Cohaerentic - Über Cohaerentic-Kalkulationen

Cohaerentic-Kalkulationen sind mit Kreis und Gerade gezeichnete Urberechnungen

Was bedeutet Cohaerentic in der Geometrie?

In der Geometrie bezieht sich der Begriff "Cohaerentic" auf Zusammenhang oder bestimmte Beziehungen von geometrischen Objekten in Konstruktionen oder Strukturen. Cohaerent bedeutet in diesem Kontext, dass die elementaren Objekte eines geometrisch klassisch mit Zirkel und Lineal konstruierten Modells oder einer Theorie konsistent und logisch miteinander verbunden sind. Mit einer Cohaerentic-Sichtweise werden die geometrischen Konstruktonen oder Systems so betrachtet, daß sie als gegenseitiges Beeinflussen und Zusammenhängen der Objekte anschaulich nachvollziehbar werden. Dies wird mit der Analyse von Formen, Strukturen oder der geometrischen Topologie erreicht.

Sind Cohaerentic-Kalkulationen nur genähert oder doch exakt?

Für arithmetische Berechnungen gibt es für die Darstellung des Ergebnisses keine Beschränkung auf nur endlich viele Rechenschritte (Nachkommastellen), wie sie für elementare Konstruktionen gefordert werden die wir Cohaerentic-Kalkulationen nennen und nur mit endlich vielen Kreisen und Geraden gezeichnet werden. In der Antike wurden zunächst nur die ganzen Zahlen als Ergebnisse eines Berechnens akzeptiert. Daraus leiteten sich für die mit Kreisen und Geraden gezeichneten Berechnungen Beschränkungen auf nur endlich viele Schritte für endliche Prozesse her. Seitdem ist die Motivation für das Finden nachvollziehbarer Prozesse behindert. Betrachtungen zu elementar konstruierten exakte endlose Berechnungsprozesse waren so auch für die drei klassischen Aufgaben der Antike tabu und fehlen daher in der Fachliteratur bis heute.

Mit den angestrebten Cohaerenic- Kalkulationen werden die beschränkenden Hindenisse ignoriert. Damit werden exakte endlose Lösungsprozesse für fundamentale Aufgaben auf anschaulich nachvollziehbarer Kohärenzgrundlage exakt zeichen- und berechenbar. Auch für die klassischen drei Aufgaben der Antike, die Dreiteilung des Winkels, die Quadratur des Kreises und die Doppelung des Würfelvolumens. Es wird eine beliebig genau geforderte Ergebnisdarstellungen möglich.

Für diese drei Aufgaben wurden seit der Antike über 2000 Jahre nach endliche exakten Berechnungsprozessen gesucht, aber keine gefunden. Im 18. und 19. Jahrhundert wurde schließlich für alle drei Aufgaben solch endliche exakte Berechnungsprozesse als "unmöglich existierbar" erkannt. Da es keine Beispielen für endlose exakte Berechnungsprozesse mit beliebig genauer Ergebnisdarstellung zu den klassischen Aufgaben gab, gilt das bewiesene "Unmöglich" generell für elementar konstruierte Berechnungsprozesse.

Mit den Cohaerentic-Kalkulationen zeigt sich, dass für die Einsichten "unmöglich" keine absolut gültigen sind, sondern eine Relativieren erfordern. Sie treffen nur auf die Berechnungszusammenhänge zu, aus denen sie auf der Grundlage mathematischer Beweise gefolgert sind. Damit erklärt sich auch, warum die hier nachfolgenden Cohaerentic-Kalkulationen als gezeichnete exakte Berechnungen vorgezeigt werden können. Bei ihnen wird mit anderen Berechnungszusammenhängen gearbeitet, als sie bei den besagten "Unmöglich-Beweisen" zugrunde gelegt sind.

Der Umfang der bislang mit elementaren Konstruktionen nicht lösbaren Aufgaben geht über die drei klassischen Aufgaben hinaus (siehe auch Aufgaben-Liste in der "Einleitung".

Gezeichneter Berechnungsplan

Im Buch Cohaerentic wird gezeigt, wie bei den gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen die gezeichnete Sequenz der Objekte als ein Berechnungsplan verstanden werden, indem die auszuführenden Schritte des gezeichneten Berechnens den Rechengang beschreiben. Dieser Plan muss bis zum letzten auszuführenden Schritt reichen und anschaulich, logisch, sowie auch real aussführbar sein. Auf diese Weise werden Zweifel ausgeschlossen, was und wie berechnet wird. Auch dann, wenn endlose Berechnungsprozesse genutzt werden, wie es beim Ausfüllen der Kreisfläche mit immer kleineren Dreiecken der Fall ist. Bereits endlich viele zusammenhängend gezeichnete Kurvenstücke von Kreis und Gerade müssen dabei den betrachteten endlosen Berechnungsprozess in seiner prinzipiellen Struktur vollständig beschreiben. Dies sichert, dass bei Bedarf eine Ergebnis-Darstellungen mit immer höherer Genauigkeit berechnet und dargestellt werden kann. Das Berechnen kann so nach Plan immer weiter fortgesetzt werden. Probierende Schritte sind nicht zugelassen. Die Ergebnisse sollen stringent berechnet und nicht herbei probiert werden, was ja in manchen Fällen auch möglich ist.

Historische Einsichten

Bereits in der Antike hat der griechische Sophist Antiphon (5.Jh.v.u.Z.) als erster erkannt, dass auf der Grundlage natürlicher Kohärenz-Erfahrungen die Berechnungen zur Kreisfläche und zum Kreisumfang auf endlose Berechnungsprozesse hinaus laufen. Antiphon wusste, die Menge der Eckpunkte und Vieleckseiten kann theoretisch ohne Ende immer weiter verdoppelt werden. Antiphon sah aber auch, in der alltäglichen Praxis sind die Berechnugen dann zu beenden, wenn beim errechneten Ergebnis, z.B. einer Multisumme für den gestreckten Kreisumfang keine Grössenveränderung mehr erkannt werden kann. Dann ist das Merkmal "krumm" in das Merkmal "gerade" übergegangen.

Obige beide Bilder zu Cohaerentic-Kalkulationen für π zeigen, die Suche von Massnahmen zum Erhöhen der Geschwindigkeit des Konvergierens war erfolgreich. Bei Bedarf kann die erreichte Ergebnisgenauigkeit mit immer mehr Rechenaufwand immer weiter gesteigert werden.

Die hier angesprochenen Urberechnungen ohne Zahlen sind in der Mathematik kein Schwerpunktthema, auch heute nicht. Die allgemeine Erwartung tendiert mehr dahin, daß mit einem klassischen gezeichnetem Berechnen nur ein genähertes und kein exaktes Berechnen stattfinden kann. Diese alte Erwartung wurden im 18. und 19. Jahrhundert durch berühmte mathematische "unmöglich-Beweise" für einige wichtige Aufgabenlösungen bestätig, so auch für das elementar konstruierte π-Berechnen.

Heute sind in der Fachliteratur und in den Lehrbüchern keine gezeichneten Urberechnungen ohne Zahlen zu finden. Die wenigen Fachbeiträge, die in Ansätzen ein solch klassisch gezeichnetes exaktes Berechnen zeigten, wurden und werden als solche nicht ausreichend erkannt. Es fehlte ihnen einfach die gewisse, dem Zeitgeist genügende mathematische Bedeutung. Sie gerieten und geraten daher immer wieder in Vergessenheit.

Mit dem Suchen und Forschen nach Urberechnungen ohne Zahlen durchbrechen die Bestrebungen der Cohaerentic die eingetretenen Denkblockaden und Verbote, die von den "unmöglich-Beweisen" ausgehen. Wer sich an die Verbote nicht hält, wird im einfachsten Fall nur milde belächelt.

Nun noch ein kurzer Blick auf das Kreisverhältnis π. Für mich ist es, wie heute gelehrt, nicht ganz identisch mit der Kreiszahl πZahl. Die heutige Mathematik lehrt es als Kreiszahl π = Kreisumfang/Durchmesser (siehe Wikipedia zu Kreiszahl). Folgende bekannte Tatsache bleibt hier unberücksichtigt.

Eine jede Zahl ist eine Verhältnis, aber für kein beliebig gegebenes Verhältnis gibt es eine endgültig ausmessende, abbildende Zahl.

Das Kreisverhältnis π ist ein natürlich berechenbares Verhältnis und für das es keine endgültig diskrete Grössendarstellung als Zahl gibt. Zu seiner Berechnung und Darstellung bedarf es Schritt um Schritt zusammenhängend gezeichnete Stücke der Urkurven von Kreis und Gerade, aber keiner Zahlen und keines Wissen zu Zahlen. Das Urberechnen des Kreisverhältnisses π gelingt mit Cohaerentic- Kalkulationen sogar mit verschiedenen Kohärenzideen. Es gelingt mit "Aufbiegen bei Längenerhalt", mit "Abrollen von Vielecken" und auch mit einer "Multisummation".

Verbesserung des Konvergenzprozesses

Überraschend effizient sind die neu gesuchten und gefunden strukturellen Zusammenhänge, mit denen das Erhöhen der Konvergenzgeschwindigkeit bei endlosen Berechnungsprozessen gelingt. Dafür wird eine Kreiskurven durch die jeweils letzten drei gezeichnet berechneten Punkte einer Kohärenz-Punktekurve gelegt. Diese Kreiskurve setzt die einem Kreis sehr ähnliche Kohärenz-Punktekurve als Spurkurve fort und erzeugt dann den Schnittpunkt C2 im Video, der die gesuchte π-Ergebnis-Strecke BC2 begrenzt. Bei Bedarf kann dieses Urberechnen mit mehr Aufwand fortgesetzt und die Strecke BC2 immer genauer gemacht werden.

Für eine auf der Grundlage einer Cohaerentic-Kalkulation berechnet numerische Kreiszahl πZahl gibt es die nachvollziehbare Einsicht und Gewissheit, es wird tatsächlich eine Grössenabbildung zum Kreisverhältnis π berechnet. Bei einer mit unendlichen Reihen oder Produkten rein numerisch berechneten Kreiszahl πZahl gibt es keine solche anschaulich nachvollziehbare Einsicht und Gewissheit, denn es wird hier ein bezugloses Ergebnis berechnet.

Insgesamt werden mit den neuen anschaulichen Cohaerentic-Kalkulationen ohne Zahlen besonders fundamentale Verhältnisse-Transformationen ausgeführt. Es wird von linealen (lin) zu rotorischen (rot) Rechengrössen (Verhältnissen) transformiert und umgekehrt.

Während ein Bild eines Kohärenzsystems nur eine einzige Zusammenhang-Konstellation zu einem Punkt zeigt, wird mit einem Video der Zusammenhang zwischen systemkohärenten Rechengrössen für einen gesamten Wertebereich anschaulich nachvollziehbar. Das obige Video zeigt hierzu, wie mit einem dynamischen Geometrieprogramm zuerst ein Kohärenzsystem für zusammenhängende Rechengrößen gezeichnet wird. Hier sind es ein Verhältnis vom Drehungen und ein Verhältnis von Strecken. Wird im Zugmodus die unabhängige Rechengrösse Strecken-Verhältnis verändert, dann bewegt sich auch die abhängige Rechengrösse Drehungen-Verhältnis quasi zwangsläufig. Das Bewegen eines gezeichneten Kohärenzsystems kann als Video aufgezeichnet werden.

Die Rechengänge der Cohaerentic-Kalkulationen können mit realem Erfahrungswissen Schritt um Schritt nachvollzogen und als zutreffend erkannt werden. Möglich wird dies mit bildlich anschaulichen Kohäerenzmodellen für niedere und auch höhere Rechengänge. Der mit den Cohaerentic- Kalkulationen erzielte Fortschritt liegt nicht nur in entdeckten neuen Rechenoperationen , wie dem Duplikarrechnen, sondern in neuen Verknüpfungsstrukturen von bekannten elementaren Rechenoperatonen. Es wird erkannt, die quasi simultan auszuführenden Rechenoperationen des Doppelns und Halbierens haben eine besondere grundsätzliche Bedeutung. Mit diesen wird , wie schon die erste gezeigte Cohaerentic-Kalkulation zur Rektifikation vermittelt, das Einhalten des fundamentalen "Erhaltgrundsatzes" sicher gestellt. So bleiben in der Folge die immer weniger gekrümmten Kreisbögen in ihrer Länge exakt erhalten. Damit die Urberechnungen einfach und nachvollziehbar verständlich bleiben, dürfen sie nur mit den zusammenhängenden Urkurvenstücken von Kreis und Gerade (Beschränkung aus der Antike auf Zirkel und Lineal) gezeichnet werden. Probierende Schritte sind hier nicht zugelassen. Dadurch wird das Ergebnis stringent berechnet und nicht herbei probiert.

Bei den Cohaerentic-Kalkulationen mit endlosen Berechnungsprozessen wird zusätzlich immer mit einer Massnahme zum Erhöhen der Konvergenzgeschwindigkeit gearbeitet. Die gezeichnet berechnete Punkte- Kohärenzkurve, die gedanklich in der Fortsetzung den Ergebnis-Schnittpunkt erzeugt, ist im Ergebnisgebiet einer Kreiskurve sehr ähnlich. Sie kann kann deshalb quasi als durchgezogene Kreiskurve fortgesetzt werden. Diese fortgesetzte Konvergenzkuve wird als Kreis durch durch die letzten drei berechneten Punkte gezeichnet.

Historisches Abwenden von elementar gezeichneten Berechnungen

Der Sachverhalt, dass historisch und auch heute nicht zu solchen Urberechnugen geforscht wird, legt es nahe, zu hinterfragen, warum für höheren Rechenzusammenhänge nicht zu gezeichneten Rechenzusammenhängen ohne Zahlen geforscht wird? Es stellt sich die Frage, kann es solche Zusammenhänge überhaupt sinnvoll nachvollziehbar geben? Eine Stütze bekommt diese vage Erwartung "unmöglich" durch den berühmte Lindemannsche Beweis aus dem Jahr 1882, der für die Berechnungskohärenzen der Kreiszahl π = Zahl des Kreisumfangs / Zahl des Durchmesser die Eigenschaft "transzendent" beweist. Daraus folgert Lindemann, ein klassisch gezeichnetes Berechnen des Kreisverhältnisses π sei ohne Kenntnis und Nutzung von Zahlen, wie sie in der Formel der Eulerschen Identität eiπ +1 = 0 miteinander verknüpft sind, unmöglich.

Das hier vorgezeigt bildliche Kohärenzsystem vermittelt anschaulich nachvollziehbar, wie durch das Beachten der Symmetriegesetze ein rotorisches Drehungen-Verhältnis zweifelsfrei in ein lineales Strecken-Verhältnis transformiert wird. Insgesamt überrascht es, dass auch bei den sogenannten "höheren Berechnungen" mit den bekannten elementaren Rechenoperationen ausgekommen wird. Das quasi simultane Doppeln und Halbieren spielen hier eine wesentliche Rolle. Als interessierte Lesende haben sie schon bemerkt, dass das Cohaerentic- Wissen nicht auf das Berechnen einer Kreiszahl πZahl, sondern auf das des real erfahrbaren Kreisverhältnisses π gerichtet ist. Das Ergebnis soll real nachvollziehbar sein.

Mit den gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen wird eine Denkblockade durchbrochen. Diese verhinderte seit der Antike bis heute gezeichnete Urberechnungen ohne Zahlen. Der Grund dafür sind historische Erwartungen, die quasi immer weiter vererbt werden, bis heute. Mit gezeichneten endlosen Berechnungsprozessen, wie sie vom Prinzip her seit Antiphon dem Sophisten (ca 5. Jh.v.u.Z.) für Berechnungen zum Kreis bekannt sind, seien mit nur endlich vielen Schritten keine richtig zutreffenden Berechnungsprozesse und Ergebnisdarstellungen möglich.

Mehr über Cohaerentic - Kalkulationen

Elementar konstruieren und / oder gezeichnet berechnen?

Die gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen haben als Urberechnungen viele Gemeinsamkeiten mit den klassischen Konstruktionen der Geometrie, welche gleichfalls nur mit den Urkurven Kreis und Gerade (Beschränkung auf Zirkel und Lineal) gezeichnet werden. Diese Konstruktionen sollen nach endlich vielen Schritten eine endgültig fertige Ergebnisdarstellung erzeugt haben. Die wesentlichen Unterschiede für die gezeichneten Urberechnungen ergeben sich durch neue ergänzende Lösungsauflagen gegenüber denen, die es für elementare Konstruktionen seit der Antike gibt:

Endlose Berechnungsprozesse sind schon seit Antiphon dem Sophisten (ca. 5.Jh.v.u.Z) bekannt. Es macht keinen Sinn diese beim gezeichneten Berechnen auszuschliessen, da es dafür keine überzeugende Begründung gibt. Mit der Aufhebung der willkürliche Beschränkung, nur mit endlichen Berechnungsprozessen zu arbeiten, grenzen sich die Cohaerentic- Kalkulatioinen von den elementaren Kostruktionen ab,
Das Bestreben, mit möglichst wenigen real ausführbaren Schritten auszukommen, bleibt von dem Aufheben der Beschränkung auf nur endliche Berechnungsprozesse unberührt erhalten.
Auch bei endlosen Berechnungsprozessen muss der Berechnungsplan durch nur endlich viele Schritte eindeutig und vollständig dargestellt sein. Damit wird es theoretisch ermöglicht, nach Bedarf den Berechnungsplan immer weiter abzuarbeiten, bis die gewünscht hohe Genauigkeit beim dargestellten Ergebnis der Urberechnung erreicht ist.
Gegenüber den elementaren Konstruktionen gibt die zusätzliche Lösungsauflage, dass die gezeichnete Sequenz der zusammenhängenden Kurvenobjekte von Kreis- und Gerade-Stücken ein anschaulich plausibles bildliches Kohärenzsystem bildet. Das gezeichnete Ergebnis des Berechnens darf nicht wie bei einem Zaubertrick überraschend zustande kommen, so wie es bei vielen genäherten elementaren Konstruktionen der Fall ist. Aus dem gezeichneten Kohärenzsystem einer Urberechnung muss anschaulich und plausibel erkannt werden können, wie berechnet und warum das dargestellte Ergebnis zweifelsfrei zutreffend ist.

Die von Dinostratos (ca. 340 v.u.Z.) mit der Kurve Quadratrix gefundene gezeichnete π - Berechnung ist ein Beispiel für eine elementare Konstruktion mit solch überraschendem nicht logisch nachvollziehbarem Ergebnis.

Warum der Schnittpunkt E der Quadratrixkurve CQE mit der Abszisse einen Abstand der Grösse ME/MD=2/π=0,636619.../1 zum Kreismittelpunkt M markiert, kann hier nicht anschaulich plausibel erkannt werden. Auch die oft zitierte π-Konstruktion von Kochanski(1631-1700) ist eine weiters Beispiel für ein solch überraschendes, nicht nachvollziehbares Ergebnis.

Effizienz des Berechnens erhöhen

Bei den Cohaerentic-Kalkulationen mit endlosen Berechnungsprozessen wird einem Erhöhen der Geschwindigkeit des Konvergierens eine besondere Aufmerksamkeit gewidmet. Ziel ist hierbei, Rechenzeit einzusparen, auch beim Computer-Berechnen. Die hier mit Krümmungskreisen als "Konvergenzkurven" erzielten Ergebnisse überraschen positiv. Es werden nun, gemessen am Umfang der endlos vielen möglichen Schritte, tatsächlich nur sehr wenige Schritte benötigt, um zu einem für die alltägliche Praxis ausreichend genau reproduzierbar dargestellten Ergebnis des Berechnens zu gelangen. In der täglichen Praxis der Cohaerentic- Kalkulationen werden endlose Prozesse immer dann beendet, wenn beim Ergebnis eine ausreichend genaue Darstellung erreicht ist. Heute reichen meist 5 bis 10 wahre Nachkommastellen völlig aus, was mit den Maßnahmen der Cohaerentic für eine beschleunigte Konvergenz meist schon mit bis zu 30 gezeichneten Kreis- und Gerade- Objekten (Schritten) erreicht wird.

Die hier betrachteten Cohaerentic-Kalkulationen werden als Urberechnungen verstanden, denn sie arbeiten mit den einfachsten, aus Erfahrung bekanntem natürlichem Zusammenhangwissen, bei dem anfangs noch keine Zahlen im Spiel sind. Deshalb kommen hier dem Betrachten und Verständnis von linealen und rotorischen Verhältnissen (Strecken- und Kreisbogen-/Drehungen- Verhältnisse) eine grundlegende Bedeutung zu. Es wächst dabei die Einsicht:

Eine jede Zahl ist eine Verhältnis, aber für kein beliebig gegebenes Verhältnis gibt es eine endgültig ausmessende Zahl.

Elementare Konstruktionen sind bekannt für

die Grundrechenarten und auch für
das Übertragen eines Strecken-Verhältnisses auf eine zweite Strecke ohne Benutzung eines Masses (Geodreieck)
das Ausmessen und Zeichnen von Drehungen (Kreisbögen) und Strecken mit dem Geodreieck (Mass)

Gezeichnete Urberechnungen für höhere Rechenarten sind bisher nicht bekannt. Seit der Antike bis heute werden sie nicht angestrebt und erwartet. Es wurde und wird daher auch nicht danach geforscht. Seit es hierzu quasi "Unmöglich-Beweise" gibt, wird solchen Bestrebungen keine mathematische Bedeutung mehr zuerkannt.

Mit der Sichtweise der Cohaerentic gibt es zur gerade<->krumm Problematik eine Wissenslücke, indem zu Uraufgaben klassisch gezeichnete exakte Urberechnungen fehlen.

Unmöglich und auch nicht

Heute ist allgemein akzeptiert, dass F. Lindemann im Jahre 1882 bewiesen hat, eine elementare Konstruktion eines flächengleichen Quadrates zur Kreisfläche ist als Sequenz von Kurvenstücken von Kreis und Gerade (Beschränkung auf Zirkel und strichloses Lineal) unmöglich zeichenbar. Lindemanns Nachweis der Transzenenz des Zahl-Abbildes π_num für das Verhältnis π=Kreisumfang/Durchmesser gilt als Grundlage für die besagte Unmöglichkeit.

Andererseit wird mit Cohaerentic- Kalkulationen anschaulich nachvollziehbar gezeigt, die Kreisfläche und damit auch die Quadratur des Kreises sind mit gezeichneten verkürzten Grenzprozessen exakt berechenbar. Das wirft die Frage auf, was ist hier richtig und was falsch?

Der Widerspruch von "unmöglich" und dann "doch auch möglich" löst sich auf, wenn die Unterschiede von klassisch elementar gezeichneter Konstruktion und klassisch elementar gezeichneter Cohaerentic-Kalkulation vollständig berücksichtigt werden.

Die vom Lindemannschen Beweis ausgehende Einsicht für das "Unmöglich" trifft immer dann zu, wenn ein Versuch einer klassischen Konstruktion von dem beim Beweis zugrunde gelegten Berechnungszusammenhang Eulersche Identität (eiπ-1)=0 ausgeht. Zu anderen, auch noch möglichen Zusammenhängen für das Berechnen der Kreisfläche und des Kreisumfangs werden von Lindemann keine direkten Aussagen gemacht. Das Kohärenzmodell Eulersche Identität trifft nur für die systematischen Zusammenhänge zu, die es modelliert.

Denkblockade

Bei arithmetischen Berechnungen gibt es keine Beschränkung auf eine nur endliche Anzahl der Schritte. Daher erscheint die beim Berechnen mit einer elementaren Konstruktion eingeführte Beschränkung als etwas willkürlich Eingeführtes. Diese willkürliche Beschränkung führte zu einer Denkblockade für gezeichnete endlose Berechnungsprozesse. Von der Antike bis heute ist wenig bis gar nichts Neues zu den elementar gezeichneten endlichen und insbesondere den endlosen Berechnungsprozessen hinzu gekommen.

Der älteste und bis heute fundamentalste Vorschlag für ein exaktes Berechnen der Kreisfläche stammt von Antiphon ( 5. Jh.v.u.Z) dem Sophisten (Rudio, F. Archimedes, -Huygens, Lambert, Legendre, Vier Abhandlungen über die Kreismessung, B-G-Teubner Leipzig 1892 S.13). Wird in die heutige Fachliteratur geschaut, fällt auf, es wird kaum noch daran erinnert, dass alle späteren Berechnungen der Kreisfläche auf der Idee des Antiphon aufbauen. Auch die auf dieser web-Seite und auch die im Buch Cohaerentic vorgezeigten Berechnungen. Bei den Cohaerentic-Kalkulationen sind noch Massnahmen hinzugefügt, welche die Geschwindigkeit der Konvergenz ganz erheblich erhöhen.