwertes bzw, die Lage des Grenzpunktes als Ergebnisgrösse  niemals vollständig, sprich endgültig fertig dargestellt werden.  

Dieses eben dargelegte Vorgehen bedeutet ein Durchbrechen der  uralte euklidschen Denkblockade, die vom richtungsweisenden Grundlagenwerk ELEMENTE ausgeht, das einst der berühmte  Euklid (ca 330 v.u.Z.) zusammenstellte und auch mit eigenen Beiträgen veröffentlichte. Das   vorige  Bild ist ein Beispiel dafür, wie mit dem veränderten Paradigma der Cohaerentic   abweichend zu den  Zielen und Erwartungen, wie sie Euklid (ca. 330 v.u.Z.) in seinem Grundlagenwerk ELEMENTE in richtungsweisender Art demonstriert, nun auch Punktefolgen endloser Erzeugungsprozesse angestrebt  und dargestellt werden. Dabei wird gefordert, es muss nachvollziehbar sein, wie dem Ergebnis  "Grenzpunkt bzw. einen Grenzwert"  logisch nachvollziehbar zugestrebt wird.   Ein besonderes Schwerpunktziel   ist dabei das elementar konstruierte Berechnen des   Endpunktes vom gleichlangen, gerade gestreckten bzw. abgerollten Kreisbogen. Dieses Vorgehen mit vollständig nachvollziehbaren Schritten orientiert sich an der Lehre des  Konfuzius mit: "Der Weg ist das Ziel".   Das Interesse  ist hier auf real nachvollziehbare  Grenzrozesse  eines   "einsichtigen, nachvollziehbaren" exakten Ergebnis-Erzeugungsprozesses gerichtet.  Auf diese Weise werden  nun auch   klassisch konstruierte   Lösungsprozesse für dasWinkeldrittel, die Quadratseitenlänge des zum Kreis flächengleichen Quadrates oder die Würfelkantenlänge bei doppeltem oder halbiertem Würfelvolumen und Weiteres möglich. Das Ziel sind exakte verständlich nachvollziehbare und nicht nur genäherte konstruierte Zusammenhänge für das Berechnen.

Was motiviert   ein  verändertes Vorgehen?

Was kennzeichnet klassische Konstruktionen?

Euklidische Konstruktionen 

• Beschränkung auf Zirkel und Lineal (Urkurven Kreis und Gerade)
• Grenzprozesse, die einem Grenzwert, beispielsweise  einem Winkeldrittel als Ergebnis zustreben,  bleiben unbetrachtet und ungenutzt.
• Die Konstruktion muss  nach  endlich vielen Schritten  beendet sein.

Das klassische Konstruieren steht in der Tradition des Grundlagenwerkes ELEMENTE von Euklid (ca. 330 v.u.Z.) und erfährt dadurch nicht nur eine Beschränkung auf Zirkel und Lineal (bzw. Kreis und Gerade), sondern auch auf endliche Prozesse bzw. endliche Kreis-Gerade-Sequenzen. Darüber hinausgehende endlose Kreis-Gerade-Sequenzen für Grenzprozesse, die einem Grenzwert (Grenzwertpunkt) zustreben, bleiben bei Euklid   unbetrachtet. Dieser Sachverhalt begründet  eine Denkblockade zu klassisch konstruierten Grenzprozessen, die bis heute andauert. 

Klassische Konstruktionen  realisieren  kl. konstruiertes Berechnen

Lösungsauflagen

• Beschränkung auf Zirkel und Lineal (Urkurven Kreis und Gerade).
• Grenzprozesse, die einem Grenzwert /Grenzzustand als Ergebnis zustreben,  werden betrachtet und genutzt.
• Die Konstruktion ist nach  endlich vielen Schritten  beendet oder wird vorzeitig abgebrochen.
• Die Konstruktion muss bis zum letzten denkbaren Schritt anschaulich logisch nachvollziehbar sein.

Die von Euklid (ca. 330 v.u.Z.) praktizierte Beschränkung auf endliche Prozesse / Kreis-Gerade-Seuquenzen ist willkürlich, denn es gibt mit dem heutigen Wissensstand keinen  einsichtigen Grund dafür.  Deshalb werden wir hier nun auch Grenzprozesse betrachten und klassisch konstruieren. Dabei strebt der jeweils letzte Zwischen-Ergebnis-Punkt  dem gesuchten gedanklichen Ergebnis-Grenzwert-Punkt zu, der  beispielsweise der Grenzwert für ein Winkeldrittel ist.  Falsch und verwirrend wäre es hier,  klassisch konstruierte exakte  Grenzprozesse, die zu einem Grenzwert-Punkt konvergieren, auf  ein nur genähertes  Berechnen  zurück zu stufen.  Hier liegt ein klassisch konstruierter exakter Erzeugungsprozess  vor, denn es wird  mit immer mehr Schritten dem jeweiligen Grenzwertpunkt immer weiter zugestrebt. Ist dies nicht der Fall,  handelt es sich um eine  genäherte  Ergebnis-Erzeugung.

Exaktes Winkeldritteln nach N. Fialkowski  

Im zweiten Bild ist eine nach aussen laufende Zickzack-Linie hilfsweise hinzugefügt, um die Folge der von Fialkowski ausgeführten Halbierungen  leicher nachverfolgen zu können.

Die Konvergenz dieses exakten Winkeldrittelns ist schwach. Fialkowski hat deshalb seinem exakten Winkeldritteln durch Halbieren keine grosse praktische Bedeutung zuerkannt. Wir werden später noch zeigen, wie schon mit wenigen einfachen Mitteln eine deutliche Verbesserung der Konvergenz erreicht werden kann. 

Weitere Erörterungen dazu und auch weiter Beisiele für klassich konstruiertes exaktes Winkeldritteln folgen in der Rubrik:  Urberechnungen / Winkel / Drehung. 

 

Exaktes Rektifizieren  des Kreisbogens  nach  Fontana (1782) 

In der Fachliteratur wird zur Problematik des konstruierten Berechnens des Kreisverhältnisses  π=Halbkreisumfang / Radius immer zuerst die klassich konstruierte  π -Näherung von Kochanski (1685) zitiert. Diese Näherung kann mit mehr Rechenaufwand bzw. Konstruktionsschritten nicht verbessert werden. Anders ist es bei dem immer wieder vergessen,   schon (1782) erstmals vom italienischen Mathematiker Fontana vorgezeigten klassisch konstruierten  Grenzprozess, der dem Grenzwert "gestreckte Länge des   Kreisbogens"   bzw. dem Kreisverhältnis π = Kreisumfang/Durchmesser zustrebt. So können  unbeschränkt immer  genauere  Kreiszahlen πnum erzeugt werden. Die Fontana-Methode des klassisch konstruierten Berechnens kann sinnfällig bis zum letzten Schritt nachvollzogen werden. Die Kochanski-Näherungsmethode nicht. Mit der Fontana-Methode kann mit immer mehr   bekannten Wiederholzyklen zu  unbegrenzt  immer genaueren Ergebnis-Darstellungen πnum   gelangt werden. Auch mit meinen, später noch vorgezeigten klassisch konstruierten Abrolllängen können gleichfalls unbeschränkt verbesserte  Kreiszahlen πnum erzeugt werden. Auch hier setzt der inverstierbare Aufwand die Grenzen beim Realisieren.

Heute wird in der Fachliteratur  quasi nur dann von   Grenzprozessen  gesprochen, wenn  die beteiligten   Rechengrössen "Zahlen"  sind.  So liefert die Suche im Internet nach klassisch konstruierten Grenzprozessen,  die einem  Grenzwert im euklidischen Raum zustreben, keine Treffer.  Wir werden hier künftig aus Analogiegründen   auch dann von  Grenzprozessen sprechen, wenn mit einer klassisch konstruierten  "Kreis-Gerade-Sequenz"   einem  Grenzwert  zugestrebt wird, beispielsweise der Sehnengrösse eines gerade gestreckten Keisbogens, wie es das   folgende  Bild  zur Fontana-Methode (entnommen dem Buch Th. Vahlen Konstruktionen und Approvimationen,  Verlag B.G.Teubner Leipzig und Berlin 1911, S. 314) zeigt.

Seit Antiphon (ca 450 v.u.Z.) ist für die Berechnung der Kreisfläche bekannt, dass diese  mit einer immer weiter erhöhbaren Vieleckzahl auf eine nie endende, unbegrenzt genäherte  Ergebnis-Erzeugung und Darstellung hinaus läuft. Trotzdem hat Euklid (ca 330 v.u.Z.), aus  Gründen über die heute nur spekuliert werden kann, die Problematik der Grenzprozesse nicht in sein  berühmtes Grundlagenwerk ELEMENTE aufgenommen. Er hat diese   Problematik bewusst weggelassen. Dadurch kam es zu einer  Denkblockade zu konstruierten Grenzprozessen, die noch bis heute nachwirkt. In der Geometrie bleiben in euklidischer Tradition  somit klassisch konstruierte (gezeichnete) Grenzprozesse  bis heute nahezu unbetrachtet und werden als solche nicht erkannt und nicht entsprechend gewürdigt. So geriet der Grenzprozess von Fontana  immer wieder in Vergessenheit.

Weitere Beispiele für klassich konstruierte  Erzeugungsprozesse  folgen in der Rubrik Urberechnungen / Kreis  und   Urberechnungen / Würfel.

 

Nicht klassische Konstruktionen

• Zusätzlich zu Zirkel und Lineal sind weitere Werkzeuge zugelassen, wie ein Masslineal, ein Rechtwinkelhaken, Tomahawk usw.
• Auch über Kreis und Gerade hinaus gehende höhere Kurven, wie Parabel, Hyperbel usw. sind zugelassen.

Diese  Arbeitsrichtung wird mit  den Cohaerentic Kalkulationen nicht verfolgt, da mit ihrer Arbeitsrichtung "klassisches Konstruieren",  allein mit Kreisen und Geraden ausgekommen wird und damit der Umfang der Grundlagen überschaubarer bleibt.

Historisches 

Im  19. Jahrhundert wurde mit modernen mathematischen Methoden bewiesen, dass quasi mit nur endlich vielen  klassisch konstruierten Schritten kein exaktes Winkeldrittel, oder keine exakte Quadratseitenlänge eines  flächengleichen Quadrats zum Kreis oder auch keine exakte Würfelseitenlänge  eines   im Volumen verdoppelten Würfels dargestellt werden kann. 

Ausgetretene Pfade verlassen 

Was ist    B e r e c h n e n   und gibt es dafür eine allgemeine Definition?

Alle Aktionen eines geometrisch konstruierten Berechnens haben, wie auch alle Berechnungen mit Zahlen, das Ziel,  zu mehr Durchblick zu gelangen, um dann bessere Entscheidungen treffen zu können. Eine Definition für das mathematische Berechnen ist  in der Fachliteratur und auch im Internet nicht zu finden. 

Den Begriff Cohaerentic  haben wir für ein Wissen zu  Rechenzusammenhängen gewählt, die sich mit Hilfe  konstruierter  Sequenzen von Kreis und Gerade (= antike Beschränkung auf Zirkel und Linael)    in anschaulichen bildlichen Urkohärenz-Systemen abbilden und so erfahrbar werden. Cohaerentic-Kalkulationen gehen in der Anschaulichkeit und dem Rechnen mit konstruierten Grenzprozessen über die  in der Elementargeometrie bekannten klassischen euklidischen  Konstruktionen hinaus und können daher mehr leisten, was später immer umfassender  erklärt wird.  

Berechnen ist ein  Wahrnemen, Durchdenken und Handeln  in Schritten

Es ist ein grosses Rätsel, warum  die Hauptaktionen beim Berechnen in Schritten ablaufen, das sind das Wahrnehmen, das Durchdenken und das Handeln. Hängt dies damit zusammen, dass das Herz quasi auch in Schritten arbeitet? Ohne Zahlen kann durchaus berechnet werden, nicht aber ohne Schritte!

Bei den Cohaerentic- Kalkulationen werden   geometrisch konstruierte Rechenprozesse mit endlos vielen Schritten als  etwas Natürliches betrachtet.   Ein Rechteck kann bei Erhalt seiner Flächengrösse durchaus mit   vielen und  bis endlos kleinen Schritten in seiner Gestalt verändert werden. Real kann die Kleinseite endlich oft halbieret und die Grossseite endlich oft verdoppelt werden, in Gedanken sogar endlos oft.   Für den Erhalt der Flächengrösse müssen nur die beiden gegenläufigen Rechenoperationen quasi simultan stattfinden. Die endlose Iteration wird immer dann beendet werden, wenn sie zur sinnlosen Aktion wird.

Die seit der Antike historisch immer weiter vererbte  Forderung nach Berschränkung der Anzahl der Schritte  bis zur Ergebnisdarstellung erweist sich als Denkblockade.  Diese Beschränkung grenzt  vielfach willkürlich das Berechnen auf  nur sehr grob dargestellte Ergebnisgrössen ein. Nun werden bei den elementar gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen  auch Grenzprozesse mit theoretisch endlos vielen möglichen Schritten betrachtet. Dabei wird trotzdem  das Ziel verfolgt, schon mit wenigen  Schritten ein befriedigend genaues Ergebnis darstellen zu können. Dies führt  zur Aufgabe, nicht für Grenzprozesse mit Zahlen, sondern auch für  gezeichnet  konstruierte Grenzprozessen nach Verkürzungen zu forschen.  

Erste Beispiele zu konstruierten Grenzprozessen für Uraufgaben der Geometrie

Die Uraufgaben werden hier mit klassisch konstruierten Cohaerentic Kalkulationen berechnet. Die  Urberechnen betreffeb hier oft  einen mathematischen Satz, wie den  Höhensatz des Euklid und den  Satz des Pythagoras usw. Es gibt aber auch eine Reihe von Uraufgaben für die bis heute  keine  elementaren endlichen Lösungszusammenhänge gefunden wurden, die mit einem solch mathematischen Satz beschrieben werden kann.  Eine Uraufgabe, die einen wesentlichen Zusammenhang anspricht, lautet:

Der Kreisumfang bzw. das geometrische Verhältnis π ist mit einer  konstruierten Sequenz der Urkurven von Kreis und Gerade sinnfällig nachvollziehbar  zu berechnen.

Eng damit verknüpft ist die folgende  Uraufgabe und ihre Umkehrung:    

Es ist  mit einer  konstruierten Sequenz der Urkurven von Kreis und Gerade  die Transformation eines gegebenen beliebigen Drehungen-Verhältnisses  in eine gleichgrosse Strecken-Verhältnis, oder umgkehrt, sinnfällrig nachvollziehbar zu berechnen.

Oder anders beschrieben:

Allein mit einer konstruierten Sequenz der Urkurven Kreis und Gerade ist ein bildliches Kohärenzsystem zu erzeugen, in dem Translation und Rotation proportional miteinander verknüft sind, so dass es zu jedem Drehungen- Verhältnis  ein gleich grosses Strecken-Verhältnis  gibt und umgekehrt.

Die aus der Antike bekannte Kohärenzkurve Trisectrix des Hippias von Elis (5.Jh.v.u.Z.)  (heute Quadratrix genannt) kann mit Hilfe der  Kreis-  Gerade-Sequenzen als Punktekurve  beliebig veiler Punkten konstruiert werden. Exakte Transformationen sind hier nur mit den konstruierten exakten Punkten möglich.  Zwischen den Punkten gibt es nur    genäherte Transformationen.

Insgesamt wird die Konvergenz  verbessert, wenn zwischen 3 benachbarte Punkten ein Krümmungskreis gezeichnet wird.  Mit den immer mehr eakt konstruierten Punkten wird  sich immer mehr den gedanklich exakten Ergebnis unbeschränkt genähert. Der exakte Erzeugungsprozess der Punkte der Kohärenzkurve macht dies möglich.

Cohaerentic-Kalkulationen gehen in ihrer Zielstellung und ihrem Vermögen auch exakte Grenzprozesse  klassich zu konstruieren, über die klassischen euklidischen Konstruktionen hinaus. Dies wird später noch ausführlich gezeigt werden. Cohaerentic-Kalkulationen umfassen auch  anschaulich nachvollziehbare Beweise zum Richtigsein  und  für ein zweifelsfreies Zutreffen.

1. Beispiel:  

Klassische konstruierter Grenzprozess  Winkeldreiteilung

_{Bemerkenswert ist, es wird hier mit nur einer Zirkelöffnung (nur ein Kreisradius) ausgekommen.}

2. Beispiel:    

2.1.   Höhen-Satz  des Euklid (ca 330 v.u.Z.)

Quadratur des Rechteck 

Aufgabe: Aus einem Rechteck ein flächengleiches Quadrat gezeichnet  berechnen und umgekehrt.

Die folgende elementar gezeichnete endlicheCohaerentic-Kalkulation  betrifft den  Höhensatz des Euklid, zu dem  Euklid von Alexandria (ca. 330 v.u.Z.)  in seinem berühmten Grundlagenwerk ELEMENTE   (Euklid, ELEMENTE  1.Teil, II. Buch, § 14 (A.2), OSTWALDS KLASSIKER 235, Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G. Leipzig 1933)   eine elementare Konstruktion zeigt und zum Beweis des Richtigseins verbale Ausführungen macht.. Dabei  arbeitete   er  mit den Begriffen Ergänzungen im Parallelogramm, die sich bis heute im Satz der Ergänzungsparallelogramme erhalten haben.  

Die hier vorgezeigte  Cohaerentic Kalkulation ist ein überzeugendes Beispiel  für  den Unterschied zur euklidischen   elementaren Konstruktion samt verbaler  Beweisführung zum Richtigsein, die auf schon schon vorhandenes Rechenwissen aufbaut. Die Cohaerentic Kalkulation geht   mit dem grossen Rechteck KJLC und der Symmetrie-Diagonale KL  über die von Euklid zu seiner Satzaussage gezeichnete  elementare  Konstruktion mit den Punkten E; B; C; D; G; F und H hinaus.  Damit wird der    oben  angesprochene   Unterschied  b)  zur elementaren Konstruktion nachvollziehbar.

Mit der hier im Bild erfahrbar gemachten  Flächengleichheit von rotem Rechteck und  rotem  Quadrat wird die Kernaussage des Höhensatzes sehr anschaulich und  ohne zusätzliche Hilfsbetrachtungen nachvollziehbar. Dabei  spielt die gestrichelte Diagonale KL als Symmetrielinie die entscheidende Rolle, um die Richtigkeit der Flächengleicheit von rotem Rechteck und rotem Quadrat   zweifelsfrei erkennen zu können. In der elementaren Konstruktion des Euklid und allen später hierzu in der Fachliteratur  veröffentlichten elementaren Konstruktionen fehlt das Rechteck KJLC mit der Symmetrie-Diagonale KL. Später wird unter der Rubrik "Urberechnungen" zur Problematik  Höhensatz des Euklid  noch mehr ausgeführt werden. Weitere Betrachtungen gibt es dann  auch noch zur Kreisquadratur, zur allgemeinen Kreisteilung in beliebige ganzzahlig viele Sektoren (Tortensstücke)  und zu  weiteren Urzusammenhängen.

2.2   Quadratur des Rechteck

Aufgabe: Aus einem Rechteck ein flächengleiches Quadrat elementar konstruiert  berechnen und umgekehrt.

Für diese Uraufgabe gibt es verschiedene Lösungsansätze und nicht nur den im 1. Beispiel  beschriebenen Ansatz. Mein hier mit einer Cohaerentic-Kalkulation gezeichnetes Urkohärenzsystem zeigt einen allgemein gültigen  Rechengang, der kein Grenzprozess ist und damit endgültig nach endlich vielen Schritten das Ergebnis darstellt.  Mit der gestrichelten Diagonale geht die Cohaerentic-Kalkulation auch hier über eine elementare Konstruktion hinaus.  Mit der Symmetrielinie "Diagonale"  wird   die Richtigkeit des Ergebnisses der Flächengleichheit auf kurzem anschaulichen Weg gezeigt.

Das folgende Video zeigt für beliebige  Rechteckformen (Diagonalendrehungen)  einen anschaulich  nachvollziehbar  gezeichnetes Kohärenzsystem zur Quadratur des Rechtecks und lässt damit zugleich auch  den geomtrisch fundierten Berechnungszusammenhang erkennen. Dabei beweist die gestrichelte Diagonale  den richtigen Berechnungszusammenhang für alle möglichen Rechteckformen.

Der Ablauf-Punkt auf der Zeitschiene kann durch Anklicken angehalten werden und  auch vorwärts und rückwärts bewegt werden.  

3. Beispiel:   KLassisch konstruierter Grenzprozess für π   

Aufgabe: Das Geradebiegen des Kreisbogen  gezeichnet  berechnen.

Bildbeschreibung zur Rektifikation

Mit einem verdoppeloten  Durchmesser und einem halbierten Zentriwinkel wird jeweils ein neuer Kreisbogen mit unveränderter (konstanter)  Länge bei halbierter Krümmung gezeichnet  und dargestellt. Gedanklich kann dieser endlose Prozess immer weiter fortgesetzt werden.  Real wird jedoch immer nach endlich vielen Schritten abgebrochen, so bald  das praktische Endekriteruim erfüllt ist und keine  Bogenkrümmung mehr erkannt werden kann. Später wird noch demonstriert werden, wie auf der Grundlage eines kontinuierlichen Zusammenhangs der gezeichnete  Grenzprozess   deutlich verkürzt werden kann. Schon nach wenigen Schritten, gemessen an den möglichen endlos vielen Schritten  wird dann bereits eine befriedigend genaue  Ergebnis-Darstellung  erreicht. Diese kann bei Bedarf mit weiter investiertem Rechenaufwand  weiter verbessert werden. Diese Möglichkeit gibt es bei genäherten  Berechnungsprozessen nicht.

Beim vorgezeigten obigen Rechengang  kann das gezeichnet berechnete Ergebnis, die gestreckte Länge des Kreisumfangs (Unterschied b), zweifelsfrei gefolgert werden.  Es wird hier ein natürlich konvergierender Berechnungsprozess (Rechengang)  vorgezeigt, der einem Grenzwert zustrebt und damit  ein Grenzprozess ist. Mit dem Erreichen des  Krümmungs-Grenzwertes Null  wird  die  gestreckte  Kreisumfanglinie als  Strecke erkannt.    

Offene Fragen:

Hier wird auch gefragt werden, welchen Schaden gibt es, wenn vom  Alters her geforderte Ausschluss   endloser  Berechnungsprozesse abgerückt wird?  Ich behaupte, es geht hiedurch nichts verloren. Im Gegenteil, es werden viele gezeichnete exakte  Berechnungen so erst möglich, die zu einem  Mehr an  Verstehen führen, was  Berechnen ist.  Für Cohaerentic-Kalkulationen sind deshalb alle elementar zeichenbaren Berechnungsprozesse zugelassen, deren  gezeichnete Rechengänge   bis zum letzten Schritt     anschaulich  sinnfällig   nachvollzogen werden können.  

4. Beispiel:    Verkürzter klassich konstruierter Grenzprozess für π 

Aufgabe: Den Halbkreisbogen Schritt um Schritt, bei konstanter Länge, immer weiter gerade biegen

Der Ablauf-Punkt auf der Zeitschiene kann durch Anklicken angehalten werden und  auch vorwärts und   rückwärts bewegt werden.  

Beim realisierten Grenzprozess bilden die Endpunkte der immer weiter aufgebogenen Kreisbogen gleicher Länge   eine Punktekurve mit stetigem Verlauf und immer dichterer Punktfolge. Nach endlos vielen Schritten des Aufbiegen liegt der letzte Bogenendpunkt immer noch vor der Ordinaten-Achse. Die gedachte stetig verlaufende Kurve ist bei den letzten drei Bogenendpunkten einem Kreis sehr ähnlich.    Eine Verkürzung des Grenzprozesses wird erreicht, indem ein Kreis durch die letzten drei Bogenendpunkt gezeichnet wird, der dann die Ordinaten-Achse schneidet und ein Ergebnisgrösse für den konkreten Umfang an Schritten liefert.

Das Kreisverhältnis π ist definiert als Verhältnis  π=gestreckter Kreisumfang / Kreisdurchmesser. Leicht nachvollziehbar ist, mit immer mehr investiertem Aufwand (n; (n+1); (n+2) ... - Schritte) in exakte  nur mit Kreis und Gerade konstruierte Berechnungsprozesse  (endlose  Grenzprozesse) wird die  Grösse eines  aktuell  erzeugten   π_geo(n)   immer enger an die ideale Grösse von π heran gerückt, was theoretisch ohne Ende fortführbar ist.  

Per Vereinbarung bildet die symbolisierte Kreiszahl πnum(...)    die Grösse des Kreisverhältnisses π vollständig ab.  So weist die symbolischen Kreiszahl- Darstellung πnum(...) = 3,14159...   mit den drei Punkten auf  nicht endend viele  wahre Nachkommaziffern hin, die man sich quasi als alle vorhanden vorstellt. Die fortsschreitende Rechentechnik macht hier immer wieder neue Rekorde für die Anzahl der berechneten wahren Nachkommaziffern möglich.  

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