Kreisverhältnis π und Kreiszahl πnum

Das Kreisverhältnis und seine digitale Grössendarstellung Kreiszahl haben den  griechischen Kleinbuchstaben Pi als Symbol .   Ein Kreis mit dem Durchmesser 1 hat damit den Umfang π. Die Kreiszahl π  wird auch   Ludolphsche Zahl oder Archimedes-Konstante genannt.  

Der Umfang eines jeden Kreises ist um ein bestimmtes Vielfaches grösser als sein Durchmesser. Dieses Vielfache ist als mathematische Konstante ein fundamentaler Proportionalitätsfaktor, das Kreisverhältnis π=Kreisumfang/Kreisdurchmesser, welches   für alle Kreisgrössen die gleiche Grösse hat. Die digitalisierte (numerische) Darstellung des Kreisverhältnisses π  ist die Näherung Kreiszahl, die immer nur mit endlich vielen wahren Nachkommazahlen dargestellt werden kann. Rückwärts kann aus einer solchen Kreiszahl mit klassischem Konstruieren eine Strecke als Darstellungsgrösse für das Kreisverhältnis erzeugt werden, die aber vom Prinzip her  immer nur unvollständig in ihrer Grössendarstellung ist.

Was ist π mehr, ein geometrisches Verhältnis oder eine Zahl?

Die multifache Länge des Kreisumfangs gegenüber dem Durchmesser bzw. Radius kann nicht ohne weiteres vom Bild des Kreises  abgelesen werden. Hierfür bedarf es erfundener Schritte des Konstruierens mit den Ur-Kurven Kreis und Gerade. Mit  nachvollziehbarer Raumerfahrung wird hier zuerst  auf das geoemetrische Kreisverhältnis   π   geschaut. 

Das Kreisverhältnis π=Halbkreisumfang/Radius kann  mit beschränkt und unbeschränkt  genäherten Berechnungsvorschriften ermittelt werden. Am häufigsten zitiert wird hier  eine geometrischen Konstruktion von Kochanski (1683), die nur ein beschränktes Nähern leistet. Mit einer exakten Berechnungsvorschrift, hergeleitet aus einer geometrischen Konstruktion von Fontana (1783), kann eine unbeschränkt genäherte  πgeo-Darstellung als Strecke berechnet werden, die mit immer mehr investiertem  Rechenaufwand iimmer genauer wird.
π  mit klassisch konstruiertem  Grenzprozess berechnen und darstellen 
Weniger gut nachvollziehbar sind  Herleitungen der Berechnungsvorschriften für ein unbeschränkt genaues Berechnen von πnum, bei denen  von unendliche Reihen und Produkten ausgegangen wird.  Diese Grenzprozesse streben   einem Grenzpunkt/Grenzwert  zu.  
Beim   Urberechnen zum Kreis war schon der griechische Sophist Antiphon (5.Jh. v.u.Z.) viel weiter als spätere Geometer/Mathematiker. Antiphon brachte mit dem vollständige Ausfüllen der Kreisfläche, mit immer kleineren, klassisch konstruierten   Dreiecken, einen Grenzprozess ins Spiel, den es damals als Begriff offenbar noch nicht gab. Die mit immer mehr Aufwand berechnete Flächen-Multisumme der Dreiecke führt letztlich zu einem unbebeschränkten, natürlich nachvollziehbarem Annähern an einen real erfahrbaren Grenzwert für die Kreisfläche und damit zugleich auch an einen Grenzwert für das Kreisverhältnis π .  Seine   modellhafte Grössen-Darstellung als Zahl ist somit  immer nur eine Annäherung an den hierzu gedacht existierenden Grenzwert.  Eine noch so ausführlich  berechnete Kreiszahl πnum(n)    hat nach sehr sehr vielen Schritten  immer nur endlich viele wahre Nachkommastellen. Heute wissen wir, dieser Ansatz von Antiphon war der Denkanfang zu Infinitesimalität.

Die Rechengrössen in einem Kohärenzsystem sind immer Verhältnisse. Dargestellt werden sie   auf eine Einheitsgrösse von gleicher Art  bezogen.  Fundamentale  Kohärenzsysteme sind die Urkurven Kreis und Gerade mit geometrischen Verhältnissen als Rechengrössen.  Das Digitalisieren (Ausmessen)  dieser geometrischen Verhältnisse  führt zu   Zahlen als Rechengrössen, welche die ursprünglichen geometrischen Verhältnisse immer nur  unvollständig als Dezimalzahldarstellung abbilden. Jede Zahl, beispielesweise die 5, ist ein Verhältnis 5/1. Für jedes beliebig gegebene Verhältnis a/b gibt es  immer nur eine unvollständig abbildende  Darstellung als Dezimalzahl. Bei der Digitalisierung  bleibt immer ein nicht dargestellter (nicht digitalisierter)  Rest übrig.  

Beispiele für verschiedene  π-Verhältnisse 

Geometrische π-Definitionen  

Die Definitionen für das Kreisverhältnis  π    geht aus   Erfahrungen zum  Kohärenzsystem  Kreis  hervor.

π =  Kreisumfang / Durchmesser

   =  Halbkreisumfang / Radius

   =  Kreisfläche / (Quadrat über den Radius)

   =  4*Kreisfläche / (Quadratfläche über dem Durchmesser)    

   =  Kugeloberfläche / (Quadratfläche über dem Durchmesser)

   =  6*Kugelvolumen / (Würfelvolumen  mit Kantenlänge=Durchmesser)

 

Konstruiertes Kreisverhältnis  πgeo(n)  

Das konstruierte  Verhältnis πgeo(n) ist das Ergebnsi eines kllassisch konstruierten Grenzprozesses, der nach n Schritten abbricht.  Die Bezugsgrösse  für die  Strecken-Verhältnisse als Zwischenergenis ist der Kreisradius als Einheit (Grundmass).

Ideelle  Kreiszahl πnum(...)

Die symbolische Darstellung der  ideellen Kreiszahl πnum(...) = 3,14159...  weist mit den drei Punkten auf  endlos  viele  wahre Nachkommaziffern hin, die man sich quasi als alle vorhanden vorstellt. Per Vereinbarung bildet nun die idelle, nicht endende Kreiszahl πnum(...)  die Grösse des Kreisverhältnisses π vollständig ohne Rest ab.  Trotzdem sind  das Kreisverhältnis  π und die ideelle Kreiszahl πnum(...)  nicht ganz der gleiche Sachverhalt. 

Die Fortschritte in der  Rechentechnik machen hier immer wieder neue Rekorde für die Anzahl der berechneten wahren Nachkommaziffern möglich.  

Berechnete Kreiszahl  πnum(n) 

Die im deutschen Sprachraum praktizierte Gleichsetzung von geometrischem Kreisverhältnis π = Kreisumfang/Durchmesser mit   einer ideellen  Kreiszahl πnum(...)  ist nicht ganz korrekt und sorgt für Verwirrung. Auch jede aus einer konkrete Schritteanzahl n hervor gehende Kreiszahl-Darstellung πnum(n)  ist nicht identisch mit dem Kreisverhältnis π.  Die Symbole π, πgeo und πnum symbolisieren etwas verschiedene Sachverhalte und ihr Gleichsetzen führt daher zu Verwirrung, denn:

Jede Zahl ist ein Verhältnis, aber für kein beliebig gegebenes  Verhältnis  gibt es  eine exakt abbildende Darstellung als Dezimalzahl (Kommazahl)

 

Dieser Sachverhalt gilt auch noch nach endlos vielen Rechenschritten, denn ein elementar konstruiertes geometrisches Kreisverhältnis πgeo(n)≈Kreisumfang/Durchmesser bleibt auch nach endlos vielen Schritten ein Verhältnis, für das es   keine vollständige Darstellung als Kommazahl gibt. 

 

 

 

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