Pi aus Rektifikation des Kreisbogens

Die Rektifikation ist ein klassich konstruierter Grenzprozess  

Fontana (1784) und weitere

Th.Vahlen hat in seinem Buch, Theodor Vahlen,  Konstruktionen und Approximationen, Verlag G.B.Teibner Leipzig und Berlin 1911,  diese   klassische  Konstruktion  zur Rektifikation eines Kreisbogens  aufgenommen, die wohl erstmals  im Jahre 1784 der italienischer Mathematiker   Fontana veröffentliche.

 

Die Erklärung der wesentlichen Zusammenhänge für die Rektifikation fallen bei Vahlen  nicht gerade einfach aus.  Es wird anhand von Formeln und nicht anhand anschaulich nachvollziehbarer  Zusammenhängen erklärt. Einfacher ist es hier, mein nachfolgendes Bild zu betrachten  und die  Rektifikaton (das Geradebiegen bei gleichbeleibender Länge)  anhand der  roten, immer weniger gekrümten  Kreisbögen zu verstehen.  

 

 

Beschreibung der Konstruktion  

Diese klassisch konstruierte Cohaerentic-Kalkulation erzeugt  Mit einem konstruierten exaktem Berechnen wird eine Strecke bzw. ein geometrisches Verhältnis  πgeo, erzeugt, das dem Grenzwert π=Kreisumfang/Kreisdurchmesser  zustrebt.  Dieses Berechnen geschieht mit einer Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kurvenstücke von Kreis- und Gerade. Zum leichteren Verfolgen der Abfolge der Schritte sind die gezeichneten Objekte mit laufenden Nummern und Buchstaben, K für  Kreis, G für Gerade und S für Schnittpunkt versehen. Anschaulich nachvollziehbar wird der Halbkreisbogen bei Erhalt der  ursprünglichen Bogenlänge immer weiter aufgebogen bis der Grenzwert erreicht ist, sprich keine Krümmung mehr erkannt werden kann. Jeder neue  jeweils gleichlange  Bogen hat einen doppelt grossen  Radius  und einen halb so grossen  Zetriwinkel. 

 

Verkürzter  klassisch konstruierter  Grenzprozess für ein πgeo

 

Prinzipieller Darstellungsfehler

Bei einer gezeichneten und auch bei einer numerischen π-Berechnung   bleibt vom Prinzip her, nach einem willkürlich gewähltem  letzten Rechenschritt, von den endlos viel möglichen Schritten,  immer  ein  mehr oder minder kleiner nicht in der Ergebnis-Darstellung   berücksichtigter Restfehler. Ein solcher prinzipieller Fehler bleibt somit auch bei  einer gezeichneten Cohaerentic Kalkulation.    Allerdings wird hier mit einer besonderen  Massnahme, welche den kontinuierlichen Raumzusammenah ausnutzt, zu einer verbesserten Konvergenz gelangt, welche den Umfang an notwendigen Schritten reduziert, welche  für eine gewählte Ergebnis-Genauigkeit (Anzahl  wahrer Nachkommastellen) erforderlich sind.  Die Massnahme  zur Verbesserung der Konvergenz  wird  im folgenden   Video gezeigt.

 

Video

Das folgende Bild macht deutlich, die Summe der roten und schwarzen  Kreisbögen gleicher Krümmung ist immer gleich gross, unabhängig  von der Drehungsgrösse  der roten Radiusstrecke, die den Kreisumfang unterteilt..

 

 

 

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