Zweifel am generell unmöglichen Winkeldritteln
Einführung
Bei Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels lesen wir zur Unmöglichkeit des klassich konstruierten Winkeldrittelns:
"Der erste Beweis dieser Negativaussage stammt von Pierre Wantzel aus dem Jahr 1837. In ihm wird das Problem auf eine algebraische Gleichung dritten Grades reduziert und argumentiert, dass deren Lösungen keine konstruierbaren Zahlen sind, sie sich also nicht in endlich vielen Schritten mit Zirkel und Lineal aus der Länge 1 konstruieren lassen".
Offenbar kannte Wantzel das im Jahr 1647 veröffentlichte Buch "La Geometrie" von Rennè Descartes (1596-1650) nicht, das im Widerspruch zur wantzelschen Beweis-Einsicht von 1837 steht. Nach descartschen Lösungsansätzen wird mit Hilfe eines gegebenen quadratischen Gleichungssystems nach endlich vielen Schritten zu einer vollständigen Größendarstellung des exakten Winkeldrittels gelangt. Im Buch des Autors "Cohaerentic, ISBN 9783982026216 ist deshalb auf Seite 302 geschrieben:
"Wir erkennen hierzu, dass der wantzelsche Unmöglich-Beweis nicht so allgemein gültig ist, wie es heute erwartet wird. Das bewiesene "Unmöglich" trifft nur dann zu, wenn eine gezeichnete Winkeldreiteilung von der Kohärenzgrundlage ausgeht, die beim "Unmöglich-Beweis" zugrunde gelegt wurde.
Wantzel nimmt für das klassisch konstruierte Winkeldritteln die Lösungsgleichungen vom 3.Grad
cos (β=3α) = 4 cos3(α) - 3 cos (α) bzw. sin (β=3α) =3 sin (α) - 4 sin3(α)
zur Grundlage. Die dazu anschaulich nachvollziehbaren Lösungssequenzen von Kreis und Gerade-Objekten zeigt unsere nachfolgende Konstruktion mit gezeichneter Objekte-Sequenz für die (sin 3α)-Kohärenz
und mit gezeichneter Objekte-Sequenz für die (cos 3α)- Kohärenz.
Bei beiden obigen Konstruktionen kann die Lösungssequenz der Kreis- und Gerade-Objekte gut anschaulich nachvollzogen werden. Mit den Zusammenhängen cos (β=3α) = 4 cos3(α) - 3 cos (α) bzw. sin (β=3α) =3 sin (α) - 4 sin3(α) kann eine Verdreifachung von α konstruiert werden. Der Lösungszusammenhang ist allerdings nur unidirektional von Winkel α zum Winkel 3α. Die Umkehrung zwecks Winkeldrittelung vom Winkel 3α nach dem Winkel α ist, wie obige Konstruktion zeigt, nicht möglich. Nach dem Kreisbogen im zweiten Bild, den die Punkte K und O bergrenzen, ist rückwärts der dann folgende Kreisbogen nicht konstruierbar, den es fehlt dafür die Radiusgröße die konkrete Raduisgröße NL, die es nur für die andere Kohärenzrichtung gibt. Wantzels Einsicht und Erwartung war offenbar die, daß sein gefundener Zusammenhang exakt und einzigartig zutreffend ist. Weitere Betrachtungen zu eventuell noch anderen möglichen Lösungskohärenzen zum Winkeldritteln waren für Wantzel nicht mehr erforderlich.
In der heute verfügbaren Literatur wird dem wantzelschen "Winkeldrittel-Unmöglich" ein generell unbeschränktes Gültigsein zugesprochen. Wantzel beweist das konstruierte Winkedrittel-Unmöglich für die obigen Lösungsgleichungen vom 3.Grad. Damit trifft sein bewiesenes Unmöglich exakt auf diese Lösungsgleichungen vom 3. Grad und höhere zu. Nicht aber auf hier zutreffende Gleichungssysteme vom 2. Grad, wie sie Descartes schon 1647 ins Spiel bringt. Wantzels bewiesenes "Unmöglich" trifft auf konstruierte Winkeldrittelungen zu , die mit den Lösungszusammenhängen
cos (β=3α) = 4 cos3(α) - 3 cos (α) bzw. sin (β=3α) =3 sin (α) - 4 sin3(α),
also solchen vom 3. Grad, konstruiert werden sollen. Das von Descartes 1647 veröffentlichte Winkeldritteln nach zutreffenden Gleichungen vom 2. Grad zeigt, es ist möglich, denn es liegt ausserhalb der Gültigkeitsgrenzen des wantzelschen "Unmöglich-Beweis", der für Gleichungen vom 3.Grad geführt wurde.
Mit späteren Konstruktionsbildern legen wir den Sachverhalt der Lösungszusammenhänge vom 2.Grad noch anschaulich nachvollziebar dar. Zur Auflösung des obigen Widerspruchs antwortet das KI-Portal "Frage.de"18.03.2025 wie folgt:
Daher ist die Einschränkung von Wantzels Beweis speziell auf die Unmöglichkeit der Lösung von kubischen Gleichungen mit den genannten Werkzeugen bezogen, nicht auf quadratische Gleichungen.
Ein Winkeldrittel nach quadratischen Gleichungen schließt Wantzels "Unmöglich-Beweis" nicht aus, ist also nicht generell unmöglich, was Descartes schon 1647 in seinem Buch "La Geomerie" zeigt.
Wir bringen hier noch einen Sachverhalt ins Spiel, der "prinzipieller Quantisierungsfehler" heißt. Er macht eine vollständige Sequenz konstruierter Kreis- und Gerade-Objekte für Größenabbilder unmöglich, z.B. für einen zu drittelnden Winkel. Dieses Unmöglich ist ein natürlicher Sachverhalt, der hier unbetrachtet und unberücksichtigt bleibt und zu Verwirrung führt. Jeder Winkel und auch das Winkeldrittel kann als quantisierte Größe mit endlich vielen Schritten nur unvollständig dargestellt werden, was am prinzipiell auftretenden Quantisierungsfehler liegt. Eine kontinuierliche Größe kann als quantisiertes diskretes Größen-Abbild immer nur auf die nächst benachbarten diskreten Werte (Quantisierungsstufen) gerundet werden. Auch aus diesem Grund gibt es prinzipiell für jede zu drittelnde Winkelgröße keine vollständig quantisierte diskrete vollständige Größen-Abbildkonstruktion. Das heißt aber nicht, daß es keine exakten Konstruktionsprozesse mit Zirkel und Lineal gibt, die exakt der vollständigen Größen-Abbildkonstruktion des Winkeldrittels zustreben.
Der positiv, als auch negativ maximale Quantisierungsfehler ist die Hälfte der Breite der erreichten Quantisierungsstufe. Mit abnehmender Größe der Quantisierungsstufe verkleinert sich der Quantisierungsfehler, was auch für unsere nachfolgend betrachteten "Winkeldrittelungen" zutrifft. Deren Lösungszusammenhänge liegen ausserhalb des Geltungsbereichs zum wantzelschen "Unmöglich-Beweis mit Gleichungen vom 3.Grad. Unsere später betrachteten Grenzprozeßverfahren zum Winkeldritteln streben mit endloser Wiederholsequenz von Kreis-und Gerade-Objekten tatsächlich der exakten Winkeldrittelgröße zu. Dieser Sachverhalt steht im Wiederspruch zu den heute gelehrten unzutreffenden unbeschränkten Gültigkeitsgrenzen für das von Wantzel bewiesene "Unmöglich".
Mit der Cohaerentic-Sichtweise ist das Ziel beim Winkeldritten nicht mehr eine vollständige exakte diskrete Ergebnisdarstellung nach endlich vielen Schritten, sondern ein exakter und effizient konstruierter Grenzprozeß, der tatsächlich dem Grenzpunkt=Winkeldrittelpunkt autokonvergent zustrebt. Angestebt wird ein exakter und effizient konstruierter Grenzprozeß, der ein anschaulich nachvollziehbarer Lösungsweg ist. Die Folge der erzeugten Zwischenergebnispunkte soll tatsächlich dem Grenzpunkt=Winkeldrittelpunkt autokonvergent zustreben. Anders als bei den immer möglichen Lösungsverfahren der "brutalen Gewalt" soll bei unseren "Endlos-Prozessen" schon mit wenigen konstruierten Kreis-Gerade-Objekte-Sequenzen zu einer praktikablen, genügend genauen Ergebnisgröße gelangt werden. Effizienz wird hier also angestrebt.
Multifache Dreier-Winkelzusammenhänge im "Halbkreis mit kartesischen Achsen"
Wir erkennen, zu einem Punkt auf dem Halbkreis mit kartesichen Achsen gibt es drei verschiedene Winkeldrittel. Sie hängen ursächlich zusammen, also nicht nur über ein nacheinander ausgeführtes dreifaches Winkeldritteln. Bei Wantzel erfährt dieser geometrische konstruierbare Zusammenhang keine Betrachtung. So konnte Wantzel auch nicht erkennen, daß es zu einem Punkt auf dem Halbkreis drei verschiedene Drittelwinkel gibt, deren Verdreifachungsummen sich in diesem gemeinsamen Winkelpunkt exakt treffen. Unsere folgenden Bilder zeigen diese dreifachen Winkelzusammenhänge.
Im linken Bild teilt die rote Radiusstrecke den Viertelkreis im 1.Quadranten in zwei Winkel (α+β)=90°. Weiterhin teilt sie den Halbkreis in je zwei Winkel α und γ für die gilt α+γ=180°. Die Winkel α/3 und γ/3 sind durch eine Sehne miteinander verbunden, welche den roten halbgrossen Innenkreis um M tangiert. Der Winkel β/3 wird durch den Tangierungspunkt der Sehne markiert. Diese Zusammenhänge zeigen auch die nächstfolgenden Bilder.
Ist ein Winkeldrittelpunkt auf dem Halbkreis gegeben, so können über den Sehnen-Zusammenhang quasi auch die beiden anderen Winkeldrittelpunkte bzw. Winkel konstruiert werden. Infolge gegebener Symmetrie sind dann auch die Winkeldrittel in der anderen unteren Kreishälfte gegeben, was nachfolgendes Bild zeigt.
1. Gegenbeisiel:
Exaktes Winkeldritteln mit Kohärenzgleichungen vom 2. Grad
Ein Ansatz zum klassisch konstruierten Winkeldritteln stützt sich auf Gleichungen vom 2. Grad und findet sich im Buch von René Descartes (1596-1650), "La Geometrie", das im Jahre 1647 veröffentlicht wurde.
Ein Teil der Fachwelt sieht die descartessche Lösung nur als Näherung. Deshalb abstrahiert das KI-Portal "frage.de"09.12 .2024 aus dem angelernten Wissen zum wantzelschen "Unmöglich- Beweis":
"Ja, das Descartes-Winkeldritteln kann nur genähert mit einer quadratischen Parabel gelöst werden. Laut Wantzel ist es nicht möglich, Winkel mit nur einem Zirkel und einem Lineal exakt zu dritteln, da dies eine Lösung einer Gleichung dritten Grades erfordert. Die Verwendung einer quadratischen Parabel ermöglicht lediglich eine Annäherung an die Lösung, jedoch keine exakte Lösung des Problems. [x]"
Pierrè Wantzel (1818-1848) kannte offenbar das im Jahr 1647 von René Descartes (1596-1650) veröffentlichte Buch "La Geometria"nicht, in dem ein exaktes Winkedritteln mit quadratischer Parabel vorgestellt wird. Wantzel hätte sonst nicht behauptet, dass ein konstruiertes exaktes Winkeldritteln mit einem Lösungszusammenhang geringer als vom 3. Grad unmöglich sei. Der Widerspruch aus dem descartesschen Buch von 1647 und der wantzelsche Beweis-Einsicht" von 1837 ist bislang nicht hinterfragt? Der Widerspruch ist auch nicht beseitigt, indem behauptet wird, Parabeln seien als erweiterte Werkzeuge bzw. Kurven nicht zulässig, da ihre abhängigen Punkte, ausgehend von deren unabhängigen Punkten, nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können. Wie abhängige Parabelpunkte y=x^n ... n=2; 3; 4; 5 ... zu gegebenen unabhängigen x-Punkten als Kreis- und Gerade-Objekte-Sequenz konstruiert werden können, ist im Buch "Cohaerentic, ISBN 9783982026216, Seite 200 ff. beschrieben.
Quelle zum Winkeldritteln mit einer quadratischen Parabel
Aus dem Buch "La Geometria "von 1647 des berühmten René Descartes (1596-1650) ist bekannt, das ein exaktes Winkeldritteln mit einer quadratische Parabel, deren Gleichung vom 2. Grad ist, exakt möglich ist. Descartes gelangt nach endlich vielen Schritten zu einer vollständig konstruierten Größendarstellung eines dreigeteilten Winkels zwischen den Punkten P und N, des Bildes im Buch "La Geometrie", Seite 399.
Eine konstruierte anschaulich nachvollziebare Lösungssequenz von Kreis und Gerade-Objekten ist hier nicht zu erkennen. Erschwerend ist, es gibt keine übereinstimmenden gemeinsamen Buchstaben-Symbole in der linken und rechten Teilkonstruktion. Beim obigen rechten Teilbild sind ein zu dreiteilender Winkel ∠PON und die gesuchten Drittelwinkel ∠POT, ∠TOQ und ∠QON zu erkennen. Leider findet sich keiner der Punkte vom rechten Teilbild im linken Teilbild wieder und umgekehrt, was das anschauliche Verständnis zum konstruierten Zusammenhang behindert. So ist aus dem linken Teilbild heraus kein Bezug zur Dreiteilung direkt zu erkennen. Die von Descartes etwas unglücklich gewählte Darstellung des konstruierten Lösungsprozesses hat offenbar dazu geführt, daß sein erdachter Lösungsprozeß lange in Vergessenheit geraten ist. Im Internet-Lexikon Wikipedia sind unter dem Suchwort "Dreiteilung des Winkels" viele Lösungsversuche gesammelt und ausführlich besprochen. Die Lösung von Descartes ist dabei nur kurz erwähnt. Das obige Bild von Descartes ist ganz weggelassen und bleibt unbetrachtet und unerklärt, so daß unter "Dreiteilung des Winkels" die besondere Bedeutung des exakten Lösungsprozesses mit Lösungsgleichungen vom 2.Grad nicht thematisiert wird.
Simultanes, dreifaches Winkeldritteln mit Parabel im Kohärenzsystem Kreis
Die ursächlichen Zusammenhänge von drei verschiedenen Winkeldrittelpunkten im Halbkreis sind, wie oben gezeigt, anschaulich nachvollziehbar mit einer Lösungskurve quadratische Parabel verknüpft. Die Dreifachsummen der drei mit Parabel erzeugten verschieden großen Winkeldrittel (blau, grün, rot) treffen sich im gemeinsamen Punkt P=S3(k2xg3), der die drei Winkel α=∠B,M,S(k2xg3) und β=∠S(Yxk2),M,S(k2xg3) ; γ=∠S(-Xxk2),M,S(k2xg3) im Halbkreis begrenzt (siehe folgendes rechtes Bild). Der Winkel α reicht von P bis zur positiven X- Achse. Der Winkel β reicht von P bis zur positiven Y- Achse und der dritte Winkel γ von P bis zur negativen X-Achse.
Beschreibung der Konstruktion und Objekt-Bezeichnungen
Die mit Kreisen k1=0.5 und k2=1 sowie der Parabel y=2x^2 dargestellten Zusammenhänge realisieren ein simultanes dreifaches Winkeldritteln im Halbkreis. Die geometrischen Zusammenhänge dreier Winkeldrittelpunkte im Halbkreis werden im rechten Teilbild durch eine Sehne nachvollziehbar, welche den inneren Kreis k1 um M tangiert und der Tangierungspunkt der Winkeldrittelpunkt β/3 ist. Die tangierende Sehne endet jeweils am äusseren Kreis k2 mit den roten und blauen Winkeldrittelpunkten α/3 und γ/3.
Im linken Teilbild geben die Objektbezeichnungen die Konstruktionsfolge der Objekte an, wobei mit dem inneren roten Kreis k1 gegonnen ist. Kreis k1 weist nur die halbe Radiusgröße des größeren Kreises k2 auf. Die Gerade g3 definiert den zu drittelnden Winkel. Konstruiert werden dann g4 und g5, deren Schnittpunkt S5(g4xg5) der Kreismittelpunkt für Kreis k6 ist. Kreis k6 schneidet eine gegebene quadratische Parabel p7 in deren Scheitelpunkt M, dem Ursprungspunkt M(XxY), sowie drei weiteren Parabelpunkten S7.1(k6xp7);S7.2(k6xp7 ) und S7.3(k6xp7). Durch diese Schittounkte werden zur Y-Achse parallele Strecken g8 ; g9 und g10 gezeichnet, um die Schnitppunkte S8(k2xg8), S9(k2xg9) und S10(k2xg10) zu erzeugen. Die Schnitppunkte S8(k2xg8) und S9(k2xg9) sind die Sehnen-Endpunkte, welche die äusseren Drittelpunkte markieren.
Im rechten Teilbild ist mit den grünen vier Ausfüllkreisen zu erkennen, daß der Schnittpunkt S10(k2xg10) ein quasi inverser dritter Winkeldrittelpunkt S10.1(k2xg10) ist. Die Schnittpunkte S8(k2xg8), S9(k2xg9) und S10.1(k2xg10) markieren drei verschiedene Drittelungswinkel α/3; β/3 und γ/3.
Das simultane Winkedritteln ist mit Parabeln der Form y=(1/N (x^2) und Y=N (x^2) (N=±(1; 2, 4; 8 ...)) möglich, wie folgende Konstruktion zeigt.
...
Baustelle
Wie wird heute der Widerspruch zwischen den Einsichten von Descartes und Wantzel aufgelöst?
Bei Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels, 22.11.2024 lesen wir zur Unmöglichkeit des klassich konstruierten Winkeldrittelns:
"Der erste Beweis dieser Negativaussage stammt von Pierre Wantzel aus dem Jahr 1837. In ihm wird das Problem auf eine algebraische Gleichung dritten Grades reduziert und argumentiert, dass deren Lösungen keine konstruierbaren Zahlen sind, sie sich also nicht in endlich vielen Schritten mit Zirkel und Lineal aus der Länge 1 konstruieren lassen".
Andererseits ist bei Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Parabel 22.11.2024 zur Unmöglichkeit des klassich konstruierten Winkeldrittelns mit Parabel zu lesen,
"Eine Parabel lässt sich auch als Trisektrix verwenden, das heißt mit ihr als zusätzlichem Hilfsmittel ist die exakte Dreiteilung beliebiger Winkel mit Zirkel und Lineal möglich. Man beachte, dass dies nicht im Widerspruch zur Unmöglichkeit der Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal steht, da nach den klassischen Regeln für Konstruktionen mit Zirkel und Lineal die Verwendung von Parabeln nicht erlaubt ist."
Für diese Erklärung wird offenbar davon ausgegangen, dass die Punkte des Kurven-Objektes "Parabel" vom Prinzip her nicht alle mit einer Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten konstruiert werden können und daher als unzulässig gesehen werden? Heute ist jedoch bekannt, zu allen gegebenen Argumentgrößen einer quadratischen Parabel können auch ihre Parabelpunkte mit endlich vielen Schritten klassisch konstruiert werden. Dazu gibt es exakte, anschaulich nachvollziehbare Lösungssequenzen mit Kreis- und Gerade-Objekten, wie sie beispielsweise auch im Buch Cohaerentic, ISBN 9783982026216. Seite 200 ff. dargelegt werden. Das Nichterlauben von konstruierbaren Parabelpunkten ist hier somit unbegründet und damit ein willkürlicher Akt.
Der offensichtliche Widerspruch zwischen Descartes und Wantzel löst sich auf, wenn der Gültigkeitsbereich des wantzelschen "Unmöglich-Beweises" auf seine Beweisgrundlage die Lösungsgleichungen vom 3. Grad beschränkt bleibt. Unsere eingangs gezeigte Konstrutionen zu den wantzelschen Lösungsgleichungen vom 3. Grad zeigen anschaulich nachvollziehbar die von Wantzel erkannte "Möglichkeit" von α/3 nach α, sowie seine erkannte "Unmöglichkeit" von α nach α/3.
Winkeldrittelprozeß mit klassich konstruierten Parabelpunkten
Mit folgendem Bild knüpfen wir an das eingangs schon erörterte Verfahren mit Parabel an, das allein mit Zirkel und Lineal für Kreis- und Gerade-Objekte auskommt. Im folgenden Bild wird die schon gezeichnete Parabelkurve p, hier als gestrichelte blaue Kurve p angedeutet, nicht benötigt.
Der im Ergebnisbereich benötigte Parabelverlauf wird hier stückweise als Krümmungskreis k4 konstruiert, der durch drei konstruierte exakte Parabelpunkte geht. Sein Schnittpunkt S(k3,k4) führt mit einer parallel zur Y-Achse verlaufenden Strecke zum relevanten Winkeldrittelpunkt S(k2xg5) auf dem Grundkreis k2. Der rote dünne Radiusstrahl markiert die zu drittelnden Winkel α; β; und γ. Reicht die erreichte Genuigkeit nicht aus, kann nun ausgehend vom akuellen Zwischen-Ergebnispunkt eine sich wiederholende Lösungssequenz gestartet werden usw. Theoretisch weicht dieser autokonvergente Grenzprozess mit seinem Ergebnis nach endlos vielen Wiederholsequenzen nicht mehr vom exakten Winkeldrittel ab. Da hier dem Ziel unbeschränkt zugestrebt wird, ordne ich es als exaktes Verfahren ein. Gleiche Wiederholsequenzen mit Kreis- und Gerade-Objekten machen es möglich, die Gesamtsequenz des Grenzprozesses mit einer endlichen Beschreibung vollständig darzulegen.
Die rote Gradzahl im Bild ist die verdreifachte gemessene Ergebniszahl in Grad. Auf diese Weise kann das Drittel-Ergebnis leichter mit der schwarzen Startzahl vom zu drittelnden Winkel verglichen werden.
Wie gezeigt, werden ausgehend vom Schnittpunkt S(p, k3) drei exkate Punkte F, E, G der stückweisen Parabel p klassich konstruiert. Dies gelingt mit einer endlichen Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten. Die klassiche Konstruktion von Punkten einer quadratischen Parabel haben wir an anderer Stelle schon mehrfach beschrieben. Sie kann aber auch aus obigem Konstruktionsbild eindeutig nachvollzogen werden. Der Parabel-Krümmungskreis k4 im Ergebnisgebiet wird durch die hier drei konstrierten Parabelpunkte F, E, und G gezeichnet. Gestartet wird die Konstruktion mit einem grob geschätzten Drittelwinkel, indem der mittlere Parabelpunkt E in der Nähre von Kreis k3 platziert wird. Die beiden anderen Parabelpunkte F und G werden quasi symmetrisch rechts und links neben dem Punkt E platziert. Sie sollen einmal im Kreis k3 und einmal ausserhalb von Kreis k3 liegen.
Beim nächsten Bild wird ein zweistufiges Vorgehen gezeigt. Der 1. Zyklus bzw. die 1. Stufe ist rechts rot und der 2. Zyklus bzw. 2. Stufe ist links blau gezeigt. Gestartet wird der zweite Zyklus mit dem Zwischen-Ergebniswinkel aus dem 1. Zyklus (rot). Im 2. Zyklus wird bereits eine Ergebnisgenauigkeit erreicht, die über 15 wahre Nachkommastellen hinaus geht. Um wie viele kann hier nicht mehr erkannt werden, da die Rechengenauigkeit des verwendeten Geogebra-Programms nur 15 Nachkommastellen leistet.
2. Gegenbeisiel:
Winkeldritteln durch Grenzprozess mit Halbierungen
Nicolaus Fialkowski (1818-1902) war ein österreichischer Mathematiker, der in seinem Buch "Theilung des Winkels und des Kreises", Wien Verlag Gerolds Sohn 1860, S. 11; 12 einen exakten Grenzprozeß zum Winkeldreiteilen durch fortgesetzt konstruiertes Halbieren veröffentlichte. Dabei wird eine immer dichtere Punktefolge erzeugt, die gesetzmässig ihrem Grenzpunkt, dem exakten Winkeldrittelpunkt zustrebt.
Fialkowski nennt seine Winkeldreiteilen durch Halbieren eine Näherung und bleibt damit "quasi in der amtlichen" Begriffswelt der Mathematik. Tatsächlich geht es hier aber um einen klassich exakten Grenzprozeß, dessen aktuelle Zwischenergebnisse unbeschränkt dem Grenzpunkt = exakter Winkeldrittelpunkt zustreben. Die Bezeichnung der Mathematik "Näherung" ist hier deshalb etwas widersprüchlich und weniger zutreffend als der Begriff exakter Grenzprozeß. Bei diesem ist das gedachte exakte Grenzpunkt-Ergebnis = Winkeldrittelpunkt in Gedanken, sprich theoretisch, nach endlos vielen Schritten erreicht.
Die Ergebnis-Darstellung ist hier mit endlich vielen Schritten niemals ganz vollständig als Zusammensetzung erzeugbar. Trotzem ist ihr Erzeugungsprozeß ein exakter unbeschränkter Konstruktionsprozeß und kein genähert beschränkter, wie die häufig zitierte Streckenkonstruktion des genäherte Kreisverhältnisses π, die vom polnischen Mathematiker Adam Kochanski (1631-1700) im Jahre 1647 veröffentlicht wurde.
Zum besseren Verständnis müssen wir hier auch das Problem der Quantisierung betrachten. Dazu ist bei Wikipedia 7.11.2024 unter Suchwort " "Quantisierungsabweichung" zu lesen:
"Die Quantisierungsabweichung oder der Quantisierungsfehler ist die Abweichung, die bei der Quantisierung von analogen Größen entsteht (z. B. bei der Analog-Digital-Umsetzung). Während analoge Signale dem Wertebereich der reellen Zahlen genügen, werden in der digitalen Darstellung nur diskrete Werte verwendet.
Fialkowski erkennt ganz klar, sein Winkelteilen ist quasi ein konstruiertes exaktes Berechnen, bei dem mit mehr Schritten die Ergebnisgenauigkeit unbeschränkt erhöht werden kann. Er schreibt hierzu:
"Mann kann durch fortgetztes Halbiren der Trisection des Winkels so nah, wie man will, kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als jede angebbare Grösse wird".
Leider trägt Fialkowski selbst zu einem schnelles Vergessen seines erfundenen exakten Winkeldrittel-Grenzprozesses bei. Er schreibt hierzu:
"Allein diese Construktion hat für das praktische Zeichnen gar keinen Werth; erstens weil man die nach und nach kleiner und kleiner entstehenden Winkel geometrisch nicht so leicht nach dieser Art halbiren kann, aus welchen Gründen diese Methode beim praktischen Zeichnen nicht anwendbar ist."
Theoriefindung zum Halbierungs-Winkeldritteln
Bei der Theoriefindung zum Winkeldritteln nennt Fialkowski in seinem Buch auch den Nikomedes (ca 4.Jhd. v.u.Z.), der eine Konchiode für das Winkeldritteln ins Spiel bringt. Auf Seite 6 seines Buches schreibt Fialkowski dann:
„Wird nämlich der gegebene Winkel in 4 gleiche Theile getheilt, der 4te Theil wieder in 4, der 16te wieder in 4 u.s.w. gleiche Theile getheilt, so hat man: ... α (1/4+1/42+1/43+ 1/44 + ... ins ∞ ) = α /3“
Schliesslich leitet Fialkowski daraus die 1/3-Reihe " 1/3=1-1/2+1/4-1/8+1/16- ... u.s.w.;" her und schreibt:
" ... dies ist nun die Reihe die uns durch Halbierungen auf die Trisection des Winkels führt"
Verkürzte Halbierungs-WDT durch nachgeschaltetes konstruiertes Dritteln
Das Verfahren von Fialkowski, welches die 1/3-Reihe nutzt, kann um eine nachgeschaltetes klassisch konstruiertes Dritteln verkürzt und damit effizienter gemacht werden. Das folgende Bild zeigt einen hierfür genutzten Zusammenhang.
In aufeinander folgenden Teilrechengängen (Zyklen) werden stufenweise immer genauere Berechnungen ausgeführt. Die elementar konstruierte Dreiteilungsberechnung kann hier bis ins Endlos fortgetzt werden.
Geometrische Konstruktion als Berechnungsplan
Als konstruierten Berechnungsplan verstehen wir auch die Sequenz der klassiche konstruierten Kreis- und Gerade-objekte, die durch Wiederholaktionen bis ins Endlose reichende Aktionen beschreiben kann. Die Gesamtheit der Teilrechengänge sind als endloser Grenzprozeß zu verstehen, bei dem ein Ergebnis als Grenzrechteck bzw. Grenzpunkt zugestrebt wird. Durch ein hierzu analoge gezeichnetes Prozeßvorgehen kann auch für Kreisbögen bzw. Winkel zu einem klassisch konstruierten Grenzprozeß zum Dritteln gelangt werden. Voraussetzung hierfür ist, der Radius muß viel größer als die Bogenlänge sein.
Eine real ausgeführte Konstruktion zu einem exakten Grenzprozesse ist zugleich Kostruktionsplan, denn sie beschreibt alle Schritteaktionen bis ins Endlose vollständig. Möglich wird dies erst mit der Nutzung von sich wiederholenden Schritteaktionen (Teilsequenzen). Da dieses Fortsetzen theoretisch endlos möglich ist, gibt es keine Beschränkung, ist unbeschränkt. Beim folgenden Bild endet das Fortsetzen schon nach 7 Halbierungen.
Beim nächsten Bild werden von innen nach außen geometrischen Drittelungen vorgenommen, die mit diagonal gezeichenten Strecken realisiert werden. Zuerst nach 3 Halbierungen, dann nach 4 und außen nach 5.
Beim folgenden Bild erleichtert die von Innen nach Außen gezeichnet Zick-Zack-Linie das Nachverfolgen der nacheinander konstruierte Halbierungen. Bei diesem konkreten Bild gibt es keine nachgeschaltetes geometrisches Dritteln. So wird hier erst nach 11 Halbierungen eine praktikable Winkeldrittel-Abweichung von wenigel als 1/1000 Grad erreicht.
Zusammefassend schreibt Fialkowski zu seinen Winkeldrittelungen durch Halbieren:
"... die Trisection eines Winkels, die direkt durch Kreis und gerade Linie nicht zu erreichen ist, doch ohne etwas anderes, als diese Hilfsmittel zu gebrauchen, so nahe, wie man will zu kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als die kleinste möglicher Weise angebbare Grösse wird, oder als verschwindend zu betrachten ist."
Weitere Gegenbeisiele zum Dogma "Winkeldritteln mit Zirlel und Lineal ist unmöglich":
Für das Winkeldritteln mit konstruierten Sequenzen von Kreis und Gerade-Objekten wissen wir durch den Quantisierungseffekt / Quantisierungfehler, ein konstruiertes diskretes Größenabbild eines Winkels und Winkeldrittels gibt es nur als Gedankenkonstrukt für endlos viel ausgeführte Schritte. Wird beim Winkeldritteln das Unendlich-Problem berücksichtigt, wird hier nicht mehr nach endlichen Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten gesucht, sondern nach konstuierten Grenzprozessen, die autokonvergent und effizient dem Winkedrittel zustreben.
Zielgestalt-Konstruktionen mit analogen Neusisbewegungen
Die Zielgestalt-Konstruktion relisiert den Lösungsweg vom Winkel α/3 nach α. Die Neusis-Bewegung eines Objektes der Lösungsgestalt-Konstruktion bingt dies mit der Zeilgestalt-Konstrktion in Deckung, zur Gestalt-Übereinstimmung. Ist das erreicht, ist auch das exakte Winkeldrittel erreicht
Unser Fortschritt besteht hier in der Überführung der quasi analog vollzogenen Neusisbewegung in eine "schrittweise konstruierte" Grenzprozeß-Neusisbewegung, welche Schritt um Schritt ausgeführt wird. Hierbei wird mit endlos unbeschränkt fortsetzbaren Wiederholzyklen eine immer dichtere Punktefolge konstruiert, die ihrem Grenzpunkt, dem exakten Winkeldrittelpunkt, gesetzmässig zustrebt und in gedanklicher Abstraktion auch erreicht.
Seit Alters her wird diese Lösungskonstruktion durch Neusisbewegungng (Drehung, Verschiebung) zur Zielgestalt hinbewegt, damt ihre Gestalt mit der gegebenen Zielgestalt-Kostruktion in Übereinstimmung kommt. Bisher her wird hier mit ein analogen Bewegen gearbeitet, so daß von einem analogen Neusisbewegen gesprochen werden kann. Wie diese erfolgreich realisiert wird, bleibt offen?
Wir führen hier nun Neusis-Bewegungen ein, bei denen das Bewegen in konstruierten autokonvergenten Schritten erfolgt. Wir sprech hier von einem schrittweisen Neusisbewegen.
Das obige Bild einer grundlegenden Zielgestalt-Konstruktion zeigt den Zusammenhang des Winkelvervielfachens mit aneinander gefügten gleichschenkligen Dreiecken gleicher Seitenlänge. Es entsteht dabei eine Winkelfolge mit n Winkeln der Winkelsumme s=n*α. Mit größer werdenden Winkelgrößen kehrt sich die Richtung der Dreieckfolge nach links um, irgendwann wieder nach rechts usw. immer häufiger, wodurch ein anschauliches Nachverfolgen erschwert wird. Die von Archimedes (287-212 v.u.Z) bei seinem konstruierten Winkeldritteln genutzte Zielgestalt-Konstruktion benötigt im obigen Bild nur die ersten zwei aneinander gefügten gleichschenkligen Dreiecke. Diese kurze Konstruktion weist den einfachen, den doppelten und den verdreifachten Winkel α; 2α; 3α auf.
Erweiterung der zu drittelnden Winkelgröße mittels Kreuzschleifen-Konstruktion
Unser Ziel ist es hier, das Verfahren der Winkeldreiteilung auf der Grundlage der Kreuzschleifen-Kohärenz so weiter zu entwickeln, dass auch größere Winkel direkt gedrittelt werden können. Dritteln endet hier nicht bei Prozessen, die nur endlich viele konstruierte Schritte bzw, Kreis- und Gerade-Objekte ummfassen.
Bei den folgenden Bildern markiert die blaue Radiusstrecke=MD den zu drittelnden Winkel und die grüne Radiusstrecke=MC den gesuchten Drittelwinekl. Den zu beweisenden nachzuvollziehenden 3-er Zusammenhnang machen hier die beiden aneinander gefügten gleichschenkligen Dreiecke rot und grün anschaulich.
Der rote Kreuzschleifen-Balken AB hat eine Länge vom Grundkreisdurchmesser = 2*ME und gleitet mit Punkt A auf der X-Achse und mit Punkt B auf der Y-Achse. Sein Mittelpunkt C bewegt sich dabei auf der Grundkreiskurve k1, bzw. zeichnet diese gedanklich als Spurkurve. Die dünne grüne Radiusstrecke MC markiert die Winkelgröße α =∠E,M,C und die dicke blaue Radiusstrecke den zu drittelnden Winkel 3α .
Streckenzug- Zielgestallt
Die Zlelgestalt-Konstruktion für einen vergrößerten Winkelbereich der 3-er Winkelhohärenz wird mit unserer Kreuzschleifen-Konstruktion mögliich. Die folgenden Bildern zeigen verschieden große zu drittelnden Winkel (grüne Radiusstrecke) in den vier Quadranten eines descartschen Koordinatensystems.
Diese vier Streckenzug - Zielgestalt-Konstruktionen kommen mit nur wenigen zusammenhängenden Kreis- und Gerade-Objekten aus. Je nach Betrachtungsrichtung vom Drittelwinkel (= rote Radiusstrecke) zum dreifachen Winkel (= grüne Radiusstrecke), oder umgekehrt, vom dreifachen Winkel (= grüne Radiusstrecke) zum Drittelwinkel (= rote Radiusstrecke) gibt es hier eine exakte Verdreifachung oder eine Drittelung. Allerdings begründet hier nicht die allgemein bekannte Verdreifachung eines Winkels durch zwei gleichgroße aneinander gereihte Kreise den systematischen 3er-Winkelzusammenhang. Die Verdreifachung entsteht durch die Sequenz der zusammenhängenden Strecken-Objekte im Kreisinnern und den Achsgeraden. Mit Drehung der grünen Radiusstrecke gleitet der rote Kreuzschleifenbalken, der die Größe vom Grundkreis-Durchmesser hat, mit seinen beiden Endpunkten auf den X- und Y-Achsgeraden. Der Balkenmittelpunkte M zeichnet dann als Spurkurve den Grundkreis um Mittelpunkt U.Einprägsame Streckenzug-Zielgestalt-Konstruktion
Bei den nun folgenden Bildern wird die Abstraktion weiter zu einer sehr einprägsamen "Streckenzug-Zielgestalt-Konstruktion" geführt. Sie umfasst wieder einen gegebenen Winkel und seinen verdreifachten Winkel. Der besagte systematische Zusammenhang ist nun auch auch über eine Umdrehung (einen Vollwinkel) hinaus nachvollziehbar. Für die "Streckenzug-Zielgestalt-Kosnstruktion" gilt:
Ein 3er-Winkelzusammenhang ist dann gegeben, wenn ein zusammenhängender
schwarzer Streckenzug im Kreisinnern aus zwei Paaren
paraller Strecken besteht.
A1,M1,B1,C1,D1. Die besagten zwei Sreckenzug verbinden den einfachen Winkel α und den dreifachen Winkel 3α bestmöglich. Die erste und dritte Strecke AM und BC sowie die zweite und vierte Strecke MB und CD sind zueinander parallel.
Um die angestrebte Übereinstimmung herbei zu führen, wird die rote Kreiszschleifen-Balkenstrecke CD solange um Punkt D gedreht bis die abhängige sich drehende Strecke MB parallel zur Strecke DC zu liegen kommt. Beim nächsten Bildbeispiel ist der zu drittelnde Winkel größer einer Umdrehung. Er liegt im 5. Quadranten. Der verbindende Streckenzug besteht hier aus den vier gestrichelten roten Strecken.
Beim folgenden Bild bewegt sich der Balkenmittelpunkt C von Strecke E,F auf einer Kreiskurve um Mittelpunkt M, wenn die Balkenstrecke mit ihren Endpunkten E und F an den orthogonalen Achsen X un Y entlang gleitet.
Anhand der zwei Paare paralleler roter Strecken im Kreis um M kann die hier natürlich vorhandene Dreierkohärenz für Winkel gut nach vollzogen werden.
Das bekannte analoge Neusisbewegen ist ein Zurechtschieben/-drehen bis zur vollständigen Deckung / Übereinstimmung mit der Zielgestalt. Es wird nur nur theoretisch im Gedankenspiel erreicht. Daraus erwächst der Wunsch zu einem klassich konstruiertem Prozeß des "Zurechtschiebens", zu einem schrittweis konstruierbarem Neusisbewegen. Wünschenswert ist für diesen veränderten Prozeß, daß er nur mit den Objekten Kreis und Gerade konstruiert wird. Damit kann dann die in der Antike gefoderte Beschränkung auf Zirkel und Linieal bzw. Kreis- und Gerade-Objekte eingehalten werden. Von der Antike bis heute sind in der Fachliterarur keine solchen Lösungen zu finden. Sie werden auch bis heute nicht angestrebt, denn sie werden nicht erwartet.
Winkeldritteln mit kombinierten Zielgestalten
Im folgenden linken Bild sind zwei Zielgestalt-Konstellationen für die 3-er Winkelkohärenz miteinder kombiniert. Links gibt es die Zielgestalt als "Streckenzug im Kreisinnern mit "schwarzer Strecke= AM, dann folgen drei rote Strecken. Nach rechts schliesst ein blauer Streckenzug an. Der gesamte nach rechts orientierte kombinierten "Streckenzug umfasst die "schwarze Radiusstrecke = AM dann Strecke rot, dann Strecke blau und Strecke blau".
Die rechte Konstruktion zeigt einen stark konvergierender Winkeldrittel-Grenzprozeß welcher mit der kombinierten Zielgestalt und einer schrittweisen Neusisbewegung arbeitet. Der kombinierte Streckenzug umfasst die "schwarze Radiusstrecke= AM , dann eine rote Strecke und zwei blaue Strecken . Wegen der starken Konvergenz kann die schrittweise konstruierte Neusisbewegung schon nach wenigen konstruierten Objekten mit Schnittpunkt S4(k3xg4) beendet werden. Die Ergebnisgenauigkeit ist dann mit über 15 wahre Nachkommastellen bereits ausreichend groß. Zum Zweck eines leichten direkten Vergleichens der Ergebnisgenauigkeit wird der konstruiert erzeugte Drittelwinkel ausgemessen und vor dem Vergleichen verdreifacht. Dieses Verdreifachen leisten die zwei roten Kreise mit ihren Mittelpunkten auf dem roten Kreis um Mittelpunkt M. Der vergrößerten Bereich um Punkt S4(k3xg4) wird mit nachfolgenden Bild gezeigt. 
Beschreibung der Konstruktion:
Gegebene Objekte:
- die Achsen X und Y, sowie der Grundkreis k0 um M
- der gegebene zu drittelnde Winkel ∠AMQ mit den Strecken MA und MQ
Die konstruierte Sequenz umfasst folgende Objekte:
1. Strecke g1 parallel zur Y-Achse
2. Strahl g2, so in M gedreht, daß er g1 in M2 schneidet
3. Kreis k3 um M2 mit einem Radius = 2* MA
4. Strahl g4 parallel zur X-Achse Gerade durch Punkt Q, der den Kreis k3 im Schnittpunkt S4(k3×g4) schneidet.
5. blaue Strecke g5 = / M,S4(k3×g4) / schneidet Gerade g1 in Schnittpunkt S5(g1×g5)
6. Kreis k6 um S5(g1×g5) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S6(g5×k6) und S6.1(g4×k6).
7. Strahl g7= / M,S6.1(g4×k6) / der Gerade g1 in Schnittpunkt S7(g1×g7) schneidet.
8. Kreis k8 um S7(g1xg7) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S8(g7×k8) und S8.1(g4×k8).
9. Strahl g9 = / M,S8.1(g4×k8) / der Gerade g1 in Schnittpunkt S9(g1×g9) schneidet.
10. Kreis k10 um S9(g1×g9) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S10(g7×k10) und S10.1(g4×k8).
11. Strahl g11 = / M,S10.1(g4×k10) / der Gerade g1 in Schnittpunkt S11(g1×g11) schneidet.
12. Kreis k12 um S11(g1×g11) mit Radius=2*MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S12(g11×k12) und S12.1(g4×k12).
13. Kreis k13 durch die drei Punkte S8(g7×k8); S10(g7×k10) und S12(g11×k12), der auf Gerade g4 den Schnittpunkt S13(g4×k13 ) erzeugt, welcher das erreichte Zwischenergebnis für den Drittelwinkel markiert.
-14. Strahl g14 durch den Schnittpunkt S13(g4×k13) markiert den gesuchten Drittelwinkel ∠AMD.
Tiefer gehende Einsichten
Die folgenden zwei Bilder führen zu noch tiefergehende Einsichten zum Winkeldritteln. Im linken Bild liegt der zu drittelnde Winkel im 2. Quadranten und rechts im 1. Qudranten.
Winkeldrittelung mit konstruierter Neusisbewegung
Im folgenden Bild wird ein weiteres, weniger effizientes Ganzbalken-Verfahren gezeigt, bei dem der Grenzprozeß etwas anders realisiert wird. Die erste konstruierte Berechnungs-Teilsequenz startet mit den Strahl g2 durch den frei gewählten Startpunkt 2 und endet mit Schnittpunkt K=S(Xxk7). Die zweite konstruierte Berechnungs-Teilsequenz startet mit Strahl g8 durch Startpunkt K und endet mit dem Schnittpunkt T=S(Xxk14). Im nächsten Bild ist die Umgebung der Punkte K; L und T vergrößert gezeigt.
Nach dem ersten Teilsequenz-Zyklus wird mit Kreis k7 der Punkt K=S(Xxk7) auf der X-Achse erzeugt. Der Zwischenergebniswinkel ist dann mit 2 wahren Nachkommastellen erzeugt. Mit dem zweiten Teilsequenz-Zklus wird dann die Ergebnisgenauigkeit um 4 wahre Nachkommastellen erhöht usw.
Winkeldrittleln mit schrittweiser autokonvergenter Neusisbewegung
1. Winkeldritteln mit konstruierten Objekten im Inneren des Grundkreises
Beim nachfolgendem Bild eines Grenzprozeß-Winkeldrittelns verläßt die konstruierte Sequenz der kohärenten Strecken-Objekte das Innere des Kreises nicht. Der Grenzprozeß, der stringent dem Grenzpunkt als Ergebnis zustrebt, hat die Eigenschaft "autokonvergent" zu sein. Autokonvergent beschreibt hier, daß keine probierenden Schritte erforderlich sind. Das folgenden Bild mit den laufenden Nummern an den Objekten zeigt einen gut verfolgbaren fortschreitenden Verlauf des mit den zwei Paaren paralleler Strecken konstruierten Grenzprozesses. Die Strecken 3 ; 7 ; 11 usw. drehen sich immer weiter in die Richtung der X-Achse bis sie zu dieser parallel laufen. Nun markieret der rechte Schnittpunkt mit den Grundkeis den gesuchten Winkeldrittelpunkt. Ein verkürztes Beenden des Grenzprozesses wird erreicht, indem durch die letzten drei Mittelpunkte der Streckenfolge 3; 7; 11 usw. der Kreis K20 konstruiert wird, welcher die Y-Achse im Punkt S(YxK20) schneidet. Durch diesen Punkt ist dann die gesuchte zur Y-Achse parallele Strecke gezeichnet, welche rechts mit ihrem Schnittpunkt mit dem Grundkreis den gesuchten Winkeldrittelpunkt markiert. Die Ergebnis-Genauigkeit in Grad ist hier nach ca. 20 konstruierten Objekten 4 wahre Nachkommastellen.
2. Winkeldritteln mit konstruierten Objekten im Inneren des Grundkreises
Halbbalken.Verfahren
Es gibt mit der Kreuzschleifen-Zielgestalt-Konstellation (Ziel-Kohärenz-Modell) noch weitere mögliche Varianten für konstruierte Grenzprozesse, wie bereit weiter oben schon erörtert.
Um den Umfang der Berechnungs-Sequenzen (iterierende Zyklen) vergleichbar zu halten, sind die konstruierten Objekte im folgenden Bild zum Halbbalken-Verfahren fortlaufend nummeriert. Für den im i-ten Schritt erzeugten Kreis ist die Bezeichnung ki und für die im nächsten Schritt erzeugte Gerade gi+1.
Die erste Teil-Sequenz umfasst hier die Objekte Gerade und Kreis ( g2;k3), (g4;k5) ; (g6;k7), usw. Für die Radiusgrössen der Kreisbögen gilt: rk3=rk5=rk7= ... =2*rk1 . Die konstruierten Punkte D; G; K usw bilden eine gesetzmäßige Punkte-Folge zu einer gedachten "Kohärenzkurve". Diese strebt den Grundkreis k1 zu und schneidet ihn letztlich im Punkt PWinkeldrittel. Da sich Im Ergebnisbereich der Verlauf der Kohärenzkurve immer mehr einer Kreiskurve nähert, wird durch die letzten drei Folgepunkte eine Kreiskurve gezeichnet, welche den Grundkreis k1 schneidet. Im folgenden linken Bild wird der halbe Kreuzschleifen-Balken zischen Y-Ache und Grundkreis k1 eingepasst.
Die eingangs gezeigten Kreuzschleifen-Konstruktionen sind im linken Bild ein Halbbalken-Verfahren und im rechten Bild ein Ganzbalken-Verfahren.
Ganzbalken - Verfahren, rechts
Die folgenden zwei Bilder zeigen zwei unserer neuen Winkeldrittelungen in den Ausprägungen Halbbalken-Verfahren links und Ganzbalken-Verfahren rechts. Bei beiden Verfahren liegen die zu drittelnden Winkel im ersten Quadranten. Die schrittweise konstruierten zwei Neusisbewegungen streben mit einer autokonvergenten Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten (g2; k3 usw.) der jeweiligen Zielgestalt zu.
Im linken Bild wird der halbe Kreuzschleifenbalken zwischen Y-Achse und Kreislinie Schritt um Schritt eingepasst, wodurch als Ziel-Gestalt die zwei zusammenhängenden gleichschenkligen roten und grünen Dreiecke entstehen. Im rechten Bild wird der ganze Kreuzschleifenbalken zwisch Y- und X-Achs eingepasst, wodurch als Ziel-Gestalt wieder die zwei zusammenhängenden gleichschenkligen roten und grünen Dreiecke entstehen. Archimedes (287-212 v.u.Z.) löst das quasi analoge Neusis-Drehschieben der halben Kreuzschleifenbalken-Strecke mit einem Lineal mit Strichen im Abstand vom Grundkreisradius.
Bein rechten Ganzbalken-Verfahren wird der ganze Kreuzschleifenbalken eingepasst, was gegenüber dem Halbbalken-Verfahren effizienter ist. Eine bestimmte Genauifkeit wird schon mit deutlich weniger Schritten erzielt. Zur Abgrenzung von einem quasi analogen Prozess sprechen wir nun von einer "schrittweise konstruierten Neusisbewegung, welche Schritt um Schritt mit jedem Wiederholungszyklus aus Strecke- und Kreis-Objekten dem Grenzpunkt = Winkeldrittelpunkt auf der Kreislinie unbeschränkt zustrebt.
Die Abläufe unserer beiden hier gzeigten Winkeldrittel-Grenzprozesse konvergieren also unterschiedlich schnell zum exakten Winkeldrittelpunkt. Rechts wird bereits nach 5 "Gerade-Kreis-Teilsequenzen eine Übereinstimming des verdreifachten Ergebniswertes (rote Winkelzahl) mit dem Startwinkelwert (schwarze Zahl) von 10 wahren Nachkommastellen erreicht. Hingegen werden mit dem weniger stark konvergierenden linken Grenzprozess erst nach 7 "Gerade-Kreis-Sequenzen 3 wahre Nachkommastellen erzielt. Unsere beiden Grenzpozess-Winkeldreilungen arbeiten als autokonvergente Grenzprozesse, die allein mit den Urkurven Kreis und Gerade von beliebig großen Startwerten zum exakten Winkeldrittel führen. Hierbei sind die in der Antike gefoderte Beschränkung der Werkzeuge auf Zirkel und strichloses Lineal eingehalten.
Wir behaupten, die Lösung der Aufgabe, eine beliebige Winkelgröße zu dritteln, ändert sich vom mathematisch bewiesenem „unmöglich“ in „möglich“, sobald das Wissen zur Quantisierung (heute wird hier meist von Digitalisierung gesprochen) einbezogen wird. So wissen wir auch, für beliebig große zu drittelnden Winkel gibt es keine vollständige quantisierte klassich konstruierte Größendarstellung ohne Restfehler. Diese Tatsache trifft damit auch auf die vom Startwinkel abgeleiteten 1/3-Winkel zu.
Wir wissen auch, dass ein exakter Grenzprozess zum Winkeldritteln den gedachten endlosen Umfang der Operationen nicht vollständig abarbeiten kann. Bleibt die Frage, führen unsere konstruierten Grenzprozesse tatsächlich, wenn sie endlos fortgeführt werden könnten, zum erwarteten vollständigen Größenabbild des Winkeldrittels? Nach den Schlüssen, welche aus dem wantzelschen Beweis gezogen werden, gibt es keine zutreffenden Zusammenhänge, die allein mit endlich vielen Kreis- und Gerade-Objekten auskommen. Daher stempelt die "amtliche Mathematik" Winkeldrittelversuch, die sich nicht an die antike "Endlich-Forderung" halten, ohne jede weite Überprüfung als falsch ab. Heute wird dazu gelehrt, für die Überwindung des Unmöglich-Problems brauche es zusätzliche Hilfsmittel, die über Kreis- und Gerade-Kurve hinaus gehen. So kann bei Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels dazu nachgelesen werden:
"Obwohl eine klassische Konstruktion nicht möglich ist, kann die Dreiteilung eines Winkels unter Zuhilfenahme von Hilfsmaterialien und Werkzeugen, wie eines markierten Lineals, als sogenannte Neusis-Konstruktion vollzogen werden"
Diese Sichtweise schafft Verwirrung, denn auch die analoge Neusisbewegung schafft die endlos genaue Verschiebung mit einem quasi letzten endlos kleinen Schritt nicht real, sondern nur in Gedanken. Sie werden heute als exakte Lösungen zum Winkedrittel eingeordenet. Aus unserer Sicht sind daher unsere Grenzprozesse, ein exaktes Winkeldrittel, welches wie die Neusis-Konstruktionen das exakte Ergebnis nur mit gedanklich endlos vielen Schritten erreicht.
Tatsache ist, zwei Winkelhalbe gibt es nach einer Verzweifachung, sowie auch nach einer Zwei-Teilung. Die Winkelverdreifachung gibt es nach endlich vielen Schritten. Das gesuchte Winkeldrittel gibt erst am gedanklichen Ende eine endlosen Drittelprozesses.
Winkeldritteln nach Archimedes (287-212 v.u.Z.)
Zur Abgrenzung zu den eingangs beschriebenen schrittweis konstruierten Neusisbewegungen sprechen wir bei der Archimedes-Konstruktion, mit mechanisch analogem Neusisbewegen, wohl vom bekanntes Winkeldritteln in der Geometrie. Er ist aber nicht der älteste Versuch. Mit dem folgenden Bild wird die Aufgabe der analogen Neusisbewegung vom Prinzip her verständlich.
Archimedes (287-212 v.u.Z.) erkannte, das Winkeldritteln ist exakt gelöst, wenn die konstruierte Lösungsgestalt der Zielgestalt-Konstellationen bis hin zur Deckung zustrebt. Dann haben die zwei aufeinander folgenden Dreiecke gleiche Schenkelgrößen. so wie sie das kleine Bild, links oben für die Zielgestalt-Konstruktion zeigt. Dei Lösungsgestalt-Konstruktion erfüllt bei Deckung dann auch den exakten 3-er Winkelzusammenhang. Mit der Lösungsgestalt-Konstruktion wird der Zielgestalt-Kosruktion durchh die Neusisbewegung näher gekommen, die bei -Archimedes durch eine entsprechen Linealbewegung realisiert wird. Archimedes fügte dem Lineal zwei Striche bzw. die Punkte S(Xx2G) und S(2Gx3.1K) mit dem Abstand der Radiusgröße = /M,S(XxK)/ hinzu. Wird das auf der X-Achse und dem Punkt S(6KxK) aufliegende Lineal nach rechts verschoben, erfährt es eine Drehung im zu drittelnden Winkelpunkt S(6KxK). Der gesuchte exakte Drittelwinkel ist erreicht, wenn der Punkt S(2Gx2.1K) auf dem Kreis K zu liegen kommt. Real kann dies aber nie exakt erreicht werden, sondern nur gedanklich. Für die angestrebte Gestalt-Übereinstimmung müssen die aufeinander folgenden zwei Dreiecke jeweils Schenkel-Seiten mit gleicher Größe erreichen. Die Betrachtungsrichtung für die Dreieckfolge bestimmt, ob ein Vervielefachen zum Großen hin oder ein Vervielfachen zum Kleinen hin betrachtet wird. Auch für das Winkedritteln mit einer Zielgestalt-Konstruktion nach Archimedes ist unsere schrittweis konstruierte Neusisbewegung möglich.
Winkeldreiteilen mit Ellipse
Winkeldreiteilen mit gezeichneter, aber auch ohne gezeichnete Hyperbel
Ausgangspunkt für das Verstehen des Winkeldrittelzusammenhangs ist wieder die konstruierte Zielgestalt aus zwei gleichgroßen gleichschenkligen Dreiecken, rot und grün, wie es das Bild zeigt. Dabei wird vom gegebenen, von A ausgehenden Radiusstrahl des zu dtrittelnden Winkels ausgegangen. Aus Symmetriegründen kann der Neusis-Schiebeprozeß primär mit Punkt T auf der X-Aches und symmetrisch nachfolgend mit Punkt Z erfolgen oder auch umgekehrt.
Wie der manuell schwierige Schiebeprozeß als Sequenz klassich konstruierter Kreis- und Gerade-Objekte im Einzelnen ausgeführt wird, haben wir bereits weiter oben schon beschrieben.
Cohaerentic-Sichtweise zum "unmöglichen Winkeldritteln"
Was wird mit der Cohaerentic-Sichtweise angestrebt? Es sind anschaulich zugleich logisch nachvollziehbare exakt zutreffende Rechenzudammenhänge. Auch solche, die stringent dem Winkelldrittel zustreben und dabei eine anschaulich nachvollziehbare Konvergenz aufweisen. Unser gefundenes Ergebnis überrascht. Schon mit weniger als 20 kohärent konstruierten Kreis und Gerade-Objekten wird ein für alle praktischen Aufgaben ausreichend genaue reproduziebare Darstellung der Ergebnisgröße erreicht, deren Fehler im subatomaren Bereich liegt. Die Größenodrnung für ein Atom liegt bei 10-10 m.
Wir geben uns hier mit einer letztlich praktisch immer genauer erzeugbaren und nur gedanklich vollständig erzeugten exakten Winkeldrittelgrösse zufrieden. Bei diesem Sachverhalt ist es angebracht sich an Euklid (ca. 330 v.u.Z.) und auch an Hilbert (1862-1943) zu erinnern. Deren definierte Zusammenhänge für die Geometrie-Grundlagen sind rein gedanklich abtrahierte Konstrukte. Sie gehen von der Erfahrung mit realen Objekten aus. Wir sehen deshalb unser angestrebtes Winkeldrittel-Ergebnis als erreicht, da unsere Prozessbeschreibung mit den nachvollziehbar kohärenten Objekten von Kreis und Gerade bis zum endlos fernen Schritt reicht. Dabei spielen Wiederholungen von Teilsequenzen eine wichtige Rolle. Wir sehen es als unzutreffend und verwirrend an, die exakten Grenzprozesse zum Winkeldritteln als grundsätzlich falsch darzustellen, da die Erwartung auf einen endlichen Prozeß nicht erfüllt wird. Unbetrachtet dazu bleibt der Sachverhalt, daß mit immer höherer Zahl der Schritte die konstruierten Winkeldrittel-Grenprozesse einem immer kleineren Ergebnisfehler zustreben. Wegen dieses Sachverhaltes ist es schon seit der Antike sinnlos und falsch, für das Winkeldritteln einem klassich konstruierten Lösungsprozess zu suchen, der schon nach endlich vielen zusammensetzenden Schritten eine diskrete, vollständig konstruierte Darstellung der Lösungsgröße ohne Restfehler erzeugt.
Wir fragen hier, warum wurde in der Antike das Wissen zum Quantisierungsfehler ausgeblendet? Waren die ererbten Erwartungen auf ganze Zahlen gerichtet? Offenbar fehlte einfach noch das besagte Wissen zur Quantisierung?
Unsere Cohaerentic-Sichtweise gibt sich mit einem praktikablen immer weiter verringerbaren Quantisierungsfehler zufrieden, so auch beim klassisch konstruierten Winkeldritteln. Die tatsächlich zu lösende Aufgabe war und ist es hier, nach best effizienten Lösungswegen zu forschen. Schon in der Antike wäre es sinnvoll und richtig gewesen nach einem solchen klassich konstruierten Lösungsprozess zu suchen. Anstelle dessen wurde zu klassich konstruierten Grenzprozessen immer mehr ein Denkverbot aufgebaut. Es fehlte offenbar die motivierende Erwartung. Daran hat sich offenbar, bis auf das hier abweichende Interesse der Amateure, bis heute nicht viel geändert.
Die Ansätze zu den umfassenderen Dreier - Winkelzusammenhang finden wir schon in Rene Descartes (1596-1650) Buch "Geometria", welches im Jahre 1637 veröffentlicht wurde.
Wantzel kannte offenbar das Buch "Geometria" von Descartes nicht, denn in seinen Betrachtungen zum unmöglichen Winkeldritteln kommt er zu der Einsicht, erst eine Gleichung vom dritten Grad beschreibe den Winkeldrittel-Zusammenhang exakt. Das Problem sei nicht auf eine Gleichung vom 2. Grad rückführbar. Daher sei eine Auflösung mit einer konstruierten Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten unmöglich. Diese Argumentation findet sich auch bei heutigen verkürzten "Unmöglich"-Beweisen, die für einen zu drittelnden Winkel vom konstruierbaren Winkel von 60 Grad geführt werden. (D.Laugwitz, Eine elementare Methode für die Unmöglichkeitsbeweise bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, In Elemente der Mathematik, 17 / 1962 S 54...). Diese Argumenten widerspricht der von Descartes beschriebene Konstruktion zum exakten Winkedritteln, welche mit einer Parabelkurve vom 2. Grad auskommt. Heute gilt in der Fachwelt, die descartsche Lösung sei zwar ein exakter Lösungszusammenhang mit leztlich nur endlich vielen Schritten. Sie verstösse aber mit einer vorab gegebenen Parabel (Schablone) gegen die geforderte Beschränkung auf die Werkzeuge Zirkel und Lineal. Heute wisse wir, alle Punkte einer quadratischen Parabel sind allein nur mit Zirkel und Lineal bzw. Kreis- und Gerade-Objekten klassich konstruierbar. Daß die quadratische Parabelkurve vorab als unzulässiges Hilfswerkzeug "Schablone" gegeben sein muß, fällt somit heute weg. Unsere folgende Konstruktion, die später noch ausführlich betrachtet wird, zeigt hierzu eine vollständige klassiche Konstruktion. Bereits nach wenigen Schritten sind drei aktuelle Parabelpunkte für den Parabel-Krümmungskreis k4 im Ergebnisbereich konstruiert, welcher die Kreiskurve k3 schneidet. Auch hier wird wird bereits mit einer überschaubaren Anzahl konstruierter Objekte ein aktueller Quantisierungsfehler im subatomaren Grössenbereich erzielt.
Wie wird die Fachwelt dazu argumentieren? Dieser fehlerfreie Lösungsprozeß sei zwar sehr interessant, aber doch nicht unsere erwartete Lösung. Es wird eine fehlerfreie Größendarstellung des Winkeldrittels erwartet. Manchmal wird hier sogar behauptet, da das erwartete Ergebnis mit endlich vielen Schritten nicht erreicht wird, müsse der Lösungsweg falsch sein, was nicht zutrifft.
Die vorgezeigten Cohaerentic-Lösungsprozesse sind als klassisch klassich konstruierte Grenzprozesse überraschend praktikabel. Die konstruierte Ergebnisgröße Winkeldrittel ist hier der Grenzwert einer unendlichen Konstruktion und kann mit dieser beliebig genau konstruiert berechnet werden.
Paradoxe Situation
Die drei klassischen Aufgaben der Antike, die Dreiteiung des Winkels, die flächengleiche Umwandlung der Kreisfläche in ein Quadrat und das Verdoppeln des Würfelvolumens berühren Zusammenhänge grundsätzlicher Berechungsprozesse. Diese werden erst durch klassische Konstruktionen voll nachvollziebar. Eine sehr fundamentale Aufgabe liegt dem folgenden konstruierten Berechnen zugrunde:
"Ein gezeichnetes beliebig gegebenes Verhältnis von Drehungen ist in ein gleichgrosses Strecken-Verhältnis überzuführen und umgekehrt."
Die dazu passende Situation finden wir in der Praxis mit dem Rad, dessen Abrollweggröße für eine Umdrehung interessiert? Ähnlich ist es mit der länge eines Seils, das von einer drehenden Seiltrommel abrollt.
Eine fundamentale Einsicht ist:
Für beliebig gegebenen Ausdehnungsgrößen gibt es keine vollständig exakt abbildende Zahl, die nur endlich viele wahren Nachkommastellen umfasst.
In der frühen Antike ist die Erwartung , "alles ist Zahl". So werden immer diskrete Ergebnisgrößen-Darstelliungen erwartet. Solche, die nur durch endlich viel konstruierte Kreis-/Gerade-Objekte erzeugt werden. Verwirrend wird es hier für die Lernenden, wenn die Größe des Kreisverhältnisses π gleich der Kreiszahl gesetzt wird. Dies widerspricht er obigen allgemeinen Einsicht. Eine reale Zahl als Größendarstellung für das Kreisverhältnis bleibt immer nur ein unvollständiges Größenabbild. Die Gleichsetzung von Kreisverhältnis und Kreiszahl birgt somit einen Widerspruch in sich. Aktuelle diskrete Kreiszahl-Abbilder sind entweder beschränkte oder unbeschränkte Näherungsdarstellungen, je nachdem, ob sie aus einem beschränkten oder unbeschränkten Erzeugungsprozeß hervorgehen. Ein beschränkten Erzeugungsprozeß kann nur eine bestimmte beschränkte Ergebnisgenauigkeit liefern. Diese kann nicht weiter verbessert werden. Ein unbeschränkter Erzeugungsprozeß ist ein exakter Prozeß, bei dem mit mehr Aufwand die Ergebnisgenauigkeit immer weiter verbessert werden kann, zumindest theoretisch.
Ähnlich ist es mit der exakten Winkeldrittelgröße, die auch nur mit unendlich vielen Grenzprozeß-Zyklen (Schritten) vollständig ohne Restfehler dargestellt werden kann, was aber in der Wirklichkeit niemals erreicht wird. Und so mündet auch jedes Ausmessen des Kreisunfangs mittels arithmetischem oder konstruiertem Berechnen des Kreisverhältnisses in einem klassisch konstruierten endlosen Grenzprozeß.
Trisections-Jäger
Die Aufgabenstellung zur Dreiteilung des Winkels kann einfach verstanden werden und ist damit auch Amateuren zugänglich. So suchen Amateure trotz mathematisch bewiesener Unmöglichkeit einer Winkeldrittelkonstruktion weiterhin nach klassisch konstruierten Lösungen. Was sie vorzeigen bezeichnen sie oft auch als exaktes Verfahren eines konstruierten Berechnens. Ihre Näherung nennen sie oft besonders effizient. Hier kommen Trisektions-Jägern ins Spiel, welche die falschen Winkeldreiteilungen der Amateure aufdecken und hier und da auch etwas belustigende Beurteilungen zu den Lösungsversuchen abgeben. Alles mündet darin, daß wegen der "Unmöglich-Beweise" alle vorgezeigten Versuche ohne einzenle Nachprüfung mit falsch abgetan werden. Es werden sogar Fahndungshinweise gegeben, woran naive und uneinsichtige Trisezierer und Kreis-Quadrierer zu erkennen sind und wie man durch Nichtbeachten mit ihnen umgeht. Hier fällt auf, daß bei den Trisections-Jägern auch die klassisch konstruierten exakten Lösungsverfahren, wie das Parabel-Winkeldritteln von Descartes und das Halbierungs-Winkeldrtteln von Fialkowski unbetrachtet und unbeachtet bleiben. So werden bis heute konstruierte Grenzprozeß-Verfahren nicht erfoscht, wohl auch wegen der Erwartung, daß praktikable Genauigkeitsergenisse erst nach nahezu endlos vielen Schritte erreicht werden.
Was wirkt sich noch auf das Verständnis zu konstruierten Grenzprozesse aus?
Die im Wikipedia-Lexikon praktizierte Sichtweise, die Neusis-Konstruktionen als exakte vollständigen Lösungsweg zu betrachten, übertragen wir auch auf unsere "klassisch konstruierte" Kreuzschleifen-Winkeldreiteilung. Den letzten notwendigen Schritt bis zum exakten Ergebnis vollziehen wir nun auch, wie bei den bekannten originalen Neusis-Prozessen, gedanklich.
Wir erkennen auch, den Rechenoperationen des Teilens geht immer erst ein entsprechendes Verfielfachen voraus. Eines das quasi die Zielgestalt erzeugt, wie auch bei den Teilungen mit dem Strahlensatz.
Die heute praktizierte Beschränkung auf Winkeldrittelkonstruktionen mit nur endlich vielen Schritten ist nicht zu rechtfertigen, denn eine solche Beschränkung gibt es nicht für das algebraisch-arithmetischen Berechnen der Dezimalzahl-Darstellung 0.333...!
Als Grund für die fefoderte Beschränkung wird oft angeführt, daß das Teilen eines Winkels durch 2 oder 4 usw. mit einer endlichen Sequenz konstruierter Objekte doch möglich sei. Deshalb könne doch erwartet werden, daß auch das Dreiteilen eines Winkels mit einer endlichen Sequenz konstruierter Objekten möglich sein müsse.
Der im Jahre 1837 vom französischen Mathematiker Pierre Wantzel (1814-1884) veröffentlichte Beweis zur Unmöglichkeit der Dreiteilung des Winkels verbessert hier die Situation nicht wirklich. Die wanzelsche Beweiseinsicht ist, die erwartete Ergebnisgröße könne keine konstruierbare Zahl sein. Richtig. Aber warum ein mit Kreis und Gerade-Objekten konstruierter Lösungsweg, wie immer er auch gestaltet sei, immer nur falsch sein könne und kein gesetzmäßiges Konvergieren zum exakten Ergebnis möglich sein soll, bleibt unbetrachtet?
Die Problematik des fehlerbehafteten Größen-Darstellens einer beliebig gegebenen Ausdehnungsgröße ist von allgemeiner Natur und trifft daher auch auf die anderen beiden klassichen Aufgabenprobleme der antiken Geometrie zu. Die häufig zitierten Näherungskonstruktion für das Kreisverhältnis π von Adam Kochanski (1631-1700) erreicht nach einer endlichen Sequenz konstruierter Kreis- und Gerade-Objekte eine Ergebnis-Genauigkteit mit 4 wahren dezimalen Nachkommastellen. Diese Näherungsgenauigkeit kann durch mehr konstruierte Objekte zu keiner höheren Ergebnisgenauigkeit für die Kreiszahl gelangen.
Für das vollständige Abbild des Kreisverhältnisses π hat die Mathematik die Kreiszahl als Idee erfunden. Ihr wird gleichfalls wie dem Kreisverhältnis das abstrakte Buchstabensymbol π zugewiesen. Tatsächlich kann es hier aber immer nur eine digitalisierte Größe Kreiszahl πZahl. geben, welche die exakte Größe des Kreisverhältnisses π mit der Darstellungssystematik der Dezimalzahlen immer nur unvollständig abbildet. Deshalb ist es nicht ganz korrekt, wenn folgendes Gleichsetzen vorgenommen wird:
Kreisverhältnis π = Kreiszahl = πZahl.
Zutreffender wäre es hier,
Kreisverhältnis πgenähert = Kreiszahlgenähert πZahl
oder
Kreisverhältnis π = Kreiszahl π∞
zu schreiben.
Zu weiteren Erklärungen zur Problematik "Alles ist Ansichtssache" und konstruierte Grenzprozesse wird auch auf den Disput unter https://www.matheboard.de/archive/596651/thread.html verwiesen.
