Historisches und neueres Winkeldritteln
Descartes hat seinem berühmten Werk von 1637 " La Geometrie" auch einen Beitrag zum exakten Dreiteilungsprozeß des Winkels mit Hilfe einer Kohärenzkurve quadratische Parabel veröffentlich. Seine geometrischen Konstruktion, zeigt das folgende Bild.
Aus den linken Teilbild mit der Parabel ist zu erkennen, daß ein Kreis eine Parabel vier mal schneidet. Beim rechten Teilbild sind ein zu dreiteilender Winkel ∠PON und die gesuchten Drittelwinkel ∠POT, ∠TOQ und ∠QON zu erkennen. Leider findet sich keiner der Punkte vom rechten Teilbild im linken Teilbild wieder und umgekehrt, was das Verständnis nicht fördert. Aus dem linken Teilbild ist ein Bezug zur Dreiteilung leider nicht direkt zu erkennen. Die durch Descartes etwas unglücklich gewählte Darstellung des konstruierten Lösungsprozesses hat dazu geführt, daß sein erdachter Lösungsprozeß etwas in Vergessenheit geraten ist. Im Internet-Lexikon Wikipedia sind viele Lösungsversuche zur Wnkeldreiteilung gesammelt und ausführlich besprochen. Die Descartes-Lösung ist hier nur kurz erwähnt und sein obiges Bild ist ganz weggelassen. Es bleibt somit unbetrachtet und unerklärt. Die Bedeutung dieses exakten Lösungsprozesses von Descartes ist gegenüber den anderen ausführlicher abgehandelten Lösungsprozessen nicht erkannt.
Die tiefergehnde Berachtung des descartessche Verfahrens führt zur Einsicht, daß es sogar das multifache Winkeldreiteilungssystem im Halbkreis modelliert. Allerdings ist dieser multifache Zusammenhang im Halbkreis von Natur aus mehrfach gegeben und ohne das Vorhandensein der Parabel y=x2 nachvollziehbar. Unser folgendes Bild zeigt diesen Sachverhalt für den Halbkreis und den Viertelkreis. Weitere durch Symmetrie bedingte Dreiteilungen sind hier nicht eingezeichnet.
Konstruiertes Winkeldritteln mit gegebener, schon gezeichneter, quadratischer Parabel
Im originalen descartes´schen Bild im Buch "La Geometrie ", Seite 399, kann ich keinen direkten anschaulich nachvollziebaren Zusammenhang zum Winkeldritteln erkennen. Anders bei unserem nachfolgenden rechten Bild. Die fortfolgend konstruierten Objekte sind hier mit Nummern-Schildern versehen, die ein Nachverfogen der Schritt um Schritt nacheinander konstruierten Objekte möglich machen.
Ein Nummer-Schild "g3" kennzeichnet mit dem Buchstaben g ein Geradenobjekt und mit der Zahl 3 den erzeugenden Konstruktionsschritt. So kennzeichnet k2 mit k ein Kreisobjekt und mit 2 den erzeugenden Konstruktioinsschritt. Das Schild S7.1(k6xp7) kennzeichnet einen mit dem 7.1 Schritt erzeugten Schnittpunkt, indem sich die Objekte k6 und p7 schneiden, was hier mit "x" symbolisiert ist. Das Schild S7.2(k6xp7) kennzeichnet einen mit dem 7.2- Schritt erzeugten Schnittpunkt, indem sich die Objekte k6 und p7 schneiden.
Der zu drittelnde Winkel ist ∠BMS3(k2xg3). Sein Radiusstrahk g3=MS3 schneidet Kreis k2 im Schnittpunkt S(k2xg3 und ist Ausgangspunkt für Gerade g5, die Gerade g4 schneidet und den Schnittpunkt S5(g4xg5) erzeugt, welcher Mittelpunkt für Kreis k6 ist. Der Kreis k6 schneidet die gegebene Parabel p7 drei mal und erzeugt die Schnittpunkte S7.1(k6xp7),S7.2(k6xp7 ) und S7.3(k6xp7). Diese sind Ausgangspunkt für die zur Y-Achse parallelen Strecken g8,g9 und g10, welch den Kreis k3 schneiden. Die Schnittpunkt S8(k2xg8), S9(k2xg9) und S10(k2xg10) drei verschiedene Drittelungswinkel, was im linken Bild verdeutlicht wird,
Konstruiertes Winkeldritteln ohne gegebene, schon gezeichnete, quadratische Parabel
Unser folgendes Bild zeigt, wie das descartes´sche Verfahren zum klassisch konstruierten Verfahren weiterentwickelt wird, so daß allein mit Zirkel und Lineal bzw, konstruierten Kreis- und Gerade-Objekten ausgekommen wird. Die schon gegebene / gezeichnete Parabelkurve p, die hier als gestrichelte blaue Kurve p angedeutet ist, wird jier nicht benötigt.
Die notwendigen exkaten 3 Punkte der Parabel p, durch die ein Parabel-Krümmungskreis k4 im Schnittpunkt-Bereich S(p, k3) konstruiert wird, können jeweils mit einer endlichen Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten konstruiert werden. Gestartet wird die Konstruktion mit einem grob geschätzten Drittelwinkel, indem der mittlere Parabelpunkt E in der Nähre von Kreis k3 platziert wird. Die beiden anderen Parabelpunkte F und G werden quasi symmetrisch rechts und links nebem Punkt E platziert, wobei sie einmal im Kreis k3 und einmal ausserhalb von kreis k3 liegen sollen. Die klassiche Konstruktion von Punkten einer quadratischen Parabel beschreiben wir hier nicht mehr, da dies an anderer Stelle bei den Cohaerentic-Betrachtungen schon mehrfach erfolgte.
Beim nächsten Bild wird ein zweiter konstruierter Berechnungszyklus (blau) mit dem Ergebniswinkel ais dem 1. Zyklus (rot) gestartet. Nun werden statt 14 Stellen an Ergebnisgenauigkeit alle vollen 15 Stellen erreicht und offenbar deutlich mehr. Wieviele kann hier nicht erkannt werden, da die Rechengenauigkeit der verwendeten Computers mit 15 Nachkommastellen dies nicht leistet.
Halbierungs- Winkedreiteilen (WDT) nach Fialkowski (1818-1902)
Nicolaus Fialkowski, ein österreichischer Mathematiker, hat in seinem Buch, Nikolaus Fialkowski, "Theilung des Winkels und des Kreises", Wien Verlag Gerolds Sohn 1860, S. 11; 12 als erster eine exakte Winkeldreiteilung durch fortgesetzt gezeinete Halbierungen veröffentlicht.
Fialkowski nennt seine Winkeldreiteilen durch Halbieren eine Näherung und bleibt damit "quasi in der amtlichen" Begrffswelt der Mathematik, obwohl es hier um einen exakten Grenzprozeß geht, dessen aktuelle Zwischenergebnisse unbeschränkt dem Grenzpunkt = exakten Winkeldritelpunkt zustreben. die Mathematik spricht hier wegen der nicht ausgeführten endlos vielen Schritte von einer nur genäherten Berechnung. Hingegen hat Fialkowski klar erkannt, dass sein Winkelteilen doch ein gezeichnetes exaktes Berechnen ist, bei dem unbeschränkt die Ergebnisgenauigkeit eröht werden kann. Er schreibt hierzu:
"Mann kann durch fortgetztes Halbiren der Trisection des Winkels so nah, wie man will, kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als jede angebbare Grösse wird".
Leider trägt Fialkowski selbst zu einem schnelles Vergessen seiner erfundenen exakten Winkeldreilung bei. Er schreibt dazu:
"Allein diese Construktion hat für das praktische Zeichnen gar keinen Werth; erstens weil man die nach und nach kleiner und kleiner entstehenden Winkel geometrisch nicht so leicht nach dieser Art halbiren kann, aus welchen Gründen diese Methode beim praktischen Zeichnen nicht anwendbar ist."
Fialkowski weist hier auf eine schwache Konvergenz hin, bei der eine brauchbare vom wahren Ergebnis nicht mehr weit entfernte Zwischenergebnis-Darstellung, erst nach sehr vielen Prozeßschritten errreicht wird. Warum hat er sich hier nicht die Frage gestellt, kann durch geeignete Maßnahmen von einer nur schwachen zu einer starken Konvergenz gelangt werden, um die Anzahl der erforderlichen Schritt drastisch zu vermindern?
Paradoxe Situation
In den drei klassischen Aufgaben der Antike, die Dreiteiung des Winkels, die flächengleiche Umwandlung der Kreisfläche in ein Quadrat und das Verdoppeln des Würfelvolumens finden sich grundsätzliche Zusammenhänge für klassisch konstruierte exakte Berechungsprozesse:
Eine sehr fundamentale Aufgabe ist dabei das folgende konstruierte Berechnen:
"Ein gezeichnetes beliebig gegebenes Drehungen-Verhältnis in ein gleichgrosses Strecken-Verhältnis überzuführen und umgekehrt."
Die dazu passende Situation finden wir in der Praxis mit dem Rad und der Frage nach der Größe seines Abrollweges, wenn sich diese eimal dreht? Ähnlich ist es mit der Größe der Seillänge, die von einer drehenden Seiltrommel abgerollt.
Eine paradoxe Situation ist, daß es für keine beliebig gegebenen Ausdehnungsgröße eine exakt abbildende Kommazahl mit nur endlich vielen Nachkommastellen gibt. Paradox ist hierzu, daß seit der Antike trotzdem nach solchen diskreten Ergebniszahlen und nur endlich viel zu konstruierenden Kreis-/Gerade-Objekten.gestrebt wird. Verwirrend wird es dabei mit dem Gleichsetzen von Kreisverhältnis π = Kreiszahl oder und auch, wenn das Ergebnis Winkeldrittelgröße mit endlich vielen Schritten bzw. nur endlich vielen konstruierten Urobjekten Kreis / Gerade (quasi als Zahlgröße) dargestellt werden soll.
Unser Ausmessen des Kreisunfangs und unser arithmetischs oder konstruiertes Berechnen des Kreisverhältnisses münden in klassisch konstruierten endlosen Grenzprozessen.
Winkeldreiteilen mit Ellipse
Den Grenzzustand, den die exakten Grenzprozesse für das Winkeldritteln zustreben, zeigt der blaue Linienzug im Kreis mit zwei mal zwei parallelen Streckenpaaren. Er beschreibt eindeutug den fundamentalen 3-er Zusammenhang. Die zwei ähnlichen grünen Dreiecke im rechten Bild beweisen diesen 3-er Zusammehang nochmal anschaulich nachvollzoehbar. Meine neue Einsicht für dieses exakte Lösungskriterium (Lösungskonstellation) ist die Folgende: Die rote Strecke (linkes Bild), welche die X- und Y-Achse berührt (zwischenliegt) muss im Prozessverlauf mit ihrer Streckengrösse dem doppelten Kreisradius rk1 zustreben und letzlich diesen mit einem gedanklichen Sprung auch erreichen, Dieser Gedanke knüpft an die bekannte Sichtweise der Mathematik an, wonach 0,999... = 1 und 0,3 33... =1/3 gilt. Bei unseren betrachteten exakten Grenzprozessen zum Winkeldritteln fallen Grenzpunkt (Grenzwert) und Winkeldrittel-Punkt zusammen.
Das folgende Bild stellt den Zusammenhang her, den die obigen Grenzprozess-Verfahren zum Winkeldritteln zu dem Archimedes-Verfahren für das konstruierte Winkeldritteln haben. Dabei tritt nachvollziehbar die Gesetzmässigkeit des seriellen Zusammenhängens hervor. Dieses Wissen kann auch für Winkelteilungen genutzt werden, die über die Zahl 3 hinaus gehen.
Variante 2:
Bewertungen des historischen und neueren Winkeldrittelns
Die Beschäftigung mit dem Winkeldritteln, wobei nur Zirkel und Lineal bzw. die Kurven Kreisen und Geraden erlaubt sind, reicht bis in die Antike zurück. Trotz des sehr langen Zeitraums steht heute im Lexikon der Mathematik, VEB Bibliographisches Institut Leipzi 1981 auf Seite 596 geschrieben,
"Nicht jeder Winkel vorgegebener Grösse ist allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar".
Heite ist bekannt, diese Aussage zum unmöglichen klassischen Konstruieren trifft immer nur dann voll zu, wenn klassische Konstruktionen so ausgeführt werden, wie sie Euklid (ca. 330 v.u.Z.) in seinem berühmten Werk ELEMENTE mit seinen Zeichnungen demonstrierte. Klassisch konstruierte Grenzprozesse sind in den ELEMENTEN des Euklid und auch im richtungsweisenden Grudlagenwerk von Hilbert (D.Hlbert, Grundlagen der Geometrie , BG. Teubner..... 1962) nicht zu finden. Die Tradition des Nichtbetrachtens klassisch konstruierter Grenzprozessen setzt sich bis heute fort. Im Jahr 1837 wurde das von vielen Geometern erwartete bewiesene "unmöglich" durch den französischen Mathematiker P. Wantzel (1818-1847) mit einem algebraischen Beweis vorgezeigt und daraus gefolgert, daß es keinen exakten nur mit einer Sequenz der Kurven-Objekte von Kreis und Gerade dargestellten Lösungszusammenhang geben könne. Fortan konnten nun alle Lösungsversuche zum Winkeldritteln, ohne sie im einzelnen prüfen zu müssen, als falsch zurückgewiesen werden. Auch die, deren exaktes Ergebnis als gedanklich abstrahierter Zustand existiert, wie bei dem fialkowskischen Winkeldritteln mit endlos vielen Halbierungen. Eine Ausnahme wird hier allerdings bei den sogenannten nichtklassichen Winkeldrittelungsverfahren gemacht, wie den hinzugenommenen Werkzeugen, wiedem dem Neusis-Lineal von Archimedes (287-212 v.u.Z.). Aus dem Internet-Lexikon Wikipedia bei "Dreitelung des Winkels" / "Nichtklassische Verfahren" kann entnommen werden, daß das die nichtklassichen Lösungsverfahren als exakt akzeptiert werden, da es hierzu klassich konstruierte logisch nachvollziehbare Kohärenz-Modell gibt. Für die Winkeldrittel-Grenprozesse fällt die Bewertung anders aus. Es bleibt bei falsch, denn für die endlos vielen notwendige Schritte fehle die verfügbare Zeit, und auch die materiellen Resourcen.
Wir können hier zeigen, für die Winkeldrittel-Grenzprozesse gibt es klassich konstruierte Kohärenz-Modelle, anhand derer eine exakte Ergebnisgröße als Grenzpunkt anschaulich logisch nachvollzogen werden kann, genau so wie bei den sogenannten nichtkllassichen Winkeldrittelverfahren.
Die Rechtfertigung, dass wir unsere Grenzprozeß-Winkeldrittelungen exakte Verfahren und nicht Näherungsverfahren nennen, stützt sich auch auf Analogie, zur von der Mathematik heute gelehrten Gleichheit von 0,99 ... = 1 und 0,33 ... =1/3. Die Grenzprozesse zum Winkeldritteln haben einen Grenzpunkt, der mit dem Winkeldrittel-Punkt exakt zusammen fällt, was mit klassischen Konstruktion gezeigt wird.
Historisch bleiben klassisch konstruierte Grenzprozesse unbetrachtet und ungenutzt.
Klassische Konstruktionen
Nicht klassische Konstruktionen
Konstruierte Grenzprozeß-Folgen
Das folgende Bild zeigt eine klassisch Konstruktion zum Dritteln eines Rechtecks bzw. einer Strecke. Hier wird vom bekannte Vorgehen mit dem Strahlensatz abgewichen.
Einmal wird eine elementar konstruierte Dreiteilungsberechnung ausgeführt und zugleich auch ein konstruiertes Berechnen mit einem endlosen Grenzprozeß. Dieser strebt einem Ergebnis als Grenzrechteck bzw. Grenzpunkt zu. Mit einem hierzu analogen Prozeßvorgehen, wie oben schon gezeigt wurde, gelingt auch für Kreisbögen bzw. Winkel ein klassisch konstruierter Drittelungsprozeß, vorausgesetzt der Radius ist viel größer als die Bogenlänge.
Geometrische Konstruktion als Berechnungsplan:
Die real ausgeführte Konstruktion zum exakten Grenzprozesse ist zugleich Kostruktionsplan und beschreibt alle Schritteaktionen vollständig bis ins Endlose, was erst durch die Nutzung von sich wiederholenden Schrittezyklen möglich wird. Ein immer vollständiger ausgeführtem Grenzprozeß vervollständigt das konstruierte Kohärenzmodell und erhöhrt mit weiteren Zeilen nach unten die Genauigkeit der abhängigen Darstellung des Ergebnisses Drittel immer weiter. Dieses Fortsetzen ist, zumindest theoretisch endlos möglich.
Von Alters her gibt es zu den konstruierten Grenzprozessen Irritationen und Denkblockaden. Sie resultieren aus unterschiedliche Sichtweisen zur Erzeugung und Darstellung des Ergebnisses. Schon sehr früh gab es im alten Griechenland erste Lösungsversuche für die klassisch zu konstruierenden drei Aufgaben, dem Winkeldreiteilen, der flächengleichen Umwandlung der Kreisfläche in eine Quadratfläche (Quadratur) und dem Doppeln des Würfelinhalts. Besonders zu nennen sind hier Antiphon und Bryson (5Jh.v.u.Z.), sowie Hippias von Elis und Dinostratos (5/4.Jh.v.u.Z.). Diesen alten Griechen war offenbar vom Grundsätzlichen her klar, dass bei der Kreisquadratur die gesuchte gleichgrosse Quadratfläche aus den zerkleinerten Kreissegmenten zusammengetzt werden muss. Bei realer Ausführung wird die Multi-Teilung und nachfolgende Multi-Summation immer vorzeitig abgebrochen. Trotz des exakten Lösungsvorgehens führt der nur unvollständig ausgeführte Lösungsprozess zu einer nur unvollstängigen Grössen-Darstellung der neu zusammengesetzten Quaratfläche. Anders als bei bekannten beschränkten Näherungen, wie der oft zitierte Näherung für das Kreisverhältnis π von Kochanski (1684). Bei einer unbeschränkten Näherung kann mit immer mehr ausgeführten Schritten des exakten Grenzprozesses, die alle in einem Konstruktionsplan vorgeben sind, zu immer vollständigeren Ergebnisdarstellungen gelangt werden, der ohne Ende fortgesetzt werden kann.
Der berühmte Geometer Euklid (ca 330 v.u.Z.) knüpft in seinem richtungsweisendes Grundlagenwerk ELEMENTE nicht an das seit Antiphon (5.Jh.v.u.Z.) bekannte Wissen zu Zusammenhängen des Berechnens der Kreisfläche an. Euklid betrachtet nur statische Zusammenhangsysteme, wie die Konstruktion eines Mittelpunktes oder eines Rechtecks usw. Seine klassich konstruierten exakten Ergebnisse sind nach endlich vielen zusammenhängend gezeichneten Kreis und Gerade- Objekten endgültig fertiggestellt. Euklid betrachtet keine konstruierten Grenzprozesse und so bleiben solche in der Geometrie bis heute weitgehend unbetrachtet. Für Euklid waren nur mit endlich vielen Schritten konstruierte Sequenzen zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objekte exakte Berechnungen. Das euklidische Vorgehen setzt sich bis heute fort. Mit den ELEMENTEN begründet Euklid eine bis heute anhaltende Denkblockade zu klassisch konstruierten Grenzprozessen. Im historischen Entwicklungszeitraum verlief die Entwicklung zu Grenzprozessen nur im Zusammenhang mit Zahlen (unendliche Reihen / Multisummen und unendliche Multiprodukte). und beginnt beginnt in der Neuzeit mit Vieta (1550-1603), der für das Kreisverhältnis π einen endlosen Berechnungsprozess als unendliches Produkt angab:
Klassisch konstruierte exakte Grenzprozesse bleiben so bis heute weitgehend unbetrachtet und ungenutzt. Weil es für diesen bremsenden Sachverhalt keine überzeugende Begründung gibt, werden wir im Rahmen der Cohaerentic-Kalkulationen nun auch klassisch konstruierte exakte Grenzprozesse, die einem exakten Grenzwert / Grenzzustand zustreben, betrachten und nutzen.
Was soll mit Urberechnugen erreicht werden?
Durch das methodische Erweitern des Berechnens um klassisch konstruierte Grenzprozeß-Folgen, die als Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten konstruiert werden, wird das Phänomen des "elementaren Berechnens" der Raumkohärenzen verständlicher.
Maßnahmen zur Verbesserung der Effizienz konstruierter Grenzprozesse
Bei den Cohaerentic- Berechnungen werden die klassischen Konstruktionen zum Berechnen nicht nur als eine mit endlich vielen Schritten konstruierbare Strecke bzw. Zahl erwartet, sondern nun auch als konvergente endlose Folge konstruierter Punkte, die einem Grenzpunkt zustreben, der das erwarteten Ergebnispunkt ist. Das folgendes Bild zeigt eine solche Grenzprozeß-Konstruktion für ein Abrollen des Halbkreises. Mit einem durch die letzten drei Folgepunkte konstruierte Fortsetzungskurve "Kreis duch 3 Punkte" wird der Lösungsprozeß verkürzt. Besagter Kreisbogen verläuft hier von der rechten unteren Bildecke durch die besagten letzten 3 Punkte zur linken oberen Bildecke.
Mit dem sehr kontinuierlichen kreisähnlichem Verlauf der Punktekurve ist es nahegegelgt, die Punktefoge dieses konstruierten Grenzprozesses mit einer Fortsetzungskurve "Kreis" weiter zu führen und damit den Prozeßablauf zu verkürzen. Diese Fortsetzungskurve wird hier als Kreiskurve durch die letzten drei konstruierten Folgepunkte konstruiert. Auf diese Weise sind schon mit wenigen zusätzlichen Schritten, gemessen an den endlos vielen möglichen Schritten, stark reduzierte Ergebnisabweichungen erreicht, siehe Bild. Es ist der kontinuierliche natürliche Raumzusammenhang der die Verkürzung des Grenzprozesses ermöglicht. Mit dem Erhöhen der Eckenanzahl des Vielecks wird die Kreisfläche bzw, die Kreisumfanglänge immer vollständiger berechnet. Hier wird hier mit den Abrollprozessen des regulärem 4-Eck, des 6-Ecks und des 8-Ecks zur Fortsetzungskurve "Kreis" gelangt. Es überrascht, wie umfassend der natürliche kontinuierliche Raumzusammenhang bereits mit dieser geringen Eckenanzahl zutage tritt. Ein endloses Fortsetzen des Konstruierens (Berechnens) kann hier schnell zur sinnlosen Aktion werden, da die dann die erreichte höhere Ergebnisgenauigkeit der Ergebnis-Darstellung keinen Sinn mehr hat.
Unterschiede zwischen einer beschränkten und einer unbeschränkten klassischen Konstruktion
Die Unterschiede zwischen einer beschränkten e u k l i d i s c h e n Konstruktion und einer darüber hinaus gehenden unbeschränkten klassischen Konstruktion wird anhand des folgenden Bildes erklärt.
Ohne das im linken Bild eingezeichnete Kurvenstück Hyperbel ist dieses Bild eine klassisch euklidische Konstruktion. Sie ist mit enlich vielen Schritten erzeugt. Die Lösungsweg-Beschränkung auf endlich viele zusammenhängende Kreis- und Gerade-Objekte und das Weglassen elementar konstruierter Grenzprozesse mit endlos erzeugbarer Punkte-Folge ist hier voll erfüllt. Diese Beschränkung wurde im antiken Griechenland neben der Beschränkung auf Kreis- und Gerad-Objekte praktiziert. Dieser Sachverhalt wurde nicht besonders hervor gehoben. Mit der eingezeichneten Hyperbelkurve werdem meine vorgezeigtes Bilder zu einer erweiterten klassischen Konstruktion. Mein bildliches Kohärenzsystem "Rechteck-Kreis" ist Erzeugungsplan (Algorithmus) für das klassische Konstruieren beliebig vieler Punkte der Hyperbelkurve. Eine durchgezogene Hyperbel-Spurkurve entsteht so aber nicht. Sie ist quasi erst das gedankliche Ergebnis nach endlos vielen konstruierten Hyperbelpunkten. Diese liegen dann endlos dicht benachbart und erreichen damit dann den Grenzzustand " zusammenhängende Punktefolge = Spurkurve"..
Unser gezeigtes bildliches Kohärenzsystem lässt die systematische Zusammenhänge zwischen Hyperbelkurve und Rechteck erkennen. Das gelbe Rechteck mit konstanter Flächengrösse hängt hier durch seine verschiedenen Gestaltausprägungen systematisch mit Kurvenpunkten der Hyperbel und des Kreises zusammen. Beide Kurven sind somit miteinander verwandte Kurven. Jedem Punkt einer Kurven ist hier jeweils eindeutig ein Punkt der anderen Kurve zugeordnet und umgekehrt. Dieser gezeichnete Kohärenz-Sachverhalt wird in der Abstraktion mit den bekannten grundsätzlichen Rechenoperationen von Multiplikation/Division beschrieben. Unter den Überschriften "Duplikate" und "Binärlogarithmen" wird später ein noch effizienteres Beschreiben dieser systematischen Zusammenhänge aufgezeigt.
Insgesamt wird mit den gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen der Frage nachgegangen, ob letztlich alle klassich konstruierten Rechenzusammehängen der Rechenoperationen auf diese Weise erklärt werden können? Schon die Kurven von Kreis und Gerade (Bescränkung auf Zirkel und Lineal ), die wir Urkurven nennen, modellieren bildhaft fundamentale Raum- und Rechenzusammenhänge. Es wird erkannt, die höheren Rechenzusammenhänge bauen allein auf die niederen auf. So können auchfür viele höhere Kurven die Punkte mit gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen exakt konstruiert und darstellt werden. Interessante höhere Kurven sind sind hier quadratische und kubische Parabeln, Hyperbel- und Potenzkurven, sowie auch weitere krumme Kohärenzkurven, die spezielle Zusammenhänge modellieren.
Heutiger Wissenstand zu elementaren Konstruktionen
Schon die einfach verständlichen drei klassischen Aufgaben der Antike, Winkeldreiteilung, Kreisflächenberechnung (Quadratur des Kreises) und Würfeldoppelung, sind unlösbar. Das erwartete Ergebnis kann unmöglich vollständig konstruiert werden. Die Aussage, warum es unmöglich ist, stützen sich auf im 19. Jahrhundert geführte berühmter mathematischer Beweise. Für die Winkeldreiteilung und die Würfeldoppelung stehe keine elementar konstruiert berechnetes Ausziehen einer dritten Wurzel zur Verfügung. Für die Kreisfläche fehle es an einem elementar konstruiertem exakten Berechnen des Kreisverhältnisses π = Kreisumfang /Durchmesser. Diebeim Beweis zur π-Transzendenz von Lindemann zugrunde gelegte Eulersche Identität eiπ+1=0 könne in keinen klassisch konstruierten Rechenzusammenhang übergeführt werden. Immer wieder, auch bei Wikipedia, kann man lesen, für diese klassischen Aufgaben gebe es durchaus einfache exakte Lösungen, wenn die folgenden euklidischen Beschränkungen für den Lösungsweg, auch geometrische Prinzipien genannt, nicht erfüllt, nicht eingehalten werden:
a) - keine weiteren Werkzeuge und Hilfsmittel neben Zirkel und Lineal
b) - keine schon gezeichneten Kurven verwenden, die über Kreis und Gerade hinaus gehen.
c) - konstruierte Grenzprozesse bleiben unbetrachtet, da sie nicht erwartet werden.
Nachvollziehbare ernsthafte Erklärungen, warum diese Beschränkungen eingehalten werden sollen, sind nicht überliefert. Führen die Beschränkungen zu Vorteilen oder nur zum Wohlgefallen der Götter? Als Motivation bleibt noch der sportliche Aspekt, wie beim Errichten von Hürden, was eine Laufstrecke schwieriger und damit interessanter macht. In der Fachliteratur und heute auch bei Wikipedia im Internet sind Beispiele für exakte Lösungsberechnungen zu finden, bei denen die Beschränkungen a) und b) nicht eingehalten werden. Dabei wird mit den Werkzeugen Archimedes-Lineal mit Strich, Bieberbach-Rechwinkelhaken, Tomahawk usw. gearbeitet. Ein bislang unbetrachtetes Problem ist, diese hinzu genommenen weiteren Werkzeuge, Kurven und Hilfsmittel sind in idealer räumlicher Anordnung zu nutzten. Sie müssen mit immer kleineren, letztlich endlos kleinen und damit endlos vielen Schritten erzeugt und letztlich zurecht gerückt werden. Dies hat zur Folge, wenn solche zusätzliche Hilfsmittel genutzt werden, wird die mit Beschränkung c) verbundene "Endlichkeitsforderung" niemals vollständig erfüllt.
Für die Beschränkungen a) bis c) ist lange Zeit kein exaktes Lösungsberechnen gesucht und gefunden worden. Hinderungsgrund war wohl auch die Vorstellung, daß niemand hat die Zeit hat, endlos viele Schritte auszuführen.
Historisches zu Grenzprozessen
Antiphon (5. Jh. v.u.Z.)
Der Ursprung des Gedankens zu Grenzprozessen findet sich bei Antiphon (5. Jh.v.u.Z.). Mit immer kleineren Dreieckflächen will er den Kreis immer vollständiger ausfüllen. Mit unseren heute gebräuchlichen Begriffen gilt: Wächst die Zahl der kleinen Dreiecke ins Endlose, dann wächst deren Multi-Summe gegen den Grenzwert der Kreisfläche. Über eine von Antiphon durchgeführte praktische Ausführung seiner Berechnungsidee ist nichts überliefert. Später wird sein fundamentaler Lösungsansatz immer wieder aufgegriffen und weiterentwickelt. Dies findetr statt, obwohl dem Antiphon mangelndes Wissen und auch Trugschlüsse zu seinem fundamentalem Berechnungsvorschlag unterstellt wurden und werden. Bryson hat dem Innen-Vieleck seines Zeitgenossen Antiphon das Aussen-Vieleck hinzugefügt, wodurch die wahre Kreisfläche zwischen beiden Vielecken eingeschlossen war.
Hippokrates (um 440 v.Z.) Neusis-Kostruktion zum Winkeldritteln
Pappos von Alexandria (4. Jhd.) Neusis-Kostruktion zum Winkeldritteln
Archimedes (285-212 v.u.Z.) Neusis-Kostruktion zum Winkeldritteln
Kreisberechnug: Archimedes ist der Erste, der auf der Grundlage der Ideen von Antiphon und Bryson eine praktische Berechnung mit einem regulären einbeschriebenem und umbeschriebenem 96-Eck ausführt. Er weiss, wie auch Antiphon und Bryson, es muss theoretisch eigentlich bis zu endlos vielen Ecken forgesetzt gerechnet werden. Dies ist in der Realität nicht möglich, so daß immer nur ein Zwischenergebnis und eine unvollständig Ergebnis-Darstellung, beispielsweise mit nur 5 wahren Nachkommastellen, zustande kommt. Ohne Nutzung der Zahlen wird hier zu keinem Ergebnis gelangt. Das Archimedes-Ergebnis ist somit keine klassich konstruierte Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten.
Neusis-Kostruktion zum Winkeldritteln: Archimedes ist auch der Erste, der auf der Grundlage der Ideen von Hippokrates (5.Jh. v.u.Z.) eine praktische Berechnung des Winkeldrittels angeht. Anhand eines Lineals mit einer Abstansmarkierung erklärt er, bei welcher Konstellation des Linealanlegens das Winkeldrittel erreicht ist. Bei abstrakter Betrachtung dieses Vorgehens läuft es immer auf eine herbeiprobierte Lösung hinaus. Wird die erreichte Anlegesituation immer so lange "gezoomt", bis eine noch vorhanden Abweichung erkannt wird, muss auch immer noch ein Nachrücken des Masslineals erfolgen. Dieses Vorgehen hat vom Prinzip her kein Ende. Archimedes weiss sehr wohl, dass er einen quasi endlos fortzusetzenden Prozess des Berechnens vorzeitig abbricht.
Pappos von Alexandria (3. Jhd.) Neusis-Kostruktion zum Winkeldritteln
Viete (1540 - 1603) Neusis-Kostruktion zum Winkeldritteln
Viete hat seine Neusis-Konstruktion unabhängig zum dem Wissen aus der Antike gefunden. da zu seiner Zeit das Wissen zu Neusis-Konstruktionen aus der Antike in Europa nocht nicht zur Verfügung stand.
Descartes (1596-1650)) Parabel-Konstrktion zum Winkeldritteln
Descartes hat seinem berühmten Werk von 1637 " la Geometrie" auch einen Beitrag zum exakten Dreiteilungsprozeß des Winkels mit Hilfe einer Kohärenzkurve quadratische Parabel veröffentlich. Seiene geometrischen Konstruktion, zeigt das folgende Bild.
Aus den linken Teilbild mit der Parabel ist zu erkennen, daß ein Kreis eine Parabel vier mal schneidet. Beim rechten Teilbild sind ein zu dreiteilender Winkel ∠PON und die gesuchten Drittelwinkel ∠POT, ∠TOQ und ∠QON zu erkennen. Leider findet sich keiner der Punkte vom rechten Teilbild im linken Teilbild wieder und umgekehrt, was das Verständnis nicht fördert. Aus dem linken Teilbild ist ein Bezug zur Dreiteilung leider nicht direkt zu erkennen. Die durch Descartes etwas unglücklich gewählte Darstellung des konstruierten Lösungsprozesses hat dazu geführt, daß sein erdachter Lösungsprozeß etwas in Vergessenheit geraten ist. Im Internet-Lexikon Wikipedia sind viele Lösungsversuche zur Wnkeldreiteilung gesammelt und ausführlich besprochen. Die Descartes-Lösung ist hier nur kurz erwähnt und sein obiges Bild ist ganz weggelassen. Es bleibt somit unbetrachtet und unerklärt. Die Bedeutung dieses exakten Lösungsprozesses von Descartes ist gegenüber den anderen ausführlicher abgehandelten Lösungsprozessen nicht erkannt. Wir werden ein ausführlicheres Betrachten der systematischen Winkel-Dreier-Kohärenz im Kreis werden wir Später im Kapitel "Enträtseltes Winkeldreiteilen" werden wir die Parabel-Winkeldreiteiung noch ausführlich darlegen.
Fialkowski(1818-1902)
Nicolaus Fialkowski, ein österreichischer Mathematiker, hat in seinem Buch, Nikolaus Fialkowski, "Theilung des Winkels und des Kreises", Wien Verlag Gerolds Sohn 1860, S. 11; 12 als erster eine exakte Winkeldreiteilung durch gezeichnete fortgesetzte Halbierungen veröffentlicht, die oben schon dargelegt wurde.
Fialkowski nennt seine Winkeldreiteilen durch Halbieren eine Näherung und genügt damit der quasi amtlichen Mathematik, die wegen der nicht ausgeführten endlos vielen Schritte nur von genäherten Berechnungen spricht. Andererseits hat Fialkowski aber erkannt, dass sein Winkelteilen doch ein gezeichnetes exaktes unbeschränktes Berechnen ist. Er schreibt hierzu:
"Mann kann durch fortgetztes Halbiren der Trisection des Winkels so nah, wie man will, kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als jede angebbare Grösse wird".
Fialkowski trägt sogar selbst zu einem schnelles Vergessen seiner erfundenen exakten Winkeldreilung bei, denn er schreibt:
"Allein diese Construktion hat für das praktische Zeichnen gar keinen Werth; erstens weil man die nach und nach kleiner und kleiner entstehenden Winkel geometrisch nicht so leicht nach dieser Art halbiren kann, aus welchen Gründen diese Methode beim praktischen Zeichnen nicht anwendbar ist."
Fialkowski weist hier auf eine schwache Konvergenz hin, bei der eine brauchbare vom wahren Ergebnis nicht mehr weit entfernte Zwischenergebnis-Darstellung, erst nach sehr vielen Prozeßschritten errreicht wird. Hier stellt sich die Frage, wie wird von einer schwachen zu einer starken Konvergenz gelangt, um die Anzahl der erorderlichen Schritt zu vermindern?
Fialkowski verfolgt wie die klassich konstruierten Cohaerentic-Kalkulationen das Ziel, die drei klassischen Uraufgaben und auch weitere mit elementaren Konstruktionsprozessen exakt zu berechnen. Mit den Grenzprozeß verkürzenden Maßmahmen wird ohne Probieren und mit weniger gezeichneten Objekten dem Grenzpunkt nahe nahe gekommen. Dabei wird sehr bald das Ausführen weiterer Schritte zur sinnlosen Aktion, da infolge starker Konvergenz die erreichte hohe Genauigkeit unnötig Resourcen verbraucht und und auch nicht mehr gebraucht wird.
Paradoxe Situation bei fundamentalen Uraufgaben:
In den drei klassischen Aufgaben der Antike, die Dreiteiung des Winkels, die flächengleiche Umwandlung der Kreisfläche in ein Quadrat und das Verdoppeln des Würfelvolumens finden sich grundsätzliche Zusammenhänge für klassisch konstruierte exakte Berechungsprozesse:
Eine sehr fundamentale Aufgabe ist dabei das folgende konstruierte Berechnen:
"Ein gezeichnetes beliebig gegebenes Drehungen-Verhältnis in ein gleichgrosses Strecken-Verhältnis überzuführen und umgekehrt."
Die dazu passende Situation finden wir in der Praxis mit dem Rad und der Frage nach der Größe seines Abrollweges, wenn sich diese eimal dreht? Ähnlich ist es mit der Größe der Seillänge, die von einer drehenden Seiltrommel abgerollt.
Eine paradoxe Situation ist, daß es für keine beliebig gegebenen Ausdehnungsgröße eine exakt abbildende Kommazahl mit nur endlich vielen Nachkommastellen gibt. Paradox ist hierzu, daß seit der Antike trotzdem nach solchen diskreten Ergebniszahlen und nur endlich viel zu konstruierenden Kreis-/Gerade-Objekten.gestrebt wird. Verwirrend wird es dabei mit dem Gleichsetzen von Kreisverhältnis π = Kreiszahl oder und auch, wenn das Ergebnis Winkeldrittelgröße mit endlich vielen Schritten bzw. nur endlich vielen konstruierten Urobjekten Kreis / Gerade (quasi als Zahlgröße) dargestellt werden soll.
Unser Ausmessen des Kreisunfangs und unser arithmetischs oder konstruiertes Berechnen des Kreisverhältnisses münden in klassisch konstruirten endlosen Grenzprozessen.
Arithmetik
Die Arithmetik ist die "Rechenkunst" mit Zahlen als Rechengrössen. Die Algebra ist die "Rechenkunst" mit Buchstaben als Platzhalter in Gleichungen, wie beispielsweise bei 3x+7=2 oder c2=a2+b2 beim Satz des Pythagoras. Für Cohaerentic-Kalkulationen schauen wir als Wissensquelle nicht auf Arithmetik und Algebra, sondern auf die elementare Geometrie. Dabei wird zur Systematik im Erfahrungsraum geforscht. Es interessiert, wie räumlich ausgedehnte Objekte miteinander zusammenhängen, beispielsweise die Kreisflächengrösse mit der Kreisradiusgrösse. Dargestellt wird das gesammelte Wissen dann in abstrakten Sätzen zu bildlichen Kohärenzmodellen wie im Satz des Thales, im Satz des Pythagoras, im Höhen- und Kathetensatz des Euklid usw. Im 15.Jahrhundert mündet dies Betrachten in abstrakteren symbolischen Darstellungsformen, insbesondere in Kegelschnitt-Gleichungen. Das Wissensgebiet dazu wird heute mit "Analytische Geometrie" bezeichnet. Die direkte anschauliche Erfahrung wird seitdem immer weniger in Anspruch genommen. Anders wird nun bei den klassisch konstruierten Cohaerentic-Kalkulationen vorgegangen. Es findet eine Rückbesinnung auf die Wissensquelle Erfahrungsraum statt.
Der Bergriff Cohaerentic ist ein erfundenes Kunstwort, das Bezug auf das lateinische "cohaerentia = Zusammehang" nimmt. Wir bezeichnen damit ein Wissensgebiet zum klassich konstruierten "Kalkulieren" mit natürlichen Rechengrössen. Diese werden mit zusammenhängenden Kurvenstücken von Kreis und Gerade (Beschränkung auf Zirkel und Lineal) gezeichnet. Hierbei sprechen wir von einem Urberechnen, dessen Grundlagen die Wissensquellen klassisch konstruierte Kohärenzsysteme sind. Die Kenntnis von Arithmetik und Algebra sind dabei nicht notwendig.
Unterschied von euklidischer Konstruktion und klassisch konstruierten Berechnungen
Unterschied a)
Klassich konstruierte Berechnungen und elementare Konstruktionen werden beide mit den Urkurven Kreis und Gerade gezeichnet. Bei elementaren Konstruktionen sind nur endlich viele Schritte bzw. gezeichnete Objekte bzw. Grundrechenoperationen zugelassen. Hingegen sind bei konstruierten Berechnungen auch Berechnungsprozesse für Grenzwerte mit Zyklen-Wiederholungen zugelassen, was theoretisch endlos fortsetztbar ist. Auf diese Weise kann jede gewünschte Ergebnis-Genauigkeit herbei konstruiert werden.
Historischer Abriss:
Schon sehr früh bringt der griechische Sophist Antiphon (5.Jh.v.u.Z.) das Problem des Berechnens mit endlos vielen Berechnungsschritten ins Spiel, um für die Kreisfläche zu einer reproduzierbar berechneten Grenzwert-Darstellung zu gelangen. Er schlug vor, die Kreisfläche mit immer mehr kleinen Dreiecken immer vollständiger auszufüllen, was einer Kreisannäherung mit einem regulären Vieleck mit immer mehr Ecken gleichkommt. Theoretisch kann hier die Eckenanzahl ohne Ende erhöht werden. Diese Idee stösst aber bis heute auf ablehnende Interpretationen. Antiphon erliege dem Trugschlüss, seine vorgeschlagene Vorgehensweise führe für das reguläre Endlos-Vieleck zur wahren Grösse der Kreisfläche. Tatsächlich werde aber nie zur exakten Kreisflächengrösse gelangt.
Seitdem wird für elementare Konstruktionen die wohl esoterisch und religiös motivierte Erwartung vererbt, dass gezeichnete Berechnungsprozesse nur dann exakte Berechnungen sind, wenn sie mit endlich vielen Schritten eine diskrete, endgültige Ergebnisdarstellung erzeugen.
Da heute die einst esoterisch und religös motivierten Ausschlussgründe für endlos fortsetzbare Berechnungsprozesse nicht mehr überzeugen, lassen wir sie sie bei den elementar gezeichneten Cohaerentic - Kalkulationen weg. Nun sind auch theoretisch endlose Prozesse zugelassen, was neue Quellen für wichtiges Wissen zum Berechnen zugänglich macht.
Unterschied b)
Bei Cohaerentic-Kalkulationen soll zusätzlich für den gesamten Rechengang das Kriterium für ein anschaulich sinnfällig nachvollziehbares Zutreffen erfüllt sein. Dafür muss aus den gezeichneten bildlichen Sequenzen der zusammenhängend gezeichneten Kreis- und Gerade-Objekte das erwartete Ergebnis immer zweifelsfrei nachvollziehbar gefolgert werden können. Zweifel am exakten Zutreffen des Ergebnisses werden so ausgeschlossen. Dieses Kriterium wurde im historischen Zeitraum nicht und wird auch heute nicht betrachtet. So kommt es, dass die Ergebnisse einer elementaren Konstruktion oft überraschen, wie bei einem Zaubertrick. Die Frage, warum funktioniert es, bleibt dann offen? Die von Dinostratos (ca. 450.v.u.Z.) und Kochanski (1683) vorgezeigten elementaren Konstruktionen für ein gezeichnetes genähertes Kreisverhältnis π = Kreisumfamg /Kreisdurchmesser sind Beispiele für die besagte Überraschung. Durch mehr investierten Rechenaufwand, beispielsweise beim Ausziehen von Wurzeln, werden hier die mit elementarer Konstruktion erzeugten Näherungen (Approximationen) nicht verbessert. Sie sind beschränkte Näherungen.
Anschauliches Beispiel eines konstruierten Berechnen für die Unterschiede a) und b)
Die folgende elementar gezeichnete Kalkulation betrifft den Höhensatz des Euklid, zu dem einst Euklid von Alexandria (ca. 330 v.u.Z.) in seinem berühmten Grundlagenwerk ELEMENTE schon im Buch II eine elementare Konstruktion und einen zum Richtigsein geführten Beweis veröffentlichte. Die hier vorgezeigte Cohaerentic Kalkulation ist ein anschauliches Beispiel für den Unterschied zur euklidischen klassischen Konstruktion samt der euklidischen Beweisführung zum Richtigsein.
Die Cohaerentic- Kalkulation geht hier mit dem grossen Rechteck KJLC und der Symmetrie-Diagonale KL über die von Euklid zu seiner Satzaussage gezeichnete elementare Konstruktion mit den Punkten E; B; C; D; G; F und H hinaus und macht damit den oben angesprochenen Unterschied b) zur elementaren Konstruktion anschaulich.
Mit der hier im Bild erfahrbar gemachten Flächengleichheit von rotem Rechteck und rotem Quadrat wird die Kernaussage des Höhensatzes sehr anschaulich und ohne zusätzliche Hilfsbetrachtungen nachvollziehbar. Dabei spielt die gestrichelte Diagonale KL als Symmetrielinie die entscheidende Rolle, um die Richtigkeit der Flächengleicheit von rotem Rechteck und rotem Quadrat zweifelsfrei erkennen zu können. In der elementaren Konstruktion des Euklid und allen später hierzu in der Fachliteratur veröffentlichten elementaren Konstruktionen fehlt das Rechteck KJLC mit der Symmetrie-Diagonale KL. Später wird unter der Rubrik "Uraufganen/Kreis/Kreis-Objekte/... zur Problematik Höhensatz des Euklid noch mehr ausgeführt werden und auch noch zur Kreisquadratur, zur allgemeinen Kreisteilung in beliebige ganzzahlig viele Sektoren (Tortensstücke) und zu weiteren Urzusammenhängen.
Beispiel für ein quasi endlose Cohaerentic-Kalkulation (Unterschied a))
Auch bei diesem Beispiel kann aus dem vorgezeigten Rechengang das gezeichnet berechnete Ergebnis zweifelsfrei gefolgert werden. Es ist die gestreckte Länge des Kreisumfangs. Diese Art des Berechnen nennen wir ein Urberechnen zu einer fundamentalen Uraufgabe. Konkret wird hier ein natürlich konvergierender Berechnungsprozess (Rechengang) für den Krümmungs-Grenzwert des betrachteten Kreisbogens vorgezeigt. Mit dem Erreichen dieses Grenzwertes wird die gestreckte Kreisumfanglinie zur Strecke.
Bildbeschreibung zur Rektifikation
Es sind immer mehr neue Kreisbogen bei unveränderter (konstanter) Länge und halbierter Krümmung gezeichnet berechnet und dargestellt. Gedanklich kann dieser endlose Prozess immer weiter fortgesetzt werden. Real wird jedoch immer nach endlich vielen Schritten abgebrochen, sobald das Endekriteruim praktisch erfüllt ist und keine Bogenkrümmung mehr erkannt werden kann. Später wird noch demonstriert werden, wie durch besondere Massnahmen die Konvergenz dieses gezeichneten Grenzprozesses deutlich verbessert werden kann. Schon nach wenigen Schritten wird dann eine befriedigend genaue Ergebnis-Darstellung erreicht.
Lesenden werden hier fragen, welchen Schaden gibt es, was an Verständnis zum Berechnen geht verloren, wenn der geforderte Ausschluss endloser Berechnungsprozesse nicht befolgt wird? Ich behaupte, es geht nichts verloren, im Gegenteil, es werden viele gezeichnete exakte Berechnungen so erst möglich und damit auch ein Mehr an zweifelsfreiem Verstehen zum Berechnen. Für Cohaerentic-Kalkulationen sind deshalb alle elementar zeichenbaren Berechnungsprozesse zugelassen, deren gezeichneten Rechengänge bis zum letzten Schritt anschaulich sinnfällig Nachvollzogen werden können.
Endlose Multisummen
Auch das nächste Bildbeispiel unterstützt den Zugang zum Wissensgebiet der Cohaerentic- Kalkulationen. Vorgezeigt wird ein bildliches Kohärenzsystem zu Grenzwerten, die endlose Multisummen sind. Die Aufgabe des Berechnens lautet hier: Ein Summe-Quadrat soll erzeugt werden aus zwei Grenzwerten endloser Multisummen aus Rechtecken und Quadraten.
Bildbeschreibung zu Multisummen aus Grenzprozessen
Die Lösungszeichnung zeigt eine bestimmte Ordnung beim Platzierens der Rechtecke und Quadrate. Die Rechteckflächen sind die Summe zweier kleineren gleichgrossen Quadrate. Insgesamt weist das grosse Quadrat eine unsymmetrische ungleiche, aber dennoch systematische Aufteilung auf. Dieses Wissen zur ungleichen Aufteilung werden wir später für ein anschaulich sinnfällg gezeichnetes exaktes Berechnen der Winkeldreiteilung nutzen, das heute als unmögliche Aktion einer elementaren Konstruktion gelehrt wird. Das später unter der Überschrift "Winkeldreiteilung" vorgezeigte, mit einer Cohaerentic-Kalkulation erzeugte Winkeldrittel- Ergebnis ist dabei nicht überraschend herbei gezaubert und auch nicht durch probierendes Annähern erzeugt. Es wird stringent, Schritt um Schritt exakt herbei gerechnet und zwar anschaulich sinnfällig nachvollziehbar.
Lernende können anhand gezeichneterursprünglicher Cohaerentic-Kalkulationen, noch ohne Zahlen, das Phänomen und Wesen des an Schritte gebundenen "Berechnens" entdecken, und besser verstehen. Dabei helfen konkrete natürliche Objekte, die sich mit alltäglicher Erfahrung decken, wie Grenzlinien ohne Breite und natürliche Rechengrössen wie Drehung (Winkel), räumlicher Abstand, Fläche usw. Auch die Urrechenoperationen Doppeln und Halbieren mit beliebigen Duplikatoren spielen hierbei eine dominierende Rolle. Mit dem elementaren Vorgehen zeigt sich, exakte Rechenprozesse gibt es nicht nur mit Zahlen, sondern primär mit realen Rechengrössen in natürlichen bildlichen Kohärenzsystemen. Höhere Rechenarten werden dabei auf niedere, die Grundrechenarten und auf quadratische, mit Kreis und Gerade zeichenbare Rechenzusammenhänge rückgeführt.
Grenzwert, Stetigkeit und Konvergenz
Mit Cohaerentic-Kalkulationen kommen für die mathematischen Begriffe "Grenzwert, Stetigkeit und Konvergenz", neue Bezüge hinzu, insbesondere solche mit natürlichen Sachverhalten. So wird entdeckt: Fundamentale Konstanten sind zuerst Ergebnisse gedanklicher und dann gezeichneter Grenzwert-Prozesse im natürlichen Erfahrungsraum und dann erst Zahl-Abbild für einen gezeichnet berechneten Grenzwert. Der gezeichnete Grenzwert "Kreisverhältnis π = Kreisumfang / Durchmesser" ist somit zutreffender und damit fundamentaler als sein numerisches Abbild die Kreiszahl πZahl.
Worauf ist für die Grundlagen des Berechnens zuerst zu schauen? Sind es Zahlen als Rechengrössen oder sind es die mit den Urkurven Kreis und Gerade gezeichneten geometrisch ausgeprägten Rechengrössen in elementar gezeichneten Kohärenzssystemen? Welche der beiden angesprochenen Arten des Berechnens ist ursprünglicher und mit seiner Kohärenzgrundlage besser verständlich?
Der Sachverhalt, dass mit Cohaerentic Kalkulationen die fundamentale Konstante π als natürlicher Grenzwert entdeckt werden konnte, spricht für Folgendes: Für die Einsichten zu den Grundlagen des Berechnens ist den nur mit Kreis und Gerade gezeichneten Berechnungen ein Vorrang gegenüber solchen mit Zahlen einzuräumen, für die es keine direkten Bezüge zum Erfahrungsraum gibt.
Verbesserte Effizienz
Für die Cohaerentic-Kalkulationen werden Massnahmen angestrebt und erfunden, welche die gezeichneten konvergenten endlosen Rechengänge auf einen real ausführbaren Umfang an Schritten abkürzen. Es soll mit weniger Schritten zu einem für alle Anforderungen der Praxis ausreichend genau dargestelltem Ergebnis gelangt werden. Damit werden Uraufgaben auf elementarer, anschaulich verständlicher Ebene exakt und zugleich effizient berechenbar. Solche erfundene, den Umfang an Schritten verkürzende Massnahmen wurden schon für die Kreisfläche, den Kreisumfang, die Winkelteilung, die Winkelerzeugung, das Duplizieren mit beliebigen Duplikatoren und auch für Potenzkurven gefunden.
Wenn die Cohaerentic- Kalkulationendie Eigenschaft "konvergent" aufweisen, streben sie mit wachsendem Sequenzumfang (Anzahl der Schritte) stringent und ohne probierende Schritte immer mehr einem gedanklichen Ergebnispunkt zu, beispielsweise auch einem Punkt für ein gesuchtes Winkeldrittel. Der Abstand eines solchen Punktes zu einem ursprünglich gegebenem Punkt (Nullpunkt) ist dann Grenzwert oder Limes für eine endlose Sequenz. Nicht betrachtet werden hier gezeichnete divergente Berechnungsprozesse.
Insgesamt leisten die elementar gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen mit ihren "anschaulich verständlichen Rechengängen" etwas, was viele ebenfalls nur mit Kreis und Gerade (Beschränkung auf Zirkel und stirchloses Lineal) gezeichnete elementaren Konstruktionen nicht leisten. Dieses fehlende "Etwas" gibt es schon bei den elementaren Konstruktionen im berühmten Grundlagenwerk des Geometers Euklid (ca 330 v.u.Z.), so auch zum Höhen und Katheten-Satz, ubd den Satz des Pythagoras usw. Dazu werden später noch ausführliche Betrachtungen geführt.
