Kann Winkeldreiteilen  klassisch konstruiert werden? 

Nach mathematischen Beweisen von Gauss vom Ende des  18. Jahrhundert wird ein allgemeines klassisch konstruiertes   Winkelteilen als unmöglich ausführbar gelehrt. Durch ein klassisches Konstruieren sei es unmöglich  das  erforderliche  Ausziehen der erforderlichen   Wurzeln   auszuführen.  Den ersten konkreten Beweis für die Winkeldreiteilung veröffentlichte der französische Mathematiker Pierre Wantzel in Jahr 1837. Einen verkürzten Beweis hierzu hat D.Laugwitz  im Jahr 1962  für einen Beispiel-Winkel von 60°, veröffentlicht. 

In der Fachliteratur und auch bei Wikipedia werden  jedoch verschiedene   konstruierte  exakte Winkeldreiteilungen   vorgestellt, bei denen  die klassischen Beschränkungen aus der Antike  auf  Zirkel und Lineal bzw. nur auf Kreis und Gerade verletzt werden.  Dies geschieht durch die Hinznahme weiterer Werkzeuge und  höherer schon gegebener Kurven.    Bekannte  Beispiele für unzulässige   Werkzeuge sind  das Archimedes-Lineal mit Strichen,  das Tomahawk, der Bieberbach-Rechtwinkelhaken usw. Unzulässige  höhere   Kurven sind die Trisectrix des Hippias (5.Jh.v.u.Z.), die quadratische und kubische Parabel,  die Hyperbel und weitere.   Im Jahre 1932 schreibt L.Bieberbach  im Journal für die reine und angewandte Mathematik  in seinem Beitrag " Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen"   

Bekanntlich kann ... jede kubische Konstruktion auf die Dreiteilung des Winkels und auf die Vervielfachung des Würfels, d. h. die Ausziehung der dritten Wurzel zurückgeführt werden. Ich brauche also nur zu zeigen, wie diese beiden klassischen Aufgaben mittels des Rechtwinkelhakens gelöst werden können.

Den Beweis zur exakten Dreiteilung des Winkels mittels Rechtwinkelhaken führt Bieberbach dann auch aus. Mit den Hinzunahmen gibt es allerdings ein Problem, auf das bisher  kaum aufmerksam gemacht wird.   Die hinzu genommenen Werkzeuge und Kurven müssen in idealer Platzierung und mit idealem Kurvenverlauf eingesetzt werden, was nur theoretische gelingt. In der praktischen Ausführung wird die Platzierung mit immer kleinerem Zurechtrück-Schritten ausgeführt,  um die  ideale Platzierung zu erreichen, was vom Pronzip  nie vollständig   erreicht wird.  Die Prozess-Aktion mit den  Rücke-Schritten, die immer kleiner werden, ist quasi endlos fortzusetzen. Da dieser Prozess jedoch immer abgebrochen wird, bleibt  auch hier das gesuchte  Ergebnis in seiner  Grössendarstellung  immer unvollständig dargestellt.   Dem  exakten Ergebnis wird nur dann immer weiter zugestrebt wird, wenn der Berechnungs-/Konstruktions-Plan ein exakter und kein genäherter ist. Die hier immer erforderlichen endlosen Prozesse sind bei der Hinzunahme  schon gegebener höherer Kurven quasi auf vorausgehende Berechnungen und Aktionen ausgelagert (verschoben).

Bei den   gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen verlassen wir die euklidische Tradition und betrachten nun auch  endlose  klassisch konstruierte Grenzprozesse, wie wir als Beispiel   eingangs    für das Winkeldritteln schon einen gezeigt haben. Bei Nutzung der  endlosen  klassisch konstruierten Grenzprozesse können die uralten Beschränkungen   auf Zirkel und Lineal  bzw. auf Kreis und Gerade beibehalten werden, was die Grundlagen zum Berechnen nachvollziehbarer  hält. Schon gezeichnet gegebene  höheren Kurven und zusätzliche Werkzeuge sind nicht erfoderlich.

Die hier gezeichneten  Cohaerentic-Kalkulationen für exakte Winkeldreiteilungen gehen durch ihre verbesserte Konvergenz  über die aus der Fachliteratur bekannten klassisch  und nicht klassich konstruierten Winkeldrittelungen  hinaus. Sie überraschen darin, dass schon mit nur wenigen Schritten, gemessen an den endlos viel möglichen Schritten, zu  schon sehr genauen  Ergebnissen (bis zu 15 wahre dezimale   Nachlommastellen) gelangt wird, die mit noch mehr investiertem Rechenaufwand immer weiter verbessert werden können. Dazu tragen vollständig bis ins Enlose bekannte Konstruktionspläne bei, die  auch Massnahmen der Konvergenzverbesserung umfassen.

 

Missverständnissen vorbeugen

"Unmöglich" ist nichts Besonderes. Unmöglich ist es, eine beliebig gegebne   Ausdehnungsgrösse, wie  eine Drehung (Winkel) oder eine Strecke,  als ein duch Schritte geprägtes Grössenabbild  vollständig zu konstruieren  und darzustellen.

Was ist hier mit Grenzprozessen, bei denen einer Grenzgrösse zugestrebt wird, wie es mein folgenden Bild es für  einen Grenzprozess des Winkeldrittelns zeigt?

Lange Zeit wurdes das Potential solcher exakter Grenzprozesse nicht erkannt, die   u.a. auch  ein klassisch konstruiertes Winkeldritteln ermölichen, dessen Ergebnisgenauigkeit unbegrenzt verbessert werden kann.   In dem bis heute als  richtungsweisend    geltenden   Grundlagenwerk   ELEMENTE des Euklid (ca.330 v.u.Z.)  fehlen klassisch konstruierte Grenzprozesse, die  für  Urberechnungen die  Winkeldreiteilung, für die Kreisfläche usw. unerlässlich sind.

Die  gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen gehen nun mit dem Berechnen mit Grenzprozessen über die bekannten elementaren euklidischen Konstruktionen hinaus. Dabei    dominieren die elementaren  Rechenoperationen Halbieren und Addieren. Diese können gut als Sequenzen der    Urkurven Kreis und Gerade gezeichnet werden. Diese Urkurven werden dabei selbst als ursprüngliche Kohärenzsysteme verstanden. In der Abstraktion ist das Zeichnen nur mit Kreis und Gerade einem Zeichnen mit Zirkel und Lineal gleichzusetzen.   Dieses Zeichnen wird heute effizienter und genauer mit  Dynamischer Geometrie-Software (DGS) auf dem PC ausgeführt. 

 

 

Winkeldritteln als klassisch  konstruierter Grenzprozess  

Alles ist Ansichtssache!   
Bei klassisch konstruierten Cohaerentic Kalkulationen  wird mit einer veränderten Sichtweis gearbeitet. Nun werden auch klassisch konstruierte Grenzprozesse als Lösungswege zugelassen, anders als beim  historischen Vorbild-Vorgehen im berühmten Werk  ELEMENTE von   Euklid (ca 330 v.u.Z.).  Ziel ist  jetzt nicht   mehr eine vollständige  Darstellung der Ergebnisgrösse  nach  endlich vielen Schritten.  Jetzt werden   realisierbare,    elementar  zweifelsfrei nachvollziehbare Erzeugungsprozesse gesucht, deren  Zwischenergebnisse mit immer mehr Schritten gesetzmässig einem Grenzwert bzw, Grenzzustand mit  unbeschränkt immer kleiner werdenden Zuwachsgrössen zustrebt.   

Historisches zum Winkeldritteln  

Die  Zeit des Nachdenkens   über  ein klassich,  nur mit Zirkel und Lineal bzw. Kreisen  und Geraden konstruiertes Winkeldritteln reicht bis in die Antike zurück. Ein beliebiger Winkel soll dabei in drei gleichgrosse Teile zerteilt werden. Trotz des sehr langen Zeitraums  steht  heute im Lexikon der Mathematik, VEB Bibliographisches Institut Leipzi 1981  auf Seite 596 geschrieben, 

"Nicht jeder Winkel vorgegebener Grösse ist allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar". 

Was auf den Winkel zutrifft, gilt auch für das Winkeldrittel. Beim  Winkeldrittel handelt es sich um einen „statischen Sachverhalt“. Hingegen handelt es sich beim klassich konstruierten Winkeldritteln um einen dynamischen Prozess, bei  dem  einem Grenzwert,  dem   Winkeldrittel,  zugestrebt wird. 

Die obige Aussage zum unmöglichen  klassischen Konstruieren  trifft allerdings nur dann voll zu, wenn klassische Konstruktionen so ausgeführt werden, wie sie Euklid (ca. 330 v.u.Z.) in seinem berühmten Werk ELEMENTE  mit seinen Zeichnungen demonstrierte.  Gezeichnete Grenzprozesse sind in den alten ELEMENTEN und auch im modernen Grudlagenwerk von Hilbert (D.Hlbert, Grundlagen der Geometrie , BG. Teubner ...... )  nicht zu finden. Diese Tradition wird  bei klassischen Konstruktionen bis heute fortgeführt.  Im Jahr 1837  wurde die "unmöglich"-Hypothese, ein  Winkeldrittel könne unmöglich klassisch konstruiert und dargestellt werden,  durch den französischen Mathematiker P. Wantzel mit einem mathematischen Beweis   konkretisiert und bestätigt. 

Um hier Missverständnissen vorzubeugen, benennen wir nochmals klar den Unterschied zwischen dem Prozess Winkeldritteln und dem angestrebten Ergebnis Winkeldrittel. Exaktes Winkeldritteln bezeichnet einen dynamischen Prozess, der einem Grenzwert Winkeldrittel zustrebende Zwischenergebnisse erzeugt.   Ein exaktes Winkeldrittel bezeichnet hingegen einen  statischen Ergebniszustand  "Grenzwert", der nur in gedanklicher Abstraktion erreicht werden kann.    

Worauf trifft das wantzelsche Beweisergebnis "unmöglich" konkret zu?  Es trifft offensichtlich   nicht zu, wenn für   die klassisch konstruierten  Grenzprozesse andere Zusammenhänge zur Grundlage genommen werden, als   die beim wantzel´schen "Unmöglichbeweis" für das Winkeldrittel.

Das euklidische   klassische Konstruieren steht in der Tradition des Grundlagenwerkes ELEMENTE von Euklid (ca. 330 v.u.Z.) und erfährt so nicht nur eine Beschränkung auf Zirkel und Lineal (bzw. Kreis und Gerade), sondern auch auf endliche Prozesse, die als  endende Kreis-Gerade-Sequenzen ausgeführt werden. Endlose  Kreis-Gerade-Sequenzen (gezeichnete Grenzprozesse mit sich wiederholenden Schritte-Zyklen) bleiben,  dem Vorbild  der ELEMENTEN  folgend,  unbetrachtet. Hier wirkt seit Euklid eine Art  von Denkblockade,  die  bis bis heute andauert. 

Für alle drei klassichen Aufgaben der Antike sind mit einem euklidischen klassischen Konstruieren nur beschränkt genäherte Ergebnis-Erzeugungen und  Ergebnis-Darstellungen bekannt geworden. 
  

Klassische Konstruktionen

Das   „euklidische  Ausschliessen"  von konstruierten Grenzprozessen, die für   "Kreisberechnungen"   unerlässlich sind, ist willkürlich. Es gibt dafür heute keinen einsichtigen Grund. Wir werden deshalb   auch exakte Grenzprozesse betrachten und klassich konstruieren. Dabei streben deren  letzten  Zwischen-Ergebnis-Punkte   dem gesuchten gedanklichen Ergebnis-Grenzwert zu,  je mehr Schritte des vollständig bekannten Konstruktionsplanes schon  abgearbeitet isnd. Gesuchte Grenzwerte sind beispielsweise  ein  Winkeldrittel, ein  gerade gestreckter gleichlanger Kreisbogen usw.
Falsch und verwirrend ist es hier, wenn vom letzten erzeugten Zwischenergebnis, das prinzipiell immer noch einen Abstand zum wahren Ergebnis hat, generell auf einen nur genäherten Erzeugungsprozess (Berechnungsprozess) gefolgert wird. 
Ein erstes mit einem Grenzprozess  klassisch konstruiertes Winkeldritteln veröffentlichte Nikolais Fialkowski in seinem Buch: F. Fialkowski, Theilung des Winkels und des Kreises, Wien,  Verlag von Carl Gerold´Sohn 1860.
Fialkowski demonstriert  als Erster  eine exakte klassische Konstrukton für ein exaktes Winkeldritteln. Als Rechenoperation des klassich konstruierten Grenzprozesses dominiert dabei das Halbieren. Die Konvergenz dieses exakten Winkeldrittelns ist schwach. Fialkowski hat deshalb seinem exakten Winkeldritteln durch Halbieren keine grosse praktische Bedeutung zuerkannt. Wir zeigen hier in der Rubrik "1/3-Winkel klassich konstruieren", wie schon mit wenigen einfachen Mitteln eine deutliche Verbesserung erreicht werden kann. Es werden dann noch weiter exakte Winkeldrittelungen vorgezeigt.
 

Nicht klassische Konstruktionen

Bei den nicht klassischen Konstruktionen werden neben Zirkel und Lineal, bzw, Kreis und Gerade auch   darüber hinaus weitere  Konstruktionswerkzeuge, wie ein Masslineal, oder ein Rechtwinkelhaken usw. zugelassen und auch höhere Kurven.  Damit   gibt es dann viele Möglichkeiten  einen beliebigen Winkel exakt zu dritteln.   Einige dieser Verfahren werden nachfolgend unter  jeweiligen Überschriften beispielhaft vorgestellt.
  • Benutzer 48
  • Beiträge 106
  • Beitragsaufrufe 226160

Aktuell sind 55 Gäste und keine Mitglieder online