Historische und neuere Grenzprozesse  zum Winkeldritteln  

Überblick
Alles ist Ansichtssache!   
Historische Überlieferungen  für das Winkeldritteln oder die Bestimmung der Kreisumfang- bzw. Kreisbogenlänge usw. mit klassisch konstruierten Grenzprozessen gibt es nicht. Da sie quasi für unmöglich gehalten wurden und werden, wird von solchen   bis heute auch kaum gesprochen (siehe Wikipedia oder auch Lexika der Mathematik). Trotzdem sind sie, wie gezeigt werden kann, möglich und machen    fundamentale  Zusammenhänge der Geometrie verständlich.
Konkret  werden  hier endlose Sequenzen von Kreis- und Geraden-Objekten betrachtet, die  konstruierte Grenzprozesse sind. Mit ihren erzeugten, bis   endlos viel möglich   Folge von  Punkten  streben sie   schrittweise  und unbeschränkt   einem   Grenzpunkt/Grenzwert als exakte Ergebnisgrösse zu.  Diese konstruierten Grenzprozesse weisen eine effiziente Konvergenz auf, Sie   sind auch alltagstauglich ausführbar, was sehr überrascht. Schon mit  einer Sequenz von nur wenigen Schritten,  bzw. wenigen gezeichneten Objekten  von Kreisen und Geraden wird zu praktisch verschwindend kleinen Abweichungen, vom ideal Drittelwinkel gelangt. Der hier angestrebte  Grenzpunkt fällt  mit dem Punkt des Winkeldrittels exakt zusammen.
 
Schwach konvergente  Reihen-Verfahren
(Fialkowski, Nicolaus. Theilung des Winkels und des Kreises Wien, Verlag Gerold´s Sohn 1860, S. 6 ff.)
 
Die moderne Theoriefindung zum Winkeldritteln, die  auf der Grundlage von Reihen aufbaut, startet wohl Fialkowski mit Bezug auf Nikomedes, der ungefähr 100 Jahre nach Euklid (ca. 330 v.u.Z) lebte. Fialkowski schreibt auf Seite 6 seines Buches schreibt Fialkowski zur Reihenentwicklung:
„Wird nämlich der gegebene Winkel in 4 gleiche Theile getheilt, der 4te Theil wieder in 4, der 16te wieder in 4 u.s.w. gleiche Theile getheilt, so hat man:       ...     α (1/4+1/42+1/43+ 1/44 + ... ins ∞ ) = α /3“
Schliesslich leitet er daraus die  1/3-Reihe her, zu der er schreibt
" 1/3=1-1/2+1/4-1/8+1/16- ... u.s.w.;
dies ist nun die Reihe die uns durch Halbierungen auf die Trisection des Winkels führt"
 
Das Bild von Fialkowski ist bei diesem Bild um eine  nach aussen verlaufende Zick-Zack-Linie ergänzt, welche nur die fortfolgenden Halbierungen besser nachverfolgbar macht. Die mit nur 11 Halbierungen erzielte Winkeldrittel-Abweichung ist schon kleiner als 1/1000 Grad.
 
Fialkowski erkennt, " ... die Trisection eines Winkels, die direkt durch Kreis und gerade Linie nicht zu erreichen ist, doch ohne etwas anderes, als diese Hilfsmittel zu gebrauchen, so nahe, wie man will zu kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als die kleinste möglicher Weise angebbare Grösse wird, oder als verschwindend zu betrachten ist."
 
Konvergenz verbessertes 1/3-Reihe-Verfahren (Fialkowski-Schleicher)
Das 1/3-Reihe-Verfahren  wird mit einer konstruierten  Mittelung ergänzt. Sie kann jeweils nach einer ausgeführten Stufe ausgeführt werden. Zweckmässig wird diese Mittelung   bei  der letzten aussen liegenden Teilungsstufe realisiert (rote Strecken im Bild).
 
 
Dieses  Bild  zeigt auch die Konbinaton mehrerer  Möglichkeiten des Mittelns. 
 
 
 
 
Neues, sehr stark  konvergentes  Grenzprozess-Verfahren (Schleicher)
Variante 1:
Ein Iterationzyklus umfasst die Objekte   Gerade und Kreis ( g2;k3), (g4;k5) ; (g6;k7)  usw.  Für die
 Radiusgrössen der Kreisbögen gilt:   rk3=rk5=rk7= ... =2*rk1
 
Die Sequenz der konstruierten Objekte  ist fortlaufend nummeriert, für den i-ten Kreis mit k
und für eine nächstfolgende Gerade mit gi+1. Der jeweilige Schritt ist somit mit i angegeben.    Ein Schnittpunkt zweier Kurvenobjekte kann dann z.B. mit Si=n+3(gi=n;ki=n+3) bezeichnet werden. Insgesamt wird  so die Abfolge der  Schritte bzw, der konstruierten Objekte nachverfolgbar und der Umfang der Schritte vergleichbar.
 
Variante 2:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Betrachtungen zu den Lösungszusammenhängen

Den Grenzzustand, den die exakten Grenzprozesse für das Winkeldritteln zustreben, zeigt der   blaue Linienzug im Kreis mit zwei mal zwei parallelen Streckenpaaren. Er beschreibt  eindeutug den fundamentalen 3-er Zusammenhang. Die zwei ähnlichen  grünen Dreiecke im rechten Bild beweisen diesen 3-er Zusammehang nochmal anschaulich nachvollzoehbar. Meine neue Einsicht für dieses exakte Lösungskriterium (Lösungskonstellation) ist die Folgende: Die rote Strecke (linkes Bild), welche die  X- und Y-Achse berührt (zwischenliegt) muss im Prozessverlauf  mit ihrer  Streckengrösse dem doppelten Kreisradius rk1 zustreben und letzlich diesen mit einem gedanklichen Sprung auch erreichen, Dieser Gedanke  knüpft an die bekannte Sichtweise der Mathematik an,  wonach 0,999... = 1 und 0,3 33... =1/3 gilt.   Bei unseren betrachteten exakten Grenzprozessen zum Winkeldritteln fallen  Grenzpinkt (Grenzwert) und Winkeldrittel-Punkt zusammen.   

Das folgende Bild stellt  den Zusammenhang her, den die obigen   Grenzprozess-Verfahren zum Winkeldritteln zu dem   Archimedes-Verfahren für das konstruierte Winkeldritteln haben. Dabei tritt nachvollziehbar die  Gesetzmässigkeit des auf einander folgend Zusammenhängens hervor. Dieses Wissen kann auch für über drei hinausgehende Winkelteilungen genutzt werden.

 

Mein erstes und auch mein nächstes Bild zeigen   klassich konstruierte  Grenzrozesse zum  exakten  Winkeldritteln.   Dabei wird  unbeschränkt, mit immer mehr ausgeführten bekannten Schritten, dem  gesuchten Grenzwert   Winkeldrittel  immer weiter zugestrebt. 

Das uralte Thema Winkeldritteln ist immer wieder aktuell und interessant, für Profis und auch für Laien. Dieser Sachverhalt zeigt sich bei Wikipedia in der immer weiter anwachsenden Auflistung von genäherten und exakten Versuchen zur Winkeldreiteilung. Und dies trotz der im Jahre 1837 von P. Wantzel erarbeitete Beweiseinsicht „unmöglich bei Beschränkung allein auf Zirkel und Lineal bzw. eine Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten“. Das ursprünglich hierbei gesehene absolute „Unmöglich“ relativiert sich nun immer mehr hin zu einer Ergebnisdarstellung des Winkeldrittels, die mit wenigen   Schritten schon ausreichend genau für das alltägliche und wissenschaftliche Leben dargestellt werden kann. Letzlich aber immer nur unvollständig dargestellt wird.  
Die hier seit Alters her immer noch aktuelle Grundsatzfrage ist, reichen die Urkurven Kreis und Gerade für die   Berechnungen im Erfahrungsraum aus, welche die grundlegenden Systeme des Zusammenhangs betreffen? Schon im Altertum gab es viele Versuche das Winkeldrittel klassisch zu konstruieren. Ansätze zu Lösungen mit konstruierten Grenzprozesse wurden verworfen und igniriert, da sie nicht in der gewachsene Erwartungsbild passten. Mit über Kreis und Gerade hinaus gehenden Kurven gab es bereits exakte Lösungsansätze. Viele höheren Kurven, die früher als nur kinematich erzeugbare Kurven galten,  können als beliebig dichte Punkte-Kurven klassich konstruiert werden. Die immer endlich klein bleibenden  Punktabstände bedingen dann auch eine endlich klein bleibende Ergebnisgenauigkeit. 
 
Die klassisch konstruierten beschränkt genäherten Winkeldreiteilungen, wie die von Albrecht Dürer, liefern nur eine beschränkt genäherte Ergebnis-Genauigkeit. Durch mehr betriebenen Lösungsaufwand können  die Ergebnis-Genauigkeiten nicht weiter verbessert werden. 
Anders ist es bei den  klassisch konstruierten unbeschränkt genäheten Winkeldreiteilungen von R. Descartes (17. Jh.) mit einer Parabelkurve und von N. Fialkowski (1860) mit „iterativen Halbierungen“. Sie sind exakte Verfahren des Winkeldrittelns. Theoretisch  ermöglichen sie mit immer mehr investierten Lösungsaufwand die Ergebnis-Genauigkeit unbeschränkt immer weiter zu verbessern, und dies gedanklich ohne Ende. 
 
Bei diesem Sachverhalt ist es falsch, wenn  Wikipedia die mitgeteilte Dreiteilung durch „iterative Winkelhalbierungen“ bei den Näherungsverfahren einordnet. Auch falsch ist bei Wikipedia (10.08.2021) die Angabe zur Priorität für dieses Grenzprozess-Verfahren. Eine frühere Veröffentlichung zur Winkeldreiteilung, bei der eine endlose geometrische Reihe zur Erklärungsgrundlage genommen wird, findet sich bei N. Fialkowski in seinem Buch „Theilung des Winkels und des Kreises“, Druck und Verlag von Carl Gerold´s Sohn, Wien 1860, Seite 11. 
Die schwache Konvergenz dieser Fialkowski- Winkeldreiteilung durch Halbierungen kann mit einfachen Maßnahmen des Mittelns mit geringer Aufwanderhöhung zu einer starken Konvergenz gebracht werden. So wird bereits mit einer geringen Anzahl von Schritte-Zyklen, gemessen an den endlos vielen möglichen Schritte-Zyklen, zu einer für alle alltäglichen bis wissenschaftlichen Aufgaben ausreichenden Genauigkeit gelangt. Zu weiteren exakten anschaulichen Winkeldreiteilungen und zu Verbesserungen ihrer Konvergenz wird in meinem Buch „Cohaerentic“, Anschauliche Rechenzusammenhänge ohne und mit Zahlen (ISBN 9783982025216) und auch im Internet bei www.cohaerentic.com berichtet.   Die Punkte-Folgen der Zwischenergebnisse streben dabei unbeschränkt anschaulich nachvollziehbar  einem  Grenzwert zu, beispielsweise einem  für ein  Winkeldrittel oder für eine  gestreckte  Kreisbogenlänge.  
 

Historisches zum Winkeldritteln  

Die  Zeit des Nachdenkens   zu  nur mit Zirkel und Lineal bzw. Kreisen  und Geraden konstruiertem Winkeldritteln reicht bis in die Antike zurück. Trotz des sehr langen Zeitraums  steht  heute im Lexikon der Mathematik, VEB Bibliographisches Institut Leipzi 1981  auf Seite 596 geschrieben, 

"Nicht jeder Winkel vorgegebener Grösse ist allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar". 

Diese   Aussage zum unmöglichen  klassischen Konstruieren  trifft  immer dann voll zu, wenn klassische Konstruktionen so ausgeführt werden, wie sie Euklid (ca. 330 v.u.Z.) in seinem berühmten Werk ELEMENTE  mit seinen Zeichnungen demonstrierte.  Klassisch konstruierte Grenzprozesse sind in den   ELEMENTEN des Euklid und auch im richtungsweisenden Grudlagenwerk von Hilbert (D.Hlbert, Grundlagen der Geometrie , BG. Teubner..... 1962)  nicht zu finden. Die  Tradition des Nichtbetrachtens klassisch konstruierter Grenzprozessen wird bis heute fortgeführt.  Im Jahr 1837  wurde das von vielen Geometern erwartete  "unmöglich",  durch den französischen Mathematiker P. Wantzel mit einem mathematischen Beweis   konkretisiert. 

Um hier Missverständnissen vorzubeugen, weisen wir nochmals  auf den Unterschied hin,  zwischen   den dynamischen Prozessaktionen zum exakten Winkeldritteln, die als Grenzprozesse einen Grenzpunkt = Winkeldrittel haben und einer  erwarteten, quasi statischen Ergebnisdarstellung eines Winkeldrittels, das nur als     gedanklich abstrahierter Zustand existiert. 

Unser Intesse gilt   dynamischen Prozessaktionen für ein  exaktes Winkeldritteln. Wir können zeigen, dass diese möglich sind und keine endlos viele Ausführungsschritte für ausreichend genau zutreffende Ergebnisse erfordern, wie vielfach angenommen wird. Für endlos viele notwendige Schritte fehle nicht nur die verfügbare Zeit sondern  auch die materiellen Resourcen.

Verwirrend ist  die folgende zu lesende Aussage, so auch bei Wikipedia:   Prozesse, allein nur mit   Kreis- und Gerade-Objekten konstriert, sind unmöglich.   Wir können hier zeigen, unmöglich sind hier nicht  exakt zutreffende  Grenzprozesse, sondern  nur die suggerierte Erwartung zu einem fertigen Produkt "Winkeldrittel" noch bevor der Erzeugungsprozess  den Zustand der vollständigen Abarbeitung  erreicht hat.

Das was auch heute  noch von Vielen  für mit nur wenigen gezeichneten Kreis- und Gerade-Objekten für unmöglich gehalten wird, ist  fürs "gelebte" Leben möglich. Mit nur endlich vielen  Schritten bzw, konstruierten Kreis- und Gerade-Objekten können beliebig grosse Winkeldrittel mit nur geringen  Abweichungen im subatomaren Grössenbereich   erzeugt werden. 

Die Rechtfertigung, dass wir unsere Winkeldrittelungen mit klassisch konstrueirten Grenzprozessen exakte Verfahren und nicht Näherungsverfahren nennen, stützt sich auf Analogie, zur von der Mathematik heute gelehrten Gleichheit von    0,99 ... = 1 und 0,33 ... =1/3. Die Grenzprozesse zum   Winkeldritteln haben einen Grenzpunkt, der mit dem   Winkeldrittel-Punkt zusammenfällt.  

Historisch bleiben   Grenzprozesse bei euklidischen Konstruktionen unbetrachtet und ungenutzt

Das euklidiische   klassische Konstruieren steht in der Tradition des Grundlagenwerkes ELEMENTE von Euklid (ca. 330 v.u.Z.). Es  erfährt so nicht nur eine Beschränkung auf Zirkel und Lineal (bzw. Kreis und Gerade), sondern auch auf endliche Prozesse, die als  endliche Kreis-Gerade-Sequenzen ausgeführt werden.  Hier wirkt seit Euklid für klassisch konstruierte endlose Prozesse eine Betrachtungsblockade, die  bis heute andauert. Deshalb sind   in der historischen und der aktuellen Literatur keine Beschreibungen zu solchen klassisch konstruierten Grenzprozessen zu finden.
Für alle drei klassichen Aufgaben der Antike sind mit einem euklidischen klassischen Konstruieren nur beschränkt genäherte Ergebnis-Erzeugungen und   Ergebnis-Darstellungen bekannt geworden. 
  

Klassische Konstruktionen

Das   „euklidische  Ausschliessen"  von konstruierten Grenzprozessen, die für   "Kreisberechnungen"   unerlässlich sind, ist ein willkürlicher Akt. Heute gibt es dafür  keinen einsichtigen Grund. Wir werden deshalb   auch exakte endlose Grenzprozesse betrachten und klassich konstruieren. Dabei streben deren Zwischen-Ergebnis-Punkte  dem gesuchten gedanklichen Ergebnis-Grenzwertpunkt immer weiter zu. Mit immer mehr  Schritten des endlosen, aber durch Wiederholungen vollständig beschriebenen (bekannten) Konstruktionsplanes wird dies immer vollständiger erreicht.   Gesuchte Grenzwerte sind beispielsweise  ein  Winkeldrittel, ein  gerade gestreckter gleichlanger Kreisbogen usw.
Falsch und verwirrend ist es hier, bei den erzeugten Zwischenergebnis-Punkten, deren  Abstand zum wahren Ergebnispunkt mit mehr ausgeführten Schritten unbeschränkt immer weiter abnimmt, von  einem nicht exakten sondern nur genäherten Berechnungsprozess zu sprechen. 
 
Erster in der Literatur gefundener klassisch konstruierter Grenzprozess 
Wie schon angesprochen,  demonstriert   Nikolais Fialkowski 1818-!903), in seinem Buch  N. Fialkowski, Theilung des Winkels und des Kreises, Wien,  Verlag von Carl Gerold´Sohn 1860, S.11  erstmals  eine Winkeldreiteilung, die er mit einer  geometrische Reihe erklärt. Fialkowski demonstriert  hier ohne Nutzung einer höheren Kurve  eine exakte klassische Konstrukton für ein exaktes Winkeldritteln. Als Rechenoperation des klassich konstruierten Grenzprozesses dominiert dabei das Halbieren. Die Konvergenz dieses exakten Winkeldrittelns ist schwach. Fialkowski hat deshalb seinem exakten Winkeldritteln durch Halbieren keine grosse praktische Bedeutung zuerkannt. Wir zeigen hier in der Rubrik "1/3-Winkel", wie schon mit wenigen einfachen Mitteln eine deutliche Verbesserung der Konvergenz erreicht werden kann.  
 

Nicht klassische Konstruktionen

Bei den nicht klassischen Konstruktioen werden neben Zirkel und Lineal, bzw, Kreis und Gerade auch   darüber hinaus weitere  Werkzeuge, wie ein Masslineal,   ein Rechtwinkelhaken usw. und auch höhere, über Kreis und Gerade hinausgehende Kurven  erlaubt.  Damit   gibt es dann theoretische viele Möglichkeiten  einen beliebigen Winkel exakt zu dritteln.  Was   bisher unbetrachtet bleibt, ist der Sachverhalt, dass die besagten Werkzeuge  mit einem quasi endlosen Zurechtrücken in die erforderliche exakte Position gebracht werden müssen, was praktisch immer nur genähert erreicht wird. Die so erreichbaren Ergebnis-Darstellungen sind damit auch nur genäherte unvollständige Ergebnis-Darstellungen. Solche, die aber quasi unbeschränkt verbessert werden können.
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