Winkeldritteln  mit der Grenzprozess-Methode  von   F i a l k o w s k i

 

Nach  langer erfolgloser Suche, die   vom alten Griechenland bis in die Neuzeit reichte, hat  Nikolaus Fialkowski (Buch: Nikolais Fialkowski  „Theilung des Winkels und des Kreises“, Druck und Verlag von Carl Gerold´s Sohn, Wien 1860,Seite 11).   erstmals  gezeigt,  wie   ein exaktes Winkeldritteln  mit einem klassich konstruiertem Grenzprozess bis zu jeder gewünschten Genauigkeit ausgeführt werden kann.  Mit der  von Fialkowskis vorgestellten klassich konstruierte Grenzprozess-Metkode  kommt die Frage auf, ist der   wantzelschen Beweis zur gefolgerten unmöglich klassisch konstruierbaren  Winkeldreiteilung falsch?  Nein, denn dieser Beweis bezieht sich  nur  auf einem   bestimmten  Prozessablauf, bei dem die Rechnung des Ausziehens einer Kubikwurzel unmöglich  fertig konstruiert und dargestellt werden kann.
 

Das folgende  Bild zeigt die Grenzprozess-Methode des Fialkowski  zum Winkeldritteln, deren Hauptaktionen  endlos fortsetztbare  Halbierungen sind. Hier ist erst nach  gedanklich endlos vielen Schritten das Winkeldrittel   exakt erzeugt  und dargestellt.  

 

Zum Zweck des besseren Nachverfolgens der Schritte-Sequenz  habe ich  die   Halbierungsstrahlen  mit einer zusätzlichen nach aussen strebenden Zichzacklinie verbunden. Diese Zickzacklinie dient nur der Nachverfolgung. Die erst Strecke beginnt mit der laufenden Nummer 1 und endet hier mit 11. Erreicht werden damit bereits  3 wahre Nachkommastellen,  wie es die gemessenen Werte im Bild zeigen

Bei immer späterem Beenden der Halbierungen werden  die Ergebnisdarstellungen vom Drittelwinkel, die Zwischenergebnisse sind,  mit immer geringeren Abstand zum Grenzwert Winkeldrittel erzeugt. Fialkowski hat seiner Methode  die folgende  konvergente  Reihe mit dem Grenzwert 1/3 zugrunde gelegt:

1/3 = 1/2 -1/4 +1/8 -1/16 +1/32- ... 

Fialkowski erkannte, dass seine Methode ein klassich konstruierter  exakter Drittelungsprozess  ist.  Wir nennen ihn   hier klassich konstruierter Grenzprozess für ein Winkeldritteln.  

Wegen der nur schwachen Konvergenz hält Fialkowski er aber nicht viel von seiner Methode. Er schreibt hierzu: 

„Allein diese Construction hat für das praktische Zeichnen gar keinen Wert; erstens weil man zu viele Halbirungen vornehmen muss, und zweitens weil man die nach und nach kleiner und kleiner entstehenden Winkel geometrisch nicht so leicht nach dieser Art halbiren kann, aus welchen Gründen diese Methode beim praktischen Zeichnen nicht anwendbar ist.“

Die  von Fialkowski vorgezeigte Methode und  noch andere weitere, die mit klassisch konstruierten Grenzprozessen über die  von Euklid vorgezeigten Konstruktionen  hinaus gehen, führt zu  folgender Einsicht. Das im 19. Jahrhundert bewiesene  "Unmöglich" trifft  für elementare Konstruktionen zu, wie sie Euklid versteht.     Konstruktionen, die mit klassisch konstruierten  Grenzprozessen über die von Euklid praktizierten  Beschränkungen  hinaus gehen, liegen somit nicht mehr im Gültigkeitsbereich für das  besagte bewiesene "Unmöglich".  Die von Fialkowski vorgezeigte Methode ist mit ihrem  klassich konstruiertem  Grenzprozess ein exakter Erzeugungsprozess für das Winkeldrittel. Fialkowski war der feine Unterschied  zwischen seinem möglichem exaktem Winkeldritteln und dem unmöglichem exaktem Darstellen des Winkeldrittels bewusst, das mit einer endlichen Sequenz von Kreisen und Geraden bzw, mit einer Notation als Dezimalzahl erfolgen soll. 

 

Exaktes Winkeldritteln  mit    F i a l k o w s k i  /  S c h l e i c h e r - Grenzprozess-Methode  

Mein  nächstes Bild macht den Zusammenhang im Erfahrungsraum für das Urberechnen "Dritteln" anschaulich und   sinnfällig nachvollziehbar.  Es geht von obigen  1/3-Reihe aus. Jeweils zwei Reihenglieder zusammen gefasst ergeben:

1/3 = 1/4 +1/16 +1/64 + ...

Für  2/3  gilt dann:

2/3=  1/2 +1/8 + 1/32 + ...

Das Bild ist quasi selbst erklärend.  Mit  zwei  simultan ablaufenden  Grenzprozessen rot und blau wird eine Rechteck-Zeile und dann das  ganze Quadrat  in zwei  Teilflächen rot und blau zerteilt. Die rote Grenzwert-Grösse ist 2/3 und  die grüne  Grenzwert-Grösse ist 1/3.

Wie sich zeigt, sind die  der  exakten Fialkowski-Methode zugrunde gelegten Verknüpfungszusammenhänge  offensicht etwas andere,  als sie P.Wantzel im Jahre 1837  seinem immer wieder zitiertem "Unmöglich-Beweis" für die Winkeldreiteilung zugrunde legte.  Damit erklärt sich nachvollziehbar, warum nicht alle  klassisch konstruierten  exakten Winkeldreiteilungen unmöglich sind.

 Das vorherige Bild und  auch das nächste   leiten   zu einem Beschleunigen des Grenzprozesses  über. Die Beschleunigung bringen hier   einfach  und mehrfach ausgeführtes   Mitteln,  wie es die  Bilder im Einzelnen zeigen

Die gleiche 2/3 und 1/3 Zerteilung wie im Quadrat-Bild links findet auch bei der rechten Kreis-Bildhälfte für einen Winkel von 60° statt. Durch meine hinzugefügte Massnahme zum Beschleunigen der Konvergenz werden bereits nach 8 Halbierungschritten schon  7 wahre Nachkommastellen erzeugt.  Hingegen werden beim originalen Fialkowski-Winkeldritteln mit 11 Halbierungschritten gerade mal 3 wahre Nachkommastellen erzeugt.

Gemessen an den endlos vielen möglichen Schritten, wird nun bereits  nach  nur  8 Schritten des Halbierens  eine erzeugtes Zwischenergebnis vom Drittelwinkel mit  20,0000000° gemessen. Ausgeführt ist diese Urberechnung "Winkeldritteln" mit dem DGS-Programm Geogebra.

Zu  klassisch konstruierten   Grenzprozessen für das Winkeldritteln und zu Massnahmen zum Beschleunigung der Konvergenz  sind bisher keine Forschungen und auch keine Beiträge in  Lehrbüchern bekannt geworden.  

Ein noch genaueres Winkeldritteln

Ausgangspunkt  für den fortgesetzten Rechengang  ist  die zuvor vorgestellte Vorgehensweise mit einer  einfach verbesserten Konvergenz für den  1/3-Grenzprozess. Nun wird auch das Wissen zu den  systematischen Fehlern der erreichten 1/3- und 2/3-Ergebnisdarstellungen, sowie zu den  Symmetriegesetze im Erfahrungsraum hinzu genommen und berücksichtigt.  Als gemessene Grössen stellen sich, wegen   gesetzmässiger Symmetrie, die klassich konstruierten 1/3- und die  2/3 -Ergebnisse mit einem  systematischen Winkelfehler f°  wie folgt dar:

 

(20°-f°)= 19,999955372318773°

und

(40°+f°)= 40,0000446276812°

 

 

Mit dem blauen Kreis wird die Drehung 19,999955....° verdoppelt und ergibt 39,99991074463748°=(40°-2f°). Um zum erwarteten Ergebnis 40° zu gelangen muss nun der Drehungsabschitt von (40°-2f°) bis (40°+f°) noch einmal dreigeteilt werden. 

 

Geschieht dies mit der bekannten Vorgehensweise (Bild, wie es die Vergrösserung im vorherigen Bild zeigt, wird insgesamt schon nach wenigen Schtitten ein Ergebnis erreicht, das mehr als 15  wahre Nachkommastellen "Null" aufweist. Vom PC wird die gemessene, zuvor berechnete  Drehungsgrösse mit 40° angezeigt, was ausführlich dargestell 40,000000000000000° bedeutet. Theoretisch kann mit mehr Rechenaufwand dieses genaue Ergebnis natürlich immer   weiter verbessert werden, da dafür ein vollständiger und exakter Konstruktionsplan (=Rechenplan) bekannt ist.

Diese hier vorgezeigten Rechengänge zum Winkeldritteln (WDT) sind besser zu verstehen, wenn  diese Schritt um Schritt  nachgezeichnet und dabei ihre Sinnfälligkeit nachvollzogen wird.

 

 

 

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