Abrollstrecke 2π und Kreisverhältnis π  

Historisches

Schon Archimedes (3. Jh.v.u.Z.) hat nach den Vorschlägen von Antiphon und Bryson (5. Jh. v.u.Z.) den Kreisumfang = Kreisabrolllänge berechnet und sich aus Gründen steigenden Aufwandes quasi mit der Näherung durch Abrollen eines regulären nur 96-Ecken umfassenden Aussen- und Innen-Vielecks zufrieden gegeben. So berechnete er, die     Zahlengrössen 3+10/71 und 3+10/70,  zwischen denen die gesuchte Kreiszahl πnum... zum Kreisverhältnis π =Kreisumfang/Durchmesser liegt. 

Das Berechnen des Archimedes erzeugt keine klassich konstruierte Abrollstrecke (Abrolllänge) sondern  Ergebnisgrössen, die Zahlen sind.  In der seither vergangenen langen Zeit gab es   keine Veröffentlichungen, die auf   ein klassisches  Konstruieren hinweisen, das auf der Grundlage natürlich efahrbarer systematischer Raumzusammenhänge schon mit einem Abrollen von  regulären 3-; 4- und  6-Ecke die gesuchte  Kreisabrollstrecke um vieles   genauer  berechnen und darstellen kann, als es Archimedes mit dem 96-Eck schafft.

 

Konstruktionsaufgabe:

Kreisverhältnis π  =  "Abroll-Strecke/Durchmesser"      klassisch konstruieren  mit Grenzprozess

Gesucht:    

Längen der Abrollstrecken πgeo(N→∞)   von  Vielecken, wobei die Anzahl N der Ecken, für immer höhere  Genauigkeiten,  immer weiter erhöht werden kann.  Des Abrollens  jeweils  aktuell betrachteter  N-Vielecke erzeugt infolge des hier erfahrbaren kontinuierlichen Raumzusammenhangs nach einer Halbdrehung   eine Endposition des  N-Mittelpunktes . In ihrer Gesamtheit  bilden alle diese durch Abrollen erzeugte N-Mittelpunkte eine kontinuierliche Punktekurve, für die eine gedankliche Fortsetzung  für N→∞ gedacht werden kann. In der Praxis wird dieser gedanklich  konvergente Grenzprozess  mit einer durch die letzten drei  erzeugten  N-Mittelpunkte gelegte  Kreiskurve realisiert. Schon für  kleine   Eckenzahlen N= 3; 4; 8  zeigt sich, wie stark hier der angesprochende Raumzusammenhang wirkt und schon damit dem geometrisch erfahrbarem Grenzwert  π  zustrebt wird.

Gegeben:     

Abrollgerade,     Einheitskreis mit einbeschriebenen Vielecken der Eckzahlen  3; 4; 8.  

 

Kohärenzidee:  

Die klassisch konstruierte Lösungsberechnung stützt sich auf  gesetzmässige  Raum -und Rechenzusammenhänge der "Kontinuität und Stetigkeit", wodurch   ein Verbessern des konstruierten endlosen Grenzprozesses gelingt. Das Verbessern (Reduzieren der Schritte)  Grenzprozess zeigt sich wie folgt. Wenn beim  normalen Grenzprozess   mit N=96  Ecken erst 2 wahre Nachkommastellen berechnet werden, ermöglicht der verbesserte   Grenzprozess  bereits  bei Eckenzahlen   N=3: 4; 8   deutlich mehr als nur die berechneten 2 wahren Nachkommastellen bei Archimedes.

 

Beschreibung des Lösungsweges:  

Die Kohärenzkurve der  Vieleck-Mittelpunkte nach dem Abrollen zeigt  einen stetigen Verlauf,   der im Ergebnisbereich den Verlauf einer   Kreiskurve sehr ähnlich ist. Nach dem letzten gezeichneten Mittelpunkt nach dem Abrollen wird dem Trend der Kurve gefolgt, indem   eine gezeichnete Kreiskurve durch die letzten 3 gezeichnet berechneten  Mittenpunkte  nach dem Abrollen gezeichnet wird. Diese Kreiskurve   schneidet  die zur Rollgeraden parallele Gerade durch den Rollkreismittelpunkt. Das Arbeiten mit der Fortsetzungskurve "Kreis" bedeutet ein Verkürzen des gezeichneten, ansonsten endlosen, Grenzprozesses. Im Ergebnis wird so schon mit wenigen Schritten, gemessen an den endlos viel möglichen Schritten, bereits  sehr dicht an den Grenzwert für das Vieleck mit endlos grossen Eckenzahl (= Kreis)  heran gerückt. Natürlich kann auch hier beim verkürzten Grenzprozess die Anzahl N der Ecken immer weiter  erhöht werden, da der Berechnungsplan bis ins Endlose vollständig vorhanden ist. Es findet dann ein unbeschräktes Annähern an den Grenzwert statt, theoretisch ist dies ohne Ende möglich.

1. Beispiel

 

2. Beispiel

 

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