Über konstruiertes Berechnen
Für Lernende und Laien decken sich ihr Erfahrungswissen mit elementar, nur mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruiertem Berechnen. Heute helfen hier besonders die klassischen dynamischen Konstruktionen mit dem Computer. Sie genügen den uralten klassichen Beschränkungen nur mit Kreis- ( Zirkel ) und Gerade-Kurvenobjekten (strichloses Lineal) auszukommen. Die Sequenzen von elementar zusammenhängenden Kreis- und Gerade-Objekten machen Rechenzusammenhänge anschaulich nachvollziehbar. Dabei helfen nun auch dynamische Zeichenproramme (DGS-Softwareprogramme, beispielsweise Geogebra und andere). Auch wenn die gezeichneten Kurven als zusammenhängende Spurkurven zu sehen sind, werden sie doch immer als Punktekurven berechnet und dargestellt. Sie sind immer nur endlich viele dicht benachbarte Punkte. Sie werden visuell und in gedanklicher Abstraktion nicht mehr als Punktekurve wahrgenommen, sondern als zusammenhängende Spurkurve = Strichkurve. Bei konkreten Berechnungen und reproduzierbaren Darstellungen des Ergebnisses bestimmen diese besagten Punkte das Geschehen.
Über konstruierte Zahlen = konstruierte Punkte
Wir können uns in der Ebene einen beliebig gegebenen Punkt vorstellen, der Schnittpunkt zweier orthogonaler Achsgeraden x und y ist. Weitere davon ausgehende "klassisch konstruierte Schnittpunkte" werden in der Mathematik als "konstruierte Zahlen" verstanden. Sie werden immer in endlichen Schritten als Sequenz zusammenhängend gezeichneter Urkurven-Objekte von Kreis und Gerade erzeugt und sind so anschaulich nachvollziehbar. Welche Punkte elementaren Kurven können unter dieser Beschränkung konstruiert werden, wenn zwei beliebig gegeben Kurvenpunkte A und B in der Ebene gegeben sind? Oder anders ausgedrückt, zu welchen elementaren Kurven, die durch zwei gegebne Punkte A und B in der Ebene gehen, können weiter Kurvenpunkte klassisch konstruiert (konstruiert berechnet) gefunden werden? Gibt es für einen weiteren Punkt eine passende Sequenz an Schritt-Aktionen, die dann für weitere Punkte-Erzeugungen immer wieder angewendet werden kann? Wenn ja, dann sind die Punkte der konkret betrachteten Kurve elementargeometrisch berechenbar.
Die alltäglichen Erfahrung lehrt uns, das "Gerade durch zwei Punkte finden" ist elemetar konstruiert berechenbar. Beim "Parabel durch zwei Punkte finden hilft die alltägliche Erfahrung zunächst nicht viel weiter. Die Suche zu diesem 2-Punkteproblem für Kegelschnittkurven liefert keine relevanten Treffer. Wie später noch gezeigt wird, sind aber für die Parabel auch elementargeometrische Aufgabenlösungen möglich.
Klassisch konstruierte Grenzprozesse für Grenzpunkte
Wir beginnen mit einem Bild-Beispiel zu einem wesentlichen klassisch konstruierten Grenzprozeß, dessen erzeugte Folge von Punkten einem besonderen Grenzpunkt zustrebt. Dieser gibt das Geradenlängen-Ende des gestreckten Kreisbogens an. Das Durchnummerieren der konstruierten Objekte erleichtert das Nachverfolgen der nacheinender konstruierten Objekte (Kurven und Schnittpunkte).
Später wird diese Konstruktion noch mehrfach ausfühlich beschrieben werden. Hier kommen als ausgeführte Rechenoperationen nur die Ur-Operationen Doppeln und dessen Umkehrung das Halbieren (Anti-Doppeln) vor. Mit diesen Operartionen wird die klassisch konstruierte Folge von Schnittpunkten konstruiert. welche die Endpunkte der immer mehr gerade gebogenen roten gleichlangen Kreisbögen sind. Diese Endpunkte der Bogen sind Punkte einer Folge. Gut erkennbar komvergieren diese einem Grenzpunkt auf der y-Achse zu, der als Grenzabstand zum Streckenanfang auf der X-Achse die Länge des gestreckten Kreisbogens = Kreisumfang markiert. Alle Punkte dieser Folge werden in der Mathematik als „konstruierbare bzw. konstruierte Zahlen“ verstanden. Hingegen, der Grenzpunkt selbst aber nicht. Bei diesem Beispiel ist gut nachzuvollziehen, die Folge der Punkte ist endlos fortsetzbar. Die Änderung des Abstandes von Punkt zum nächsten Punkt strebt dabei immer mehr der Grösse Null zu, ohne Null jemals zu erreichen.
Für die direkt wahrnehmbare, nachvollziehbare Grenzwertgrösse, die heute symbolisch mit 2π = Kreisumfang /Durchmesser beschrieben wird, gibt es keinen darstellbaren letzten Punkt und damit keine abgeschlossene, vollständige Ergebnis-Darstellung als diskrete Zahl. Trotzdem sind mit endlich viel klassisch konstruierten Schritten erzeugte Darstellungen möglich, welche den praktischen Anforderungen angepasst werden können und genügen.
Die Menge der konstruierbaren Punkte (konstruierbare Zahlen) füllt eine begrenzte aber auch die unbegrenzte Strecke, Kreisbogen bzw. Ebene niemals vollständig aus. Vom Prinzip her bleiben immer Lücken zwischen den konstruierten Punkten (=Raster-Punkte), egal wieviele diskret benennbare Schritte für die konstruierten Punkte schon ausgeführt sind.
Die Forderung nach einer diskreten vollständigen Ergebnis-Darstellung (Zahl) einerseits und der Sachverhalt einer nicht endenden Punkte-Folge bzw. Schritte-Sequenz eine Grenzprozesses andererseits widersprechen sich.
"Keine zwei beliebig (zufällig) platzierter Punkte im R^2 -Raum (Ebene) können durch eine klassische Konstruktion ohne Restfehler ausgemessen werden."
Es sind prinzipielle Gründe, wie zuvor schon aufgezeigt, warum das Winkeldrittel, die Quadratseite und die Würfelkante in ihrer vollständigen Grösse nicht als klassisch konstruierbarer Punkt bzw. nicht klassisch konstruierbare Zahl dargestellt werden können. Irreführend wird es hier, wenn aus dem prinzipiellen Sachverhalt der unvollständigen Ergebnis-Darstellung gefolgert wird, dass es hier für die Aufgabenlösungen keine exkaten Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten als exaktes Lösungs-Kohärenzsystem geben würde. Das obige Bild zeigt, dass dies falsch und somit irreführend ist. Diese mit "generellem unmöglich" nicht ausreichend beschriebenen Lösungszusammenhänge suggeriert die Erwartung, für die drei klassichen Aufgaben der Antike kann es keine klassisch konstruierten exakten Lösungsprozesse geben. Die nur elementargeometrischen Kohärzen reichen nicht aus. Die exakten Pläne der unbeschränkt genauen Berechnungsprozesse seien mit nur wenigen Schritten nicht beschreibbar. So sei mit nur endlich viel ausgeführten Schritten zu keinen praktikablen Ergebnis-Abweichungen im subatomare Bereich zu gelangen.
Wir zeigen hier, die exakten Lösungsprozesse (Konstruktionsplan /Rechenplan zum Grenzprozess) können mit endlich vielen bekannten Konstruktionsschritten vollständig beschrieben werden. Wie obiges Bild zeigt, wird mit immer mehr betriebenem Aufwand zu immer genaueren Ergebnisdarstellungen gelangt. Weitere Verbesserung bringt auch die Nutzung der Kreiskurve als fortgesetzte Kohärenzkurve. Sie wird durch die letzten drei konstruierten Punkte der konstruierten Punkte- Folge gelegt und schneidet die Y-Achse. Dieser Schttpunkt ist dem theoretischen Grenzpunkt deutlich näher als der letzte Punkt der Folge.