Enträtseltes  Winkeldreiteilen (WDT)?

Einführung in das Problem 
Die Zahl "3"  steht oft  für ungelöste Fälle,  auch für mysteriöse und   religiöse Zusammenhänge. So wird in der Bibel  die Umfanglänge eines kreisrunden Beckenrandes mit 3 mal größer als der Durchmesser angegeben. Diese mitgeteilte Verhältnis ist offenbare kein Ergebnis eines  Ausgemessens, denn  schon in der  der Antike gab es Versuche die Kreisumfang-Länge auszumessen. Es wurde auch erkannt,  die 3 ist nur eine Näherung an die wahre Umfanglänge,  die etwas größer als 3 ist. Seitdem wurde die 3  in der Bibel  nicht weiter präzisiert. Ein Grund für das Zögern  ist wohl  auch, die Einsicht, daß keine  verbessert  ermittelte Zahl  die wahre Größendarstellung eines Objektes und damit auch nicht  die  seiner Vervielfachungen und Zerteilungen  vollständig abbildet. Dieses Phänomen gibt es beim Kreisverhältnis   und auch bei Winkelgrößen.
Der französische Mathematiker P. Wrantzel (1814-1848) ist mit einer anderen Betrachtung quasi zu dem selben Ergebnis gelangt. Für die Winkeldreiteilung gibt es für das Ergebnis keine exakte Größendarstellung mittels berechneter  Ergebnisgröße als Zahl.  Wrantzel erkannte, das theoretische Dreiteilungsergenis hat keine Größe einer konstruierten Zahl, die   mit endlich viel konstruierten Objekten   vollständig dargestellt ist.  Wrantzel  und auch viele Andere bleiben hier im Einklang mit der historischen Tradition und lassen   klassich konstruierte Grenzprozesse unbetrachtet. Diese endlosen Prozesse sind   unausgesprochen mit einer Art "Denkblockade" belegt.  Hier werden wir zeigen, daß es durchaus Sinn macht,  diese   alte Tradion zu verlassen.  Die   mit klassisch konstruierten Grenzprozessen realisierten Winkeldreiteilungen sind keine, wie offenbar in der Antike erwartet,  sich endlos dahinquälende  Prozesse. Sie sind durchaus sehr effizient zu realisieren und erreichen  bereits  mit nur wenigen gezeichneten Objekte von Kreis und Gerade   reale Ergebnisdarstellungen von extrem hoher Genauigkeit.  die bereits schon weit über den   alltäglichen Anforderungen  liegen.  Die ererbte uralte Erwartung  eine  extrem genaue Darstellung der  Winkeldrittelgröße sei nur mit nahezu endlos vielen konstruierten Kreis- und Gerade-Objekten  darzustellen, erweist sich als unzutreffend und Irrtum. Die historische Literatur zeigt,  starke Lösungskohärenzen oder gar  effiziente Autokonvergenzen   werden hier nicht erwartet.
Von der Antike bis heute 
Ausgehend von dem  oben dargelegten Wissen suchen wir hier nicht nach einer konstruierten Zahl, welche den Drittelwinkel ohne Restfehler darstellt. Wir suchen nach  exakten Prozessen des Winkeldreiteilens.   welche natürliche Dreierkohärenzen von Winkeln nutzen, die als klassisch konstruierte Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten anschaulich nachvollzogen werden können.  In diesem Sinne  veröffentlichte  Archimedes (287-212 v.u.Z.) bereits ein erstes Kohärenz-Modell hierzu . Es ist  im folgenden Bild in der  linken oberen Bildecke gezeigt. Das rechte Bild veranschaulicht die konkrete  Lösungsumsetzung des   Archimedes-Vorschlages.
              
 
In diesem Beitrag werden die gezeichneten Objekte  in ihrer Abfolge  mit laufenden Nummern  und Buchstaben versehen. Zur eindeutigen Zuordnung sind die Zahlen noch um Buchstaben ergänzt,  Ist das dezeichnete Ojekt ein Kreis kommt ein  k oder K hinzu,  Bei einer gerade/Strecke kommt ein   g oder G. und bei einem Schnittpunkte ein S hinzu . Bei einem   S3(k1xg3)   symbolisiert  "x" das Schneiden/Kreuzen der Objekte k1 und g3.   
 
Dieses klassich konstruierten Kohärenz-Modells macht mit seiner Sequenz der zusammenhängend konstruierten Objekte von Kreis und Gerade anschaulich nachvollziehbar, wie von einem kleinen gegebenen  Winkel zu ganzzahlig vervielfachten  Winkeln gelangt wird. Auch die  umgekehrte  Betrachtungsrichtung,  vom gegebenen großen Winkel hin zum kleinen  abgeteilten Winkel, ist möglich.
Vervielfachen
Vervielfachen ist bei einem vorhandenen Kreis K mit einem eingezeichneten  Winkel bereits mit  nur zwei weiteren aufeinander folgend konstruierten Kreisen möglich.
Vervielfachen zum Kleinen hin
Das Dreiteilen des Winkels ist auch ein Vervielfachen. Statt der vielen großen Teile gibt es   nun viele kleine Teile. Der Strahlensatz, mit dem ein  beliebiges Vervielfachen einer Strecke  zum Kleinen hin möglich ist, führt bei Drehungen / Winkeln  nicht zum Ziel. 
Beim  Lösungsansatz des Archimedes (287-212 v.u.Z.) gibt es ein  Winkel-Kohärenzmodell, bei dem in der einen Betrachtungsrichtung ein vervielfachter Winkel erzeugt wird.  Die aufeinander folgenden Dreiecke  mit jeweils gleichlangen zwei Seiten zeigen  Symmetrie. Für das Vervielfachen zum Kleinen hin wird  mit der umgekehrten Betrachtungsrichtung gearbeitet.   Das Lösungsprizip ist, die Lösungskonstruktion wird Schritt um Schritt mit der   bekannten Zielgestalt   des exakten 3er-WDT-Kohärenzmodells zur Deckung gebracht. Die Schritt um Schritt herbei geführte Übereinstimmung mit der  "Zielgestalt" wird nur gedanklich erreicht, denn sie  kann nicht eindeutig festgestellt werden. 
Archimedes (287-212 v.u.Z.) fügte dem  den Drittelwinkel markierendem Lineal zwei Striche durch die Punkte S(Xx2G) und S(2Gx3.1K)   mit einem   Abstand von der Radiusgröße /M,S(XxK)/  hinzu. Wird das  auf der X-Achse und dem Punkt S(6KxK) aufliegende Lineal nach rechts verschoben, erfährt  es eine Drehung  gegenüber    X- und Y-Achse und erreicht den gesuchten exakten Drittelwinkel, wenn der Punkt S(2Gx2.1K) auf dem Kreis K zu liegen kommt, was aber nur gedanklich erfüllt werden kann. 
Mein  klassisch konstruiertes WDT-Kohärenz-Modell (linke Bildhälfte) kombiniert das archimedes´sche Modell. Rechts im Bild  wird ein kurzer exakter WDT-Grenzprozeß gezeigt, dessen klassiche Konstruktion schon nach wenigen konstruierten Objekten abgebrochen wird, da dann die gemessene verdreifachte Drittelwinkelgröße (rote Zahl)  schon über 15 wahre Nachkommastellen mit denen der Startwinkelzahl überein stimmt.
 
 
 
Gegeben Objekte sind:
- die Achsen X und Y, sowie der Grundkreis k0 um M
- der gegebene zu drittelnde Winkel ∠AMQ mit den Strecken MA und MQ 
 
Die kurze konstruierte Sequenz umfasst folgende Objekte:
1. Strecke g1 parallel zur Y-Achse
2. Strahl   g2, so in M gedreht, daß er g1 in M2 schneidet  
3. Kreis k3 um M2 mit einem Radius = 2* MA
4. Strahl g4 parallel zur X-Achse Gerade durch Punkt Q, der den Kreis k3 im Schnittpunkt S4(k3×g4) schneidet. 
5. blaue Strecke g5 = / M,S4(k3×g4) / schneidet Gerade g1 in Schnittpunkt S5(g1×g5)
6. Kreis k6 um S5(g1×g5) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt,  S6(g5×k6) und S6.1(g4×k6).
7. Strahl g7= / M,S6.1(g4×k6) / der  Gerade g1 in Schnittpunkt S7(g1×g7) schneidet.
8. Kreis k8 um S7(g1xg7) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt,  S8(g7×k8) und S8.1(g4×k8). 
9. Strahl g9 = / M,S8.1(g4×k8) / der  Gerade g1 in Schnittpunkt S9(g1×g9) schneidet.
10. Kreis k10 um S9(g1×g9) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt,  S10(g7×k10) und S10.1(g4×k8). 
11. Strahl g11 = / M,S10.1(g4×k10) / der  Gerade g1 in Schnittpunkt S11(g1×g11) schneidet.
12. Kreis k12 um S11(g1×g11) mit Radius=2*MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S12(g11×k12) und  
S12.1(g4×k12).
13. Kreis k13 durch die drei Punkte S8(g7×k8); S10(g7×k10) und S12(g11×k12), der auf Gerade g4 den Schnitt-
punkt  S13(g4×k13 ) erzeugt, welcher das erreichte Zwischenergebnis für den Drittelwinkel markiert. 
-14. Strahl g14 durch den Schnittpunkt S13(g4×k13) markiert den gesuchten  Drittelwinkel ∠AMD. 
 
Zum Zweck eines einfacheren Nachprüfens und Vergleichens der digitalen  Ergebnisgenauigkeit ist  der erzeugte Drittelwinkel mit den inneren roten Kreisen verdreifacht.
 
Kreuzschleifen-WDT- Kohärenzmodell
Bei dieses etwas abstrakteren WDT-Kohärenzmodell  bewegt sich der Mittelpunkt C einer Strecke EF auf einer Kreiskurve um Mittelpunkt M, wenn die Strecke   mit ihren  Endpunkten E und F an  den orthogonalen Achsen X un Y entlang gleitet.
Anhand der zwei Paare paralleler Strecken im Kreis um M ist gut zu erkennen,  daß diese Konstellation auch ein Merkmal für eine vorhandene Winkeldreierkohärenz ist.
 
Aus dem Sachverhalt, daß das  Zurechtschieben bis zur Deckung / Übereinstimmung mit der Zielgestalt nur theoretisch erfüllbar ist,  erwächst  der Wunsch,   zu einem Schritt um Schritt nachvollziehbaren autokonvergenten Prozeß des "Zurechtschiebens"  zu gelangen.  Ein Prozeß, der nur mit den Objekten Kreis und Gerade konstruiert werden kann.  Von der Antike bis heute  sind in der Fachliterarur  keine solchen Lösungen   zu finden. Mit dem  folgendes Bild lasse ich  den abstrakten Zusammenhang nochmals deutlich hervortreten.
 
Ein Dreierzusammenhang auf der Kreiskurve ist dann gegeben, wenn der schwarze      zusammenhängende Streckenzug im Kreis aus 4 Strecken,  je nach Betrachtungsstartpunkt,    
alternierend  zwei paralle  Strecken hat.
 
 
Dieses  klassich konstruierte WDT-Kohärenzmodell  leistet  in der einen Betrachtungsrichtung   ein  Verdreifachen des gegebenen Winkels bzw. Kreisbogens (rotes Dreieck), ohne daß das allgemein  bekannte Verdreifachens zum Einsatz kommt. In der andereen Betrachtungsrichtung  ist mit den zurecht gerückten  zwei parallelen Strecken  im Kreis das gesuchte  Drittel des Kreisbogens  markiert. 
Oben wurde schon gezeigt, wie  der Prozeß des Zurechtschiebens (Neusis-Prozeß) in einen nur mit den Objekten von Kreis und Gerade konstruierten  autokonvergenten Grenzprozeß übergeführt werden kann. Es folgen nun weitere Beispiele dazu: 
 
 In der vorigen  Konstruktion geht die nicht eingezeichnete  Lösungskurve (Trisektrix-Kurve)   durch die nacheinander erzeugten Punkte D; C; K usw. Sie schneidet schießlich im Grenzpunkt = Ergebnispunkt den  um Mittelpunkt M verlaufenden Kreis k1. Die Strecke zwischen Kreiskurve im 2. Quadranten und Y-Achse hat dann die gleiche Größe erreicht, wie der Kreisradius =MA.
Beim nächsten  Bild wird bei der Neusis-Einschiebung mit der ganzen Kreuzschleifen-Streckenlänge  gearbeitet. die dann von der Größe des Kreisdurchmessers von k2 ist. Diese größere Länge  verbessert die Konvergenz.
 
 
 
Multifache 3er-Winkelkohärenz
Überraschend ist, es  gibt   nicht nur die  einzelne  3er-Winkelkohärenz,  sondern eine multifache 3er-Kohärenz  im Gesamtsystem, wie folgendes Bild zeigt.  Mit den angebrachten Objektkennzeichnungen kann die Sequenz der erzeugten Objekte Kreis und Gerade wieder leichter nachverfolgt werden.
 
Elementare geometrischen Kohärenzen und ihre Darstellung mit klassischen Konstruktionen
Dreiteilung des Kreises
Wir beginnen diese  Betrachtungen mit einem   einfachen Kohärenzsachverhalt.  Mit ihm wird ein  Dreiteilen schon mit einer   Sequenz zusammenhängend konstruierter zwei gleich großer  Kreise und einer Geraden durch den Kreismittelpunkt M erreicht.   Dieses Dreiteilen kommt  ganz ohne Kenntnis von Zahlen und einem Rechnen mit ihnen zustande.  Das "gelbe gleichseitige Dreieck" ist das Ergebnis einer  Sequenz zusammenhängender  Objekte von Kreisen und Geraden.
 
 
In der  folgende Abfolgeliste  sind  die   gezeichneten Objekte Kreis k, Gerade g, und Schnittpunkt S(k1xg3) entsprechend   ihrer Aufeinanderfolge angeordnet und benannt:
  1.  beliebig liegende Gerade g1 im ebenen R^2-Erfahrungsraum
  2.  gezeichneter, beliebig liegender Punkt M=S2 auf der Geraden g1
  3. schwarzer Kreis k3 um den Mittelpunkt S2=M,  der zwei Schnittpunkte  S3-1 und  S3-2 auf der  Geraden g1 erzeugt
  4. um Punkt S3-1 konstruierter roter Kreis k4, der gleich groß zu Kreis k3 ist, und zwei neue Schnittpunkte S4-1 und S4-2 auf k3 erzeugt.
  5. gelbes gleichseitiges Dreieck durch die Punkte S3-1; S4-1 und S4-2
  6. um Punkt S3-2 konstruierter roter Kreis k6, der gleich groß zu Kreis k3 ist, und zwei neue Schnittpunkte S6-1 und S6-2 auf  k3 erzeugt, .
  7. rotes gleichseitiges Dreieck durch die Punkte S3-2; S6-1 und S6-2, welches mit seinen Seitenstrecken die des gelben Dreiecks schneidet und so weitere  innen liegende 6 Schnittpunkt als Teilungspunkte S7-1; S7-2; S7-3; S7-4; S7-5; S7-6 erzeugt.
Auf dem schwarzen Kreis k3 gibt es   6  reguläre Teilungspunkte S3-1; S3-2; S4-1; S4-2; S6-1; S6-2 und noch  6  innen liegende   Schnittpunkt S7-1 bis S7-2 der Seitenstrecken der Dreiecke  gelb und rot.  Diese erhöhen auf eine reguläre Zwölf-Teilung des Kreises.  Die Operationen des Dreiteilens produzieren auf der Grundlage der systematische Kohärenz im  euklid´schen R^2 -Raum (ebener Raum) zugleich duale  Vervielfachungen hin zum Großen und hin zum Kleinen. Das Große sind die Anzahl 12 der Kreissegmente und das Kleine ist die Flächengröße der erzeugten, hier nicht eingezeichneten, Kreissegmente.  
Der nächst naheliegenden  Frage wurde schon im Altertum nachgegangen. Kann der Winkel  zwischen den Teilungspunkten rot und gelb in gleich einfacher Vorgehensweise  ausgeführt werden? Hierzu gibt es schon seit der Antike mehrere Ansätze zu Lösungen.   Allerdings gibt es zum Winkeldreiteilen bis  heute  gewisse  Unklarheiten und auch Mißverständnisse. Diese Situation mündet in Streit, der auch den sogenannten Grundlagenstreit der Mathematik berührt, welcher in den zwanziger Jahren des 20. Jahrhunderts besonders heftig ausgetragen wurde.
Wir sehen wir das Ganze. Da gibt es Mißverstämdnisse  zu den im 19. Jahrhundert geführten arithmetisch-algebraischen Beweisen der Mathematik, denn exakte Prozesse eines exakt konstruierten   Winkeldreiteilens werden als "unmöglich" gelehrt.   Dazu   ist  im   Lexikon Wikipedia unter Dreiteilung des Winkels  im Abschnit  "Klassische Probleme" https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels (23.11.2023) geschrieben: 
 
Eine allgemeine Dreiteilung ist daher nur möglich, wenn neben Zirkel und Lineal auch zusätzliche Hilfsmittel Verwendung finden, etwa eine Trisektrix, oder wenn auf dem Lineal Markierungen angebracht werden. Andererseits sind mit Zirkel und Lineal beliebig gute Näherungslösungen darstellbar (siehe Abschnitt Näherungsverfahren).
 
Hier werden zwei verschiedene Arten von Dreiteilungen angesprochen. Die erste Art produziert dann theoretisch exakte Drittelwinkel-Lösungen, wenn   zusätzliche Hilfsmittel und Werkzeuges hinzu genommen werden  die noch notwendigen "Prozesse  des exakten Einpassungen und Platzierens". Es wird einfach vorausgesetzt, daß dies   mit theoretischer Exaktheit ausgeführt wird. Die hinzu genommenen Hilfswerkzeuge können  ein Rechtwinkelhaken, ein Tomahawk oder auch  eime Schablonen zu verschiedenen Zusammenhangkurven  (Kohärenzkurve) sein. Schon Archimedes (287-212 v.u.Z.) veröffentlichte eine solchen exakten Lösungsprozeß mit dem Hilfswerkzeug "Lineal mit Mass-Strichen", siehe oben.  Bei der zweiten Art der beliebig guten Näherungslösungen ist   noch zu unterscheiden zwischen:
  •  beschränkter Konvergenz, die für  Näherungsverfahren zutrifft.  
  •  unbeschränkte Konvergenz, die für klassisch konstruierte Grenzprozesse zutrifft.  Dieser Prozeß des Zustrebens kann theoretisch ohne Ende fortgesetzt werden. Eine gegebene  starke natürliche  Konvergenz macht dies überflüssig.
In der Fachwelt werden die verschiedene Typen von Kohärenzkurven   unter dem Sammelbegriff   Trisektrix  angesprochen. Viele dieser Kurven sind vom 2. Grad. Die älteste bekannte Kohärenzkurve ist die Trisektrix des Hippias (5. Jhd.v.u.Z.), auch als Quadratrix des Dinostratos (4.Jhd.v.u.Z.) bekannt. Sie wird als Spurkurve durch simultane zwei Bewegungen erzeugt, die Rotation der schwarzen Radiusstrecke NR um Punkt M und die Translation der Balkenstrecke AB  in Achsrichtung CM, wie es das folgende linke Bild zeigt.  Der Schnittpunkt zeichnet dann die Quadratrix als Spurkurve. Das rechte Bild zeigt, wie die Trisektrix des Hippias auch mit quasi simultannen fortwährenden Halbierungen des Kreisbogens CD und der Achsstrecke CM als exakte Punktekurve CQE konstruiert werden kann. 
 
Mit der Kohärenzkurve CQE wird nicht nur eine  spezielle  3-er  Kohärenz modelliert, sondern eine allgemeine proportionale  bidirektionale Kohärenz zwischen der Rotatation um M und Translation zwischen  C und M. 
 
Exakte  WDT mit gegebener  Parabel nach Descartes (1596-1750)
Lange Zeit unbetrachtet  blieben WDT-Lösungen mit  einer Parabel als Trisektrixkurve.   Der berühmte   Descartes (1596-1750) war der Erste, der diesen Lösungszusammenhang gefunden  hat und in seinem Buch "La Geometrie" im Jahre 1637 veröffentlichte. Im Internet-Lexikon Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels (23.11.2023)   bleibt diese exakte WDT  gegenüber den anderen nichtklassischen Lösungsverfahren mit Trisektrixkurven  nur sehr kurz erwähnt und  bleibt unterbewertet. Da dazu kein  Bild   gezeigt wird, gibt es bei Wikipedia   keine tiefer gehende Erörterung der 3er-Zusammenhänge.  Ein Grund für das geringe Interesse an der Parabel-WDT mag auch darin liegen, daß Descartes mit seinem beigefügten Bild seine Winkeldreiteilung   nicht   ausreichend anschaulich nachvollziehbar erklärte. 
 
 
Die von Descartes an den beiden linken und rechten Teilbildern  angebrachten Buchstaben finden sich im jeweils anderen Teilbild nicht wieder. Insgesamt ist das Bild  wenig selbsterklärend.
Mit den geometrischen Kalkulationen der Cohaerentic werden auch die Punkte von Parabeln  im karthesischen Koordinatensystem effizient konstruierbar. Sie   können so  beliebig dicht benachbart konstruiert und dadurch                                           immer genauere Schmiegungskurven für den Grenzbereich der geometrischen Grenzprozesses erzeugt werden.   Auf diese Weise wird die Dreiteilung des Winkels nach Descartes  durchgehend mit einer Autokonvergenz klassich konstruierbar.   Dem descartes´sche Verfahren kommt daher  eine  besondere  Bedeutung zu. Sie ist der  Grund für uns, die von  Descartes   mit einer quadratischen Parabel als Kohärenzkurve aufgezeigten Zusammenhänge ausführlicher als bei Wikipedia zu betrachten. Als Grundlage dafür nehmen wir unsere folgenden klassichen Konstruktionen, die als anschaulich nachvollziehbare    Sequenzen  von Kreis und Gerade-Objekten ausgeführt werden. 
 
              
                         
Im Interesse  einea besseren Durchblicks ist im obigen linken Bild  zunächst  nur das klassische konstruierte Kohärenzsystem mit der Parabel  gezeigt.   Im rechten Bild sind die gezeichneten Objekte  in ihrer Abfolge  wieder mit laufenden Nummern und Buchstaben versehen. Auf diese Weise  wird die Konstruktion als Sequemz gezeichneter Objekte mit ihren angebrachten Kennzeichnungen zur Objektfolge und Objektart besser verständlich.  Bei den nun  folgenden Bilder wird zwecks eines bessren Durchblicks  nur die Sequenz für die einfache 3er-Kohärenz  betrachtet.
 
 
Im linkenTeilbild wird mit Hilfe der  gezeichnet gegebenen Trisektrix-Kurve y=x2 (quadratischen Parabel p7 ) der  gegebene Winkel ∠(B,M,S3) zum gesuchten Drittelwinkel ∠B,M,S8 dreigeteilt. Hingegen wird im rechten Teilbild  ohne gegebene Parabel mit nur einem kostruierten Parabelpunkt  S9(g5xg9 ) der  gegebene Winkel   ∠(B,M,S4)  zum gesuchten verdreifachten Winkel ∠B,M,S12(k1xg12) vervielfacht. Der Schnittpunkt S12(k1xg12) wird  in der sequentiellen Abfolge der Objekte mit Strecke g12  erzeugt.     
 
Wie können  Trisektrix-Kohärenzkurven klassisch konstruiert werden? 
In der Neuzeit  werden die Punkte von  Kurven mit Hilfe von Zahlen mit  Computern berechnet und dann  Punkt um Punkt eine Punktekurve gezeichnet. Mit immer mehr, schließlich endlos dicht benachbarten Punkten geht die Punktekurve in eine gedanklich geschlossene Spurkurve über. Für die gezeichnete Erzeugung der Kegelschnittkurven Hyperbel,  Parabel und Ellipse sind schon seit der Antike Fadenkonstrktionen und auch  mechanische Geräte/Werkzeuge bekannt. Theoretisch werden auf diese Weise   ideale exakte Kurven erzeugt, was in der alltäglichen Praxis  aber nicht zutriffft. Hier macht die  Mathematik der Antike einen gedanklichen Sprung und  setzt  einfach voraus, daß die verschiedenen, quasi mechanisch erzeugten  Trisektrixkurven, als exakte Kurven  einfach vorhanden sind. Auf dieser Grundlage können dann exakte Dreiteilungszusammenhänge elementar konstruiert werden.
Mit nicht idealen Kurvenverläufen und  nicht idealen  Platzierungen der Kurven und Hilfswerkzeuge  wird trotz eines exakten Lösungs-Zusammenhangs  nur zu beschränkt genäherten Ergebnissen gelangt.  Die in der Literatur zitierten  Näherungsverfahren  sind von dieser Art  des beschränkten Konvergierens. Ein erreichter  kleinster Fehlerabstand zum wahren Ergebnis kann hier mit mehr Konstruktionsaufwand nicht weiter abgenaut werden.
Anders bei den Lösungsverfahren mit exakten Trisektrixkurven vom 2. Grad,   deren  Punkte   klassich konstruiert werden können. Dann ist mit einem klassich konstruierten Grenzprozeß  ein  unbeschränktes Konvergieren  an den wahre Ergebnispunkt = Grenzpunkt  möglich. Die Abweichung des letzten Zwischenergebnisse zum wahren Ergebnis können hier mit immer mehr betriebenem Konstruktionsaufwand immer weiter verkleinert  werden.  Allerdings erwartet die Fachwelt, seit der    Antike bis heute, sehr sehr viele, quasi endlos viele zu zeichnenden Objekte aa<erwartet,  ehe mit dem letzten Winkel-Zwischenergebnis zu einer für die Praxis befriedigenden Genauigkeit gelangt wird, beispielsweise 15 wahre Nachkommastellen bei der Winkelgröße.   Anders fomuliert, es wurde und wird hier  keine starke  Konvergenz erwartet. Die mangelnde Motivation führte hier zu einer gewissen Betrachtungsblockade. Über einen sehr langen Zeitraum fehlte die  Motivation zu   exakten Lösungsverfahren  mit Hilfe von klassisch konstruierten Grenzprozessen zu forschen. 
 
Das folgende Bild zeigt ein WDT-Verfahren bei dem   keine gegebene Parabelkurve erforderlich ist.  Es wird hierbei im Ergenisbereich ein Stück Parabelkurve als Schmiegungskreis konstruiert, der durch 3 kostruierte exakte Parabelpunkte im Grenzpunktbereich = Ergebnisbereich definiert ist.   
 
 
 
Die praktische Tauglichkeit  dieser Grenzprozeß-Lösung zeigt sich  schon nach dem ersten konstruierten roten rechten Konvergenzzyklus  mit seinem Zwischenergebnis  für den Drittelwinkel mit 14 wahren Nachkommastellen. Die Sequenz des 1. Konvergenzzyklus liefert mit den rechten roten Objekten ein 1. Zwischenergebnis, welches dann Ausgangspunkt für den  2. Komvergenzzyklus  (linke blaue Objekte) ist. Zwecks einer besseren Vergleichbarkeit  werden die   verdreifachten  Zwischenergebnise des  Drittelwinkels vom 1. und 2. Zyklus  mit dem Startwinkel ∠AMB verglichen. 
 
Spirale des Archimedes (3.Jhd.v.u.Z)) 
Weitere WDT-Kohärenzkurven sind die Spirale des Archimedes (3.Jhd.v.u.Z)) und auch die Hyperbel, deren erste Benutzung Pappos (4.Jhd.v.u.Z.) zugeschrieben wird.
Konchoide des Nikomedes ( 280-210 v.u.Z.)  
Die in der Fachliteratur häufig zitierte Konchoide des Nikomedes ( 280-210 v.u.Z.) ist gleichfalls eine Trisektrix. 
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Maclaurin_trisectrix.svg#/media/Datei:Maclaurin_trisectrix.svg.
Trisektrix  von Colin Maclaurin (1698-1748)
Die Trisektrix  von Colin Maclaurin (1698-1748) ist eine spezielle Ausbildung der Konchoide, die als Kurventyp  schon seit Nikomedes ( 280-210 v.u.Z.) bekannt ist. Eine Auflistung zu weiteren Trisektrix-Kohärenzkurven ist im Internet-Lexikon Wikipedia unter dem Suchwort Trisektrix zu finden.  
  
 
Was ist effizienter, die "try and error" konvergierenden   oder  die  autokonvergenten Grenzprozeß- Verfahren?
Im Internet-Lexikon  Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels (23.11.2023)  wird im  Abschnitt Näherungsverfahren sinngemäß geschrieben, daß solche gezeichnete beliebig genaue  Näherungen auch allein mit Kreisen und Geraden ausgeführt werden können. Welche Art der Näherung sind mit dem Wikipedia-Aufsatz angesprochen Sind es  Näherungen, wie sie   vom Schneidermeister Kopf für die Ermittlung des Winkeldrittelns oder wie sie vom polnischen Mathematiker A.Kochanski (1631-1700) für die Ermittelung des Kreisverhältnisses π veröffenlicht wurden? Nein, diese  sind damit offenbar nicht gemeint, denn sie enden nach wenigen Schritten. Lösungen mit klassisch konstruierten Grenzprozessen sind es offenbar auch nicht. Solche sind in der historischen Literatur und auch im Internet-Lexikon Wikipedia nicht zu finden.
Naheliegend ist das übertragen von arithmetischen Vorgehensweisen auf klassische Konstruktionen. Bein arithmetischen Teilen wird  ein erster verbleibender  noch ungeteilter Rest nachfolgend  auch noch   geteilt usw.  Diese  Rest-Teilungsergebnisse  werden jeweils dem vorangegangenen  Teilungsergebnis zu einem aktuellen  Summen-Ergebnis zuaddiert.   Dieses    Aktionenszyklen können  immer weiter  fortgesetzt werden, zumindest theoretisch. In der Praxis wird   der endlos mögliche  Prozeß beendet, wenn ein gewählter  Abstand zum wahren Ergebnis unterschritten wird.   Ein Vorgehen, wie es beim Teilen einer Zahl mit arithmetischen Rechengregeln ausgeführt wird, läßt sich also auch auf ein klassisch konstruiertes Berechnen übertragen. Solche klassische durch Schritte geprägte  Konstruktionen sind bei Wikipedia nicht zu finden. Das  Hintereinanderschalten des Kopfschen Näherungsverfahrens, bei dem die ungeteilten Reste immer wieder geteilt werden usw, wäre ein Beispiel dazu.
Die interessante Frage zu exakten Winkeldreiteilungen ist nach den obigen Darlegungen  nicht mehr die seit der Antike verfolgte Frage, ob die Teilung mit den  bekannten natürlichen geometrischen Kohärenzen exakt möglich ist oder nicht, sondern  mit welchen Verfahren das Winkeldreiteilen am effizientesten möglich ist?  Sind es die "try and error" konvergierenden Verfahren  oder die autokonvergenten Grenzprozeß-Verfahren? 

 

 

Weiteres zu klassisch konstruierten exakten WDT-Grenzprozessen  

Heute ist mit den berühmten mathematischen "Unmöglich"-Beweis  vom  französische Mathematiker Pierre Wantzel  im Jahr 1837   allgemein akzeptiert, daß es keine klassich konstruierten exakten WDT-Prozesse geben kann. Der wahren Winkeldrittelgröße könne allein nur mit den Objekten Kreis und Gerade   nicht  schrittweise zugestrebt werden. Es bedürfe hier weiterer Hilfsmittel, wie den Kurven des 2. Grades, wie Parabeln, Hyperbel und noch höher oder weiterer Werkzeuge. Bei den dazu geführten  Erörterungen bleibt leider der  folgende  Sachverhalt immer unangesprochen, was zu Verwirrung führt.  Wir wollen uns hier daran erinnern, daß jede  belibige   Größe, so auch die Winkelgröße,  sich  in keine   exakt abbildenden  Zahl ausmessen lässt. Jede   Winkeldrittelgröße natürlich auch nicht.    Der besagte Beweis von Wrantzel beweist tatsächlich nicht die "Unmöglichkeit für  exakt zutreffenden Winkeldrittel-Prozesse, sondern die Unmöglichkeit, daß der Endzustand mit einer diskreten Zahldarstellung  abgebildet werden kann. Wantzel   hatte erkannte,   die   erwartete, zusammengesetzt zu konstruierende   Winkeldrittelgrösse kann keine mit endlich vielen Schritten fertig darstellbare  Größe (konstruierbare Zahl) sein. In der Begeisterung für diese Leistung   wurde  aber dann etwas übers Ziel hinaus geschossen. Bis  heute  wird immer noch von einem   absoluten "WDT-Unmöglich" für alle  klassisch nur mit Kreis und Lineal  konstruierten Prozesse gesprochen. Es wird hier kein Unterschied zwischen den klassisch konstruierten Grenzprozeß der  Erzeugung eines gesuchten konstruierten Ergebnisses und dessen durch Schritte geprägte Größen-Darstellung gemacht. Diesen Schverhalt gibt es auch an anderen Stellen, insbesondere auch beim Kreisverhältnis π. An dieser Sachlage  ändert auch ein  zum wantzel´schen Beweis verkürzter Beweis nichts, der von    D.Laugwitz  im Jahr 1962 für den einfach konstruierbaren   60°-Winkel veröffentlichte wurde.
 
Exakte Prozesse mit zusätzlichen Hlifsmitteln sind letzendlich auch nur schrittweise Lösungsannäherungen mit endlosen Prozessen 
Zu den exakten WDT-Prozessen mit zusätzlichen Hilfsmitteln ist im Internet-Lexikon   Wikipedia zu lesen:
 
„Obwohl eine klassische Konstruktion nicht möglich ist, kann die Dreiteilung eines Winkels unter Zuhilfenahme von Hilfsmaterialien, wie eines markierten Lineals, exakt vollzogen werden. Einige dieser Techniken waren bereits in der Antike bekannt./“https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels(09.07.2023). 
 

Bei allen  sogenannten  nichtklassichen Verfahren gibt es mit den Hinzunahmen der Hilfsmittel allerdings ein Problem, welches bisher  unbetrachtet bleibt.   Die hinzu genommenen Werkzeuge und Kurven müssen in idealer Platzierung und mit idealem Kurvenverlauf eingesetzt werden. Dies gelingt nur mit theoretischen Annahmen. In der praktischen Ausführung wird die Platzierung des "Archimedes-Lineals mit Abstand-Strichen" mit Schritten des Zurechtrückens  ausgeführt. Diese müssen immer kleiner werden,  um die  ideale Platzierung zu erreichen. Diese kann aber  vom Prinzip her nie vollständig   erreicht werden.  Die Aktion mit den  immer kleiner werdenden Rücke-Schritten ist quasi endlos fortzusetzen. Da dieser Prozess jedoch in der Realität immer abgebrochen wird, bleibt  auch hier das zu konstruierende  Ergebnis in seiner  Grössendarstellung  immer unvollständig dargestellt.  Dem  exakten Ergebnis wird nur dann unbeschränkt zugestrebt, wenn der  aktuelle Konstruktions-Plan ein exakter und kein genäherter ist.  Mit der Hinzunahme gegebener höherer Kurven und weiterer Werkzeuge werden die hier  erforderlichen endlosen Prozesse auf vorausgehende Berechnungen und Aktionen ausgelagert (verschoben).

Das folgende Bild zu einem einfachen  endlosen WDT-Grenzprozeß ist dem  

 

Buch  "N. Fialkowski,Theilung des Winkels und des Kreises , Wien Druck und Verlag von Carl Gerolds Sohn 1860" Seite 11  

entnommen. 

 

Kubische Gleichung und Rechtwinkelhaken
Im Jahre 1932 schreibt  L.Bieberbach  imJournal für die reine und angewandte Mathematik  in seinem Beitrag "Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen"   

Bekanntlich kann ... jede kubische Konstruktion auf die Dreiteilung des Winkels und auf die Vervielfachung des Würfels, d. h. die Ausziehung der dritten Wurzel zurückgeführt werden. Ich brauche also nur zu zeigen, wie diese beiden klassischen Aufgaben mittels des Rechtwinkelhakens gelöst werden können.

 

Effiziente Verfahren gesucht?  

Der Focus des Cohaerentic-Betrachtens ist hier auf klassich konstruierte exakte WDT-Prozesse   gerichtet, die besonders effizient sind.  

Mit den   folgenden  Bilder wenden wir uns nochmals den   klassich konstruiertem exaktem WDT-Kohärenzmodell mit einer  Kohärenzkurve "Kreis" vom  2-ten Grad und einem charakteristischen innenliegenden Streckenzug AMBCD mit den besagten zwei parallelen Streckenpaaren zu. Die Lösungskonstruktion nähert sich hier schrittweise mit einer Sequenz aus nur Kreis- und Gerade-Objekten dem charakterischen Streckenzug AMBCD. Dieses Verfahren ist ein  autokonvergenter Grenzprozeß.  

Der grüne Kreisbogen ist doppel so lang wie der rote Kreisbogen. Die weiteren Bilder zeigen Beispiele zum  Streckenzug mit jeweils zwei parallelen Streckenpaaren auch für Dreiteilungswinkel größer 90°,180° und auch 360°.

  

Die Struktur des exakten WDT- "K r e i s"- Kohärenzmodells  tritt  mit   den gleichen Paaren paralleler Strecken hervor, mit MA parallel BC und MB parallel CD. Das  betrachteten WDT-Kohärenzsystem ist auch  Teil eines "Kreuzschleifen-Systems", bei dem  die gestrichelten Strecken der Größe = 2*/MA/ in den vier Quadranten an den Koordinatenachsen gleiten.  Dabei zeichen die Streckenmittelpunkte B  bzw. auch  C  als Spur die Kreiskurve um Mittelpunkt M.

     

Die spezielle Kreuzschleifen-Kohärenz wird für die  Aktion des schrittweisen autokonvergenten Annäherns der Lösungskonstruktion an die des  WDT-Kohärenzmodells genutzt. Dazu wird die Strecke der Größe = 2*/MA/  im Punkt D schrittweise gedreht, bis sich der konstruierte Lösungsstreckenzug mit dem WDT-Kohärenzmodell-Streckenzug  /AM/ parallel /BC/ und /MB/ parallel /CD/ deckt. Die jeweils aktuelle Schrittgöße der Drehungsnäherung ist für jeden beliebigen Drehungsstartpunkt duch den autokonvergenten Prozeß automarisch bestimmt.

Beschreibung eins effizienten  WDT-Grenürozesses

Gegeben sind die karthesischen Koordinatenachsen X und Y und zwei sich im Punkt M schneidende Strecken MA und MD, welche den zu drittelnden Winkel einschließen. 

Die gesuchte WDT-Lösungskonstruktion   strebt dem exakten WDT-Kohärenzmodell mit einer  Kohärenzkurve 
"K r e i s" und einem inneliegenden Streckenzug AMBCD zu, der aus zwei Paaren paralleler Strecken besteht. Es gibt hier  zwei Möglichkeiten, rot und schwarz,  für die  Strahldrehung um  Punkt D, um dem  roten und schwarzen Grenzpunkten C und E schrittweise zuzustreben..  Einmal  wird sich  mit den roten Kreisbogenradien der Größe /MA/  den roten Grenzpunkt C auf dem Kreis um Punkt M genähert. Das andere MAl wird sich  mit den schwarzen Kreisbogenradien der Größe 2*/MA/ den schwarzen Grenzpunkt E aud der Y-Achse genähert.
 

Vor dem nullten Grenzprozeß-Iterationszyklus  werden die Startpunkte C1, rot und E1,schwarz erzeugt, welche von Punkt F1 den Abstand des Radius MA und des doppelten Radius 2*MA haben. Der erste Iterationszyklus erzeugt mit Kreisbögen rot und schwarz um  den Mittelpunkt F1 die  Punkte C02. rot auf den Grundkreis und E02.schwarz  auf der Y-Achse. Der zweite Iterationszyklus erzeugt  mit Kreisbögen rot und schwarz um den Mittelpunkt F2 je einen weiteren  genäherten roten Punkt auf dem Grundkreis und einen weiteren genäherten schwarzen Punkt auf der Y-Achse. Nach diesem Schema kann die Iteration unbeschränkt bis ins Endlose fortgesetzt werden. Die Radien der roten und schwarzen Kreisbögen bleiben zum jeweils nächsten Zyklus immer erhalten.  Das Bild zeigt deutlich, die schwarze Annäherung ist   immer deutlich näher dem Grenzpunkt E  als der Achsschnittpunkt der  roten Annäherung. Das Annähern kann von jedem beliebigen Startpunkt Fi aus beginnen. Die Größe der aktuellen Drehungsschritte ergeben sich infolge der WDT-Kohärenmodell-Eigenschaft "autokonvergent" automatisch. Sie werden automatisch immer kleiner bis ins endlos Kleine. 

Sehr gute Effizienz des schwarzen Grenzprozesses: 
Schon nach 5 Iterationszyklen, die fünf von D ausgehende Strahl-Objekte und  fünf  Kreisbögen mit Radiusgröße  2*/MA/  umfassen, wird eine  Ergebnisdarstellung mit 15 wahren Nachkommastellen erzielt. 
 
Autokonvergenz 
Die bisherigen Bilder zeigen eine effiziente Möglichkeit, wie für unser obiges WDT-Kohärenzmodell  eine angestrebte  Autokonvergenz erzeugt wird.
Eine weitere  Möglichkeit für  eine andere Erzeugung der   Autokonvergenz zeigt das folgende , dem Buch Cohaerentic entnommene Bild.
 

 

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