Pi aus Grenprozess der Kreisbogen - Rektifikation  

Fontana (1784) und weitere

Th.Vahlen hat in seinem Buch, Theodor Vahlen,  Konstruktionen und Approximationen, Verlag G.B.Teibner Leipzig und Berlin 1911,  die nachfolgende  klassische  Konstruktion  zur Rektifikation eines Kreisbogens  aufgenommen. Sie wurde  wohl erstmals  im Jahre 1784 vom   italienischen Mathematiker   Fontana veröffentlicht.

 

Die Erklärung der wesentlichen Zusammenhänge für die Rektifikation fallen bei Vahlen  nicht gerade einfach aus.  Die betrachtete systematische Kohärenz wird anhand von schon bekannten Formeln erklärt. In dem obigen Bild fehlen die gleichlangen Kreisbögen und damit  anschaulich erkennbare nachvollziehbare   geometrische  Zusammenhänge, die  das   Erklären stark unterstützen.  

 

 

Beschreibung des klassisch konstruierten  Grenzprozesses für π

Das Kreisverhältnis π als Länge des Halbkreisbogens bezogen auf den Kreisradius definiert.  Die hier vorgezeigte  klassisch konstruierte Cohaerentic-Kalkulation ist ein Grenzprozess, denn mit jedem Iterationszyklus  "Doppeln des Kreisradius und  quasi simultanes  Halbieren der Drehung (Winkel)"  wird ein  neuer Endpunkt eines nur noch halb so sehr  gekrümmten Kreisbogens gleicher Länge erzeugt. Mit jedem solchen Doppeln-Halbieren-Zyklus strebt das n-aktuelle Zwischenergebnis  Kreisverhältnis  πgeo(n<∞)  immer mehr  dem Grenzpunkt mit Grenzwert Kreisverhältnis   πgeo(n=∞)  = (gestreckter Kreisumfang) / Kreisdurchmesser  zu.

Anhand des obigen Bildes ist leicht einzusehen, dieses klassisch konstruierte Berechnen geschieht allein mit einer Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kurvenstücke von Kreis- und Gerade. Zum leichteren Verfolgen der Abfolge der Schritte sind die gezeichneten Objekte mit laufenden Nummern und Buchstaben, K für  Kreis, G für Gerade und S für Schnittpunkt versehen. Anschaulich nachvollziehbar wird der Halbkreisbogen bei Erhalt der  ursprünglichen Bogenlänge immer weiter aufgebogen. Der Grenzwert ist dann erreicht, wenn keine Krümmung mehr erkannt werden kann. Jeder neue  jeweils gleichlange  Bogen mit   doppelt grossen  Radius  hat  einen halb so grossen  Zetriwinkel. Die Grösse des Grenzwertes wird mit endlich vielen Schritten bzw. auch Interationszyklen niemals   erreicht. Die konstruierte Ergebnisdarstellung wird hier mit immer mehr ausgeführten Schritten immer vollständiger.

 

Verkürzter  klassisch konstruierter  Grenzprozess für ein πgeo

Prinzipieller Darstellungsfehler

Bei einer gezeichneten und auch bei einer numerischen π-Berechnung   bleibt vom Prinzip her, nach einem willkürlich gewähltem  letzten Rechenschritt, von den endlos viel möglichen Schritten,  immer  ein  mehr oder minder kleiner nicht in der Ergebnis-Darstellung   berücksichtigter Restfehler. Ein solcher prinzipieller Fehler bleibt somit auch bei  einer gezeichneten Cohaerentic Kalkulation.    Allerdings wird hier mit einer besonderen  Massnahme, welche den kontinuierlichen Raumzusammenah ausnutzt, zu einer verbesserten Konvergenz gelangt. Der Umfang an notwendigen Schritten, der   für eine gewählte Ergebnis-Genauigkeit (Anzahl  wahrer Nachkommastellen) erforderlich sind, reduziert sich dabei.  Die Massnahme  zur Verbesserung der Konvergenz  wird  im folgenden   Video gezeigt.

 

Video

Das folgende Bild veranschaulicht die folgende Einsicht. Die Summe der roten und schwarzen  Kreisbögen -Längen gleicher Krümmung ist immer gleich gross und unabhängig  von der Drehungsgrösse  der roten Radiusstrecke, die den Kreisumfang unterteilt..

 

 

  • Benutzer 48
  • Beiträge 106
  • Beitragsaufrufe 226178

Aktuell sind 72 Gäste und keine Mitglieder online