Exakt oder genähert klassisch konstruiert berechen
Unmöglich exakt oder nur genähert zu berechnen oder ganz unmöglich begegnet uns erstmals mit den drei "klassischen" Aufgaben aus dem antiken Griechenland, dem Winkeldreitein, der Quadratur des Kreises und derr Volumendoppeln beim Würfel. Warum sind diese drei Aufgaben auch für viele Laien interessant? Diese fundamentalen Aufgabenstellungen können bereits mit geringem mathematischen Wissen verstanden werden und sie haben einen fundamentalen Bezug zur alltäglichen Praxis. Kann sich das für diese Aufgabenlösungen gelehrte "Unmöglich" tatsächlich gegen ein "Nichts ist unmöglich" halten?. Warum sollen diese Aufgabenberechnungen nicht mit elementarem klassischem Kostruieren, das nur mit Sequenzen zusammenhängender Kreis -und Gerade-Objekte realisiert wird, nicht gelöst werden können? Liegt es vielleicht daran, dass die Zusammenhänge hin zum gesuchten Ergebnis die menschliche Vorstellungskraft übersteigen und im Transzendenten unsichtbar werden? Bei diesen Erörterungen kommt auch die Frage auf, wie verlaufen die Grenzen zwischen einem nur ein genähertem und einem exaktes Berechnen?
Hier gehen wir zuerst obiger Frage bei klassisch konstruierten Kohärenzsystemen nach, welche die Lösungszusammenhänge betrachteter Berechnungen modellieren. Bei exakten Kohärenzsystemen ist die gesuchte Zwischenergebnisgrösse keine Überraschung, denn dessen Zustandekommen ist das Ergebnis eines einsichtigen sinnfällig nachvollziebaren Prozesses. Der Lösungszusammenhang ist Schritt um Schritt nachvollziehbar und die Ergebnisgenauigkeit wird hier mit mehr investiertem Rechenaufwand immer genauer.
Bei genäherten Kohärenzsystemen ist die gesuchte Zwischenergebnisgrösse, eine Überraschung, wie bei einem Zaubertrick. Der Lösungszusammenhang ist nicht nachvollziehbar und die Ergebnisgenauigkeit wird hier mit mehr investiertem Rechenaufwand nicht genauer. Das bekannteste Beispiel hierfür ist die von A. Kochansky im Jahre 1683 veröffentliche klassische Konstruktion für das genäherte π-Berechnen ais Streckengrösse. Der Lösungszusammenhang ist nicht nachvollziehbar und die Ergebnisgenauigkeit wird hier mit mehr investiertem Rechenaufwand nicht genauer.
Wegen der berühmten "Unmöglich-Beweise" zu den drei klassischen Aufgaben wird heute gelehrt, dass es hier generell keine klassisch konstruierten exakten Lösungszusammenhänge geben könne. Lösungen könne es hier nur geben, wenn die Beschränkungen, wie sie in den ELEMENTEN von Euklid praktiziert werden, verletzt und durchbrochen werden.
Fakt ist aber, wie später hier noch vorgezeigt werden wird, die drei klassischen Aufgaben können im weitesten Sinne allein mit klassischem Konstruieren gelöst werden. Dabei wird jeweils mit einer endlichen Zahl sinnfällig nachvollziehbarer Schritte ein zutreffendes aktuelles Ergebnis dargestellt, dass bei Fortsetzung des konstruierten Berechnens immer genauer dargestellt werden kann. Diese konstruierte Berechnen kann theoretisch ohne Ende fortgesetzt werden, da all notwendigen Schritte der erfoderlichen Wiederholungen vollständig bekannt sind.
Das Wissen zu endlosen Prozessen gibt es vom Prinzip her schon seit dem Berechnungsvorschlag zur Kreisfläche von Antiphon im 5.Jhd v.u.Z. Dieses Wissen bleibt aber lange Zeit missverstanden, unbeachtet und unbetrachtet. Ferdinand Lindemann (1854-1939) ging einst bei seinem berühmten "Transzendenz-Beweis für π" vom Kohärenzsystem Eulersche Identität eiπ-1=0 aus, um hierzu die "Unmöglichkeit" zu erkennen. Damit ist bewiesen, alle Versuche einer klassisch konstruierten Quadratur des Kreises, die von der Eulersche Identität eiπ-1=0 ausgehen, sind unmöglich reaslisierbar. Zu anderen, auch möglichen Lösungszusammenhängen macht der Lindemann´sche Beweis keine Aussagen.
Heute wird für die besagten "Unmöglich-Beweise" zu den drei klassischen Uraufgaben unzureichend auf die jeweiligen Gültigkeitsbereiche für das "Unmögich" hingewiessen. Dies führt dann zu Irritationen und Denkblockaden, denn es wird uneingeschränkt für viele Uraufgaben des Berechnens und insbesondere für die drei klassischen Aufgaben der Antike (Winkeldreiteilung, Quadratur des Kreises und Volumendoppelung beim Würfel) erwartet, sie seien generell mit klassischem Konstruieren nicht exakt zu berechnen und die Ergebnis-Erzeugung als Prozess sei generell nicht nachvollziehbar darstellbar. Auf dieser Grundlage werden alle Versuche in diese Richtung, ohne konkrete Einzelfallprüfung, als "falsch" erklärt.
Für uns gilt aber hier, ein exaktes arithmetisches und auch klassisch konstruiertes Berechnen liegt dann vor, wenn nach exakten Rechenplänen mit immer mehr ausgeführten Schritten die Genauigkeit der Ergebnisdarstellung immer weiter verbessert werden kann. Wegen der angesprochenen Irritationen und Denkblockade fehlen bis heute insbesondere klassisch konstruierte Grenzprozesse in der mathematischen Literatur und in Lehrbüchern.
