Klassisch  konstruiertes exaktes Winkeldritteln als Grenzprozess

Alles ist Ansichtssache!   
Bei klassisch, mit Kreisen und Geraden, konstruierten Cohaerentic Kalkulationen  werden mit einer veränderten Sichtweise auch klassich konstruierte Grenzprozesse betrachtet und genutzt. Auch solche, die  unbeschränkt zum exakten Ergebnis konvergieren und  eine unbeschränkt verbesserbare Näherungsdarstellung  erlauben.   Die  Verknüpfungsoperationen  der konstruierten Kalkulation streben hier mit immer mehr investiertem Konstrkuktionsschritten zu immer vollständig dargestellten Ergebnisgrössen.  Die Punkte-Folge der Zwischenergebnisse strebt dabei nachvollziehbar  unbeschränkt  einem  Grenzwert zu, beispielsweise einem  für ein  Winkeldrittel oder einem für eine gestreckte  Kreisbogenlänge.  
 

Historisches zum Winkeldritteln  

Die  Zeit des Nachdenkens   zu  nur mit Zirkel und Lineal bzw. Kreisen  und Geraden konstruiertem Winkeldritteln reicht bis in die Antike zurück. Ein beliebiger Winkel soll allein durch klassisches Konstruieren   in drei gleichgrosse Teile zerteilt werden. Trotz des sehr langen Zeitraums  steht  heute im Lexikon der Mathematik, VEB Bibliographisches Institut Leipzi 1981  auf Seite 596 geschrieben, 

"Nicht jeder Winkel vorgegebener Grösse ist allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar". 

Diese   Aussage zum unmöglichen  klassischen Konstruieren  trifft  immer dann voll zu, wenn klassische Konstruktionen so ausgeführt werden, wie sie Euklid (ca. 330 v.u.Z.) in seinem berühmten Werk ELEMENTE  mit seinen Zeichnungen demonstrierte.  Klassich konstruierte Grenzprozesse sind in den   ELEMENTEN des Euklid und auch im richtungsweisenden Grudlagenwerk von Hilbert (D.Hlbert, Grundlagen der Geometrie , BG. Teubner..... )  nicht zu finden. Die  Tradition des Weglassens  von klassischen Konstruktionen zu Grenzprozessen wird bis heute fortgeführt.  Im Jahr 1837  wurde die von vielen Geometern erwartete  "unmöglich"-Hypothese, ein exakter Prozess des  Winkeldrittelns könne unmöglich klassisch konstruiert und dargestellt werden,  durch den französischen Mathematiker P. Wantzel mit einem mathematischen Beweis   konkretisiert und bestätigt. 

Um hier Missverständnissen vorzubeugen, sei hier nochmals klar auf den Unterschied zwischen dem exakten Aktions-Prozess Winkeldritteln undder nur unvollständig darstellbarem Ergebnisgrösse  Winkeldrittel hingewiesen. Exaktes Winkeldritteln bezeichnet einen dynamischen Prozess, der Zwischenergebnisse erzeugt, die einem Grenzwert Winkeldrittel zustreben.   Das exakte Winkeldrittel   ist als   gedankliche  Abstraktion der  statische Ergebniszustand  "Grenzwert", dem zugestrebt wird.

Worauf trifft das wantzelsche Beweisergebnis "unmöglich" konkret zu?  Es trifft offensichtlich zu, wenn für  ein exaktes  Winkeldritteln von einer algebraischen Gleichung   ausgegangen wird,  wie sie Wantzel   als Zusammenhang-Grundlage für seinen  berühmten "unmöglich-Beweis"  voraussetzt.

Mit klassich konstruierten Grenzrozessen für   exakte  Winkeldrittelungen  wird  unbeschränkt mit immer mehr ausgeführten bekannten Schritten dem  gesuchten Grenzwert   Winkeldrittel  immer weiter zugestrebt. 

Historisch bleiben   Grenzprozesse bei euklidischen Konstruktionen unbetrachtet und ungenutzt

Das euklidiische   klassische Konstruieren steht in der Tradition des Grundlagenwerkes ELEMENTE von Euklid (ca. 330 v.u.Z.). Es  erfährt so nicht nur eine Beschränkung auf Zirkel und Lineal (bzw. Kreis und Gerade), sondern auch auf endliche Prozesse, die als  endliche Kreis-Gerade-Sequenzen ausgeführt werden.  Hier wirkt seit Euklid für endlose Prozesse eine Art  von Denkblockade, die  bis heute andauert. Deshalb sind   in der historischen und der aktuellen Literatur keine Beschreibungen zu solchen klassisch konstruierten Grenzprozessen zu finden.
Für alle drei klassichen Aufgaben der Antike sind mit einem euklidischen klassischen Konstruieren nur beschränkt genäherte Ergebnis-Erzeugungen und   Ergebnis-Darstellungen bekannt geworden. 
  

Klassische Konstruktionen

Das   „euklidische  Ausschliessen"  von konstruierten Grenzprozessen, die für   "Kreisberechnungen"   unerlässlich sind, ist ein willkürlicher Akt. Heute gibt es dafür  keinen einsichtigen Grund. Wir werden deshalb   auch exakte endlose Grenzprozesse betrachten und klassich konstruieren. Dabei streben deren Zwischen-Ergebnis-Punkte  dem gesuchten gedanklichen Ergebnis-Grenzwertpunkt immer weiter zu. Mit immer mehr  Schritten des endlosen, aber durch Wiederholungen vollständig beschriebenen (bekannten) Konstruktionsplanes wird dies immer vollständiger erreicht.   Gesuchte Grenzwerte sind beispielsweise  ein  Winkeldrittel, ein  gerade gestreckter gleichlanger Kreisbogen usw.
Falsch und verwirrend ist es hier, bei den erzeugten Zwischenergebnis-Punkten, deren  Abstand zum wahren Ergebnispunkt mit mehr ausgeführten Schritten unbeschränkt immer weiter abnimmt, von  einem nicht exakten sondern nur genäherten Berechnungsprozess zu sprechen. 
Erster in der Literatur gefundener klassisch konstruierter Grenzprozess 
Ein  erster klassisch konstruierter Grenzprozess  für ein exaktes  Winkeldritteln ist im Buch von  Nikolais Fialkowski !818-!903), N. Fialkowski, Theilung des Winkels und des Kreises, Wien,  Verlag von Carl Gerold´Sohn 1860,  zu finden. Fialkowski demonstriert  als Erster  eine exakte klassische Konstrukton für ein exaktes Winkeldritteln. Als Rechenoperation des klassich konstruierten Grenzprozesses dominiert dabei das Halbieren. Die Konvergenz dieses exakten Winkeldrittelns ist schwach. Fialkowski hat deshalb seinem exakten Winkeldritteln durch Halbieren keine grosse praktische Bedeutung zuerkannt. Wir zeigen hier in der Rubrik "1/3-Winkel", wie schon mit wenigen einfachen Mitteln eine deutliche Verbesserung der Konvergenz erreicht werden kann.  
 

Nicht klassische Konstruktionen

Bei den nicht klassischen Konstruktioen werden neben Zirkel und Lineal, bzw, Kreis und Gerade auch   darüber hinaus weitere  Werkzeuge, wie ein Masslineal,   ein Rechtwinkelhaken usw. und auch höhere, über Kreis und Gerade hinausgehende Kurven  erlaubt.  Damit   gibt es dann theoretische viele Möglichkeiten  einen beliebigen Winkel exakt zu dritteln.  Was dabei aber bisher unbetrachtet bleibt, ist der Sachverhalt, die besagten Werkzeuge müssen mit einem quasi endlosen Zurechtrücken in die erforderliche exakte Position gebracht werden, was praktisch nur genähert erreicht wird. Die erreichbaren Ergebnisse und ihre Darstellung sind damit auch nur genäherte unvollständige Ergebnis-Darstellungen, die quasi unbeschränkt verbessert werden können.
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