Klassisch konstruierte Grenzprozesse

Für Lernende und Laien decken sich  die elementar, nur mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruiertem Berechnungen mit ihrem  Erfahrungswissen. Heute helfen hier  besonders die  klassischen Konstruktionen mit dem Computer.  Es wird   quasi nur mit einem Zirkel und und einem strichlosen Lineal gearbeitet. Es sind die konstruierten Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten, die den betrachteten Rechenzusammenhang ausgehend vom Raumzusammenhnag nachvollziehbar machen. Heute werden diese Sequenzen mit  dynamischen Zeichenprorammen (DGS-Softwareprogramme, beispielsweise Geogebra und andere), gezeichnet. Die so gezeichneten Kurven  sind  nur in Gedanken zusammenhängende Spurkurven. Real sind sie  immer nur endlich viele dicht benachbarte Punkte. Visuell und in gedanklicher Abstraktion werden diese nicht mehr als Punktekurve wahrgenommen, sondern als zusammenhängende Spurkurve = Strichkurve.  

Über konstruierte  Zahlen = konstruierte Punkte

Wir können uns in der Ebene einen beliebig gegebenen Punkt vorstellen, der  Schnittpunkt zweier  orthogonaler Achsgeraden x und y ist. Weitere   davon ausgehende  "klassisch  konstruierte   Schnittpunkte"  werden in der Mathematik als "konstruierte Zahlen" verstanden.  Sie sind  als Sequenz zusammenhängend gezeichneter Urkurven-Objekte von Kreis und Gerade   anschaulich nachvollziehbar. 

Das folgende Bild-Beispiel  zeigt, wie   eine    Folge von Punkten für die Rektifikation durch klassisches Konstruieren entsteht. Diese Konstruktion wird später noch mehrfach ausfühlicher beschrieben werden. Das Durchnummerieren der konstruierten Objekte macht das Nachverfolgen  der nacheiender konstruierten Objekte (Kurven und Schnittpunkte)  leichter.

Als ausgeführte Rechenoperationen kommen quasi nur die Ur-Operationen Doppeln und dessen Umkehrung das Halbieren (Anti-Doppeln) vor. Mit diesen Operartionen  wird eine   klassisch konstruierte Folge von Schnittpunkten konstruiert, die Endpunkte der immer mehr gerade gebogenen roten gleichlangen Kreisbögen  sind. Diese Bogenendpunkte konvertieren   gut erkennbar einem Grenzpunkt auf der y-Achse zu, der einen Grenzabstand zum Nullpunkt  von der  exakten   Länge des Kreisumfangs hat. Alle Punkte dieser Folge werden in der Mathematik als „konstruierbare bzw. konstruierte  Zahlen“ verstanden. Es ist hier leicht einzusehen, die Folge der Punkte ist endlos fortsetzbar. Die Änderung des Abstandes von Punkt zum  nächsten  Punkt  bzw. von Punkt zum Nullpunkt strebt dabei immer mehr der Grösse Null zu, ohne Null jemals zu erreichen.  

Für diese direkt wahrnehmbare  Grenzwertgrösse, die heute symbolisch mit 2π = Kreisumfang /Durchmesser beschrieben wird, gibt es keinen letzten Punkt und damit   keine abgeschlossene  Ergebnis-Darstellung als diskrete Zahl, die durch endlich viele  klassisch konstruierte Schritte erzeugt und dargestellt werden kann. Die Forderung nach einer diskreten Ergebnis-Darstellung (Zahl) einerseits und andererseits der Sachverhalt einer  nicht endenden Punkte-Folge bzw. Schritte-Sequenz  sind zueinander widersprüchlich.

Die Menge der konstruierbaren Punkte (konstruierbare Zahlen) füllt die unbegrenzte, aber auch die begrenzte Ebene niemals vollständig aus.  Vom Prinzip her bleiben immer Lücken zwischen den konstruierten Punkten (=Raster-Punkte), egal wieviele diskret benennbare Schritte für die konstruierten Punkte schon ausgeführt sind. 

 

Über nichtkonstruierbare Zahlen, die  nichtkonstruierbare Zahlen sind 

"Kein  beliebig (zufällig) platzierter Punkt in der karthesischen Ebene  kann durch  eine  klassische Konstruktion   ohne Restfehler erzeugt oder ausgemessen werden. Diese beliebig (zufällig) platzierten Punkte  sind somit als "nichtklassisch konstruierbare  Punkte"  bzw. als  "nichtklassisch konstruierbare  Zahlen" zu verstehen.

Es sind, wie zuvor aufgezeigt,   prinzipielle  Gründe, warum   das Winkeldrittel, die Quadratseite und die Würfelkante in ihrer vollständigen Grösse nicht als klassisch konstruierbarer Punkt bzw. nicht klassisch konstruierbare Zahl dargestellt werden können. Irreführend wird es  hier allerdings, wenn aus diesem prinzipiellen  Sachverhalt der unvollständigen Ergebnis-Darstellung gefolgert wird, dass es hier für die Aufgabenlösungen keine exkaten  Sequenzenvon Kreis und Gerade ( Zusamenhänge) zur exakten Ergebniserzeugung geben würde. Das obige Bild zeigt, dies ist falsch und   irreführend. "Unmöglich"  suggeriert die Erwartung, für die betrachteten drei klassichen Aufgaben der Antike  würde  es keine klassisch konstruierten exakten Lösungsprozesse geben können, deren Lösungszusammenhänge mit endlich vielen Konstruktionsschritten vollständig beschrieben werden können. Wie obiges Bild zeigt, kann mit immer mehr Aufwand  zu immer genaueren  Ergebnisdarstellungen gelangt werden.

                                            

 

 

 - ganze Kreisfläche und ihre Teile (Tortenstücke, Kreissehnenabschnitt)

 - Winkeldrittelung, Winkelsiebentelung

 - Verhältnis-Transformation   Strecke<->Kreisbogen 

Mit immer mehr ausgeführten Rechenschritten, sprich gezeichneten Objekten, kann dabei die Genauigkeit der Ergebnis-Darstellung verbessert werden, indem sie  immer weiter vervollständigt wird. Dieses Vorgehen ist theoretisch ohne Ende fortsetzbar. Von besonderem Interesse sind deshalb solche klassich konstruierte  Grenzprozesse, die durch   eine verbesserte  Konvergenz-Eigenschaft eine gewählte Ergebnis-Genauigkeit schon mit kürzeren Rechengängen erreichen.

Überlieferungs-Situation zu klassich konstruierten Grenzprozessen

Die Suche in Lexika und auch im Internet nach klassich konstruierten Grenzprozessen liefert kein direktes Ergebnis.  Hingegen gibt es viele Treffer für Grenzprozesse mit Zahlen als Rechengrössen. Etwas näher dran ist da  ein Annähern der Kreisfläche mit Grenzprozessen (https://home.ph-freiburg.de/deisslerfr/geometrie_II/sicher_geoII_06_07/Kapitel_2_06-07.pdf). Hierbei kann aber von einem klassich konstruiertem Grenzprozess keine Rede sein. Insbesondere wird da keine gezeichnete  Ergebnisgrösse als  Strecke erzeugt, die zweifelsfrei das Verhältnis π bildlich abbildet (π=gestreckter Kreisumfang /Kreisdurchmesser  = Kreisfläche / Quadratfläche über dem Radius). Dabei wird sich für das Berechnen der   Kreiszahl πnum      im Rahmen des bekannten  und heute gelehrten Wissens bewegt. 

Das elementar gezeichnete Kalkulieren  mit einem konvergentem  Grenzprozess, der einem Grenzwert zustrebt,  ist wie eingangs schon angesprochen, vom Prinzipiellem her mindestens seit dem griechischen Sophisten Antiphon (5.Jh.v.u.Z.) angedacht.   Man erkannte, das gezeichnet berechnete  Verhältnis πgeo und sein abgeleitetes  π_num   sind    zwar exakt  berechenbare, aber nur unvollständig zusammensetzbare  Ergebnisgrössen. 

Mit der veränderten Sichtweise für die Cohaerentic-Kalkulationen  wird der klassich konstruierte  Grenzprozess des Antiphon als ein  elementares exaktes Berechnen der Kreisfläche verstanden. Hierzu gibt es keine Alternative eines  noch elementareren  Berechnens. Die Ergebnisdarstellung als Rechteckfläche bildet den Grenzwert Kreisfläche   mit immer mehr  Aufwand beim Berechnen immer genauer ab. Die Genauigkeit der Ergebnisdarstellung ist an den Umfang der hierfür  geleisteten Schritte gebunden.

Seit Alters her bis heute ist aus esoterischen, religiösen und noch anderen Erwartungen heraus das Interesse an  diskret darstellbaren  Zahlen grösser als an den zwischenliegenden, nicht diskret als Zahl dastellbaren Positionen. Eine solche zwischenliegende, nicht endgültig diskret darstellbare Rechengrösse ist auch die Verhältnisgrösse  π=Kreisumfang/Durchmesser. 

Für Hilbert (1864-1943) waren Berechnungen mit klassich konstruierten Grenzprozessen offenbar ein Problemfeld  von geringer Bedeutung. Daher hat auch er, wie Euklid,  sie  nicht in sein grundlegendes Werke "Grundlagen der Geometrie"  aufgenommen.  Klassich gezeichnete Grenzprozesse haben bis heute in der Mathematik keine hohe  Bedeutng erlangt. Es fehlt das breite Interesse daran, was fehlende Beiträge  in Lehrbüchern, und heute auch im Internet, belegen.

Mit den gezeichneten Cohaerentic Kalkulationen rücken nun auch Uraufgaben des Berechnen in den Blickpunkt des Interesses, deren Lösungen  klassich konstruierte  Grenzprozesse erfordern.

Mit konstruierten Grenzprzessen  grundlegende Transfomatonen berechnen   

Bei Cohaerentic Kalkulationen wird mit dem Begriff "Rechengrösse"  gearbeitet.  Im Erfahrngsraum ist eine  Rechengrösse ein Verhältnis  von Ausdehnungsobjekten gleicher Art.   Strecken   als  Rechengrössen-Verhälrnis  ist etwas anderes als , oder auch ein Kreisbögen bzw.  eine Drehung als Rechengrößen-Verhältnis.    Von besonderer Bedeutng ist hier das Umrechnen, die  Transformation  von einer Art von Rechengrösse-Verhältnis in eine andere Art, beispielsweise von einem Drehungen-Verhältnis auf ein Strecken-Verhältnis und umgekehrt. 

 Natürliche Verhältnisse und Zahl-Verhältnisse

Während jede Zahl ein Verhältnis ist, kann kein beliebig gegebenes Verhältnis durch eine Zahl ohne Restfehler abgebildet werden.  Mit mehr investiertem Rechenaufwand (Aufwand zur Digitalisierung)  kann der verbleibende Restfehler immer kleiner gemacht werden.

Eine der wichtigsten Rechengrößen ist das Verhältnis π = gestreckte Kreisumfanglänge / Kreisdurchmesser. Genäherte numerische Abbilder des Kreisverhältnisses  werden mit  Näherungs- Kreiszahlen π_Zahl. dargestellt, Die gesuchte elementar konstruiert berechnete Abbildgröße ist der rektifizierte Halbkreisbogen ist als  Strecken-Verhältnis πgez.^{(Siehe Abschnitt Kreisverhältnis.}. Die  gezeichneter Kohärenzsysteme  der folgenden bilder zeigen nachvollziehbar, wie  Verhältnisse von Drehungen und systenkohärenten  Verhältnissen von Strecken zusammen hängen. An den folgenden Bildern ist zu   erkennen, bei den rot-lin- Transfomationen kommen schnell konstruierte endlose Grenzprozesse ins Spiel, insbesondere solche mit den Oparationen Doppel und Halbieren.   

Bogen im Verhältnis teilen

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Sequentiell konstruierte Grenzprozesse modellieren   höhere  Rechenprozesse    

Die erste Überlegungen zu solchen fundamentalen Berechnungsprozessen, die das Endlos einschliessen,  stammen von Antiphon und von Hippias von Elis ( alle 5. Jh. v.u.Z.). Ihre  Wissensansätze zu klassisch konstruierten Grenzprozessen, die endlos  fortgesetzt werden können, passten nicht so recht in die Vorstellungswelt des   alten antiken Griechenlandes. So kam es in der Wissensübelieferung zum bewussten Auslassen schon bekannten Wissens.  Besonders deutlich zeigt sich dies bei  Euklid (ca 330 v.u.Z.). In seinen ELEMENTEN  sparte er somit schon bekanntes Wissen aus.

Das Wissen zur fundamentalen Kurve Trisectrix = Quadratrix oder auch das Wissen zur Berechnung der Kreisfläche nach dem Vorschlag von Antiphon nimmt Euklid nicht in sein berühmtes Sammelwerk ELEMENTE auf, in welchem er das damals bekannte und akzeptierte mathematische Wissen  dargestellte.  Die Ansichtsweise zur Kurve Tresectrix und Kreisunfang /Kreisfläche passte nicht zu seinen Erwartungen.

Das von Euklid mit den ELEMENTEN geschaffene  Vorbild wirkt quasi bis heute fort. Im modernen richtungsweisenden Werk zur Elementargeometrie, D.Hilbert, Grundlagen der Geometrie, B.G.Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgard 1962,   werden keine klassisch konstruierten Grenzprozesse und Schnittpunkte-Folgen  erörtert. Im Internet  allgemein, aber  auch beim Portal  Wikipedia werden unter dem Suchbegriff "mathematischer Grenzprozess" immer nur solche Prozesse erörtert, bei denen die Rechengrössen Zahlen sind.