Winkeldritteln ohne euklid´sche Denkblockade zu Grenzprozessen 

Im richtungsweisend geltenden  Grundlagenwerk ELEMENTE von Euklid (ca.330 v.u.Z.) bleiben ganz bewusst klassisch konstruierte  Grenzprozesse für  Berechnungen zum Kreis und zur Rotation   unbetrachtet, obwohl sie schon damals von Antiphon und Bryson  (Beide 5.Jh.v.u.Z.) mit Vielecken mit   immer mehr Ecken angedacht waren.. Dieser historische Sachverhalt und seine Nachwirkungen  wurden     bereits eingangs bei Einführung und Überblick  angesprochen.   Mit der veränderten Sichtweise bei Cohaerentic-Kalkulationen, welche die von Euklid ausgehenden Denkblockade  zu konstruierten Grenzprozessen als unbegründete Einschränkung sieht,  werden nun auch  klassisch  konstruierte  Grenzprozesse  mit  nachvollziehbaren Zusammenhängen für Urberechnungen betrachtet. Meine hier vorgestellten  konvergenten Grenzprozesse für ein exaktes Winkeldritteln und für weitere Urberechnungen  stützen sich auf Erfahrung und Einsichten zu kontinuierlichen Zusammenhängen  im Erfahrungsraum.  Im folgenden Bild  wird zu "Kohärenzen im System   K r e i s"   für das Winkeldritteln  dargestell:

In einem Kreis wird von einem Streckenzug mit vier Strecken ein kleiner Winkel, den eine erste und zweite Radiusstrecke einschliessen, verdreifacht bzw. ein grosser Winkel, den der gesamte Streckenzug einschliesst, gedrittelt, wenn an der zweiten Radiusstrecke eine erste Kreissehne (= 3. Strecke) parallel zur ersten Radiusstrecke und daran eine zweite Kreissehne (= 4. Strecke) parallel zur zweiten Radiusstrecke folgen.
 
 

 

 

Konvergente Grenzprozesse für das Winkeldritteln

Die obigen Bilder zeigen anschaulich nachvollziehbar wie ein aus 4 Strecken erfundener Streckenzug in einem Kreis den Zusammenhang vom einfachen (rot) , doppelten (rot+gelb)  und dreifachen (rot+gelb+grün) Winkel erzeugt. 
Der vorgezeigte systematische Kohärenz-Sachverhalt ermöglich das Erdenken   klassisch nur mit Zirkel und Lineal bzw. Kreisen und Geraden konstruierter Grenzprozesse, die dem besagten Streckenzug mit parallelen Strecken als Grenzzustand zustreben und damit dem exakten Winkeldrittel als Grenzwert.

 

Bei den nachfolgenden Bildern beschreiben die linken  Bilder   das Lösungskriterium für die  vorgezeigte Variante 1 und die  rechten Bilder  das Lösungskriterium für Variante 2. Im zweiten Quadranten hat die  Streckenabstand-Grösse  zwischen Abszissen-  und Ordinaten-Achse die Grösse des Kreisdurchmessers = 2*|MA|.    

 

Diese fundamentale Kohärenz-Wissen ermöglicht exakte Grenzprozesse mit sehr starker Konvergenz, wobei bereits mit wenigen Schritten zu überraschend vollständigen (genauen) Ergebnis-Darstellungen gelangt wird, die vom Prinzip her unbeschränkt weiter vervollständigt werden können. Die folgenden Beispiele Variante 1 und Variante 2 zeigen dies.
 

 

 

Variante 1:

Ausgehend von meiner obigen Zusammenhang-Einsicht zu zwei Paaren paralleler Strecken im Kreis konstruiere ich einen konvergenten Grenzprozess für ein exaktes Winkeldritteln. Beim folgende Bild kann der natürliche   Grenzprozess, der dem erwarteten  Grenzwert / Grenzzustand mit zwei  Paaren paralleler Strecken zustrebt,  anhand der laufenden Nummern an den nacheinander konstruierten Strecken-Objekten nachverfolgt werden. 

 

Berschreibung der Lösungssequenz:

Ohne Nummern sind die Achsen, der  grosse Kreis und die roten Radiusstrecken gezeichnet, die den zu teilenden Winkel darstellen. Der erste Zyklus (quasi die erste Zwischenrechnung), umfasst die Strecken mit Nummern 1 bis 4, der zweite Zyklus die Nummern 5 bis bis 8 usw. Mit jedem gezeichneten Zyklus wird dem exakten Lösungskriterium näher gekommen, das Parallelität der jeweils zwei Streckenpaare heisst. Wie dieser Prozess  abläuft ist schon anschaulich mit dem erste  Zyklus des Berechnens (Strecken 1 bis 4) zu erkennen.  Begonnen wird mit einem beliebig gross gewähltem Drittelwinkel, dessen radialer Strahl 1 den äusseren Kreis schneidet. Zu diesem Strahl 1 wird eine paralle Strecke 2 durch den Kreispunkt des Teilungswinkels gelegt. Diese Paralle schneidet in einem zweiten Schnittpunkt die Kreislinie. Von diesen Schnittpunkt wird zum gegenüber liegenden Schnittpunkt eine Strecke 3 gezogen und ihr Mittelpunkt eingezeichnet. Durch den Schnittpunkt der Strecke 3 mit der Ordinatenachse S(1xY)  wird eine Paralle zur Abszissen-Achse X gelegt, welche links die Kreiskurve  in einem Schnittpunkt kreuzt. Nun wird  der neue Rechenzyklus mit  den Strecken 5; 6; 7 und 8 gezeichnet. Die gezeichneten weiteren Zyklen umfassen  hier die Strecken-Objekte 9 bis 12,    13 bis 16 und 17 bis 19 ohne, dass daran alle Nummern angeschrieben sind. Der nächste vergrösserte Bildausschnitt zeigt, die Mittelpunkte der Strecken 7; 11; 15 und 19 streben systematisch auf einer dem Kreis sehr ähnlichen Kurve einem Grenzpunkt auf der Ordinatenachse zu. Der Drittelwinkel ist erreicht, wenn die zwei besagten Streckenpaare Parallelität erreicht haben.  

Verkürzung der Lösungssequenz:   Das Verbessern der Konvergenz (verkürzen des Grenzprozesses) wird mit einem Kreis K20 erreicht, der durch die letzten drei Mittelpunkte 11, 15 und  19 gelegt wird und die Ordinaten-Achse schneidet. Die in  diesem Schnittpunkt errichtete Senkrechte scheidet den grossen Kreis in dem Punkt, welcher quasi den Zwischenwert Drittelwinkel markiert.  Bei noch unbefriedigender Ergebnisgenauigkeit wird der  exakte Berechnungsprozess nicht abgebrochen, sondern mit den bekannten Aktionen (Schritte-Zyklen)  immer weiter fortgesetzt,  zumindest theoretisch.

 

 

 

Variante 2: 

Auch hier   wird wieder vom besagtem bekannten   Kohärenz-Wissen ausgegangen:

"Im Kreis verdreifacht der bekannte  Streckenzug aus 4 Strecken einen kleinen Winkel, bzw. unterteilt einen grossen Winkel in einen kleinen und dazu doppelt grossen Winkel."

Bis zur ausreichend genauen  Ergebnisgrössen-Darstellung sind nur wenige  der theoreisch endlos viel möglichen Schritte   auszuführen.   

 

Ein vom Kreismittelpunkt ausgehender radialer Strahl g12 schneidet die Kreiskurve k1 in einem   Schnittpunkt S(g12xk1) und markiert so eine Drehung (hier 20°).  Eine zum radialen Strahl (g12) parallel verschobene Gerade (g11) markiert mit ihrem nahen Kreisschnittpunkt (S(k1xg11) die dazu dreifache Drehung S(60°xk1)(60°), wenn der g11-Abstand zwischen ihren   beiden  Schnittpunkten  (S(Yxg11) und S(Xxg11) sind nicht beschriftet.) mit den Achsen von Abszisse X und Ordinate Y die Grösse des Kreisdurchmessers aufweist.

 

 

 

 Berschreibung derobigen  gezeichneten Cohaerentic-Kalkulation:

Zum leichteren Nachverfolgen der nacheinander gezeichneten Objekte sind diese mit laufenden Nummern und Buchstaben versehen. Ohne Nummern sind die Achsen  und die dicken roten  Radiusstrecken  gezeichnet, welche den zu teilenden Winkel 60° markieren. Der Hauptkreis ist mit k1 gekennzeichnet. Vom Kreispunkt S(60°xk1) des dreizuteilenden Winkels 60° wird ein Strecke g2 nach dem frei gewählten Punkt S(OAxg2) gezeichnet (OA= Ordinaten-Achse). Vom Drehpunkt S(OAxg2) wird mit einem Radius von der Duchmessergrösse von k1 ein Kreisbogen k3 gezeichnet, welcher die Abszissen-Aches (AA) in Schnittpunkt S(AAxk3) schneidet. Vom Punkt S(60°xk1) ausgehend wird ein Strahl  g4 durch den Punkt S(AAxk3) gelegt und schneidet dabei die Ordinaten-Achse im Schnittpunkt S(OAxg4). Vom Drehpunkt S(OAxg4) wird mit einem Radius von der Duchmessergrösse von k1 ein Kreisbogen k3 gezeichnet, welcher die Abszissen-Aches (AA) in Schnittpunkt S(AAxk5) und den Strahl g4 im Schnittpunkt S(g4xk5) schneidet. (Ende 1. Zyklus)

Vom Punkt S(60°xk1) ausgehend wird ein Strahl  g6 durch den Punkt S(AAxk5) gelegt und schneidet dabei die Ordinaten-Achse im Schnittpunkt S(OAxg6). Vom Drehpunkt S(OAxg6) wird mit einem Radius von der Duchmessergrösse von k1 ein Kreisbogen k3 gezeichnet, welcher die Abszissen-Aches (AA) in Schnittpunkt S(AAxk7) und den Strahl g6 im Schnittpunkt S(g6xK7) schneidet. (Ende 2. Zyklus)

Vom Punkt S(60°xk1) ausgehend wird ein Strahl  g8 durch den Punkt S(AAxk7) gelegt und schneidet dabei die Ordinaten-Achse im Schnittpunkt S(OAxg8). Vom Drehpunkt S(OAxg8) wird mit einem Radius von der Duchmessergrösse von k1 ein Kreisbogen k9 gezeichnet, welcher die Abszissen-Aches (AA) in Schnittpunkt S(AAxk9) und den Strahl g8 im Schnittpunkt S(g8xk9) schneidet.  (Ende 3. Zyklus)

Wegen der starken Konvergenz dieses Berechnungsprozesses werden hier keine weiteren Zyklen angefügt.  Durch folgende exakt berechnete Punkte S(g4xk5), S(g6k7) und S(g8xk9) wird nun ein Krümmungskreis k10 gelegt, der  als  Kohärenzkurve im Ergebnisbereich  die Abszissen-Achse im Schnittpunkt S(AAxk10) schneidet. Vom Punkt S(60°xk1) ausgehend wird eineGerade  g11 durch den Punkt S(AAxk10) gelegt. Eine dazu Parallele g12 wird duch den Koordinatenursprung M gelegt und der Winkel S(AAxk1),M,S(k1xG12) ausgemessen. 

 Zum Zweck des Nachmessens des berechneten Drittelwinkels wird dieser in der linken unteren Kreishälfte  verdreifacht und ausgemessen. Zum leichteren Vergleich sind die Zahlen vom Ursprungwinkel und dem ausgemessenen verdreifachtem Winkel übereinander geschrieben. 

Video:

Weiteren Betrachtungen zur   Problematik der Winkeldreiteilung und auch der allgemeinen Winkelteilung bzw. Kreisteilung gibt es  im Buch "Cohaerentic".

 

Variante 3

 Siehe eingangs unter Geom. Rechenkohärenzen/ Übersicht und Einführung.

 

 

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