Gibt es eine exakte 1/3-Winkel-Ergebnisdarstellung?
Was hat der junge Gauss hierzu am Ende des 18. Jahrhundert erkannt? Erkannt er, daß es hierzu nur genäherte Lösungszusammenhänge gibt, die nur zu genäherten Ergegnisgrößen-Darstellungen führen? Fehlen hier exakte Lösungszusammenhänge für wenige Schritte? Hielt er Grenzprozesse für ein generelles klassisch konstruiertes Winkeldreiteilen für unmöglich?
Bekannt ist, beim algebraisch-numerischen Berechnungen des Winkeldrittels sind dtritte Wurzeln auszuziehen. Für diese können aus Zeit- und Aufwandgründen niemals alle endlos vielen Nachkommaziffern ermittelt werden. Was für die Zahlen-Kohärenzen gilt, kann natürlich auch für die elementar konstruierten Ergebnisdarsellungen des Winkeldrittels angenommen werden.
Den ersten konkreten Beweis zur Problematik des Winkeldreiteilens veröffentlichte der französische Mathematiker Pierre Wantzel in Jahr 1837. Er formiliert seine Einsicht etwas anders als Gaus. Er erkannte, die erwartete zusammengesetzt konstruierte Winkledrittelgrösse ist keine konstruierbare Zahl. Das Ergebnis kann deshalb unmöglich vollständig zusammengetzt dargestellt werden. Einen verkürzten Beweis zum unmöglichen Winkeldritteln veröffentlicht D.Laugwitz im Jahr 1962 für den einfach konstruierbaren 60°-Winkel. Warum er, wie auch Gauss, die Lösungswege der klassisch konstruierten Grenzprozesse, die ein unbeschränkt exaktes Zusammensetzen für ein exaktes Winkeldritteln anstreben, unbetrachtet lässt, wird nicht betrachtet. Wurden hier vielleicht klassisch konstruierte Genzprozesse für unmöglich gehalten, weil schon in der Antile Lösungen vorgestellt wurden, die mit über Zirkel und Lineal hinaus gehende Werkzeuge bzw. über Gerade und Kreis hinaus gehnde Kurven arbeiten. Beispiele für unzulässige Werkzeuge sind das Archimedes-Lineal mit Strichen, das Tomahawk, der Bieberbach-Rechtwinkelhaken usw. Über Kreis und Gerade hinaus gehende höhere Kurven sind die Trisectrix des Hippias (5.Jh.v.u.Z.), die quadratische und kubische Parabel, die Hyperbel und weitere. Im Jahre 1932 schreibt L.Bieberbach im Journal für die reine und angewandte Mathematik in seinem Beitrag "Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen"
„Bekanntlich kann ... jede kubische Konstruktion auf die Dreiteilung des Winkels und auf die Vervielfachung des Würfels, d. h. die Ausziehung der dritten Wurzel zurückgeführt werden. Ich brauche also nur zu zeigen, wie diese beiden klassischen Aufgaben mittels des Rechtwinkelhakens gelöst werden können.“
Den Beweis zur exakten Dreiteilung des Winkels mittels Rechtwinkelhaken führt Bieberbach dann auch nachvollziehbar aus. Mit den Hinzunahmen gibt es allerdings ein Problem, auf das bisher kaum aufmerksam gemacht wird. Die hinzu genommenen Werkzeuge und Kurven müssen in idealer Platzierung und mit idealem Kurvenverlauf eingesetzt werden, was nur theoretische gelingt. In der praktischen Ausführung wird die Platzierung mit immer kleineren Zurechtrück-Schritten ausgeführt, um die ideale Platzierung zu erreichen, was vom Prinzip her nie vollständig erreicht werden kann. Die Prozess-Aktion mit den Rücke-Schritten, die immer kleiner werden, ist quasi endlos fortzusetzen. Da dieser Prozess jedoch immer abgebrochen wird, bleibt auch hier das gesuchte Ergebnis in seiner Grössendarstellung immer unvollständig dargestellt. Dem exakten Ergebnis wird nur dann immer weiter zugestrebt, wenn der Berechnungs-/Konstruktions-Plan ein exakter und kein genäherter ist. Die auch hier immer erforderlichen endlosen Prozesse sind mit der der Hinzunahme gegebener höherer Kurven und Werkzeuge quasi auf vorausgehende Berechnungen und Aktionen ausgelagert (verschoben).
Mit den klassich konstruierten Cohaerentic-Kalkulationen verlassen wir die euklidische Tradition und betrachten hier nun auch endlose klassisch konstruierte Grenzprozesse. Solche wurden eingangs für das Winkeldritteln schon vorgezeigt. Mit der Nutzung der klassisch konstruierten Grenzprozesse kann die uralte Beschränkung auf Zirkel und Lineal bzw. auf Kreis und Gerade beibehalten werden. Dies hält die Grundlagen zum Berechnen einfach und nachvollziehbar.
Die Cohaerentic-Kalkulationen für exakte Winkeldreiteilungen gehen durch ihre starke Konvergenz über die aus der Fachliteratur bekannten Winkeldreitteilungen hinaus. Dabei sind besonders die überraschenn nur wenigen erforderlichen Schritte zu nennen, mit denen schon sehr genaue Zwieschenergebnisse erreicht werden (bis zu 15 wahre dezimale Nachlommastellen). Mit einem fortgesetzten Aufwand an Schritten werden weitere Zwischenergebnisse erzeugt, die sich immer weiter an das wahre Ergebnis annähern. Möglich wird dies, durch vollständige, bis ins Enlose bekannte Schritte der Konstruktionspläne. Bekannt sind hier auch zusätzliche Massnahmen zu einer stärkeren Konvergenz.
Missverständnissen vorbeugen
Während es unmöglich ist, eine beliebig gegebene Ausdehnungsgröße, wie eine Drehung (Winkel) oder eine Strecke als ein reproduzierbares, durch Schritt geprägtes, zusammengesetztes Größenanabbild vollständig zu konstruieren und fertig darzustellen, ist hingegen die Aktion des abbildenden Zusammensetzen der Winkeldrittelgröße als konvergenter exakter Prozeß (=Grenzprozess) möglich.
Die exakten Lösungsverfahren sind hier Grenzprozesse. Das folgende Bild zeigt einen der Cohärentic- Grenzprozesse zum Winkeldritteln?
Lange Zeit wurde das Potential solcher exakter Grenzprozesse nicht erkannt, die u.a. auch ein klassisch konstruiertes Winkeldritteln ermölichen, dessen Ergebnisgenauigkeit unbegrenzt verbessert werden kann. In dem bis heute als richtungsweisend geltenden Grundlagenwerk ELEMENTE des Euklid (ca.330 v.u.Z.) fehlen klassisch konstruierte Grenzprozesse, die für Urberechnungen die Winkeldreiteilung, für die Kreisfläche usw. unerlässlich sind.
Die konstruierten Cohaerentic-Kalkulationen gehen mit den Grenzprozessen über die bekannten elementaren euklidischen Konstruktionen hinaus. Dabei dominieren die elementaren Rechenoperationen Halbieren und Addieren. Diese können gut als Sequenzen der Urkurven Kreis und Gerade gezeichnet werden. Diese Urkurven werden dabei selbst als ursprüngliche Kohärenzsysteme verstanden. In der Abstraktion ist das Zeichnen nur mit Kreis und Gerade einem Zeichnen mit Zirkel und Lineal gleichzusetzen. Dieses Zeichnen wird heute genauer und effizienter mit Dynamischer Geometrie-Software (DGS) auf dem PC ausgeführt.
Winkeldritteln als klassisch konstruierter Grenzprozess
Historisches zum Winkeldritteln
Die Zeit des Nachdenkens über ein klassich, nur mit Zirkel und Lineal bzw. Kreisen und Geraden konstruiertes Winkeldritteln reicht bis in die Antike zurück. Ein beliebiger Winkel soll dabei in drei gleichgrosse Teile zerteilt werden. Trotz des sehr langen Zeitraums steht heute im Lexikon der Mathematik, VEB Bibliographisches Institut Leipzi 1981 auf Seite 596 geschrieben,
"Nicht jeder Winkel vorgegebener Grösse ist allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar".
Was auf den Winkel zutrifft, gilt auch für das Winkeldrittel. Beim Winkeldrittel handelt es sich um einen „statischen Sachverhalt“. Hingegen handelt es sich beim klassich konstruierten Winkeldritteln um einen dynamischen Prozess, bei dem einem Grenzwert, dem Winkeldrittel, zugestrebt wird.
Die obige Aussage zum unmöglichen klassischen Konstruieren trifft allerdings nur dann voll zu, wenn klassische Konstruktionen so ausgeführt werden, wie sie Euklid (ca. 330 v.u.Z.) in seinem berühmten Werk ELEMENTE mit seinen Zeichnungen demonstrierte. Gezeichnete Grenzprozesse sind in den alten ELEMENTEN und auch im modernen Grudlagenwerk von Hilbert (D.Hlbert, Grundlagen der Geometrie , BG. Teubner ...... ) nicht zu finden. Diese Tradition wird bei klassischen Konstruktionen bis heute fortgeführt. Im Jahr 1837 wurde die "unmöglich"-Hypothese, ein Winkeldrittel könne unmöglich klassisch konstruiert und dargestellt werden, durch den französischen Mathematiker P. Wantzel mit einem mathematischen Beweis konkretisiert und bestätigt.
Um hier Missverständnissen vorzubeugen, benennen wir nochmals klar den Unterschied zwischen dem Prozess Winkeldritteln und dem angestrebten Ergebnis Winkeldrittel. Exaktes Winkeldritteln bezeichnet einen dynamischen Prozess, der einem Grenzwert Winkeldrittel zustrebende Zwischenergebnisse erzeugt. Ein exaktes Winkeldrittel bezeichnet hingegen einen statischen Ergebniszustand "Grenzwert", der nur in gedanklicher Abstraktion erreicht werden kann.
Worauf trifft das wantzelsche Beweisergebnis "unmöglich" konkret zu? Es trifft offensichtlich nicht zu, wenn für die klassisch konstruierten Grenzprozesse andere Zusammenhänge zur Grundlage genommen werden, als die beim wantzel´schen "Unmöglichbeweis" für das Winkeldrittel.
Das euklidische klassische Konstruieren steht in der Tradition des Grundlagenwerkes ELEMENTE von Euklid (ca. 330 v.u.Z.) und erfährt so nicht nur eine Beschränkung auf Zirkel und Lineal (bzw. Kreis und Gerade), sondern auch auf endliche Prozesse, die als endende Kreis-Gerade-Sequenzen ausgeführt werden. Endlose Kreis-Gerade-Sequenzen (gezeichnete Grenzprozesse mit sich wiederholenden Schritte-Zyklen) bleiben, dem Vorbild der ELEMENTEN folgend, unbetrachtet. Hier wirkt seit Euklid eine Art von Denkblockade, die bis bis heute andauert.
