Drehung / Winkel  _messen_und _erzeugen

Das klassisch konstruierte Erzeugen und Messen von Drehung / Winkel  basiert auf der Nutzung von Kohärenzkurven. Mit diesen wird  die Transformation von Translation (lin) nach Rotation (rot)  und umgekehrt realisiert.  Ein erstes Beispiel dazu ist schon aus der griechischen Antike überliefert, die  Kohärenzkurve "Trisectrix" des Hippias von Elis (ca 430 v.u.Z.).

_lin-_rot -Transformationen _im Realwinkelbereich 

Fixe  Kohärenzkurven     

Kinematische Erzeugung als  Spurkurve "Trisectrix"  nach Hippias von Elis (5. Jh.v.u.Z.) 

Das folgende Bild zeigt eine kinematisch erzeugte Trisectrix, deren Erfinden dem Hippias von Elis (5. Jh.v.u.Z.) zugeschrieben wird. Diese Spurkurve zeichnet der  Schnittpunkt Q, wenn sich die Radiusstrecke MR um den Drehpunkt M und simultatan dazu, die Strecke AB um einen endlos fernen Drehpunk, dreht. Dies  bedeutet,  die Streck AB bewegt sich simultan zur Drehung des Radiusstrahls MR stetig von  oben nach unten, Dabei geht  der   Punkt A von Punkt  C nach M und synchron dazu der Punkt R von Punkt C nach Punkt D.

 

 

Wie gut zu erkennen ist, findet die      lin-rot -Transformation von Translation (lin) nach Rotation (rot)  und umgekehrt     im Realwinkelbereich statt.  Später zeigen wir noch, dass es Vorteile bringt,  die   lin-rot -Transformation von Translation (lin) nach Rotation (rot)  und umgekehrt   in den Kleinwinkelbereich zu verlegen. Es kann dann mit einer klassisch konstruierten Kohärenzkurve "K r e i s"  gearbeitet werden.

 

Klassisch konstruierte  Erzeugung als Punktekurve  

Das zweite Bild zeigt quasi simultane Halbierungen mit denen   eine  Punktekurve  Trisectrix mit  7 zwischenliegenden  diskreten   Kurvenpunkten  und zwei  aussenliegenden zwei Kurvenpunkte sind  C und D erzeugt wird. Die Anzahl der zwischenliegenden exakt erzeugbaren  Kurvenpunkte ist im realen Leben beschränkt, denn es gibt nur endlich zur Verfügung stehende Resourcen an Zeit und technischen Mitteln. Die Lücken zwischen drei benachbarte Punkte kann jeweils durch einen Kreisbogen (Krümmungskreis) ausgefüllt werden, um  eine  genäherte  Spurkurve zu erzeugen. 

 

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Klassische Konstruktion  zusammenhängender Winkel- und Strecken-Verhältnisse  mit Hilfe der Trisectrix

Das klassische Konstruieren der  rot-lin-Transformation von Winkel- zu  Strecken-Verhältnissen  erfolgt mit Hilfe der Kohärenzkurve Trisectrix.  An ein  vorgegebenen lin-Strecken-Verhältnis  ist  das  abhängige    rot-Drehungen-Verhältnis  gekoppelt und umgekehrt. Den konkreten Zusammenhang macht das folgende Bild des Hippias-Kohärenzsystems   nachvollziehbar,  

 

 

Euklid (ca. 330 v.u.Z.), der Autor und Herausgeber des richtungsweisenden Grundlagenwerkes ELEMENTE hat die lin<->rot-Transformation, wie sie mit der  Kurve Trisecrix des Hippias von Elis (5.Jh.v.u.Z.) schon bekannt war, bewusst nicht in sein Grundlagenwerk ELEMENTE aufgenommen. Damit hat   Euklid eine Tradition   einer Denkblockade begründet, die bis heute anhält. So fehlen heute Beiträge zur Problematik der klassisch konstruierten lin<->rot-Transformation  in Lehrbüchern.  Viele werden hier einwenden, sie fehlen, weil sie vom Prinzip her "unmöglich" sind, was schliesslich auch von Pierre Watzel  im Jahre 1837 mathematisch  bewiesen wurde.

 

 

 

Verwandtschaften verschiedener fixer  Kohärenzkurven, die über den   K r e i s    hinaus gehen  

Das folgende Bild zeigt die  Verwandtschaft  verschiedenen Kohärenzkurven für die  lin-rot-Transformation, die alle unter den Sammelbegriff Quadratrix angesprochen werden. 

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Bewegte Kohärenzkurven  

Simultan klassisch konstruierte  Halbierungen  erzeugen Punkte für Kohärenzkurve 

Das Drehungen-Verhältnis  wird klassisch konstruiert in  ein proportionales Translations-Verhältnis umgerechnet und kann so indirekt  mit einem  geraden Masslineal ausgemesssen werden. 

 

 

 Video:  Der Ablauf-Punkt auf der Zeitschiene kann durch Anklicken angehalten werden und  auch vorwärts und rückwärts bewegt werden.        

 

   

  

Klassisch konstruierte Rektifikation erzeugt Punkte für Kohärenzkurve   o9ll9

 Bild 

Video 

  

 Anschauliche  Transformation von Translation in Rotation mit bewegter Kohärenzkurve.

 

 

_lin-_rot -Transformationen_im Kleinwinkelbereich

Fixe  Kohärenzkurve "K r e i s"   (Variante 1)

Die      lin-rot-Transformation von Translation (lin) nach Rotation (rot)  und umgekehrt   findet im   im Kleinwinkelbereich statt.

 

 

 

 

 

Ein gegebenes rotorisches Verhältnis wird in ein lineales Verhältnis gezeichnet umgerechnet (transformiert).  Dies erfolgt  mit einer Kohärenzkurve     Kreisbogen, für den  drei exakt gezeichnet berechnete Stützpunkte im Kleinwinkelbereich gezeichnet wurden. In den Bereich des Kleinwinkeleffektes wird mittels multifacher, quasi endlos fortsetzbarer  Halbierungen der beiden zueinander zugeordneten Objektgrössen von rotorischer und translatorischer Ausdehnung gelangt, die da sind: Winkel BAF=  90° und die Strecke von Punkt N ausgehend mit der Grösse=2*Radius=2*45=Durchmesser=90).  Damit   die Zahl der direkt gemessenen  Winkelgrösse ohne Umrechnen mit der Zahl der   ausgemessenen  Translationsstrecke, die indirekt die Winkelgrösse abbildet, verglichen werden kann, wird für 90° des Viertelkreises die Durchmessergrösse zu 90 gewählt.

Mit der gleichen  Anzahl von  Halbierungen wird nun die zu messende Drehung (roter Kreisbogen) gleichfalls in den Bereich des Kleinwinkeleffektes (blauer Kreisbogen) transformiert. Mit der aktuellen letzten Halbierung   wird ein Schnittpunkt auf dem kleinen blauen Kreisbogen erzeugt. Mit einem vom Punkt U ausgehenden  Strahl (hier  auf eine blaue Strecke eingekürzt), der durch den erzeugten Schnittpunkt auf dem blauen Kreisbogen geht, wird auf der von N ausgehenden Strecke ein Schnittpunkt erzeugt. Diesen Sachverhalt zeigt vergrösserte Bild deutlicher. Die Rücktransformation in den Realbereich der Translation erfolgt mit gleich vielen Verdoppelungen, was die Kreise bis zum Schnittpunkt W2  leisten.  Die mit dem Masslineal indirekt gemessene Winkelgrösse NW2 stimmt hier breits bei nur 4 Halbierungen/ Verdoppelungen  schon bei  5 Nachkommaziffern mit der direkt gemessenen Winkelgrösse überein,  die  mittels Zeichenprogramm Geogebra ausgeführt ist.

 

Fixe  Kohärenzkurve "K r e i s" 

Fixe Kohärenzkurve im Kleinwinkelbereich 

Video:  Der Ablauf-Punkt auf der Zeitschiene kann durch Anklicken angehalten werden und  auch vorwärts und rückwärts bewegt werden.  

 

Die Transformation wird hier nicht mit den real grossen Verhältnissen von Verschiebung oder Drehung berechnet, wie es bei der Quadratrix =Trisectrix   des Hippias von Elis (5.Jh.v.u.Z.) der Fall ist. Die  gegebene rotorische oder die translatorische Rechengrösse  (Drehung oder Verschiebung)  wird  jeweils mit  Halbierungs-Schritten   in den Grenzkohärenzbereich kleiner Drehungen verkleinert. Die   eigentliche  Transformation findet  an der Kohärenzkurve kurzer "Kreisbogen" statt.  Die dabei erzeugte neue kleine Drehunggrösse, oder in der anderen Berechnungsrichtung die erzeugt kleine Verschiebungsgrösse, wird dann mit gleich vielen Schritten wie beim Halbieren wieder in den Realbereich vergrössert. So werden mit nur vier Halbierung  bereits 5 übereinstimmende Nachkommastellen errechnet.  Mit sieben Halbierungen werden schon   7 übereinstimmende  Nachkommastellen erzielt. Da es für die  Verkleinerung des Grenzkohärenzbereiches zum Kleinen hin (Zahl der Halbierungen)   theoretisch keine Grenzen gibt,  kann mit immer mehr Halbierungen   die erziebare Genauigkeit immer weiter gesteigert werden. Dies ist aber für die  alltäglichen Anwendungen überhaupt nicht notwendig. Die nachfolgenden gezeichneten Berechnungen zeigen, dass hierbei die Menge der gezeichneten Objekte von einer theoretisch möglichen  unendlichen Menge sehr weit entfernt ist.

Beschreibung des gezeichneten Kohärenzsystems:

Wird beim vorgezeigten Kohärenzsystem der Punkt C im Zugmodus rotierend bewegt, folgt Punkt F3 zwangsweise in linealer Verschiebung nach. Dabei bleiben das rotorische Verhältnis der rot und schwarzer Kreisbogen und das  lineale  Verhältnis der rot und schwarzen Strecken auf der Ordinaten-Achse immer zueinander gleich gross. Die fixe Kohärenzkurve ist die rote Kreiskurve mit sehr grossem Radius.  Sie ist durch die letzten 3 Schnittpunkte vor der Abszissen-Achse gezeichnet. Diese Schnittpunkt werden von den gegenläufig sich drehenden Strecken mit Drehpunkten in  A und in D erzeugt. Die Drehung um Punkt A erfährt ein fortfolgendes Unterteilen durch Halbieren auf dem Kreisbogen und die Drehung um Punkt D erfährt ein fortfolgendes  Unterteilen durch Halbieren der Radiusstrecke auf der Abszissen-Achse. Das Bild zeigt, auch die Schnittpunke von noch grosser3n Drehungen liegen quasi immer noch auf dem  roten Kohärenzkreis. Deshalb wird bei nur kleinen Drehungen das rotorische Verhältnis sehr genau auf das lineale Verhältnis übertragen. Die angestrebte Linearisierung kann in zwei Richtungen verbessert werden.  Einmal, indem die Kohärenzkurve immer weiter nach rechts in die Näher des Punktes D gelegt wird und damit ihr Radius immer grösser wird und sich einer Geraden immer mehr annähert. Die andere Möglichkeit ist, die eigentlich Transformation der beiden Verhältnisse  mit noch kleineren Drehungen zu vollziehen, um dann mit Duplikation wieder auf die reale Grösse  zurück zu kehren.

 

 

 

Der Zusammenhang der Transformation Translation-> Rotatation ist offenbar wenig oder gar nicht abhängig  von der Position des   Punktes  K2, wenn dieser rechts von Punkt A liegt. 

Beschreibung des Transformations-Zusammenhangs.

Eine Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kurvenobjekte  von Kreis und Gerade transfomieren  ein beliebig gegebens Strecken-Verhältnis (=Winkelzahl) in ein gleich grosses Winkel-Verhältnis als Ergebnis  und stellen es anschaulich nachvollziehbar dar. Der gezeichnete Rechengang/ Rechenzusammenhang  soll dabei stringent ohne Probieren zur einer zweifelsfrei zutreffenden Ergebnis-Darstellung führen.  

Mit Hilfe einer vorher  im Grenzkohärenz-Bereich gezeichneten Kohärenzkurve Kreis, wird die  Transformationen von Verschiebung auf Drehung und umgkehrt gezeichnet berechnet. Der Trick ist, die Transformation wird nicht mit den real grossen Verhältnissen von Verschiebung und Drehung berechnet, wie es bei der Quadratrix = Trisectrix des Hippias von Elis (5.Jh.v.u.Z.) der Fall ist, sondern die  gegebene Rechengrösse  Drehung oder Verschiebung wird  mit  Halbierungs-Schritten immer weiter bis in den quasi linearen Grenzkohärenzbereich verkleinert, in dem dann die   eigentliche  Transformation, der gezeichnete Umrechnungsprozess stattfindet.   Die dabei am der Kohärenzkurve Kreis erzeugte neue kleine Drehunggrösse oder in der anderen Transformationsrichtung die erzeugt kleine Verschiebungsgrösse wird dann mit gleich vielen Schritten wie beim Halbieren wieder in den Realbereich vergrössert. Mit nur wenigen   Halbierungen/Doppelungen werden bereits Genauigkeiten von mehreren Nachkommastellen erzielt. Da es für die  Verkleinerung des Grenzkohärenzbereiches zum Kleinen hin (Zahl der Halbierungen)   theoretisch keine Grenzen gibt,  kann mit immer mehr Halbierungen die erziebare Genauigkeit theoretisch immer weiter gesteigert werden. Dies ist aber für die alltäglichen und auch die wissenschaftlichen Anwendungen überhaupt nicht notwendig.

  

Fixe Kohärenzkurve im Kleinwinkelbereich (2)

Video:  Der Ablauf-Punkt auf der Zeitschiene kann durch Anklicken angehalten werden und  auch vorwärts und rückwärts bewegt werden.  

 
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