Ist jedes Winkeldreiteilen  klassisch konstruierbar?

Nach mathematischen Beweisen aus dem 19. Jahrhundert wird  klassisch konstruiertes   Winkeldreiteilen als unmöglich ausführbar gelehrt. Durch ein klassisches Konstruieren sei es unmöglich  eine hierfür erforderliches  Ausziehen der dritten  Wurzel   3√ 2   auszuführen.  Den ersten Beweis hierzu  veröffentlichte der französische Mathematiker Pierre Wantzel in Jahr 1837. Einen verkürzten Beweis für die Unmöglichkeit der Winkeldreiteilung hat D.Laugwitz  im Jahr 1962  für einen Beispiel-Winkel von 60°, veröffentlicht. 

In der Fachliteratur und auch bei Wikipedia werden  verschiedene   gezeichnete exakte Winkeldreiteilungen vorgestellt, bei denen  die Beschränkungen aus der Antike  auf  Zirkel und Lineal bzw. auf Kreis und Gerade eingehalten werden und zugleich mit der Hinznahme weiterer Werkzeuge und  auch weiterer Kurven verletzt werden.    Bekannte  Beispiele für unzulässige   Werkzeuge sind  das Archimedes-Lineal mit Strichen,  das Tomahawk, der Bieberbach-Rechtwinkelhaken usw. Unzulässige  höhere   Kurven ermöglichen das Winkeldritteln. Solche Kurven sind die Trisectrix des Hippias (5.Jh.v.u.Z.), die quadratische und kubische Parabel,  die Hyperbel und weitere.   Im Jahre 1932 schreibt L.Bieberbach  im Journal für die reine und angewandte Mathematik  in seinem Beitrag " Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen"   

Bekanntlich kann ... jede kubische Konstruktion auf die Dreiteilung des Winkels und auf die Vervielfachung des Würfels, d. h. die Ausziehung der dritten Wurzel zurückgeführt werden. Ich brauche also nur zu zeigen, wie diese beiden klassischen Aufgaben mittels des Rechtwinkelhakens gelöst werden können.

Diesen Beweis zur exakten Dreiteilung des Winkels führt Bieberbach dann auch aus. Mit den die Beschränkung verletzenden Hinzunahmen gibt es allerdings ein Problem, auf das bisher nirgendwo aufmerksam gemacht wird.   Die hinzu genommenen Werkzeuge und Kurven müssen in idealer Platzierung und mit idealem Kurvenverlauf eingesetzt werden, was nur theoretische gelingt. In der praktischen Ausführung wird die Platzierung mit immer kleinerem Zurechtrück-Schritten ausgeführt,  um die  ideale Platzierung zu erreichen. Diese Prozess-Aktion ist quasi ohne Ende.  

Auch bei zu erzeugenden Punkte-Kurven werden  mit immer mehr Schritten immer mehr Kurvenpunkte erzeugt, die  dem idealen Kurvenverlauf immernäher kommen.  Wenn auch nicht direkt zu erkennen ist, sind  hier immer endlose Prozesse beteiligt, die   bei Erreichen einer gewünschten Genauigkeit vorzeitig abgebrochen werden. Vom Prinzip her gibt es bei diesen Sachverhalt keinen Unterschied zu einem numerisch berechneten Ausziehen einer drittem Wurzel, das auch ein endloser Prozess ist.   Die hier immer erfordelichen endlosen Prozesse sind durch die  Hinzunahmen quasi auf vorausgehende Berechnungen und Aktionen ausgelagert (verschoben).

Bei den   gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen verlassen wir die euklidische Tradition und lassen  nun auch direkt endlose Prozesse zu, die  wir klassisch konstruierte Grenzprozesse nennen. Damit kann bei Cohaerentic Kalkulatoinen auf zusätzliche Werkzeuge und schon gezeichnet gegebene  höheren Kurven  verzichtet werden. Aif diese Weise können  die uralten Beschränkungen   auf Zirkel und Lineal  bzw. Kreis und Gerade beibehalten werden, was die Grundlagen zum Berechnen übersichtlicher hält.

Die gezeichneten  Cohaerentic-Kalkulationen für exakte Winkeldreiteilungen gehen über das aus der Fachliteratur bekannten nicht klassich konstruierte Winkeldritteln  hinaus. Sie überraschen darin, dass schon mit nur wenigen Schritten, gemessen an den endlos viel möglichen Schritten, zu  schon überraschend  genauen  Ergebnissen gelangt wird, die mit noch mehr investiertem Rechenaufwand immer weiter verbessert werden können. Dies wird auch insbesondere durch gezeichnete verkürzte Grenzprozesse und vollständig bekannte Konstruktionspläne möglich.

Missverständnissen vorbeugen

Es bleibt dabei, die Grösse vom  Drittelwinkel bzw. Winkeldrittel  können elementar nicht vollständig nur mit Kreis und Gerade klassisch konstruiert dargestellt werden. Dieser Sachverhalt ist das Normale, dennbei  jeder beliebigen Ausdehnungsgrösse im Erfahrungsraum ist es genau so.

Hingegen  können das  Winkeldritteln als klassisch konstruierter exakter Erzeugungsprozess (Grenzprozess, der einem Grenzwert zustrebt), mit nur endlich viel gezeichneten  Kreis- und Gerade- Objekte   dargestellt werden. Möglich wird das lange Zeit für unmöglich gehaltene, indem von  euklidischer klassischer Konstruktion  zur nur klassischen Konstruktion zurückgekehrt wird. Damit werden nun   auch  Grenzprozesse, die einem Grenzwert zustreben, wie sie Antiphon (5.Jh.v.u.Z.)  im Blick hat,  zugelassen.  Bei den lange Zeit als richtungsweisend    geltenden klassischen Konstruktionen im Grundlagenwerk   ELEMENTE des Euklid (ca. 330 v.u.Z.)  fehlen solche Grenzprozesse.

Die  gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen gehen mit dem Berechnen von Multisummen und Grenzprozessen über elementare euklidische Konstruktionen hinaus.  Bei Cohaerentic-Kalkulationen dominieren die elementaren  Rechenoperationen Halbieren und Addieren. Diese können gut  mit den Urkurven Kreis und Gerade gezeichnet werden. In der Abstraktion ist das Zeichnen nur mit Kreis und Gerade einem Zeichnen mit Zirkel und Lineal gleichzusetzen.   Dieses Zeichnen wird heute effizienter und genauer mit  Dynamischer Geometrie-Software (DGS) auf dem PC ausgeführt. 

 

 

Klassisch  konstruiertes exaktes Winkeldritteln als Grenzprozess

Alles ist Ansichtssache!   
Im Rahmen der veränderten Sichtweise bei klassisch konstruierten Cohaerentic Kalkulationen  wird primär nicht mehr  das  "unmöglich darstellbare"  Ergebnisziel  gedanklicher Verknüpfungsoperationen   angestrebt,   somdern   realisierbare,    elementar  zweifelsfrei nachvollziehbare Erzeugungsprozesse, deren Zwischenergebnisse unbeschränkt gesetzmässig einem Grenzwert, hier einem   Winkeldrittel,   immer mehrzustreben. 
 

Historisches zum Winkeldritteln  

Dier Zeit des Nachdenkens   über  ein klassich,  nur mit Zirkel und Lineal bzw. Kreisen  und Geraden konstruiertes Winkeldritteln reicht bis in die Antike zurück. Ein beliebiger Winkel soll dabei in drei gleichgrosse Teile zerteilt werden. Trotz des sehr langen Zeitraums  steht  heute im Lexikon der Mathematik, VEB Bibliographisches Institut Leipzi 1981  auf Seite 596 geschrieben, 

"Nicht jeder Winkel vorgegebener Grösse ist allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar". 

Was auf den Winkel zutrifft, gilt auch für das Winkeldrittel. Beim  Winkeldrittel handelt es sich um einen „statischen Sachverhalt“. Hingegen handelt es sich beim klassich konstruierten Winkeldritteln um einen dynamischen Prozess   eines endlosen Werdens, bei welchem dem  Grenzwert   Winkeldrittel     zugestrebt wird. 

Die obige Aussage zum unmöglichen  klassischen Konstruieren  trifft allerdings nur dann voll zu, wenn klassische Konstruktionen so ausgeführt werden, wie sie Euklid (ca. 330 v.u.Z.) in seinem berühmten Werk ELEMENTE  mit seinen Zeichnungen demonstrierte.  Gezeichnete Grenzprozesse sind in den ELEMENTEN und auch im Grudlagenwerk von Hilbert (D.Hlbert, Grundlagen der Geometrie , BG. Teubner ,,,

...... )  nicht zu finden. Diese Tradition wird  bei klassischen Konstruktionen bis heute fortgeführt.  Im Jahr 1837  wurde die "unmöglich"-Hypothese, ein  Winkeldrittel könne unmöglich klassisch konstruiert und dargestellt werden,  durch den französischen Mathematiker P. Wantzel mit einem mathematischen Beweis   konkretisiert und bestätigt. 

Um hier Missverständnissen vorzubeugen, benennen wir nochmals klar den Unterschied zwischen dem Prozess Winkeldritteln unddem angestrebten Ergebnis Winkeldrittel. Exaktes Winkeldritteln bezeichnet einen dynamischen Prozess, der einem Grenzwert Winkeldrittel zustrebende Zwischenergebnisse erzeugt.   Ein exaktes Winkeldrittel bezeichnet hingegen einen gedanklich abstrahiert erreichbaren  statischen Ergebniszustand  "Grenzwert".    

Worauf trifft das wantzelsche Beweisergebnis "unmöglich" konkret zu?  Es trifft offensichtlich   nicht zu, wenn für   die klassisch konstruierten  Grenzprozesse für ein exaktes  Winkeldritteln andere Zusammenhänge zu Grundlage genommen werden, als die es beim berühmten "unmöglich-Beweis" waren?

  

 

Bei euklidischen  klassischen Konstruktionen bleiben Grenzprozesse unbetrachtet und ungenutzt

Das euklidiische   klassische Konstruieren steht in der Tradition des Grundlagenwerkes ELEMENTE von Euklid (ca. 330 v.u.Z.) und erfährt so nicht nur eine Beschränkung auf Zirkel und Lineal (bzw. Kreis und Gerade), sondern auch auf endliche Prozesse, die als  endende Kreis-Gerade-Sequenzen ausgeführt werden. Endlose, nicht endenden  Kreis-Gerade-Sequenzen (gezeichnete Grenzprozesse mit sich wiederholenden Schritte-Zyklen) bleiben  dabei dem Vorbild  der ELEMENTEN  folgend,  unbetrachtet. Hier wirkt seit Euklid eine Art  von Denkblockade, die  bis bis heute andauert. 
Für alle drei klassichen Aufgaben der Antike sind mit einem euklidischen   klassischen Konstruieren nur beschränkt genäherte Ergebnis-Erzeugungen und  Ergebnis-Darstellungen bekannt geworden. 
  

Klassische Konstruktionen

Das   „euklidische  Ausschliessen"  von konstruierten Grenzprozessen, die für   "Kreisberechnungen"   unerlässlich sind, ist willkürlich. Es gibt dafür heute keinen einsichtigen Grund. Wir werden deshalb   auch exakte Grenzprozesse betrachten und klassich konstruieren. Dabei streben deren  letzten  Zwischen-Ergebnis-Punkte   dem gesuchten gedanklichen Ergebnis-Grenzwert zu, je mehr,  je mehr Schritte des vollständig bekannten Konstruktionsplanes schon  abgearbeitet isnd. Gesuchte Grenzwerte sind beispielsweise  ein  Winkeldrittel, ein  gerade gestreckter gleichlanger Kreisbogen usw.
Falsch und verwirrend ist es hier, wenn vom letzten erzeugten Zwischenergebnis, das prinzipiell immer noch einen Abstand zum wahren Ergebnis hat, generell auf einen nur genäherten Erzeugungsprozess (Berechnungsprozess) gefolgert wird. 
Ein erstes mit einem Grenzprozess  klassisch konstruiertes Winkeldritteln veröffentlichte Nikolais Fialkowski in seinem Buch: F. Fialkowski, Theilung des Winkels und des Kreises, Wien,  Verlag von Carl Gerold´Sohn 1860.
Fialkowski demonstriert  als Erster  eine exakte klassische Konstrukton für ein exaktes Winkeldritteln. Als Rechenoperation des klassich konstruierten Grenzprozesses dominiert dabei das Halbieren. Die Konvergenz dieses exakten Winkeldrittelns ist schwach. Fialkowski hat deshalb seinem exakten Winkeldritteln durch Halbieren keine grosse praktische Bedeutung zuerkannt. Wir zeigen hier in der Rubrik "1/3-Winkel klassich konstruieren", wie schon mit wenigen einfachen Mitteln eine deutliche Verbesserung erreicht werden kann. Es werden dann noch weiter exakte Winkeldrittelungen vorgezeigt.
 

Nicht klassische Konstruktionen

Bei den nicht klassischen Konstruktionvorschriften werden neben Zirkel und Lineal, bzw, Kreis und Gerade auch   darüber hinaus weitere  Konstruktionswerkzeuge, wie ein Maalineal, oder ein Rechtwinkelhaken usw. und auch höhere Kurven  zugelassen.  Damit   gibt es dann viele Möglichkeiten  einen beliebigen Winkel exakt zu dritteln.   Einige dieser Verfahren werden nachfolgend unterihren  jeweiligen Überschriften beispielhaft vorgestellt.
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