Gezeichnetes exaktes  Winkeldritteln 

Historisches zu klassischem und nicht-klassischem Winkeldritteln

Unmöglich-Beweise:

Nach mathematischen Beweisen aus dem 19. Jahrhundert wird  das  Winkeldreiteilen mittels klassischer euklidischer Konstruktion  als unmöglich ausführbar gelehrt. Ein hierfür erforderliches  Ausziehen einer dritten  Wurzel   ³√ 2 sei  nicht als klassische Konstruktion  zeichenbar.  Den ersten Beweis hierfür  veröffentlichte Pierre Wantzel in Jahr 1837. Einen verkürzten Beweis, der besonders einfach die Unmöglichkeit der Winkeldreiteilung für ein Winkel von 60° zeigt,  hat D.Laugwitz  im Jahr 1962 veröffentlicht. 

Missverständnissen vorbeugen

Mit gezeichneten Cohaerentic Kalkulationen  wird nicht das Unmögliche versucht und angestrebt.  Deshalb wird hier  für das Winkeldritteln  ein über das klassische  euklidische  Konstruieren hinaus gehendes Konstruieren angestrebt, bei dem auch  notwendige Grenzprozesse  einbezogen und genutzt werden.   Mit immer mehr ausgeführten bekannten Schritten wird dabei einem  Grenzwert zugestrebt, welcher das  Winkeldrittel ist.  

Verschiedene nicht-klassische Konstruktionen  

Wir beginne die Betrachtungen zu den nicht-klassischen Konstruktionen mit solchen, die bisher in der mathematischen Fachliteratur noch nicht als solche betrachtet und beschrieben wurden. 

Zusätzliche gezeichnete Grenzprozesse

Bei unseren neuen nicht-klassischen Konstruktionen mit den gezeichneten Grenzprozessen können die Beschränkungen auf Zirkel und Lineal bzw. die Kurven Kreis und Gerade unverändert beibehalten werden, was das Verständnis zu Grundlagen fördert. Auf  zusätzliche Werkzeuge und schon gezeichnet gegebene  höheren Kurven kann hierbei  verzichtet werden.  

Die gezeichneten  Cohaerentic-Kalkulationen mit Grenzprozessen  gehen über die aus der Fachliteratur bekannten Winkeldreiteilungen hinaus. Sie überraschen mit verbesserter Konvergenz. Schon mit nur wenigen Schritten wird, gemessen an den endlos viel möglichen Schritte,   zu  überraschend genauen und weiter verbesserbaren     Ergebnis-Darstellungen gelangt.   Dies wird insbesondere durch  verkürzte gezeichnete Grenzprozesse möglich.

Zusätzliche Kurven

Bekannte  Beispiele für unzulässige   Werkzeuge sind  das Archimedes-Lineal mit Strichen,  das Tomahawk, der Bieberbach-Rechtwinkelhaken usw. und für unzulässige   höhere   Kurven sind es  die Trisectrix des Hippias (5.Jh.v.u.Z.), die quadratische und kubische Parabel,  die Hyperbel und weitere.   Im Jahre 1932 schreibt L.Bieberbach  im Journal für die reine und angewandte Mathematik  in seinem Beitrag " Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen"   

Diesen Beweis zur exakten Dreiteilung des Winkels führt Bieberbach dann auch aus. Mit den die Beschränkung verletzenden Hinzunahmen gibt es allerdings ein Problem, das nirgendwo angesprochen wird.  Die hinzu genommenen Werkzeuge und Kurven müssen in idealer Platzierung und mit idealem Kurvenverlauf eingesetzt werden, was nur theoretische gelingt. In der praktischen Ausführung wird die Platzierung mit immer kleineren Schritten, immer noch besser an die ideale Platzierung heran geführt, ohne Ende, quasi mit einem endlosen Prozess. Bei Kurven wird mit immer mehr, immer dichter benachbarten Kurvenpunkten dem idealen Kurvenverlauf immer mehr zugestrebt, quasi auch in einem endlosen Prozess. Wenn auch nicht direkt zu erkennen, werden hier auch immer endlose Prozesse benutzt und bei Erreichen einer gewünschten Genauigkeit abgebrochen. Vom Prinzip her gibt es bei diesen Sachverhalt keinen Unterschied zu einem numerisch berechneten Ausziehen einer drittem Wurzel, das auch ein endloser Prozess ist.  Bei etwas genauerer Betrachtung zeigt sich hier,  die für ein Berechnen der Kreiskurve und Drehung unabdingbar erforderlichen endlosen Berechnungsprozesse sind mit der zuvor angesprochenen Hinzunahme  auf vorausgehende Berechnungen und Aktionen ausgelagert (verschoben).

Zusätzliche  Werkzeuge

Hinzunahme eine Masslinials durch Archimedes

Hinzunahme eines Rechtwinkelhakens durch Bieberbach

WDT- Beispiel 1:   Exaktes Winkeldreiteilen  mit  gezeichneten Grenzprozessen 

Hier wird eine elementar gezeichnete exakt berechnete Winkeldreiteilung vorgezeigt, die schon mit geringen mathematischen Kenntnis verstanden und als anschaulich zielführend nachvollzogen werden kann. 

Vorbetrachtungen:

Wir betrachten  zuerst eine sehr allgemeines Prinzip für die Dreiteilung. Dabei wird nicht  direkt von der Zahl 3 ausgegangen, wie es bei einer Dreiteilung mit der Kohärenzgrundlage  Strahlensatz der Fall wäre.  Das exakte Berechnen wird mit  Grenzprozessen realisiert.  Es gibt die eingefäbten roten und grünen Flächen, die als Multisummen mit jedem weiteren Teilrechengang (Iteration) durch eine Addition wachsen. Die rote Fläche wächst um 2 Teile und die grüne Fläche um 1 Teil der in dem  vorangegangenen Teitrechengang nichteingefärbten Fläche.  Die nichteingefärbte Fläche verkleinert sich somit in jedem nächstfolgenden Teilrechengang auf ein Viertel, was ein starkes Konvergieren bedeutet. Mit zwei Halbierungen in jedem Teilrechengang sind es dann   im  5. Teilrechengang insgesamt 10 ausgeführte Halbierungen, welche eine schon   geringe  Breite  der nichteingefärbten Fläche b, bezogen auf die Gesamtbreite a  erzeugen.  Mit der Notation für die Duplikationen beschrieben, berechnet sich b zu:     b=a*(1^^-10)=a*1/ (2^10)=a*0,00097..., was schon eine sehr kleine erreichte Ergebnisabweichung ausweist. 

In der letzten Zeile wird mit  quasi unsymmerischen Schnittpunkten der Diagonalen anschaulich nachvollziehbar gemacht, wie die endgültige Ergebniserzeugung  der  endlosen Grenzprozesse verkürzt werden kann. 

Übergang von gerade auf gekrümmt

Mit der Sichtweise der Cohaerentic ist  eine Strecke aich ein Kreisbogen mit endlos grossem Radius und damit ohne Krümmung. Deshalb  fuktioniert das zuvor demonstrierte Prinzip der Dreitelung auch bei Kreisbögen bzw. Kreissektoren mit Ringen. Dies zeigt  das nächste Bild, bei dem nur die Summanden je Teilrechengang eingefärbt sind.

Der zu teilende Winkel wird im inneren Ring in einem ersten Zyklus mit zwei Halbierngen in  drei Teile geteilt, zwei kleinere Viertelteile und ein grösseres Halbteil.  Das erste  Viertelteil wird mit dem Farbausfüllen als erster Summand einer zu erzeugenden Multisumme für 1/3 zugeordnet, das zweite Viertelteil  im inneren Ring bleibt unausgefüllt weiss. Das Halbteil wird mit dem Farbausfüllen als erster Summand einer  zu erzeugenden Multisumme 2/3 zuaddiert.  Im nächst äusseren Ring und auch den nachfolgenden Ringen wird das jeweis nicht eingefärbte Viertel wieder mit zwei Halbierungen unterteilt.  Durch diese Vorgehenweise werden immer mehr Summanden den zu erzeugenden Multisummen 1/3 uns 2/3 zuaddiert, so dass die aktuellen Zwischen-Multisummen immer mehr ihren Grenzwerten !/3 und 2/3 zustreben. Auf dem Bild des Kohärenzsystems sind zwecks besseren Erkennens nur die einzelnen Summanden je Unterteilungszyklus (Ring)   eingefärbt.

Das Unterteilen kann theoretisch in   endlos vielen Ringen nach dem bekannten Rechenplan   fortgesetzt werden. Die Konvergenz dieses gezeichneten Grenzwertprozesses ist so gut, dass hier schon im vierten Ring  ein Drittelwinkel mit weniger als 0,1 Grad Fehler berechnet ist. Im fünften Ring werden Massnahmen zur verbesserten Konvergenz demonstriert, was mit 3 arithmetischen Mittelungsprozessen erreicht wird. Dies zeigt vergrössert ein weiteres  Bild. Der gemessene Ergebnis-Winkel des zwischenliegenden, aus zwei Punkten gemittelten dritten   Ergebnispunktes   hat  einen Fehler bis maximal  0,001 Grad.  Da hier ein exakter endloser Berechnungsprozess (endloser Berechnungsplan) genutzt wird, kann für eine gewünschte höhere Ergebnis-Genauigkeit immer weiter gerechnet werden.  

Die vorgezeigte Winkeldreiteilung demonstrieren es anschaulich sinnfällig nachvollziehbar, dass hier  stringent gerechnet und keine gute Näherung herbei  gezaubert oder herbei probiert wird. Mit der gezeichneten Konvergenzverkürzung kann schon mit wenigen Schritten ein für alle handwerklichen und wissenschaftlichen Anwendungen befriedigend genaues Ergebnis berechnet und dargestellt werden.

Grenzprozess zur Flächendreiteilung bei Quadrat und Kreis

Für die  Uraufgaben der Antike "Winkeldreitelung" kann mit klassisch, nur mit Kreis und Gerade ausgeführtem Konstruieren  kein exaktes Lösungsergebnis erzeugt und dargestellt werden. Im 19. Jahrhundert hat sich  die Wissenschaft Mathematik  ihre schon uralte Vermutung "unmöglich" mit mathematischen  Beweisen bestätigt. 

Im scheinbaren Widerspruch dazu, demonstrieren  die nachfolgenden Bilder ein  gezeichnetes, zweifelsfrei exaktes Berechnen der  Winkeldreiteilung, das klassisch gezeichnet, nur mit endlich vielen Schritten mit Kreis und Gerade ausgeführt wird.  Wie löst sich der ins Auge fallende Widerspruch auf? Dazu betrachten wir zuerst die dazu gezeichneten   Cohaerentic-Kalkulationen dahingehend, ob tatsächlich auch ein zweifelsfrei exaktes Berechnen der Winkeldreiteilung stattfindet.

Das obige linke Quadrat setzt sich als Ganzes  aus zwei endlosen Flächen-Multisummen rot und blau zusammen, wobei die rote Fläche aus Rechtecken doppelt so gross ist, wie die blaue Fläche aus Quadraten. Insgesamt weist das grosse Quadrat  eine unsymmetrische ungleiche, aber dennoch systematische  Aufteilung auf. Dieses Wissen zur ungleichen Aufteilung nutzen für ein anschaulich sinnfällg  gezeichnetes exaktes Berechnen der Winkeldreiteilung.  Das im rechten Bild beim Kreis mit einer Cohaerentic-Kalkulation erzeugte  Winkeldrittel- Ergebnis  wird dabei nicht herbei gezaubert und auch nicht durch schrittweises Annähern herbei probiert, sondern stringent Schritt um Schritt exakt herbei gerechnet.   Mit den eingeschriebenen Bruchzahlen als Abbild der natürlichen Rechengrössen- Summanden wird der Charakter des gezeichneten Berechnens der Multisummationen hervor gehoben. Anhand der vergössert  gezeichneten Winkeldreiteilung (unteres Bild) kann sehr gut erkannt werden, wie  trotz der genutzten endlosen Berechnungsprozesse schon nach sehr wenigen Schritten das Winkeldrittel-Ergebnis   mit Hilfe einer  Konvergenzverbesserung  "Mittelung" erzeugt ist. Die erreichte Darstellungsgenauigkeit  ist für eine real gezeichnete Winkeldreitelung schon zu hoch (siehe gemessene Winkelgrössen im Bild). Mit dem durch die Zeichnung dargelegten vollständigen Berechnungplan bis zum letzten Schritt  kann das vorgezeigte gezeichnete Berechnen zum Zweck einer höheren Ergebnisgenauigkeit immer weiter fortgeführt werden.

Anhand dieser klassisch gezeichneten Winkeldreiteilung ist zu erkennen, elementare Konstruktion sind kein gezeichnetes Berechnen, das notwendigerweise auch endlose Berechnungsprozesse für Grenzwerte einschliesst. Für elementare Kostruktionen  wird  auch kein    anschaulich vollständiges Nachvollziehenkönnen der  gezeichneten Kohärenzsysteme auf dem Zeichenblatt gefordert. 

Winkeldreiteilung  nach Fialkowski    mit verbesserter Konvergenz   nach  Schleicher 

Die Idee der Drittelung mit  fortgesetzten Halbierungen und alternierenden Additionen und Subtraktionen hat erstmals N.Fialkowski (1818-1902) in seinem Buch "Die Theilung des Winkels und des Kreises", Verlag C.G.Gerolds Sohn Wien 1860  veröffentlicht. Allerdings schreibt er dazu: Allein diese Construktion hat für das praktische Zeichnen gar keinen Werth; erstens weil man zu viele Halbirungen vornehmen muss, und zweitens, weil man die nach und nach keiner und kleiner  enstehenden Winkel geometrisch nicht so leicht nach dieser Art halbieren kann, aus welchen Gründen diese Methode beim praktischen Zeichnen nicht anwendbar ist."

Bei den hier vorgezeigten Cohaerentic Kalkulationen wird das Hindernis der schwachen Konvergenz  beseitigt und so  zu einer für die Praxis zufrieden stellenden  Effizienz gelangt. 

Aus der Fachliteratur ist bekannt,  es gibt vereinfachte  mathematische Beweise, die ein klassisch gezeichnetes  exaktes  Berechnen  für  Winkel von 60° als unmöglich beweisen. Es müsse eine Kubikwurzel (Wurzel 3.Grades)  durch ein klassisches Zeichnen exakt berechnet  werden. Dies sei exakt unmöglich. Wenn die Wurzel nur genahert berechnet werde, dann sei auch der Drittelwinkel nur genähert berechnet.

Die hier vorgezeigte Methode fuktioniert natürlich für alle Winkel, nicht nur für die besonderen 60 Grad.

Wie kann schon nach wenigen Schritten zu so hohen Genauigkeiten  bei der  Ergebnis-Darstellung gelangt werden, das sie  für alles wissenschaftliche Arbeiten  ausreichen? Konkret wird schon nach sieben Halbierungen eine gezeichnete 2/3-Drehungsgrösse von 40,00000076° erreicht und mit dem benutzten Geometrieprogramm ausgemessen.  Schon mit  wenigen weiteren Halbierungen wird bereits in Genauigkeitsbereiche gelangt, die jenseits aller praktischen Anforderungen liegen.     

Wie kann schon nach wenigen Schritten zu   so hohen Genauigkeiten  bei der  Ergebnis-Darstellung gelangt werden, die für alles wissenschaftliche Arbeiten  ausreichen. Konkret wird schon nach sieben Halbierungen eine gezeichnete 2/3-Drehungsgrösse von 40,00000076° erreicht und mit dem benutzten Geometrieprogramm ausgemessen.  Schon mit  wenigen weiteren Halbierungen wird bereits in Genauigkeitsbereiche gelangt, die jenseits aller praktischen Anforderungen liegen.  

WDT- Beispiel 2:     Natürlich konvergierender Grenzprozess für die Winkeldreiteilung 

Mit dem nächsten Bild stelle ich ein einfaches, gut verständliches 3-er-Kohärenzsystem  vor, das aus der Fachliteratur nicht bekannt ist. Es kann als Kohärenzgrundlage für das elementar gezeichnete Berechnen des  Winkeldreiteilens genutzt werden.   

Zur  natürlichen 3-er-Kohärenz gibt es  mehrere sie beschreibende Behauptungen. Hier werden  nun zwei betrachtet, die aus der Fachliteratur nicht bekannt sind:

Behauptung 1:

Ein Streckenzug aus 4 Strecken im Kreis, aufgeteilt in 2 Paare  paralleler Strecken, verdreifacht einen kleinen Winkel, bzw. unterteilt einen grossen Winkel in einen kleinen und dazu doppelt grossen Winkel.

Ausgehend von Behauptung 1 habe ich einen natürlich konvergierenden Berechnungsprozess erfunden/entdeckt, den das folgende Bild zeigt. 

Berschreibung der Cohaerentic-Kalkulation gemäss Behauptung 1:

Zum leichteren Nachverfolgen der nacheinander gezeichneten Objekte sind diese mit laufenden Nummern versehen. Ohne Nummern sind die Achsen, der  grosse Kreis und die roten Radiusstrecken gezeichnet, die den zu teilenden Winkel markieren. Der erste Zyklus (quasi die erste Zwischenrechnung), umfasst die Strecken mit Nummern 1 bis 4, der zweite Zyklus die Nummern 5 bis bis 8 usw. Mit jedem gezeichneten Zyklus wird dem exakten Lösungskriterium näher gekommen, das Parallelität der jeweils zwei Streckenpaare heisst. Wie dieser Prozess  abläuft ist schon anschaulich mit dem erste  Zyklus des Berechnens (Strecken 1 bis 4) zu erkennen.  Begonnen wird mit einem beliebig gross gewähltem Drittelwinkel, dessen radialer Strahl 1 den äusseren Kreis schneidet. Zu diesem Strahl 1 wird eine paralle Strecke 2 durch den Kreispunkt des Teilungswinkels gelegt. Diese Paralle schneidet in einem zweiten Schnittpunkt die Kreislinie. Von diesen Schnittpunkt wird zum gegenüber liegenden Schnittpunkt eine Strecke 3 gezogen und ihr Mittelpunkt eingezeichnet. Durch den Schnittpunkt der Strecke 3 mit der Ordinatenachse S(1xY)  wird eine Paralle zur Abszissen-Achse X gelegt, welche links die Kreiskurve  in einem Schnittpunkt kreuzt. Nun wird  der neue Rechenzyklus mit  den Strecken 5; 6; 7 und 8 gezeichnet. Die gezeichneten weiteren Zyklen umfassen  hier die Strecken-Objekte 9 bis 12,    13 bis 16 und 17 bis 19 ohne, dass daran alle Nummern angebracht sind. Der nächste vergrösserte Bildausschnitt zeigt, die Mittelpunkte der Strecken 7; 11; 15 und 19 streben systematisch auf einer dem Kreis sehr ähnlichen Kurve der Ordinatenachse zu. Der Drittelwinkel ist erreicht, wenn die zwei besagten Streckenpaare Parallelität erreicht haben.  Das Verbessern der Konvergenz (verkützen des Grenzprozesses) wird mit einem Kreis K20 erreicht, der durch die letzten drei Mittelpunkte 11, 15 und  19 gelegt wird und die Ordinaten-Achse schneidet. Die in  diesem Schnittpunkt errichtete Senkrechte scheidet den grossen Kreis in dem Punkt, welcher quasi den Drittelwinkel markiert.  Bei noch nicht befriedigender Ergebnisgenauigkeit kann der abgebrochene exakte Berechnungsprozess immer weiter fortgesetzt werden.

Behauptung 2:

Ein vom Kreismittelpunkt ausgehender radialer Strahl  schneidet die Kreiskurve in einem   Schnittpunkt und markiert so eine Drehung und eine zum radialen Strahl  parallel verschobene Gerade markiert mit ihrem nahen Kreisschnittpunkt  die dazu dreifache Drehung, wenn der Abstand zwischen ihren   beiden  Schnittpunkte mit dem Achsen von Abszisse und Ordinate die Grösse des Kreisdurchmessers aufweist.

Ausgehend von Behauptung 2 habe ich für die Winkeldreiteilung einen natürlich stark konvergierenden gezeichneten Berechnungsprozess erfunden/entdeckt, den das folgende Bild zeigt. 

 Berschreibung der Cohaerentic-Kalkulation gemäss Behauptung 2:

Zum leichteren Nachverfolgen der nacheinander gezeichneten Objekte sind diese mit laufenden Nummern und Buchstaben versehen. Ohne Nummern sind die Achsen  und die dicken roten  Radiusstrecken  gezeichnet, welche den zu teilenden Winkel 60° markieren. Der Hauptkreis ist mit k1 gekennzeichnet. Vom Kreispunkt S(60°xk1) des dreizuteilenden Winkels 60° wird ein Strecke g2 nach dem frei gewählten Punkt S(OAxg2) gezeichnet (OA= Ordinaten-Achse). Vom Drehpunkt S(OAxg2) wird mit einem Radius von der Duchmessergrösse von k1 ein Kreisbogen k3 gezeichnet, welcher die Abszissen-Aches (AA) in Schnittpunkt S(AAxk3) schneidet. Vom Punkt S(60°xk1) ausgehend wird ein Strahl  g4 durch den Punkt S(AAxk3) gelegt und schneidet dabei die Ordinaten-Achse im Schnittpunkt S(OAxg4). Vom Drehpunkt S(OAxg4) wird mit einem Radius von der Duchmessergrösse von k1 ein Kreisbogen k3 gezeichnet, welcher die Abszissen-Aches (AA) in Schnittpunkt S(AAxk5) und den Strahl g4 im Schnittpunkt S(g4xk5) schneidet. (Ende 1. Zyklus)

Vom Punkt S(60°xk1) ausgehend wird ein Strahl  g6 durch den Punkt S(AAxk5) gelegt und schneidet dabei die Ordinaten-Achse im Schnittpunkt S(OAxg6). Vom Drehpunkt S(OAxg6) wird mit einem Radius von der Duchmessergrösse von k1 ein Kreisbogen k3 gezeichnet, welcher die Abszissen-Aches (AA) in Schnittpunkt S(AAxk7) und den Strahl g6 im Schnittpunkt S(g6xK7) schneidet. (Ende 2. Zyklus)

Vom Punkt S(60°xk1) ausgehend wird ein Strahl  g8 durch den Punkt S(AAxk7) gelegt und schneidet dabei die Ordinaten-Achse im Schnittpunkt S(OAxg8). Vom Drehpunkt S(OAxg8) wird mit einem Radius von der Duchmessergrösse von k1 ein Kreisbogen k9 gezeichnet, welcher die Abszissen-Aches (AA) in Schnittpunkt S(AAxk9) und den Strahl g8 im Schnittpunkt S(g8xk9) schneidet.  (Ende 3. Zyklus)

Wegen der starken Konvergenz dieses Berechnungsprozesses werden hier keine weiteren Zyklen angefügt.  Durch folgende exakt berechnete Punkte S(g4xk5), S(g6k7) und S(g8xk9) wird nun ein Krümmungskreis k10 gelegt, der  als  Kohärenzkurve im Ergebnisbereich  die Abszissen-Achse im Schnittpunkt S(AAxk10) schneidet. Vom Punkt S(60°xk1) ausgehend wird eineGerade  g11 durch den Punkt S(AAxk10) gelegt. Eine dazu Parallele g12 wird duch den Koordinatenursprung M gelegt und der Winkel S(AAxk1),M,S(k1xG12) ausgemessen. 

 Zum Zweck des Nachmessens des berechneten Drittelwinkels wird dieser in der unteren Kreishälfte  verdreifacht und ausgemessen, 

Weiteren Betrachtungen zur   Problematik der Winkeldreiteilung und auch der allgemeinen Winkelteilung bzw. Kreisteilung gibt es  im Buch "Cohaerentic".

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