Cohaerentic - Winkelteilung

Winkelteilung /-erzeugung als bidirektionale Transformation

Translatorische Verhältnisse in/aus rotorische/n Verhältnisse/n transformieren

Eine Uraufgabe des klassich konstruierten Berechnens ist die bidirektionale Transformation translatorischer Verhältnisse in/aus gleichgrosse/n rotatorische/n Verhältnisse/n. Neben begrenzt bzw beschränkt genäherten lin<->rot-Transformationskurven sind hier auch unbegrenzt bzw, unbeschränkt genäherte bekannt, wie die Quadratrix von Hippias (ca 5. Jh.v.u.Z.), die Spirale des Archimedes (3.Jh. v.u.Z.) und noch weitere. Die Quadratrix wurde von Hippias (ca 430 v.u.Z.) zur Lösung der allgemeinen Winkelteilung und auch für die spezielle Winkeldreiteilung als eine eine Schnittpunkt-Kurve erdacht, die durch zwei synchrone mechanisch gekoppelte Drehbewegungen erzeugt wird. Eine Drehbewegung hat einen nahen Drehpunkt (rotatorische Bewegung) und die zweite einen endlos fernen Drehpunkt (translatorische Bewegung). Um die hundert Jahre später entdeckte Dinostratos, dass diese Kurve im Vierteklreis die Abszissenachse im besonderen Abstand zum rot-Drehpunkt = Durchmesser/Halbkreisumfang = (2/π) schneidet. Da im alten Griechenland die Quadratrix als Ergebnis zweier dynamischen Bewegungsprozesse erdacht wurde, blieb ein klassisches Konstruieren von immer mehr exakten Kurvenpunkten unbetrachtet. Mit dem heute gelehrten „Unmöglich“ für die Winkeldreiteilung nach Hippias geht indirekt die Einsicht einher, die erforderlichen unbeschränkt vielen exakten Kurvenpunkte der Quadratrixen können vom Prinzip her nicht klassisch konstruiert werden.

Die Situation ändert sich, wenn die Kurvenerzeugung weg vom ideellen hin zu realen Vorgehensweisen und Darstellungen der Kurvenpunkte verändert wird. Dadurch wird aus einem generell „Unmöglich“ ein real nachvollziehbares „Möglich“.

Lösungsidee 1: Fixe Transformationskurve im Kleinwinkelbereich

Mit Hilfe einer vorher im Grenzkohärenz-Bereich klassisch konstruieren Transformationskurve Kreis , verschiebe ich die Transformationen Verschiebung<->Drehung in den Kleinwinkelbereich. Der Trick ist, die Transformation wird nicht mit den real grossen Verhältnissen von Verschiebung und Drehung und einer komplizierten Transformationskurve ausgeführt, wie es bei der Quadratrix = Trisectrix des Hippias von Elis (5.Jh.v.u.Z.) der Fall ist. Die gegebene Rechengrösse Drehung oder Verschiebung wird mit Halbierungs-Schritten immer weiter bis in den quasi linearen Grenzbereich verkleinert, in dem dann die eigentliche Transformation als klassich konstruierter Umrechnungsprozess stattfindet. Die dabei an der Transformationskurve Kreis erzeugte neue kleine Drehunggrösse oder in der anderen Transformationsrichtung die erzeugt kleine Verschiebungsgrösse wird dann mit gleich vielen Schritten wie beim vorausgegangenen Halbieren wieder in den Realbereich vergrössert. Mit nur wenigen Halbierungen/Doppelungen werden bereits Genauigkeiten von mehreren wahren Nachkommastellen erzielt. Da es für die Verkleinerung des Grenzkohärenzbereiches zum Kleinen hin (Zahl der Halbierungen) theoretisch keine Grenzen gibt, kann theoretisch mit immer mehr Halbierungen die erziebare Genauigkeit immer weiter gesteigert werden. Dies ist aber für die Anforderungen, die an die alltäglichen Anwendungen gestellt werden, überhaupt nicht notwendig.

Der Zusammenhang der Transformation Translation-> Rotatation ist offenbar wenig oder gar nicht abhängig von der Position des Punktes K2, wenn dieser rechts von Punkt A liegt.

Lösungsidee 2: Bewegte Kohärenzkurve

Anschauliche Transformation von Translation in Rotation mit bewegter Kohärenzkurve.

Winkel nach vorgegbener "Winkel-Zahl" bzw. Strecke zeichnen

Anschauliche Transformation von Translation in Rotation mit fixer Kohärenzkurve