Uraufgaben für gezeichnete Urberechnungen
- Strecken-Verhältnisse in gleichgrosse Verhältnisse von Winkeln / Drehungen umrechnen und umgekehrt
- das Kreisverhältnis π = Halbkreisumfang / Radius als Strecke
- die gestreckte Länge beliebiger Kreisbogen
- die Flächengrösse vom beliebigen Kreissegmenten bis zum ganzen Kreis
- das Teilen und Vervielfachen von Kreisbogen und Drehung
- anschaulichen Flächenerhalt vom Dreieck zum Rechteck und umgekehrt
- anschaulichen Flächenerhalt vom Rechteck zum Quadrat und umgekehrt
- anschaulichen Flächenerhalt vom Quadrat zum Kreis und umgekehrt
- kohärente Kreis- und verwandte Hyperbel-Kurvenpunkte
- Kohärenzen der kontinuierlichen Duplikationen
- Kohärenzen der Potenzen ganzzahliger Exponenten
Urberechnung zu a.
Umrechnen eines beliebigen Strecken-Verhältnisses in ein gleichgrosses Winkel-/ Drehungen- Verhältnis und umgekehrt
-siehe Einführung-
Urberechnung zu b.
Kreisverhältnis π = Halbkreisumfang / Radius
Die zugrunde liegende Kohärenzidee ist hier Abrollen. Für die Konvergenzbeschleunigung wird mit einem K r e i s gearbeitet, dessen Punkte durch Abrollen von Vielecken erzeugt werden. (Archimedes (287-212 v-u-Z.) - Kepler(1571-1630) - Schleicher)
Urberechnung zu c.
Gestreckte Länge beliebiger Kreisbogen
Urberechnung zu d.
Urberechnung zu e.
Urberechnung zu f.
Urberechnung zu g.
Urberechnung zu h.
Urberechnung zu i.
Urberechnung zu j.
Urberechnung zu k.
Urberechnung zu l.
Urberechnung zu c.
Beispiel 1: Berechnungsidee von Antiphon (5 Jh. v.u.Z.):
Kreisfläche als Multisumme von Dreiecken
π = Kreisfläche / (Quadratfläche über dem Radius)
Seit Antiphon dem Sophisten (5 Jh. v.u.Z.) ist bekannt, dass es bei einem Berechnen der Kreisfläche mit einem Aufsummieren kleiner, den Kreis ausfüllenden Dreiecke, wie es das folgende Bild zeigt, theoretisch kein Ende gibt. Das Aufsummieren endet hier bereits mit nur 32 Dreiecken für den Viertelkreis. Es werden mit 0,785 bereits 3 wahre Nachkommastellen für π/4 erreicht.
Hier stellt sich die Frage, wie kann die Effizienz des Berechnens gesteigert werden, damit mit nur 32 berechneten Dreiecken noch mehr wahre Nachkommastellen erzeugt und dargestellt werden? Eine Effizienzsteigerung ist, wie nachfolgend gezeigt wird, möglich.
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Beispiel 2: Berechnungsidee von Antiphon (5 Jh. v.u.Z.) - Schleicher
Kreisfläche als Multisumme von Dreiecken mit gesteigerter Effizienz
π = Kreisfläche / (Quadratfläche über dem Radius)
Erreicht wird die Steigerung der Effizienz des Berechnens indem der Trend des Anwachsens der Multisumme abhängig zur Anzahl der Summedreiecke berücksichtigt wird. Die nacheinander berechneten "Summe-Punkte" bei den Rechtecken rechts oben bestimmen hier den Verlauf einer Kokärenzkurve, deren Verlaufstrend sich nach dem letzten berechneten Summe-Punkt fortsetzt und die Kurve schliesslich die Grenzwertkurve für die Kreisfläche schneidet. Dies zeigen die beiden nachfolgenden Videos, die zum Vollbild vergrössert werden können. Mit der Maus kann der Laufpunkt auf der Zeitschiene angehalten, vorgesetzt und auch rückgesetzt werden.
Das zweite Video zeigt anschaulich, wie nacheinander mit den Kohärenzkurven= Konvergenzkurven, Gerade und dann Kreise, gearbeitet wird. Die Kurve verläuft durch die berechneten rechten oberen Eckpunkte der Summe-Rechtecke aus Dreiecken. Deren Flächensumme ist jeweils gleich gross zu regulären Viel-Ecken im Kreis, beginnend mit 4, dann 8 , dann 16 und hier mit 32 Ecken endend. Deutlich zu erkennen ist, mit der anwachsenden Anzahl der Ecken wächst die letzte ausfüllende Rechteckfläche an. Das zuerst berechnete rötliche Quadrat ist kleiner als das danach berechnete grüne Rechteck, dieses wiederum kleiner als das rote Rechteck und jenes wiederum kleiner als das hier letzte blaue Rechteck vor der Grenzwert-Geraden, welche hier von der jeweiligen Konvergenz-Kurve im jeweiligen Ergebnispunkt geschnitten wird. Mit dem blauen Rechteck wird der endlose Berechnugsprozess hier willkürlich beendet, was nicht zwingend notwendig ist. Mit einem Berechnen bis zum 2-ten grünen Rechteck wird eine Genauigkeit für die berechnete Zahl des Kreisverhältnisses π2 von 2 wahren Nachkommastellen errreicht. Mit einem Berechnen bis zum 3-ten roten Rechteck wird eine Genauigkeit für die berechnete Zahl des Kreisverhältnisses π3von 4 wahren Nachkommastellen errreicht. Mit einem Berechnen bis zum 4-ten blauen Rechteck wird eine Genauigkeit für die berechnete Zahl des Kreisverhältnisses π4 von 6 wahren Nachkommastellen errreicht.
Die eingeführte Kohärenzkurve modelliert den Verlaufstrend des oberen rechten Eckpunktes vom Summe-Rechteck abhängig zum Argument der Anzahl der aufsummierten Dreiecke. Das erste Rechteck (= rötliches Quadrat) besteht aus 2 und das n-t e Rechteck aus 2n aufsummierten Dreiecken.
Der nachfolgende Effizienz-Vergleich zeigt deutlich, was die Cohaerentic Kalkulationen nach Antiphon-Schleicher mit der Massnahme zur Effizienzsteigerung leisten.
Effizienz-Vergleich für π - Berechnungen
| Archimedes | Antiphon-Schleicher | |
| 96-Eck -> 3,14 | 8-Eck -> 3,14 | |
| 256- Eck -> 3,1415 | 16-Eck -> 3,1415 | |
| 32-Eck -> 3,141592 | ||
| 64-Eck -> 3,14159265 | ||
Beispiel 3: Berechnungsidee von Antiphon-Bryson (5 Jh. v.u.Z.) - Archimedes (287-212 v.u.Z.)
π aus innerer und äusserer 96-Eckfläche
π=Kreisfläche/(Quadratfläche über dem Radius)
Archimedes nutzt das Wissen von Antiphon und Bryson und geht von einer inneren (Antiphon) und einer äusseren (Bryson) 96-Vieleckfläche aus. Er erkennt, die wahre Größe der Kreisfläche liegt immer zwischen der Grösse der inneren und der aussen umschliessenden Vieleckfläche. Archimedes reicht die Genauigkeit vom 96-Vieleck aus. Dabei spielte sicherlich eine Rolle, dass das Berechnen zu seiner Zeit noch viel mehr Mühen bereitete als heute mit der modernen Zahlendarstellung.
Von Archimedes ist kein anschaulich plausibles klassisch gezeichnetes Berechnen des Kreisverhältnisses π bzw. der Kreisfläche überliefert. Archimedes arbeitete offenbar mit einem arithmetischen Berechnen. Unkommentiert bleibt von Archimedes, wo der wahre Wert vom Verhältnis π liegt, näher bei 3+10/71 oder näher bei 3+10/71?
Beispiel 4: Berechnungsidee von Archimedes (287-212 v.u.Z.) -Kepler (1571-1630)- Schleicher
-siehe oben!
Beispiel 5: Berechnungsidee von Fontana (1783.) - Schleicher
Kreisumfang durch Rektifikation
(Fontana(1783) -Schleicher)
π=Kreisumfang/Durchmesser
Bei der Fontana-Schleicher- Berechnung ist gegenüber der Antiphon-Schleicher- Berechnung die Konvergenzkurve stärker gekrümmt, bzw. der Konvergenzkreis hat einen kleineren, sich stärker ändernden Radius. Dadurch wkönnen bei etwa gleichen Rechenaufwand weniger wahre Nachkommastellen berechnet werden.
Der nachfolgende Effizienz-Vergleich zeigt deutlich, was die Cohaerentic Kalkulationen mit Kohärenzkurven leisten.
Effizienz-Vergleich für π - Berechnungen
| Archimedes | Antiphon-Schleicher | Fontana-Schleicher |
| 8-Eck -> 3,14 | ||
| 16-Eck-> 3,1415 | ||
| 32-Eck-> 3,141592 | ||
| 64-Eck-> 3,14159265 | ||
| 96-Eck -> 3,14 | ||
| 128-Eck-> 3,14159 | ||
| 256- Eck-> 3,1415 |
π mit Eulerscher Identität berechnen
(F.Lindemann 1882 )
F. Lindemann beweist mit seinem berühmten Beweis zur Transzendenz der Zahl π, eine klassisch gezeichnete π-Konstruktion, welche die Eulerschen Identität zur Kohärenzgrundlage nimmt und eine gezeichnete Strecke mit der Grösse einer rationalen Bruchzahl (π/4) als Zwischenlösung anstrebt, ist nicht möglich.
Die Einsicht, dass es hier keine endgültige Bruchzahl mit endlichen Grössen für Zähler und Nennerzahl geben kann, ist aber schon seit Antiphon (5. Jh.v.u.Z.) für alle bekannt, die sich ernsthaft mit der Berechnung der Kreisfläche befassen. Antiphon erkennt, dass das Ausfüllen der Kreisscheibe mit immer kleineren Dreiecken theoretisch möglich ist und auf einen endlosen Berechnungsprozess hinaus läuft. Die Konsequenz dieser Einsicht ist, dass erst mit anwachsenden Berechnungsumfang immer kleinere Dreiecke erzeugt und erst damit immer genauere Ergebnisse und ihre Darstellungen berechnet werden können.
Verhältnisse-Transformationen gezeichnet berechnen
Drehung -> Strecke bei Verhältnisse-Erhalt (Schleicher)
(Winkelmessung ohne Winkelmesser)
Mit dieser Cohaerentic Kalkulation wird anschaulich plausibel ein Drehungen-Verhältnis rot-grün in ein gleichgrosses Stecken-Verhältnis rot-grün berechnent. Die Summe der beiden Strecken rot und grün hat zunächst die Grösse des Radius und wird dann aber auf den 0,9-fachen Radius umgerechnet. Damit wird ein direkter Zahlenvergleich mit den gemessenen Winkeln rot und grün, deren Summe 90° beträgt, möglich. Für den Vergleich sind die gemessenen Streckengrössen rot und grün mit dem Faktor 100 zu multiplizieren. Mit dem im Video gezeigten noch geringem Umfang an Schritten, werden bereit 3 übereinstimmende Nachkommaziffern errechnet. Zu diesem Erfolg trägt besonders gesammeltes Wissen zu Symmetrie-Kohärenzen im Erfahrungsraum bei.
Strecke -> Drehung bei Verhältnisse-Erhalt (Schleicher)
Zahl -> Winkel (Schleicher)
- siehe Buch Cohaerentic, hier noch Baustelle -
Längen-Transformationen elementar konstruieren
Kreisbogen -> Strecken bei Längen-Erhalt (Schleicher)
Siehe Beispiel 5: Kreisumfang durch Rektifikation
Strecken -> Kreisbogen bei Längen-Erhalt (Schleicher)
Flächen-Transformationen elementar konstruieren
Flächen-Erhalt Dreieck<->Rechteck<->Quadrat<->Vieleck<->Kreis
Doppelt-/halbgrosse Flächen
Volumen-Erhalt Prisma<->Prisma<->Würfel
Doppelt-/halbgrosse Würfel
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