Pi_num als arithmetischer Mittelwert  

Ausgangspunkt:  Gregory-Leibnitz-Reihe  

Die bekannte  endloses Reihe (Multisumme)  für die  Kreiszahl πnum 

π / 4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 .....

wurde in den Jahren 1673–1676 von Leibnitz entwickelt  und dabei auch der Zusammenhang mit dem  Kreisverhältnis π erkannt. Ohne diesen π-Bezug war diese Reihe schon 1671  von dem englischen Mathematiker Gregory  entdeckt und vorher auch schon im 14. Jahrhundert in Indien  bekannt.  Eine elementar nachvollziehbare Herleitung aus geometrischen Zusammenhängen ist dazu nicht überliefert.  

Die Gregory-Leibnitz-Reihe ist eine Formel mit der die Darstellung der Kreiszahl zum Kreisverhältnis π =Kreisumfang/Durchmesser  immer vollständiger berechnet werden kann. Am Ende der ausgeführten Rechenschritte verbleibt prinzipiell bis zur Größe des idealen geometrischen Grenzwertes immer eine mit einer Zahl-Darstellung nicht mehr darstellbare Restgröße. Diese nicht dargestellte Restgrösse wird mit anwachsenden Umfang eingerechneter  Terme  (Glieder, Brüche) immer kleiner. 

Verbesserte Konvergenz
Die Gregory-Leibnitz-Reihe weist  nur eine sehr schwache Konvergenz auf, so dass sie in der Praxis für das Berechnen von  Kreiszahlen πnum nicht benutzt wird. Bestrebungen  die Konvergenz zu verbessern, sind weder von Gregory und Leibnitz bekannt geworden. 
Beim Betrachten der Gregory-Leibnitz-Reihe fallen gewisse Lücken bei der Zahlenfolge auf. Es fehlt hier eine gewisse  Vollständigkeit durch die  fehlenden geraden Zahlen.  Ich ergänze  hier entsprechende  rote Terme,    um zu einer  endlosen Reihe  mit  deutlich verbesserter Konvergenz zu gelangen1.    
π  / 4 =    1/2* [1/4 -  1/6  + 1/8 - 1/10 + 1/12 - .....]      + 1   -1/3  + 1/5  - 1/7  + 1/9  -  1/11 +  .....
Umsortiert ergibt sich:
 π / 4 = [1- 1/3 +1/(2*4)] +[1/5 -1/(2*6)] - [1/7- 1/(2*8)] + [1/9 -1/(2*10)]  - [1/11 -(1/2*12) ] +.....
Bei  der Gregory-Leibnitz-Reihe wird mit eingerechneten Zahlen bis 15  ein   unvollständiges   πnum-Ergebnis =4*0,75426  = 3,0   berechnet. Mit meiner ergänzten Reihe (rot und schwarz)  wird mit eingerechneten Zahlen bis 16  bereits ein    πnum-Ergebnis =4*0,7855=3,14   mit 2 wahren Nachkommastellen berechnet..
Eine deutlich verbesserte  Konvergenz wird hier durch  arithmetische  Mittelungen   jeweils aufeinander folgender Klammer-Terme [ ] erreicht, wie es das nachfolgende  Schema zeigt.  Das Mitteln beginnt mit   a=1/2*(1+2), dann b=1/2*(2+3), dann c=1/2*(3+4) usw.   Die Mittelung kann hier endlos  fortgesetz werden, mit a2=1/2*(a+b)   b2=1/2*(b+c) usw, wie es das nachfolgende Schema zeigt.                  
 ________       _________       __________        __________         __________     .  . .
            __________        __________         _________      __________   . . .
                        _________         ___________       __________  . . .
                                        .   .   .
Vergleich der Konvergenz bei  πnum-Berechnungen
Eingerechnete Zahlen πnum aus Leibnitz- Reihe πnum aus ergänzter -Reihe
     
1 bis 16 3 3,1415
1 bis 32 3,1 3,141592653
1 bis 256 3,1 besser als 
1 bis 988 3,14 3,141592653
1 bis 4096 3,141  
1 bis 10416 3,141  

 

 

 

[1]    Schleicher,S.: CohaerenticAnschauliche Rechenzusammenhänge ohne und mit Zahlen, ISBN 9783982025216

 

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