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1. Was ist, was leistet cohaerentische Geometrie?

Teaser-Abstract
Die cohaerentische Geometrie hinterfragt die klassischen „Unmöglichkeitsbeweise“ zum Winkeldritteln, zur Kreisquadratur und zum doppeln des Würfelvolumens. Dabei wird insbesondere der Frage nachgegangen, ob niedrige und höhere Berechnungszusammenhänge primär geometrischer Natur sind oder auf arithmetisch-algebraischem Wissen beruhen. Es zeigt sich, Grenzen der Zahl sind nicht die Grenzen der Geometrie. Während die Zahlentheorie lediglich zeigt, dass bestimmte kontinuierliche Größen nicht durch diskrete Zahlen darstellbar sind, bedeutet dies nicht, dass hier geometrischen Erzeugungsprozesse unmöglich wären. Statt sich , wie bei der euklidischen Geometrie, sich auf endliche Schritte zu beschränken, erlaubt die cohaerentische Geometrie autokonvergente Grenzprozesse – unbegrenzt fortsetzbare Konstruktionen, bei denen jede Zwischenstufe bereits eine Teilrealisation des Ganzen ist. So verschiebt sich der erwartete Grundlagenschwerpunkt von der Zahl zurück zur Relation, von der Endlichkeit zu einer kontinuierlichen Kohärenz, von „unmöglich“ zu einer konstruktiven Erweiterung der klassischen Geometrie.

Glossar zur Einführung

Klassische vs. cohaerentische Geometrie

Aspekt	Klassisch:	Cohaerentisch:
Geometrische Grundlage	Fundament ist die Zahl. Durch die Algebraisierung entsteht die analy-tische Geometrie mit diskreten Maßen und Koordinaten.	Fundament sind geometrische Relationen und Abhängigkeiten. Sie werden durch Schritt-für-Schritt-Prozesse beschrieben, nicht durch diskrete Zahlen, Maße oder Koordinaten als abgeleitete Größen.
Unmöglichkeits-beweise	Seit der Antike gelten viele Aufgaben als „unmöglich mit Zirkel und Lineal“ (z. B. Winkeldrittelung, Quadratur des Kreises), da ihre Lösung auf nicht lösbare Gleichungen führt (etwa kubische oder transzendente Gleichungen).	Solche Konstruktionen werden möglich, wenn man die Zahl nicht mehr als alleinige Rechengrundlage versteht, sondern Prozesse zulässt, die in unendlichen Wiederholsequenzen verlaufen. Jedes Zwischenergebnis bildet dabei eine reproduzierbare Teilrealisation innerhalb einer zielführenden Konvergenz.
Grenzprozess	Ein Grenzprozess beschreibt eine Annäherung an einen Wert, der von keinem endlichen Schritt exakt erreicht wird, sondern erst im Ideal der Unendlichkeit liegt. Ein solches Denken ist im klassischen Paradigma jedoch verboten und führt zu falschen, als unmöglich erklärten Ergebnissen.	Unendliche Grenzprozesse sind integraler Teil des geometrischen Zusammenhangs: Jede Stufe ist bereits eine Teilrealisation, die autokonvergent auf den Grenzwert zuläuft.
Autokonver-genz	Annäherung erfolgt meist über Probieren, Korrigieren oder Näherungsverfahren; Exaktheit wird durch die Lösung algebraischer Gleichungen gewährleistet.	Ein Prozess ist autokonvergent, wenn er ohne probierende oder korrigierende Schritte von selbst exakt auf den Grenzwert bzw. Grenzpunkt zuläuft.
Teilrealisation	Zwischenergebnisse eines Grenzprozesses gelten lediglich als „unvollkommene Approximation“.	Jede Zwischenstufe ist eine eigenständige, reproduzierbare Teilrealisation einer ganzheitlichen geometrischen Realität.
Quantisierungs-problem	Stetige Größen wie das Kreisverhältnis π = Kreisumfang / Kreisdurchmesser lassen sich nur über unendliche Zahlendarstellungen	π erscheint als geometrisches Verhältnis am Ende eines nachvollziehbaren Grenzprozesses. Es wird sichtbar und erfahrbar durch die Kontinuität der reproduzierbaren Teilrealisationen.
Paradigmen-wechsel	Paradigma „Zahl bestimmt das Grunlagendenken zu geometrischen Berechnungsaufgaben“.	Paradigma „Relation bestimmt das Grunlagendenken zu geometrischen Berechnungsaufgaben. Zahl ist abgeleitet“.

1.1. Grundgedanke und Zielbegriff

Der Begriff "Cohaerentisch" ist zur Abgrenzung eingeführt. Er grenzt die Erweiterungen der cohaerentische Geometrie vor allem gegenüber der euklidischen undarithmetisch-Algebraisch interperetierten Geometrie ab. Eine Kernmotivation für die angestrebten Erweiterungen geht von den berühmten Unmöglichbeweisen und ihren unzuklässigen Verallgemeinerungen aus. So wird von unmöglichen vollständigen Ergebnisdarstellungen unzulässig auf unmöglich konstruierte Erzeugungsprozesse abstrahiert. Das heute dazu gelehrte Wissen beschreiben mit folgender

"Leseprobe zum Kurs 01320 Algebra und ihre Anwendungen der Fakultät für Mathematik und Informatik der Fernuniversität Hagen (FernUni / Fakultät MI / Angewandte Mathematik / Studium und Lehre / Lehrveranstaltungen / Kurs 01320 Algebra und ihre An...)"

die Hochschullehrerinnen Silke Hartlieb und Luise Unger. Im Kapitel 1 „Die klasssischen griechischen Konstruktionsprobleme“ ist zu lesen:

„Wir werden in dieser Kurseinheit zeigen, dass die klassischen griechischen Konstruktionsprobleme nicht lösbar sind. Mit anderen Worten, es gibt keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt. Solche Unmöglichkeitsbeweise sind für mathematische Laien nur schwer nachvollziehbar, und daher gibt es überraschend viele Leute, die einen Satzanfang der Form „Es ist nicht möglich,. . . “ als „Bis jetzt haben wir es noch nicht hingekriegt,. . . “ übersetzen. Es gibt also auch heute noch etliche Personen, die ihre vermeintlich geglückten Konstruktionen an mathematische Fachbereiche schicken, und dann sehr enttäuscht sind (oder sehr böse werden), wenn man ihnen mitteilt, dass man nicht gewillt sei, dies genauer anzusehen, da die Konstruktion sowieso falsch sein müsse."

Dieses gelehrte Wissen vermischt zwei Begriffe, setzt sie quasi gleich. In der geometrischen Realität ist aber der Größendarstellungsprozeß für ein Größenabbild Zahl nicht der geomtrische Erzeugungsprozeß der geometrischen Ergebnisgröße Winkeldrittel. Ein nicht abschließend Darstellenkönnen bedeutet nicht, dass es kein mit jedem Schritt weiteres Zustreben zum exakten, logisch nachvollziehbaren Grenzwert gibt. Hier muß noch daran erinnert werden, das Quantisierungsproblem mit prinzipiellem Quantisierungsfehler ist allgemeingültiger als der wantzel`sche Unmöglich-Beweis von 1837, der nur eingeschränkt für Drittelungsversuche mit Gleichungen vom 3. Grad (kubische Parabel) zutrifft.

Euklid arbeitet konstruktiv-anschaulich (Zirkel & Lineal).
Die späteren modernen Unmöglichkeitsbeweise (z. B. Winkeldrittelung, Kreisquadratur) stammen aber aus der algebraisch-zahlentheoretischen Interpretation der Geometrie (Körpererweiterungen, Galois-Theorie).
Diese setzen die Zahlentheorie als „Grundlage“ der Geometrie voraus, was zwar formal sehr mächtig, aber für die Wirklichkeit des geometrischen Handelns (Konstruktionen, Prozesse, Visualität) nicht identisch mit der ursprünglichen euklidischen Praxis ist.
Die „Unmöglich“-Urteile sind damit keine rein geometrische Realttät, sondern Aussagen über arithmetisch.algebraische Rechenstrukturen, die auf Geometrie projiziert werden.

Hier setzt die cohaerentische Geometrie an:
Sie sagt, geometrische Wirklichkeit ist nicht auf Zahlentheorie reduzierbar. Wird es gemacht, führt es zu Problemen:

Arithmetisch-algebraisch interpretierte Geometrie sagt, für das unmögliche Winkeldritteln ist wichtig, daß Parabelpunkte y= x² und y=x³ und insbesondere y=x^N mit N >3 nicht für alle x konstruierbar sind und begründet dies auf der theoretischen Grundlage zu Zahlenkohärenzen.
Cohaerentische Geometrie sagt hingegen, Parabelpunkte y=x^N mit N= 2; 3; 4 ..... sind sehr wohl vom Prinzip her für alle gegebenen x jeweils mit endlichen Schritten konstruierbar. Dies wird mit keiner Theorie begründet, sondern mit entsprechenden sichtbar, logisch nachvollziehbaren Konstruktionen demonstriert. Diese kommt ohne Zuhlfenahme von Zahlen und der Zahlentheorie aus. Zu Einzelheiten siehe dazu auf Unterseite 2.2.1. Parabel https://www.cohaerentic.com/index.php/kreis/produktekte/param und 3.1 Multi-Produkte "https://www.cohaerentic.com/index.php/hoer/multipro/mukrisu/mugre.

Was grenzt sich ab, wovon grenzt es sich ab?

Mit welchen Paradigmen wird sich abgegrenzt? Die heutigen Argumentationen und Erklärungen zu den grundlegenden geometrischen Zusammenhängen stützen sich seit Euklid immer mehr auf Einsichten zur Zahlentheorie. In diesem Rahmen wird zu respektablen Ergebnissen gelangt, was Mathematiker befriedigt, aber Lernende eher verwirrt als erhellt. Die Einsichten zu den formalen Unmöglichkeitssätzen zu den klassichen drei Aufgaben der Antike Winkeldritteln, Kreisfläche in ein flächengleichesQuadrat wandeln und Würfelvolumen verdoppeln sind nicht mit sichtbaren, nachvollziehbaren geometrischen Prozessen geführt.

„Unmöglich“ in der klassischen Geometrie heißt somit nicht, dass die erwartete gesuchte Figur bzw. Größe selbst nicht existiert.
Es heißt nur: In dem Zahlmodell, das wir benutzen, können wir sie nicht als Zahl konstruieren.
Das tieferliegende Problem ist: Geometrische Figuren lassen sich nie vollständig in Zahlen einfangen – jede Zahl als diskretes Objekt ist nur eine Annäherung.

1.2. Konsequenz aus dem Quantifizierungsproblem

a) Zahl ist keine vollständige Beschreibung

Eine Zahl ist nur ein Abbild, ein Symbol für eine diskrete Größe.
Sie kann einen geometrischen Zusammenhang niemals vollständig erfassen, weil sie diskret ist, während die Figur bzw. die geometrische Größe kontinuierlich ist.

b) Was stattdessen zählt

Entscheidend ist nicht allein das Ergebnis als Zahl, sondern der Erzeugungsprozess, der zur Ergebnisfigur /Ergebnisgröße führt.
Der Erzeugungsprozess kann aus einer endlichen oder auch prinzipiell unendlichen Abfolge von sichtbaren, nachvollziehbaren Konstruktionsschritten mit Kreis und Gerade bestehen.
Damit ist die Lösung in der Figur- bzw. Größenentstehung selbst verankert, nicht in der Zahl, die man ihr später zuschreibt.

c) Beispiel: Parabelpunkte y=x^N mit N= 2; 3; 4; ... klassich konstruieren

Klassisch: „Unmöglich, weil keine Zahl die Lösung oberhalb der Quadraturen (N>2) vollständig ausdrücken/darstellen könne.“
Cohaerentisch: Möglich, weil die Lösungsgröße für N nach endlichen Wiederholzyklen zur wiederholten Multiplikation vollständig erzeugt und dargestellt ist.“ Beispiele für konstruierte Parabelpunkte y=x^N mit N= 1; 2; 3; .... sind im Rahmen cohaerentischer Pradigmen auf https://www.cohaerentic.com/index.php/hoer/multipro/mukrisu/mugre und im Buch S.Schleicher Cohaerentic ISBN S.200 konstruiert.

d) Beispiel: Winkeldritteln klassich konstruieren

Klassisch: „Unmöglich, weil keine Zahl aus Quadraturen die Lösung vollständig ausdrücken könne.“

Cohaerentisch:

a) „Möglich, weil Ergebnisgröße aus Quadraturen die Lösung vollständig ausdrücken kann und jeder Parabelpunkt y=x^N mit N=2; 3; 4; .... durch endliche Wiederholsequenzen konstruierbar ist.“

b) „Möglich, weil ein exakter endlicher systematischer Prozess mit gegebener Parabel y=x^2 und einer konstruierten Sequenz aus Kreis- und Geraden-Objekten das simultane dreifache Dritteln dreier aneinander grenzender Winkel im Halbkreis sichtbar und logisch nachvollziehbar erzeugt (Systemkohärenz). Der dafür prinzipiell erforderliche unendliche Erzeugungsprozeß versteckt sich in der hier gegebenen Parabel y=x², für die er aufgewendet wird.

c) „Möglich mit einem exakten endlosen Prozess, der die Bewegung hin zu einer Winkeldrittel-Zielfigur realisiert und zwar mittels Wiederholseuquenzen aus endlich vielen Kreis- und Geraden-Objekten, so daß sichtbar und logisch nachvollziehbar tatsächlich dem exakten Grenzwert=Winkeldrittel zustrebt wird und keine blose Näherung stattfindet!

Die Einsichten zum "Unmöglich"sind innehalb des gedanklich gesteckten Rahmens der Zahlentheorie ohne Widersprüche, also für die Mathematik richtig. In Bezug zur Geometrie als einen Teil der erfahrbaren Realwelt weisen die besagte Einsichten zum verallgemeinerten "Unmöglich, wie oben aufgezeigt, erhebliche Widerspruch auf.

Wo grenzen sich die beiden unterschiedlichen Paradigmen voneinander ab?

Ontologischer Ansätz:
- Zahlformalismus: „Zahl ist die Grundlage, Geometrie ist abgeleitet.“
- Cohaerentisch: „Relation ist die Grundlage, Zahl ist ein abgeleitetes Größenabbildmodell .“
Wahrheitsbegriff:
- Zahlformalismus: „Unmöglichkeitssätze“ gelten absolut im Modell und werden oft wie allgemeingültige Aussagen über Geometrie formuliert, was verwirrt.
- Cohaerentisch: Dieselben Unmöglichkeitssätze werden als Rahmenaussagen gesehen, deren Geltung auf das dem Beweis zugrunde gelegten Zahl-Modell beschränkt ist und die geometrische Realität nicht ausreichend abbildet.
Realitätsbezug:
- Zahlformalismus: nimmt stillschweigend an, das Zahlmodell bilde die reale Geometrie vollständig ab.
- Cohaerentische Geometrie macht explizit sichtbar, dass das Zahl-Modell nur eine Verengung ist, und rückt hier Geometrie wieder als Teil der erfahrbaren Realwelt in den Vordergrund.

Die zusammenfassende Argumentation zum Paradigmenkonflikt ist:

Innerhalb der Zahlformalistik ist erkannte „Unmöglichkeit“ korrekt.
Bezogen auf Geometrie als Realität ist dieses „Unmöglich“ aber falsch, weil es das falsche Paradigma verallgemeinert.
Die cohaerentische Geometrie zeigt praktisch durch Konstruktionen, unter anderem auch zu Parabelpunkten y=x^N, dass der Widerspruch zum Unmöglich nicht bei der Geometrie liegt, sondern bei der Verkürzung durch das Zahl-Modell.

Entwicklung im historischen Zeitverlauf:

Die ELEMENTE von Euklis (ca 330 v.u.Z) lehren endliche Konstruktionen, da erwartet wird, daß unendliche Konstruktionen blose Näherungen liefern, nichts Exaktes, was in endlichen Schritten vollständige dargestellt werden kann. Euklidische Geometrie lehrt geometrisches und arithmetisch-algebraisches Wissen zu den Grundbeziehungen, die mit endlich vielen Schritten umzusetzen sind. Die cohaerentische Geometrie konzentriert sich auf die Grundbeziehungen eines konstruierten niederen bis höheren Rechnens und lehrt dazu geomerisches Wissen. Was unterschwellig bei euklidischer Geometrie bleibt, ist das Gefühl, die Einsicht, daß mit der Beschränkung auf endliche viele Schritte der allgemeine Prozeß des Entwickelns unterbrochen und abgeschnitten wird. Ein Weiterdenken zu geometrisch konstruierten Multiprozessen und Grenzprozesse höherer Rechenarten fand und findet nur in der mathematischen Welt der Zahlen statt. Die Vorstellung von durchgängig rein geometrisch konstruierten Erzeugungsprozessen für das Kreisverhältnis π = Kreisumfang / Durchmesser fehlt. Sie sind aber als konstruierte unendlichen Multipozesse und Grenzprozesse ohne Zahlen der Geometrie inhärent.

Hier setzt cohaerentische Geometrie ein. Sie überwindet die Erwartung der euklidischen Geometrie, daß eine darstellbare diskrete Zahl das Ergebnis sein soll. Nun wird ein darstellbarer nachvollziehbarer Weg geometrischer Zusammenhänge als Ergebnis gesucht, ohne daß dafür Zahlen benötigt werden. Die Einsicht "ohne Zahlen" ist für die Grundlagen wichtig, bedeutet aber nicht, daß damit die Bedeutung und der Wert der Zahlen geschmälert wird. Cohaerentische Geometrie erkennt, die euklidische Beschränkung auf endliche Schritte ist nur ein Teil der natürliche Realität und nicht der Weisheit letzter Schluß. Cohaerentische Geometrie überwindet die euklidische Einsicht zur Anzahlbeschränkung der Schritte bzw. konstruierten Objekte. Überwunden wird die Grundannahme von der Priortät der Zahlen, der Zahlenkohärenzen und der daraus abgeleiteten Geometrie.

Kernpunkte:

Euklidische Geometrie, wie sie in den ELEMENTEN systematisch angelegt wurde, hat eine klare Regel. Nur endliche Konstruktionen gelten als zulässig. Damit lässt sich ein sehr mächtiges, in sich geschlossenes Gebäude errichten. Dieses ist aber bewusst abgeschnitten von der Vorstellung rein geometrischer Berechnungsgrundlagen und von konstruierten unendlichen Prozessen ohne Zahlen.
Eine cohaerentische Geometrie verschiebt den Blick: Nicht mehr allein das exakte Endresultat in endlich vielen Schritten ist das Ziel, sondern auch konstruierte Berechnungen mit anschaulich nachvollziehbarem Weg. Solche bei denen sich das Netz von Zusammenhängen, im Zeichnen, im Wiederholen und im Grenzverhalten der Figuren offenbart.

Wesentliche Merkmale euklidische und coharentische Geometrie im Vergleich

Aspekte

Klassich euklidisch

Cohaerentisch

Beweisform

Schrittweiser, synthetischer Aufbau mit Flächenzerlegung

Aussage und Beweis im selben Bild, ohne separate Schritte

Methodik

Speziell für einzelne Sätze (z. B. Pythagoras)

Modular erweiterbar auf viele Sachverhalte (Mul, Div, Winkel…)

Zielsetzung

Strenge, formalisierte Geometrie

Visuelle Verständlichkeit, intuitive Einsicht

Die radikale Konsequenz daraus ist:

Während die euklidische Tradition ein „Scheitern“ endlicher Lösungskonstruktionen zu den leicht verständlichen drei Aufgaben der Antike eine Grenze des Möglichen sieht, deutet die cohaerentische Geometrie dieselben Sachverhalte als Einsicht in eine unendliche, aber Schritt um Schritt nachvollziehbare Entfaltung geometrischer Ordnung.
Cohaerentische Geometrie erkennt die Endlichkeitsbeschränkung als eine mögliche Konvention, aber nicht als der Weisheit letzter Schluss.
Cohaerentische Geometrie integriert die unendlichen Prozesse als legitimen Teil der geometrischen Realität und gewinnt dadurch bessere Einsichten, als mit der bislang gelehrten „Unmöglichkeit“.

Die cohaerentische Sicht öffnet ein anderes Paradigma:

Euklidische Geometrie: Exaktheit = Endlichkeit.

Cohaerentische Geometrie: Exaktheit = Nachvollziehbare, anschauliche Struktur, die wegen der Raumeigenschaft Kontinuität bis zum Grenzfall fortgedacht werden kann. Es gibt hier keinen Widerspruch. Die cohaerentische Geometrie steckt den Rahmen weiter. Sie akzeptiert die euklidische Sicht als „Sonderfall

mit Endlichkeitsdogma“ als bewußt eingeschränkte Betrachtungsmöglichkeit.

Die cohaerentische Geometrie ist ein neuer Zugang zu elementarer Geometrie

Hier ist das Fundament nicht das Zahlensystem, sondern die unmittelbare geometrische Kohärenz, das anschaulich erfahrbare, stetiges Zusammenwirken der Grundkurven Kreis und Gerade. Dabei wird die beschränkende Tradition der euklidischen Geometrie auf endliche Schritte überwunden. Die Beschränkung auf Kreis- und Gerade-Objekte wird nicht verworfen, es wird bei diesen beiden zentralen Kurvenobjekten verblieben. So werden neue Bedeutungen und neue Konstruktionen möglich. Es wird die Einbeziehung von DGS (Dynamischer Geoemtrie-Software) möglich, was z.B. das cohaerentische Konstruieren eines Parabelpunktes y=x^2 und seiner Parabelspurkurve im DSG-Zugmodus ermöglicht. Anstelle von abstrakten Definitionen wie „ Punkt ohne Ausdehnung“ und „breitenlose Linien“ untersucht die cohaerentische Geometrie nachvollziehbare, endliche Konstruktionsprozesse und deren Grenzfälle. Jeder Schritt dieser Grenzprozesse liefert ein exaktes Zwischenergebnis, das im Grenzfall die exakte Lösung darstellt. Diese Grenzprozesse erzeugen mit Kaskaden von Autokonvergenz keine bloße Näherung. Im Mittelpunkt steht nicht das Abzählen diskreter Punkte, sondern das Erkennen und Konstruieren von Formen aus kontinuierlichen, kohärenten Symmetrie- und Erhalt- Zusammenhängen. Punkt und Linie werden auf Grundlage real erfahrbarer geometrischer Phänomene präzisierend neu definiert. So wird das klassische Paradoxon euklidischer Geometrie vermieden, dass das „Nichts eines Punktes“ eine Linie ausfüllen soll.

Nähe zur Realität

Die cohaerentischen Konstruktionen sind näher und stärker an der realen Welt dran, als die der klassischen euklidischen Geometrie. Viele Formen und Prozesse der realen Welt sind tatsächlich kontinuierlich und nicht diskontinuierlich und nicht endlich abgeschlossen. In der Natur und Technik begegnen uns oft Kurven und Formen, die durch Grenzprozesse modelliert und beschrieben werden können. Viele cohaerentische Konstruktionspläne umfassen daher endlos viele Anweisungen, was mit Wiederholsequenzen erreicht werden kann. Viele diese cohaerentischen endlosen Grenzprozesse streben als Autokohärenzkaskade mit sichtbar nachverfolgbaren, sich wiederholenden Kreis- und Gerade-Objektsequenzen gesetzmäßig, ohne probierende Schritte, einem sinnvollen exakten Grenzpunkt zu.

Zusammenfassung zum Grundunterschied:

Im Allgemeinen lassen sich die cohaerentischen Konstruktionen durchaus als Weiterdenken der euklidischen Geometrie verstehen. Sie verlassen zwar bei der Begrenzung der Schritte das Regelwerk der klassischen euklidischen Geometrie, bleiben aber dem Geist des Konstruierens und Sichtbarmachens treu.

Didaktischer Aspekt:

Cohaerentische Geometrie ist ein möglicher Weg, um Geometrie tiefer, lebendiger und prozesshafter zu lehren und zu verstehen. Cohaerentische Geometrie ist ein Weiterdenken statt eines Widerspruchdenkens. Sie ist kein Bruch, sondern eine Erweiterung: Sie respektiert das Prinzip der Konstruktion mit den Grundkurven Kreis und Gerade, ergänzt es aber durch sichtbare Einbeziehung auch nicht endlich konstruierbarer Probleme. Sie eröffnet einen Weg, um Unmögliches (im klassischen Sinn) auf neue Weise begreifbar zu machen. Sie überschreitet das formale Regelwerk Euklids, aber nicht seine konstruktive Denkweise. Die Ansätze zu einer cohaerentischen Geometrie werden im Buch von S. Schleicher, „Cohaerentic“ (ISBN 97839820252-1-6) sowie auf dieser web-Seite www.cohaerentic.com in den Modulen

Warum konstruiert berechnen?
Grundrechenarten
Höhere Rechenarten
Konstruierte Urberechnungen

dargelegt.

1.3. Gegenüberstellungen der beiden Sichtweisen bei Punkt und Linie

Euklidischer Punkt

Euklid schreibt: „Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Die Enden einer Linie sind Punkte.“ (Elemente, Definition 1) Der Punkt ohne Ausdehnung ist ein reines Orts- oder Positionssymbol, kein physisches Etwas. Er hat keine Länge, keine Fläche, kein Volumen.

Euklidische Linie

Euklid schreibt: „Eine Linie breitenloser Länge.“ Spätere Mathematiker (v. a. im 19./20. Jahrhundert) lehren: Eine Linie ist eine unendliche Menge von Punkten.

Problem: Eine Summe von Nichts ergibt immer noch Nichts. Wie kann eine Kontinuität (z. B. ein Liniensegment mit Länge 1) aus einer diskreten, ausdehnungslosen Menge bestehen?

Hier entsteht ein philosophisch wie mathematisch berechtigter Widerspruch.

Cohaerentische Linie

Im Erfahrungsraum kann eine Linie als Grenze zwischen zwei raumausfüllenden Medien wahrgenommen werden (z. B. rot–grün, grün–weiß oder rot–weiß).

Die Grenzlinie dehnt sich quer zur Übergangsrichtung aus und wird in der Abstraktion zur Linie ohne Breite.

Die cohaerentische Linie ist damit sowohl ein real erfahrbares Kohärenzobjekt als auch ein Darstellungsmittel für geometrische Objekte, insbesondere für translatorische und rotatorische Transformationen oder funktionale Zusammenhänge durch Linienkurven. Die einfachste cohaerentische Linienkurve ist die Kreiskurve. Ihre wahrgenommene Größe hängt zunächst vom Betrachtungsabstand ab, doch die Kreisgestalt bleibt unverändert. Dieses konstante Verhältnis von Umfang zu Durchmesser (π) kann als geometrische Figur konstruiert werden.

Die cohaerentische Gerade entsteht als Grenzfall: ein unendlich großer Kreis mit unendlicher Kreislinie. Ein Blick auf ein lokales Stück der Kreiskurve mit unendlichem Radius lässt sie als Gerade erscheinen. Sie ist gleichzeitig Gerade und Kreiskurve, also das exakte Ergebnis eines gedacht konstruierten Grenzprozesses (Teilbild d)).

Cohaerentischer Punkt

Der cohaerentische Punkt kann als Ergebnis verschiedener Grenzprozesse erscheinen:

als Schnittpunkt cohaerentischer Linien, ohne eigene materielle Existenz
mit unendlich kleiner Ausdehnung, als unendlich kleiner Kreis mit unendlich kurzer Kreislinie
als Spurerzeuger einer kontinuierlichen Bewegung eines Schnittpunkts in unendlich kleinen Schritten.

Die cohaerentische Geometrie lotet bewußt die Grenze, das Spannungsfeld zwischen konstruierten endlichen und unendlichen Berechnungszusammenhängen aus. Anders als bei euklidischer Geometrie wird bewußt nach sichtbaren nachvollziebaren Grenzprozessen gesucht, die ganz ohne Rechengößen "Zahlen" auskommen.

In der cohaerentische Geometrie gibt es nicht das klassische, oft übersehene Paradoxon der euklidischen Geometrie (und der klassischen Mengenlehre), wo der Punkt ohne Ausdehnung als punktuelles „Nichts“ kontinuierlich die Linie längs ausfüllt. Die euklidische und cohaerentische Geometrie unterscheiden sich bei den Eigenschaften (Axiomen) der zwei Grundobjekte / Grundzusammenhänge Punkt und Linie. Daduch werden euklidische und cohaerentische Konstruktionen in ihrer Struktur grundlegend anders geprägt.

Unerschiede „Euklidische zu Cohaerentische Geometrie“ — mit konkreten Beispielen zu fünf Uraufgaben

Aspekt	Euklidische Geometrie	Cohaerentische Geometrie

Begriff	Historisch gewachsene Konstruktionstradition auf Basis von Euklids Axiomen und der Zusatzkonvention „Zirkel & Lineal, endliche Schritte“.	Neu eingeführter Begriff zur Abgrenzung – Schwerpunkt sind nachvollziehbare geometrische Zusammenhänge und konstruierte formalisierte Grenzprozesse.

Konstruktions- prinzipien	Axiome von Euklid + historische Zusatzregel: Nur endliche Zirkel- & Lineal- Konstruktionen erlaubt. Ergebnis muss nach endlich vielen Schritten vollständig vorliegen.	Präzisierte, realitätsnähere Axiome zu Punkten, Linien und Figuren. Zulässig sind endliche Konstruktionen und gesetzmäßige Grenzprozesse mit Kreis- und Gerade-Objekten, die konvergent sind und potenziell unendlich viele Schritte umfassen.

Linie	Linien sind Punktmengen. Flächen sind Linienscharen. Die Linie entsteht durch Aneinanderreihung von Punkten.	Eine Linie ist als ein Kohärenzobjekt definiert. Eine Linie wird als Grenze zwischen zwei raumausfüllenden Medien wahrgenommen. Als Grenzlinie dehnt sie sich quer zum Medienübergang aus. Sie wird zum Raumobjekt Linie ohne Breite abstrahiert. Die Linie ist keine Aneinanderreihung von Punkten.
Punkt	Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Die Enden einer Linie sind Punkte. Diese sind Grundbausteine/Grundobjekte ohne Ausdehnung und füllen die Linie in Ausdehnungsrichtng.	Cohaerentische Punkte sind Schnittpunkte von breitenlosen Linien. Sie haben keine eigene materielle Existenz und auch keine räumliche Ausdehnung. Sie sind keine Bausteine, die in der Summe keine Strecke, keinen Kreisbogen, keine Fläche ausfüllen.
Prinzip des Konstruierens	Aufbau erfolgt punktmengen-theoretisch und additiv mit endlich viel Objekten: Punkt → Linie → Fläche→ Raum.	Kein punktmengentheoretischer Aufbau mit endlich vielen Objekten. Zugelassen sind endlich und endlos viele Kreis- und Gerade-Objekte
Füllung und abzählbare Struktur	Geometrie wird über Mengen und Additionen konstruiert, was mit, der Punkt als Füllbaustein, die Idee der endlichen Schrittfolge bedingt.	Geometrie wird nicht über Mengen und Additionen konstruiert. Der Punkt als kein Füllbaustein nimmt der Idee der endlichen Schrittfolge ihren ontologischen Zwang. Die Forderung nach Abgeschlossenheit wird nicht nur gelockert, sondern grundsätzlich neu gedacht.
Konsruktionen mit Grenzprozessen	Nicht erlaubt, da sie nur beschränkte, bloß probierend gewonnenen Näherungen realisieren.	Erlaubt, sofern sie geometrisch konvergieren und der Grenzwert im Modell eindeutig definiert ist. Konstruierte endlose Grenzprozesse sind mehr als bloße Näherungsprozesse.
Beispiel 1: Satz des Pythagoras	Flächenzerlegung der Kathetenquadrate und Einbettung ins Hypotenusenquadrat. Kein durchgehender Zirkel-&-Lineal-Prozess; Beweisführung auch mit algebraischen Rechnungen. Aussage und Beweis getrennt.	Direkte, anschauliche Konstruktion nur mit geometrischen Bewegungen (Rotation, Verschiebung, Spiegelung) zur Sichtbarmachung des Flächenerhalts. Symmetrie statt Maßstab Beweis der Flächengleichheit erfolgt unmittelbar in der Figur, nichtdurch separate Rechnung.
Beispiel 2: Winkeldritteln	Beweis (Wantzel 1837): Für beliebige Winkel unmöglich mit Zirkel & Lineal in endlichen Schritten. Unmöglichkeit gilt wegen der der Körpertheorie: 2^(1/3) liegt nicht im Zirkel-Lineal-Körper.	_a)_{Mit gegebener Parabel 𝑦 = 𝑥^2 : Mit endlich vielen Kreis- und Geraden.Objekten wird ein simultanes Dreifach-Winkeldritteln von} _{3 Winkeln realisiert, die ein Halbkreispunkt mit x- und y- Achse aufspannt.} _{Damit gilt Wantzels "Unmöglichbeweis" nur für}_{Verfahren, die mit kubischen Gleichungssystemen arbeiten.} _{b) Mit konstruierter Folge von Parabelpunkten 𝑦 = 𝑥^2 :} _{Ausgehend von 3𝛼 wird eine Folge von Parabelpunkten konstruiert, die gesetzmäßig mit Autokonvergenzkaskade den Drittelpunkt als Grenzpunkt zustreben.} _{c) Mit Zielgestalt: Konstruierte Autokonvergenzkaskade ( gezeichneter Grenzprozeß) erzeugt schrittweise, nur mit Kreis- und Gerade-Objekten, eine Dreh-Annäherung an die exakte Winkeldrittel-Richtung.}
Beispiel 3: Rektifikation des Kreisumfangs (π)	Keine durchgehende Zirkel-&-Lineal-Konstruktion bekannt. Das Archimedes- Verfahren liefert Zahlenwerte durch polygonale Approximation, aber keine reine geometrische Strecken-darstellung. Unmöglichkeit wird heute begründet mit Transzendenz von π.	Archimedes’ Verfahren liefert Zahlenwerte durch polygonale Approximation, aber keine reine geometrische Streckendarstellung. Ziel: Geometrische Darstellung des Kreisverhältnisses 𝜋 als Rechteckfigur. Grundlage sind konvergente Grenzprozesse: z. B. kohärentisches Abrollen regulärer Vielecke (4-, 6-, 8-Eck …) oder schrittweises Gerade-biegen gleichlanger Kreisbögen. Diese Methoden sind effizienter und liefern mit weniger Aufwand genauere Ergebnisse als die Archimedes- Polygonmethode.
Beispiel 4: Volumendoppeln beim Würfel	Unmöglich in endlichen Schritten, da 2^(1/3) nicht durch Zirkel & Lineal konstruierbar ist. Die Unmöglichkeit der Würfel-doppelung beruht allein auf Körpertheorie: 2^(1/3) liegt nicht im Zirkel-Lineal-Körper.	Zahl als Grenzwert eines konstruktiven Prozesses – existiert als „Grenzidentität“ im Modell. Mit einem Grenzpzeß wird eine konvergente Punktefolge konstruiert, deren Fortsetzung als Kurve dem Grenzfall=Grenzwert 2^(1/3) zustrebt.
Beispiel 5: Rotorische<-> translatorische Transfomation	Nicht bekannt und nicht angestrebt als durchgehende Konstruktion mit endlich vielen Kreis- und Gerade-Objekten	Wird betrachtet und realisiert.
Philosophischer Status	Reine Theorie: Exakte Lösungen nur innerhalb der durch Axiome und Konstruktionsprinzipien gesetzten Grenzen. Alles andere gilt als „nicht konstruierbar“.	Erweiterte Theorie: Erkennt Raumkontinuität als nutzbare Eigenschaft und verleiht den Grenzwerten konstruktiver Prozesse formalen Status.
Zahlenauffassung	In der euklidischen Sicht steht die Zahl als abstraktes, von der Darstellbarkeit losgelöstes Objekt im Vordergrund.	In der kohärentischen Sicht sind die geometrischen Relationen und Größen grundlegend, die Zahl ist lediglich ein „nachträglich“ quantisiertes Abbild davon.

Quantisiengs- problem	Wird nicht thematisiert.	Wird thematisiert Winkeldritteln, Kreisquadratur und Würfelvolumendoppelung sind hier schon wegen des prinzipiellen Quantisierungsfehlers generell in endlich vielen Schritten nicht möglich.
Realitätsbezug	Modelliert einen idealisierten, vollständig kontrollierten, aber begrenzten Ausschnitt der Geometrie.	Bindet die Gesetze des Kontinuums und die Grenzen der Darstellung in kohärente Modelle ein.

Beispiele für cohaerentisch konstruierte Urberechnungen sind:

Winkeldrittelungen, die mit konstruierten unendlichen Grenzprozessen realisiert werden.

a) einmal, beim endlichen Winkeldritteln mit Parabel y=x^2 versteckt sich der prinzipiell erforderliche Grenzprozeß in der gegebenen, mit unendlich vielen Schritten konstruierten "Parabelkurve".

b) in einem anderen Fall wird mit einem real sichtbaren autokonvergentem Grenzprozeß eine Neusis-Drehung realisiert, welche eine Geraden in die Richtung des Drittelwinkels dreht.

c) Ein noch anderes, wesentliches Beispiel ist das Schritt um Schritt Geradestrecken des Bogens vom Kreisumfang, der seine Länge von Streckungsschritt zu Streckungsschritt beibehält, um im Grenzfall seine lineale gestreckte Länge bestmöglich zu erreichen. Realisiert wird das Srecken mit einer durchgehend konstruierten Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten, ganz ohne Zuhilfenahme von Zahlen. Dabei wird von der zunächst endlich angelegten euklidischen zur cohaerentischen unendlichen Konstruktion übergegang und damit zum konstruierten Grenzprozeß.

Zwei Denkmodelle

Klassisch-mengenlogisches Modell (z. B. Cantor, Dedekind, Hilbert): Die Kontinuität wird durch die Dichte und Vollständigkeit der reellen Zahlen erzielt. Die Linie wird definiert als Menge von reellen Zahlen (Koordinaten) und bleibt so eine symbolische Fiktion. In der Abstraktion erzeugt der ausdehnungslose Punkt durch „Aneinanderreihen“ eine Länge. Dieses Bild ist kontraintuitiv und paradox.

Die Kritik hierzu richtet sich gegen die Vermischung des diskreten Punkts mit der kontinuierlichen Linie. Diese Denkmodell beruht auf abstrakter symbolischer Definition, nicht auf Erfahrung oder Konstruktion.

Cohaerentisches Modell: Der Punkt ist kein abstrakter Ort, sondern eine Schnittstelle zweier sichtbarer, sich schneidender Linien. Er ist ein real gezeichneter Kreuzungspunkt. Linien entstehen nicht als Punktmengen, sondern durch Querbewegungen eines Grenzübergangs zwischen zwei wahrnehmbarer Medien. Die Linie ist Spur eines bewegten diskreten Kurvenpunktes. Der Punkt ist nicht ein atomarer Baustein, sondern Teil einer Abgrenzungsbeziehung.

Das cohaerentische Modell mit etwas weniger abstrakter Interpretation zu Linie und Punkt führt zu einem Paradigmenwechsel im Sinne des Übergangs von einer alten Betrachtungsweise, bei der nur endlich vielen Schritten bzw. konstruierten Grundobjekten, zu wahren exakten Ergebnissen führen. Nun wird neu mit unendlich viel zugelassenen Schritten gearbeitet, was zuvor undenkbar oder sogar abgelehnt wird.

Ein wesentliche Unterschied zwischen den beiden betrachteten Denkmodellen ist:

Neben den bisher euklidischen Konstruktionen aus nur endlich vielen Kreis- und Gerade-Objekten, werden nun auch cohaerentische endlose Konstruktionen aus Kreis- und Gerade-Objekten bewußt zugelassen. Für die konsruierten Grenprozesse wird dabei gefordert, die Punktefolge der Zwischenergebnisse muß mit endlich viel konstruierten Objekten eine erfahrbare gesetzmäßige Kohärenz aufweisen, d.h. ohne Probieren, möglichst autokonvergent erzeugt werden. Dann strebt auch die konstruierten Punktefolge der Zwischenergebnisse im Grenzfall dem exakten Grenzpunkt tatsächlich zu. Die Zwischenergebnis-Punkte markieren hierbei eine noch nicht vollständig zusammengesetztes Zielobjektgröße (Ergebnisgröße).

Einbeziehung von Kurven, die über Kreis und Gerade hinausgehen:

Beim Prozeß der cohaerentischen Winkeldrittel-Konstruktion wird bewußt mit kontinuierlichen, quasi endlosen Zusammenhängen der Parabel y=x^2 gearbeitet. Die euklidische Geometrie ignoriert die Parabelkurve als "kontinuierliches geometrisches Objekt". Sie erklärt die quadratische Parabel zum mechanischem Werkzeug. Vielleicht weil eine Parabel mit einer Parabel-Schablone gezeichnet werden kann, Es wird dabei von einer Werkzeugerweiterung über Zirkel und strichloses Lineal hinaus gesprochen. In der cohaerentischen Geometrie muss die Parabelkurve nicht mit einer Schablone gezeichnet werden. Hier kann jeder Parabelpunkt y=x^2 vom Prinzip her mit einer endlichen Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten konstruiert werden, Die Parabelkurve läßt sich daher als Spurkurve der konstruieren Parabelpunkte zeichnen, indem die unabhängige Variable x im DSG-Zugmodus bewegt wird.

Denkblockade

Die große Vorbildwirkung, welche vom Grundlagenwerk Elemente des Euklid (ca. 330 v.u.Z) ausgeht, führte zu einer Art Denkblockade für endlose Zusammenhänge und damit für endlos konstruierte Grenzprozesse. In den Elementen wird sich auf Konstruktionen beschränkt, die eine vollständige Ergebnisdarstellung nach endlich vielen Schritten bzw. einer endlichen Sequenz gezeichneter Kreis- und Gerade-Objekte liefern. Alles Andere wird als nicht vollkommen, als unvollständig, als nur eine bloße Näherung betrachtet. Die cohaerentischen Konstruktionen überwinden diese beschränkende Denkblockade. Es werden nun auch bewußt endlose Grenzprozeß-Konstruktionen betrachtet, mit denen die erfahrbare Realität umfassender abgebildet werden kann. Ansätze, das Problem mit den endlosen Zusammenhänge irgendwie praktisch zu bewältigen, gibt es aber schon seit der Antike. Bekanntestes Beispiel dafür ist die von Archimedes (287- 212 v.u.Z.) geführte Ermittlung zum

Kreisverhältnis π = Kreisumfamglänge/Kreisdurchmesser,

was die Längenermittlung der gerade gebogenen Kreisumfangslinie erfordert. Die Ermittlung des Archimedes ist aber keine cohaerentische Konstruktion und auch keine durchgehend reine euklidische Konstruktion. Sie geht zwar von gesetzmäßigen geometrischen Zusammehängen aus, umfasst aber auch numerische Berechnungen. Sie liefert als Ergebnis eine Zahl und keine geomerische Ergebnnisgröße Strecke. Im Unterschied dazu wird bei der cohaerentischen Ermittlung des Kreisverhältnisses eine durchgehend konstruierte Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten erzeugt. Der cohaerentische Konstruktionsplan umfasst auch Wiederholkzyklen mit gleicher Schrittfolge bzw. gleicher Zyklussequenz der Grundobjekte. Dadurch ist er bis ins Unendliche bzw. Endlose bekannt und beschreibbar. Dabei werden die konstruierten Zwischenergebnisse nicht durch Probieren gewonnen. Sie streben als gesetzmäßig kohärente und konvergente Punktfolge einem exakten Grenzwert/Grenzpunkt zu. Dieser ist eine sichtbar nachvollziehbare geometrische Größenerzeugung. In gedanklicher Abstraktion wird nach unendlich vielen Schritten im Grenzfall der Grenzpunkt erreicht, welcher die konstuierte gerade gestreckte Kreisbogenlänge markiert.

Einbeziehung von klassisch konstruierten Grenzprozessen

Die cohaerentische Geometrie gelangt gegenüber der euklidischen Geometrie zu erweiterten Einsichten zu Urzusammenhängen eines geometrischen Berechnens ohne Zahlen, sogar bis hin zu geometrisch nachvollziebaren Konstruktionen zu Potenz- und Logarithmen-Zusammenhängen. Der Kreis als ganzheitliches, symmetriegeprägtes Köhärenzsystem, sowie klassisch konstruierte geometrische Grenzprozesse spielen dabei eine wesentliche Rolle.

Nähe zur Realität

Die cohaerentischen Konstruktionen sind näher und stärker an der realen Welt dran, als die der euklidische Geometrie. Viele Formen und Prozesse der realen Welt sind tatsächlich kontinuierlich und nicht diskontinuierlich und endlich abgeschlossen. In der Natur und Technik begegnen uns oft Kurven und Formen, die durch Grenzprozesse mit gesetzmäßigen Wiederholsequenzen erzeugt werden können. Die cohaerentischen Konstruktionspläne dazu umfassen daher endlos viele Anweisungen, was mit Wiederholsequenzen erreicht werden kann. Viele diese endlosen Grenzprozesse streben mit sichtbaren Kreis- und Gerade-Objektsequenzen gesetzmäßig, ohne probierende Schritte, einem sinnvollen exakten Grenzpunkt zu.

Zusammenfassung zum Grundunterschied :

Im Allgemeinen:

Die cohaerentischen Konstruktionen lassen sich durchaus als Weiterdenken der euklidischen Geometrie auf eine besondere, erweiterte Weise verstehen. Sie verlassen zwar das Regelwerk der klassischen euklidischen Geometrie , bleiben aber dem Geist des Konstruierens und Sichtbarmachens treu.

Didaktischer Aspekt:

Cohaerentische Geometrie ist ein möglicher Weg, um Geometrie tiefer, lebendiger und prozesshafter zu lehren und zu verstehen

Cohaerentische Geometrie ist ein Weiterdenken statt eines Widerspruchdenkens, kein Bruch, sondern eine Erweiterung: Sie respektiert das Prinzip der Konstruktion mit den Grundkurven Kreis und Gerade, ergänzt es aber durch sichtbare Einbeziehung auch nicht endlich konstruierbarer Probleme. Sie eröffnet einen Weg, um Unmögliches (im klassischen Sinn) auf neue Weise begreifbar zu machen. Sie überschreitet das formale Regelwerk Euklids – aber nicht seine konstruktive Denkweise.

Ansätze zu einer cohaerentischen Geometrie, die über euklidische Geometrie hinaus geht, werden im Buch Cohaerentic (ISBN 97839820252-1-6) sowie auf dieser web-Seite www.cohaerentic.com in den Modulen

Warum konstruiert berechnen?
Grundrechenarten
Höhere Rechenarten
Konstruierte Urberechnungen

dargelegt.

1.4 Unterschiede bei Bildern

Die etwas weniger abstrakte Betrachtungs- und Sichtweise der cohaerentischen Geometrie führt, wie oben schon beschrieben, zu etwas anderen Einsichten, was auch in Bildern und Videos sichtbar wird.

Bekanntes Kegelschnittmodell vs. Kohärenzmodelle der cohaerentischen Geometrie

Das folgende Bild zeigt schon seit dem Altertum bekanntes Wissen zu den Kegelschnittkurven.

Es gibt kaum klassische Konstruktionen, die aufzeigen, wie voneinander abhängigen Punkte auf zwei Kegelschnittkurven, z.B. Kreis und quadratische Parabel oder Keis und Hyperbel, zusammenhängen? Wie sehen die nachvollziehbaren Verbindungssequenzen von Kreis- und Gerade-Objekte konkret aus? Dies zeigen die folgenden Konstruktionsbilder und Videos. Die besagten, bislang nicht betrachtete geometrisch zusammenhängende Abhängigkeiten werden besonders gut durch Videos mit im Zugmodus bewegten Konstruktionen nachvollziehbar.

Das bekannte obige Kegelschnitt-Kohärenz-Modell unterscheidet sich von den ebenen klassisch konstruierten Kohärenz-Modellen der cohaerentischen Geometrie. Die Kurven Kreis, Parabel und Hyperbel hängen hier über elementare Rechenoperationen zusammen. Die Rechengrößen sind dabei von natürlicher geometrischer Art. Damit werden die gegenseitigen Abhängigkeiten zwischen den elementaren Kurven Gerade, Kreis, Parabel und Hyperbel anschaulich nachvollziehbar.

Die zwei folgenden Videos mit Bewegungen im Zugmodus vervollständigen die Betrachtungsweise der cohaerentischen Geometrie. Nachvollziehbare sichtbare geometrische Grundzusammenhänge stehen hier im Vordergrund.

^{Cohaerentische Konstruktionen zur Ermittlung der gestreckten Kreisunfanglänge}

Das folgende Bild zeigt das schrittweise Aufbiegen eines Kreisbogens mit einer Konstruktion, die sich zu der bekannten Berechnung der Länge des Kreisumfangs durch Archimedes (287 bis 212 v.u.Z.) unterscheidet.. Anders als bei Archimedes wird hier eine duchgehende Sequenz aufeinander folgender Kreis- und Gerade-Objekten konstruiert, welche damit ein sichtbar nachvollziehbares Verstehen zur gerade gestreckten Kreisbogenlänge ermöglicht.

Das schrittweise konstruierte Aufbiegen erfolgt durch durch wiederholtes, quasi simultanes Doppeln des Kreisradius und Halbieren des Restwinkels = ∠ ( S(1kxX), S(2gx4g), S(Yx3k)) bis zur Y-Achse. Der so konstruierte neue Kreisbogen hat gegenüber dem voran gegangenen, die gleiche Länge, aber nur noch die halbe Krümmung. Nach dem nächsten Zyklus gibt es wieder die gleiche Bogenlänge aber nur noch ein Viertel der Krümmung usw. Dieser Prozeß der schrittweisen Streckung ist als Wiederholzyklus endlos fortsetzbar.

Die drei klassichen Berechnungsprobleme der Antike

Die drei klassichen Berechnungsprobleme der Antike sind

das Winkeldritteln

das konstruierte Berechnen der gestreckten Kreisbogenlänge für die Kreisquadratur mit Überführung der Kreisfläche in ein flächengleiches Quadrat

das Berechnen der Würfelseitenlänge für ein doppeltes Würfelvolumen

Obwohl heute die meisten Menschen konkrete Vorstellungen dazu haben, was mit dem Begriff "Berechnen" gemeint ist, gibt es im Internet-Lexikon Wikipedia zum Begriff "Berechnen" keinen direkt aufklärenden Eintrag. Unbewußt wird beim Berechnen immer zuerst an Rechengrößen gedacht, die mit Zahlen modelliert werden.

Gelehrter Erkenntnisstand zu den klassichen drei Berechnugsaufgaben der Antike

Das heutige Wissen der Mathematik / Geometrie zu den antiken griechischen Konstruktionproblemen wird in der

von den Hochschullehrerinnen Silke Hartlieb und Luise Unger

wie folgt zusammenfassend beschrieben.

Im Kapitel 1 „Die klasssischen griechischen Konstruktionsprobleme“ ist zu lesen:

Diese Betrachtungsweise bleibt letztlich bei der Erwartung der Antike, "Alles ist Zahl", "Alles hat seine Zahl". Diese Erwartung führt zu etwas Verwirrung und zu Vertändnisproblemen. Für die Winkeldrittelgröße wird daher auch ihre zugehörige Zahl als vollständige Größenabbild-Darstellung erwartet. Dies ist aber, wie schon dargegt wurde, wegen des Quantisierungsproblems mit prinzipiellem Quantisierungsfehler nicht möglich. Fragwürdig ist hierbei auch, daß heute die analoge geometrische Größe Kreisverhältnis = Kreisumfang/ Kreisdurchmesser mit Kreiszahl benannt wird. Eine Zahl wird hierbei gleich einer analoge Größe gesetzt. Dies ist eine grobe Vereinfachung und kann nicht streng mathematisch logisch, sondern nur im historischen Kontext nachvollzogen werden.

Abweichend zur euklidischen Geometrie rückt in der cohaerentische Geometrie das Problem der konstruierten Quantisierung als endloser Prozeß in den Betrachtungsfocus. Erst eine konstruierte endlos fortsetzbare Quantisierung eines analogen geometrischen Kreisverhältnisses π führt zur abstrakten Zahldarstellung Kreiszahl π_Zahl,∞ . Mit noch nicht unendlich hohem Quantisierungsaufwand wird nach N Schritten nur zu einem unvollständigen digitalem Größenabbild Kreiszahl π_Zahl,N gelangt. Diese weist , noch nicht die endlos viel möglichen wahren Nachkommastellen auf.

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2. Verzeichnis zu Struktur und Inhalt

1. Warum Berechnen konstruieren? Was ist cohaerentische Geometrie? https://www.cohaerentic.com/index.php/denken-agieren-in-schritten

2. Grundrechenarten

2.1 SUM / DIFF (Summation / Differenzbilden)

2.1.1 Grundprozesse

2.1.2 Summe-Rechteck https://www.cohaerentic.com/index.php/kreis/multi/summe-rechteck-von-2-rechtecken

2.1.3 Satz des Pythagoras = Summe zweier Qurate https://www.cohaerentic.com/index.php/kreis/multi/summe-rechteck-von-2-rechtecken/summe-zweier-quadrate

2.1.4. Ganzfache Duplikation https://www.cohaerentic.com/index.php/kreis/eklei/ganz

2.2. MUL / DIV (Multiplizieren / Dividieren)

2.2.1. Parabel https://www.cohaerentic.com/index.php/kreis/produktekte/param

2.2.2. Hyperbel https://www.cohaerentic.com/index.php/kreis/produktekte/param/hype

2.2.3. Kreis und Hyberbel https://www.cohaerentic.com/index.php/kreis/produktekte/param/hyperbel

2.2.4. Kreis, Parabel und Hyperbel https://www.cohaerentic.com/index.php/kreis/produktekte/param

2.2.5. Kreis, Ellipse

2.2.5. Vier Kreispunkte-Kohärenzen

2.2.5.1. Viereck am und im Kreis https://www.cohaerentic.com/index.php/kreis/produktekte/param/vie/krei

2.2.5.2. Sehnen- und Sekanten- Kohärenz https://www.cohaerentic.com/index.php/kreis/produktekte/param/vie/winkeldreiteilung

2.2.5.3. Katheten- und Höhen- Kohärenz https://www.cohaerentic.com/index.php/kreis/produktekte/param/vie/khsk

3. Höhere Rechenarten

3.1. Konstruierte Multi-Prozesse

3.1.1 Überblick

3.1.2 Multi-Summen https://www.cohaerentic.com/index.php/hoer/multipro/mukrisu

3.1.3. Multi-Produkte https://www.cohaerentic.com/index.php/hoer/multipro/mukrisu/mugre

3.2. Konstruierte Grenzprozesse

3.2.1.Überblick

3.2.2. Grenzprozeß beim Lösen der klassichen Aufgaben der Antike

https://www.cohaerentic.com/index.php/hoer/rechen

3.2.3. Multi-Summe als Streck-Grenzprozeß bei Kreisverhältnis π

https://www.cohaerentic.com/administrator/index.php?option=com_content&view=article&layout=edit&id=106

3.3. Potenzen / Antipotenzen (Wurzeln)

3.3.1. Überblick

3.3.2. Quadrat / - Wurzel https://www.cohaerentic.com/index.php/hoer/potenzen-invers-potenten/pot

3.3.3. Potenz / Antipotenz (-Wurzel) https://www.cohaerentic.com/index.php/hoer/potenzen-invers-potenten/pow

3.3. Duallogarithmen https://www.cohaerentic.com/index.php/hoer/dup1

4. Konstruierte Urkohärenzen / Urberechnungen

4.1 Überblick

4.1.1.Ebene gerade Figuren

4.1.1.2. Dreieck in/aus Rechteck und Quadrat

4.1.1. 3 Kreisverhältnis=Kreiumfang/ Durchmesser

4.1.1. 3.1 Rektifizieren

4.1.1. 3. 2. Pölygome Abrollen

4.1.1. 3. 3. Quadratur des Kreises

4.1.1. 3. 4 Kreisfläche aus flächengleichen Quadrat

4.3. Multi. Verwandtschften = Kegelschnittkurven

4.3.1. Kreis - Parabel- Kohärenz

4.3.2. Kreis- Hyperbel- Kohärenz

4.3.3. Kreis- Parabel- Hyperbel- Kohärenz

4.3.4. Kreis - Ellipse- Kohärenz

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Struktur- / Inhaltsverzeichnis