Klassisch  konstruiertes exaktes Winkeldritteln als Grenzprozess

Überblick
Alles ist Ansichtssache!   
Auch wenn es in der Fachliteratur  seit der Antike  keine Überlieferungen zu klassisch konstruierten Grenzprozessen  für das Winkeldritteln oder die Bestimmung der Kreisumfanglänge usw. gibt und von solchen bis heute auch nicht gesprochen wird (siehe auch Wikipedia oder LExika der Mathematik)  sind  sie möglich und berühren  sogar fundamentale  Zusammenhänge. Hier wollen wir solche klassisch konstruierte Grenzprozesse betrachten, die ein exaktes Winkeldritteln ermöglichen.
 
Schwach konvergentes  Grenzprozess-Verfahren (Fialkowski, 1860)
1/3-Reihe-Verfahren mit Halbierungen
 
Stark  konvergentes  Grenzprozess-Verfahren (Fialkowski-Schleicher)
1/3-Reihe-Verfahren mit Halbierungen plus Mittelung
 
Sehr stark  konvergentes  Grenzprozess-Verfahren (Schleicher)
Iterationzyklus umfasst die Objekte   Gerade und Kreis ( g2;k3), (g4;k5) ; (g6;k7)  usw, wobei für die
Kreisradiusgrössen gilt:   rk3=rk5=rk7= ... =2*rk1
 
Die Sequenz der konstruierten Objekte  ist fortlaufend nummeriert, für den i-ten Kreis mit k
und für eine nächstfolgende Gerade mit gi+1. Der jeweilige Schritt ist somit mit i angegeben.    Ein Schnittpunkt zweier Kurvenobjekte kann dann z.B. mit Si=n+3(gi=n;ki=n+3) bezeichnet werden. Insgesamt wird  so die Abfolge der  Schritte bzw, der konstruierten Objekte nachverfolgbar und der Umfang der Schritte vergleichbar.

Den Grenzzustand, den die exakten Grenzprozesse für das Winkeldritteln zustreben, zeigt der   blaue Linienzug im Kreis mit zwei mal zwei parallelen Streckenpaaren. Er beschreibt  eindeutug den fundamentalen 3-er Zusammenhang. Die zwei ähnlichen  grünen Dreiecke im rechten Bild beweisen diesen 3-er Zusammehang nochmal anschaulich nachvollzoehbar. Meine neue Einsicht für dieses exakte Lösungskriterium (Lösungskonstellation) ist die Folgende: Die rote Strecke (linkes Bild), welche die  X- und Y-Achse berührt (zwischenliegt) muss im Prozessverlauf  mit ihrer  Streckengrösse dem doppelten Kreisradius rk1 zustreben und letzlich diesen mit einem gedanklichen Sprung auch erreichen, Dies ist analog dem gedanklichen Sprung,  0,9 ... = 1 und 0,3 ... =1/3,  in der   Mathematik. Bei den  exakten Grenzprozesse zum Winkeldritteln fallen  Grenzwert und Winkeldrittel zusammen.   

Das folgende Bild stellt  den Zusammenhang her, den die obigen   Grenzprozess-Verfahren zum Winkeldritteln zum   Archimedes-Verfahren für das Winkeldritteln haben. Deutlich tritt dabei die  Gesetzmässigkeit hervor, wie ganzzahlig vielfache Winkel auf einander folgend zusammenhängen. Dieses Wissen kann für über drei hinausgehende Winkelteilungen genutzt werden.

 

Mein erstes und auch mein nächstes Bild zeigen   klassich konstruierte  Grenzrozesse zum  exakten  Winkeldritteln.   Dabei wird  unbeschränkt, mit immer mehr ausgeführten bekannten Schritten, dem  gesuchten Grenzwert   Winkeldrittel  immer weiter zugestrebt. 

Das uralte Thema Winkeldritteln ist immer wieder aktuell und interessant, für Profis und auch für Laien. Dieser Sachverhalt zeigt sich bei Wikipedia in der immer weiter anwachsenden Auflistung von genäherten und exakten Versuchen zur Winkeldreiteilung. Und dies trotz der im Jahre 1837 von P. Wantzel erarbeitete Beweiseinsicht „unmöglich bei Beschränkung allein auf Zirkel und Lineal bzw. eine Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten“. Das ursprünglich hierbei gesehene absolute „Unmöglich“ relativiert sich nun immer mehr hin zu einer Ergebnisdarstellung des Winkeldrittels, die mit endlich vielen Schritten nur unvollständig dargestellt werden kann. Die hier seit Alters her immer noch aktuelle Grundsatzfrage ist, ob die Urkurven Kreis und Gerade für solche grundlegenden Berechnungen als Systeme des Zusammenhangs im Erfahrungsraum ausreichen? Schon im Altertum gab es viele Versuche das Winkeldrittel klassisch zu konstruieren. Es blieb ohne Erfolg. Aber mit über Kreis und Gerade hinaus gehenden Kurven gab es exakte Lösungen. Viele höheren Kurven können als Punkte-Kurven klassich konstruiert werden, so dass die endlich kleinen Punktabstände eine endliche Ergebnisgenauigkeit bedingen. 
 
Die klassisch konstruierte Winkeldreiteilung von Albrecht Dürer liefert nur eine beschränkt genäherte Ergebnis-Genauigkeit. Durch mehr betriebenen Lösungsaufwand kann hier die Ergebnis-Genauigkeit nicht weiter verbessert werden. 
Die klassisch konstruierten Winkeldreiteilungen von R. Descartes (17. Jh.) mit einer Parabelkurve und von N. Fialkowski (1860) mit „iterativen Halbierungen“ sind exakte Verfahren des Winkeldrittelns. Sie ermöglichen mit immer mehr investierten Lösungsaufwand die Ergebnis-Genauigkeit immer weiter zu verbessern, und dies gedanklich ohne Ende. 
 
Bei diesem Sachverhalt ist es falsch, wenn  Wikipedia die mitgeteilte Dreiteilung durch „iterative Winkelhalbierungen“ bei den Näherungsverfahren einordnet. Auch falsch ist bei Wikipedia (10.08.2021) die Angabe zur Priorität für dieses Grenzprozess-Verfahren. Eine frühere Veröffentlichung zur Winkeldreiteilung, bei der eine endlose geometrische Reihe zur Erklärungsgrundlage genommen wird, findet sich bei N. Fialkowski in seinem Buch „Theilung des Winkels und des Kreises“, Druck und Verlag von Carl Gerold´s Sohn, Wien 1860, Seite 11. 
Die schwache Konvergenz dieser Fialkowski- Winkeldreiteilung durch Halbierungen kann mit einfachen Maßnahmen des Mittelns mit geringer Aufwanderhöhung zu einer starken Konvergenz gebracht werden. So wird bereits mit einer geringen Anzahl von Schritte-Zyklen, gemessen an den endlos vielen möglichen Schritte-Zyklen, zu einer für alle alltäglichen bis wissenschaftlichen Aufgaben ausreichenden Genauigkeit gelangt. Zu weiteren exakten anschaulichen Winkeldreiteilungen und zu Verbesserungen ihrer Konvergenz wird in meinem Buch „Cohaerentic“, Anschauliche Rechenzusammenhänge ohne und mit Zahlen (ISBN 9783982025216) und auch im Internet bei www.cohaerentic.com berichtet.   Die Punkte-Folgen der Zwischenergebnisse streben dabei unbeschränkt anschaulich nachvollziehbar  einem  Grenzwert zu, beispielsweise einem  für ein  Winkeldrittel oder einem für eine gestreckte  Kreisbogenlänge.  
 

Historisches zum Winkeldritteln  

Die  Zeit des Nachdenkens   zu  nur mit Zirkel und Lineal bzw. Kreisen  und Geraden konstruiertem Winkeldritteln reicht bis in die Antike zurück. Trotz des sehr langen Zeitraums  steht  heute im Lexikon der Mathematik, VEB Bibliographisches Institut Leipzi 1981  auf Seite 596 geschrieben, 

"Nicht jeder Winkel vorgegebener Grösse ist allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar". 

Diese   Aussage zum unmöglichen  klassischen Konstruieren  trifft  immer dann voll zu, wenn klassische Konstruktionen so ausgeführt werden, wie sie Euklid (ca. 330 v.u.Z.) in seinem berühmten Werk ELEMENTE  mit seinen Zeichnungen demonstrierte.  Klassich konstruierte Grenzprozesse sind in den   ELEMENTEN des Euklid und auch im richtungsweisenden Grudlagenwerk von Hilbert (D.Hlbert, Grundlagen der Geometrie , BG. Teubner..... 1962)  nicht zu finden. Die  Tradition des Nichtbetrachtens klassisch konstruierter Grenzprozessen wird bis heute fortgeführt.  Im Jahr 1837  wurde die von vielen Geometern erwartete  "unmöglich"-Erwartung,  durch den französischen Mathematiker P. Wantzel mit einem mathematischen Beweis   konkretisiert. 

Um hier Missverständnissen vorzubeugen, wird hier nochmals  auf den Unterschied zwischen   dynamischen Prozessaktionen zum Winkeldritteln, die vielfach als Grenzprozesse exakte Verfahren sind  und einer quasi statischen  Ergebnisgrössen-Darstellung  des Winkeldrittels hingewiesen, die nach endlich vielen Schritten immer nur unvollständig dargestellt werden kann.

Da  in der Mathematik 0,9 ... = 1 und 0,3 ... =1/3  definiert wird, gilt  in Analogie für die exakten Grenzprozesse zum Winkeldritteln auch Grenzwert = Winkeldrittel.   Unsere hier betrachteten Grenzprozesse zum Winkeldritteln streben  als exakter Prozess dem Grenzwert Winkeldrittel zu.  

Historisch bleiben   Grenzprozesse bei euklidischen Konstruktionen unbetrachtet und ungenutzt

Das euklidiische   klassische Konstruieren steht in der Tradition des Grundlagenwerkes ELEMENTE von Euklid (ca. 330 v.u.Z.). Es  erfährt so nicht nur eine Beschränkung auf Zirkel und Lineal (bzw. Kreis und Gerade), sondern auch auf endliche Prozesse, die als  endliche Kreis-Gerade-Sequenzen ausgeführt werden.  Hier wirkt seit Euklid für klassisch konstruierte endlose Prozesse eine Betrachtungsblockade, die  bis heute andauert. Deshalb sind   in der historischen und der aktuellen Literatur keine Beschreibungen zu solchen klassisch konstruierten Grenzprozessen zu finden.
Für alle drei klassichen Aufgaben der Antike sind mit einem euklidischen klassischen Konstruieren nur beschränkt genäherte Ergebnis-Erzeugungen und   Ergebnis-Darstellungen bekannt geworden. 
  

Klassische Konstruktionen

Das   „euklidische  Ausschliessen"  von konstruierten Grenzprozessen, die für   "Kreisberechnungen"   unerlässlich sind, ist ein willkürlicher Akt. Heute gibt es dafür  keinen einsichtigen Grund. Wir werden deshalb   auch exakte endlose Grenzprozesse betrachten und klassich konstruieren. Dabei streben deren Zwischen-Ergebnis-Punkte  dem gesuchten gedanklichen Ergebnis-Grenzwertpunkt immer weiter zu. Mit immer mehr  Schritten des endlosen, aber durch Wiederholungen vollständig beschriebenen (bekannten) Konstruktionsplanes wird dies immer vollständiger erreicht.   Gesuchte Grenzwerte sind beispielsweise  ein  Winkeldrittel, ein  gerade gestreckter gleichlanger Kreisbogen usw.
Falsch und verwirrend ist es hier, bei den erzeugten Zwischenergebnis-Punkten, deren  Abstand zum wahren Ergebnispunkt mit mehr ausgeführten Schritten unbeschränkt immer weiter abnimmt, von  einem nicht exakten sondern nur genäherten Berechnungsprozess zu sprechen. 
 
Erster in der Literatur gefundener klassisch konstruierter Grenzprozess 
Wie schon angesprochen,  demonstriert   Nikolais Fialkowski !818-!903), in seinem Buch  N. Fialkowski, Theilung des Winkels und des Kreises, Wien,  Verlag von Carl Gerold´Sohn 1860, S.11  erstmals  eine Winkeldreiteilung, die er mit einer  geometrische Reihe erklärt. Fialkowski demonstriert  hier ohne Nutzung einer höheren Kurve  eine exakte klassische Konstrukton für ein exaktes Winkeldritteln. Als Rechenoperation des klassich konstruierten Grenzprozesses dominiert dabei das Halbieren. Die Konvergenz dieses exakten Winkeldrittelns ist schwach. Fialkowski hat deshalb seinem exakten Winkeldritteln durch Halbieren keine grosse praktische Bedeutung zuerkannt. Wir zeigen hier in der Rubrik "1/3-Winkel", wie schon mit wenigen einfachen Mitteln eine deutliche Verbesserung der Konvergenz erreicht werden kann.  
 

Nicht klassische Konstruktionen

Bei den nicht klassischen Konstruktioen werden neben Zirkel und Lineal, bzw, Kreis und Gerade auch   darüber hinaus weitere  Werkzeuge, wie ein Masslineal,   ein Rechtwinkelhaken usw. und auch höhere, über Kreis und Gerade hinausgehende Kurven  erlaubt.  Damit   gibt es dann theoretische viele Möglichkeiten  einen beliebigen Winkel exakt zu dritteln.  Was   bisher unbetrachtet bleibt, ist der Sachverhalt, dass die besagten Werkzeuge  mit einem quasi endlosen Zurechtrücken in die erforderliche exakte Position gebracht werden müssen, was praktisch immer nur genähert erreicht wird. Die so erreichbaren Ergebnis-Darstellungen sind damit auch nur genäherte unvollständige Ergebnis-Darstellungen. Solche, die aber quasi unbeschränkt verbessert werden können.
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