Rechteck in flächengleiches Rechteck
bei veränderter Seitengrößen
Das bildliche Kohärenzsystem der folgenden Cohaerentic-Kalkulation macht für verschiedene Rechteckgestalten (vom ganz schlanken Rechteck bis zum Quadrat ) anschaulich nachvollziehbar und verständlich, dass jeder rechte obere Rechteckpunkt auch ein Punkt einer Hyperbelkure ist und diesem Hyperpunkt auch eindeutig ein Punkt der Kreiskurve zugeordnet ist.
Die Sequenz der gezeichneten Objekte kann anhand der laufenden Nummern an den Objekten leichter nachverfolgt werden. Der Buchstabe G kenzeichnet dabei eine Gerade, K einen Kreis und S einen Schnittpunkt.
Rechteck in flächengleiches Rechteck
mit zwei gleichen Seitengrößen = Quadrat
Rechteck <-> Quadrat- Kohärenz
Im folgenden Bild unterscheiden sich die beiden als Cohaerentic-Kalkulation gezeichneten Kohärenzsysteme nur in der Rechteckgestalt, schlank und schon einem Quadrat ähnlich. Der gezeichnete Rechengang ist für jede Rechteckgestalt der gleiche. Mit einer nur sehr kurzen Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kreis- und Strecken-Objekte wird das flächengleiche Quadrat aus dem gegebenen Rechteck klassisch konstruiert berechnet und dargestellt, und zwar anschaulich nachvollziehbar.
Diese anschauliche Cohaerentic Kalkulation weist gegenüber den bekannten Konstruktionen zur "Quadratur des Rechtecks", den Vorteil der direkten anschaulichen Evidenz auf. Diese gibt es für beide Richtungen des Berechnens, vom Rechteck zum Quadrat und auch für vom Quadrat zum Rechteck.
Eine vergleichbar anschauliche Evidenz fehlt bisher bei den relevanten Berechnungen im Grundlagenwerk ELEMENTE des Euklid (ca 330 v.u.Z.), die im Internet unter www.wikipedia/wiki/Quadratur_des_Rechtecks als gesammelte Wissensbeispiele zur "Quadratur des Rechtecks" vorgezeigt werden. Unsere Cohaerentic-Methode kann hier nicht zum gesammelten Wissen hinzugefügt werden, da sie durch keine Literaturstelle als Quelle belegt werden kann, wie es in der "Diskussion" zum Artikel "Quadratur des Rechtecks" erklärt wird.
Beschreibung zur Richtung "Rechteck->Quadrat"
Von der Langseite des Rechtecks ausgehend wird das grosse Hilfsquadrat, samt seiner Diagonale und dem Umkreis, gezeichnet. Im Schnittpunkt der Diagonale mit der oberen Langseite des Rechtecks wird eine Senkrechte zur Diagonale gezeichnet, die den Umkreis in zwei Punkten schneidet. Durch diese Punkte wird ein Kreis gezeichnet, dessen Mittelpunkt der rechte untere Eckpunkt des Rechtecks ist. Der Schnittpunkt dieses Kreises mit der Diagonale ist der Eckpunkt des gesuchten flächengleichen Quadrates.
Beschreibung zur Richtung "Quadrat->Rechteck"
Hier sind ein gegebenes Quadrat mit seinem Diagonalenen-Strahl durch zwei Eckpunkte, sowie eine beliebig gross gegebnene Rechteckseite, der Ausgangspunkt der Berechnung. Nun ist zu entscheiden, wo die gegebene Rechteckseite angetragen wird. In deren Endpunkt wird dann eine Senkrechte errichtet, die von einer in die obere Quadratseite gelegten Geraden geschnitten wird. Von diesem Schnittpunkt wird eine Strecke zum unteren rechten Quadrateckpunkt gezeichnet. Diese Strecke ist eine Symmetriegerade und schneidet die linke Quadratseite. Dieser Schnittpunkt legt die Grösse der gesuchten Rechteckseite fest, so dass dieses vollständig zu Ende gezeichnet werden kann.
Empirischer Beweis zur Flächengleichheit für beide Richtungen des Berechnens:
In die obere Quadratseite wird eine Gerade (Parallele) gelegt, welche die linke Seite des HilfSquadrates schneidet. Durch diesen Schnittpunkt wird eine Strecke zum unteren rechten Rechteckpunkt gezeichnet. Diese Strecke ist als Diagonale eine Symmetriegerade. Sie schneidet zugleich die obere Langseite des Rechtecks und die linke Quadratseite. Aus Symmetriegründen sind rechts und links an der Symmetriegeraden alle korrespondierenden Flächenpaare gleich gross und damit stimmen auch Rechteck und Quadrat in ihrer Flächengrösse überein.
Video zur Quadratur des Rechtecks
Das nachfolgende Video zur Quadratur des Rechtecks zeigt ein klassisch gezeichnetes Urberechnen. Es hebt die Bedeutung der Symmetrie-Gesetzmässigkeit mit der Symmetrie-Diagonale nochmals deutlich hervor. Das Video vermittelt, der gezeichnete Zusammenhang ist ein allgemeingültiger, der vom ganz schlanken Rechteck bis hin zur Quadratgestalt zutrifft.
Wirkt Euklids Tradition vielleicht noch nach?
Mein Versuch, meine sehr anschaulich und sehr kurze Quadratur des Rechtecks als Ergänzung zu den bei wikipedia.org schon aufgelisteten Methoden hinzuzufügen, wurde gelöscht. Für das Nachprüfen auf ein Richtigsein des neuen Wissens fehle eine anerkannte Quelle. Mein selbst geschriebenes Buch Cohaerentic sei als Quelle nicht akzeptabel. Folgt dieses Vorgehen einer Tradition? Folgt hier wikipedia.org bewusst dem Erbe von Euklid, warum einfach erklären, wenn es auch etwas umständlicher erklärt werden kann? Der elitäre Euklid soll ja der Legende nach auch seinem König mit, "Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik" eine Absage erteilt haben, als dieser für sein Studium der Geometrie nach kurzen verständlichen Wegen verlangte.
Höhen-Satz des Euklid (ca 330 v.u.Z.)
Unterschiede von elementarer Konstruktion und Cohaerentic-Kalkulation am Beispiel der "Quadratur des Rechtecks"
Die Quadratur-Aufgabe Rechteck->Quadrat betrachtet Euklid in seinem berühmten Grundlagenwerk ELEMENTE 1.Teil, II. Buch, § 14 (A.2), OSTWALDS KLASSIKER 235, Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G. Leipzig 1933. Die von Euklid dazu gezeichnete elementare Konstruktion zeigt das folgende Foto:
Die zu lösende Aufgabe lautet hier, aus dem gegebenen Rechteck mit den Eckpunkten BCDE ist die gesuchte gleich grosse Quadratfläche durch Zeichnen zu berechnen und darzustellen. Mit der gezeichneten Höhe EH endet bei Euklid das gezeichnete Konstruieren. Das Foto mit dem Text neben dem Bild zeigt, Euklid führt einige gedankliche Zwischenrechnungs-Schritte aus, ehe er die verbale Aussage zum Höhen-Satz BE*EF=EH2 hin schreiben kann. Aus dem Bild der elementaren Konstruktion allein kann hier die Bestätigung der Satz-Behauptung (Richtigsein des Ergebnisses EH) nicht entnommen werden. Es fehlt in Euklids gezeichneter Konstruktion der gezeichnete zweifelsfrei zutreffende anschauliche Beweis? Bei dieser von Euklid praktizierten Vorgehensweise ist man bis heute geblieben, wie ein Blick in die Lehrbücher, mathematische Lexika und ins Internet zeigt.
Meine gezeichnete Cohaerentic-Kalkulation, mit der die Aufgabe "Quadratur des Rechtecks" gelöst wird, schliesst mit der gestrichelten Rechteck-Diagonale KL auch den zweifelsfrei zutreffenden anschaulichen Beweis zur Flächengleichheit von rotem Rechteck und rotem Quadrat ein.
Elementar gezeichnete Cohaerentic Kalkulation zum Höhen-Satz des Euklid (4.Jh.v.u.Z.)
Cohaerentic-Beweis zur Flächengleichheit mittels Symmetrie-Gesetz
Ein gezeichnetes beweisendes Berechnen soll natürlich immer mit einem möglichst geringem Aufwand erfolgen. Die Gleichheit soll auf möglichst elementarer Ebene beweisen werden, da dann das Bewiesene am besten überzeugt. So habe ich hier die elementare Konstruktion des Euklid zum Höhensatz um einen kurzen, anschaulich nachvollziehbaren Beweis vervollständigt.
Beweis-Beschreibung:
Ein Rechteck hat zwei Symmetrie-Diagonalen. Hier teilt die gestrichelte Diagonale KL das Rechteck KJLC in zwei gleich grosse Halbrechteck-Flächen KJL und LCK. Der Punkt E auf dieser Symmetrie-Diagonale KL teilt dann das Gesamtrechteck KJLC in drei Paare gegenübeliegender Flächen, in zwei äussen liegende Halbrechteck-Paare und ein innen liegendes Paar von Rechtecken. Alle diese Flächenpaare sind aus Symmetriegründen immer von gleicher Flächengrösse zueinander, unabhängig von der Gestalt des Gesamtrechtecks, die durch die Drehungsgrösse seiner Symmetrie-Diagonale KL bestimmt wird.
Der Unterschied
Der Unterschied der elementaren Konstruktion von Euklid zu meiner gezeichneten Cohaerentic-Kalkulation zeigt sich wie folgt. In Euklids Konstruktion fehlen die Teile seines gedachten Rechengangs als anschaulich nachvollziehbar gezeichneter Rechengang /-weg. Bei meiner obigen Cohaerentic Kalkulation ist der gezeichnete Rechengang für die Aufgabenlösung und den Beweis der Flächengleichheit anschaulich nachvollziehbar und insgesamt vollständig dargestellt.
Über die Motivation von Euklid
Warum nutzten die Vorgänger von Euklid und auch er, sowie auch seine geistigen Erben, nicht den fundamentalen Symmetrie-Zusammenhang, der in der obigen Cohaerentic-Kalkulation genutzt wird? Bekannt war diese Symmetrie-Gesetzmäßigkeit schon damals. Euklid selbst beschreibt diesen Symmetrie-Zusammenhang in seinem 1. Buch der ELEMENTE unter §43 (L. 32) und auch im II. Buch unter §4 (L. 4). Dabei arbeitete er mit den Begriffen Ergänzungen im Parallelogramm, die sich bis heute im Satz der Ergänzungsparallelogramme erhalten haben.
Hat Euklid hier diese Querverbindung übersehen oder hat er vielleicht bewusst den Grundsatz verfolgt, warum mit einfachen systematischen Zusammenhängen erklären, wenn es auch ein wenig umständlicher möglich ist und so mehr nach Wissenschaft aussieht? Der Legende nach soll Euklid gar nichts vom Wunsch nach einfachen kurzen Einsichten zu mathematischen Zusammenhängen gehalten haben. Seinem König, der solch einen Wunsch äusserte, soll er hierauf geantwortet haben, "Es gebe keinen Königsweg zur Mathematik". Heute bleibt uns nur die Spekulation zu Euklids Vorgehen beim Katheten- und Höhen-Satz. Es könnte sowohl der eine und auch der andere Sachverhalt richtig sein.
Die eben dargelegte Situation betrifft auch noch weitere elementare Konstruktionen zu mathematischen Sätzen. Auch bei diesen fehlt der mit gezeichnete Beweis, fehlt quasi die Vollständigkeit. Davon kann man sich leicht in mathematischen Lexika, und Lehrbüchern und dem Internet (z.B. wikipedia.org) selbst überzeugen. Die jeweils vorgezeigten Bilder sind keine gezeichneten Berechnungen, die im Ergebnis zu anschaulich gleich grossen Produkten und Quotienten bzw. Längen- und Flächen-Objekten führen. Sie sind nur illustrierende Darstellungen zum Sachverhalt der mit den mathematischen Sätzen behaupteten Zusammenhänge. Es fehlt die gezeichnete fortschreitend nachvollziehbare Berechnung bis zum zweifelsfrei berechneten und dargestellten Ergebnis. Erst eine solche vollständige, stringent gezeichnete Berechnung ermöglicht ein überzeugendes, im Einklang mit der Alltagserfahrung stehendes Verstehen der behaupteten Rechenzusammenhänge.
Mit Cohaerentic Kalkulationen kann im Lernprozess vom hier und da verlangten Hinnehmen und Akzeptieren von Formeln und Konstanten, das bei vielen Lernenden kein gutes "Bauchgefühl" hinterlässt, abgerückt werden.
