Rechteck <-> Quadrat- Kohärenz

Im folgenden Bild unterscheiden sich die beiden als  Cohaerentic-Kalkulation  gezeichneten   Kohärenzsysteme nur in der Rechteckgestalt, schlank und  schon einem Quadrat ähnlich. Der gezeichnete Rechengang ist für jede Rechteckgestalt der gleiche.  Mit einer nur sehr kurzen Sequenz  zusammenhängend gezeichneter   Kreis- und Strecken-Objekte wird das flächengleiche Quadrat aus dem  gegebenen Rechteck  klassisch konstruiert berechnet und dargestellt, und zwar anschaulich nachvollziehbar.

Diese anschauliche Cohaerentic Kalkulation  weist gegenüber den bekannten  Konstruktionen zur  "Quadratur des Rechtecks",  den Vorteil der direkten anschaulichen Evidenz auf. Diese   gibt es  für beide Richtungen des Berechnens, vom Rechteck zum Quadrat  und auch für vom Quadrat zum Rechteck.

Eine vergleichbar anschauliche Evidenz fehlt bisher. Diesen Mangel weisen  schon die bekannten Berechnungen im Grundlagenwerk   ELEMENTE des  Euklid (ca 330 v.u.Z.) auf und gleichfalls  auch die im Internet unter www.wikipedia.org  vorgezeigten Beispiele zur "Quadratur des Rechtecks".

 

Beschreibung zur Richtung  "Rechteck->Quadrat"

Von der Langseite des Rechtecks  ausgehend wird das grosse Hilfsquadrat, samt seiner Diagonale und dem Umkreis, gezeichnet.  Im Schnittpunkt der Diagonale mit der oberen Langseite des Rechtecks  wird eine Senkrechte zur Diagonale gezeichnet, die den Umkreis in zwei Punkten schneidet. Durch diese Punkte wird ein Kreis gezeichnet, dessen Mittelpunkt der rechte untere Eckpunkt des Rechtecks ist.  Der Schnittpunkt dieses  Kreises  mit der  Diagonale ist der Eckpunkt des gesuchten flächengleichen Quadrates. 

Beschreibung zur Richtung "Quadrat->Rechteck"

Hier sind ein gegebenes Quadrat mit seinem Diagonalenen-Strahl durch zwei Eckpunkte, sowie eine  beliebig gross gegebnene Rechteckseite, der Ausgangspunkt der Berechnung. Nun ist zu entscheiden, wo die gegebene Rechteckseite angetragen wird. In deren Endpunkt wird dann eine Senkrechte errichtet, die von einer in die obere Quadratseite gelegten Geraden  geschnitten wird.  Von diesem Schnittpunkt wird eine Strecke zum unteren rechten Quadrateckpunkt gezeichnet. Diese Strecke ist eine Symmetriegerade und schneidet die linke Quadratseite. Dieser Schnittpunkt legt die Grösse der gesuchten Rechteckseite fest, so dass dieses vollständig zu Ende gezeichnet werden kann. 

 

Empirischer Beweis  zur Flächengleichheit für beide   Richtungen des Berechnens:

In die obere  Quadratseite  wird eine Gerade (Parallele) gelegt, welche die   linke  Seite  des HilfSquadrates schneidet. Durch diesen   Schnittpunkt wird eine Strecke zum unteren rechten Rechteckpunkt gezeichnet. Diese Strecke ist als Diagonale eine Symmetriegerade. Sie schneidet zugleich die obere Langseite des Rechtecks und die linke Quadratseite. Aus Symmetriegründen sind rechts und links an der Symmetriegeraden alle korrespondierenden Flächenpaare gleich gross und damit stimmen auch  Rechteck und Quadrat in ihrer Flächengrösse überein.

 

 

Video zur Quadratur des Rechtecks  

Das nachfolgende Video zur Quadratur des Rechtecks zeigt ein klassisch gezeichnetes Urberechnen. Es hebt die Bedeutung der Symmetrie-Gesetzmässigkeit mit der Symmetrie-Diagonale nochmals deutlich hervor. Das Video vermittelt,   der gezeichnete Zusammenhang ist ein  allgemeingültiger, der vom ganz schlanken Rechteck  bis hin zur Quadratgestalt zutrifft. 

 

 

Wirkt Euklids Tradition vielleicht noch nach?  

Mein Versuch, meine   sehr anschaulich und sehr kurze  Quadratur des Rechtecks als Ergänzung zu den bei wikipedia.org schon aufgelisteten Methoden hinzuzufügen, wurde  gelöscht. Für das   Nachprüfen auf ein Richtigsein des neuen   Wissens fehle eine anerkannte Quelle. Mein  selbst geschriebenes  Buch Cohaerentic sei als Quelle  nicht akzeptabel.  Folgt dieses Vorgehen einer Tradition? Folgt hier  wikipedia.org bewusst dem Erbe von Euklid, warum einfach erklären, wenn es auch etwas umständlicher erklärt werden kann?   Der elitäre Euklid soll ja der Legende nach auch seinem  König mit, "Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik" eine Absage erteilt haben, als dieser  für sein Studium der Geometrie nach kurzen verständlichen Wegen verlangte.

 

 

Höhen-Satz  des Euklid (ca 330 v.u.Z.)

Unterschiede von elementarer Konstruktion und Cohaerentic-Kalkulation  am Beispiel der  "Quadratur des Rechtecks"

Die  Quadratur-Aufgabe Rechteck->Quadrat betrachtet  Euklid  in seinem berühmten Grundlagenwerk ELEMENTE  1.Teil, II. Buch, § 14 (A.2), OSTWALDS KLASSIKER 235, Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G. Leipzig 1933.   Die von  Euklid  dazu gezeichnete   elementare Konstruktion zeigt das folgende Foto:

 

 

Die zu lösende Aufgabe lautet hier, aus dem  gegebenen Rechteck  mit den Eckpunkten  BCDE ist die gesuchte   gleich grosse Quadratfläche   durch Zeichnen zu berechnen und darzustellen. Mit der gezeichneten Höhe EH endet bei Euklid das gezeichnete Konstruieren.   Das Foto mit dem Text neben dem Bild zeigt, Euklid führt   einige  gedankliche   Zwischenrechnungs-Schritte  aus, ehe er die verbale Aussage zum Höhen-Satz  BE*EF=EH2 hin schreiben kann. Aus dem Bild  der  elementaren Konstruktion  allein kann hier die Bestätigung der Satz-Behauptung (Richtigsein des Ergebnisses EH) nicht entnommen werden. Es fehlt in Euklids  gezeichneter Konstruktion der gezeichnete zweifelsfrei zutreffende anschauliche Beweis? Bei dieser von Euklid praktizierten Vorgehensweise ist man bis heute geblieben, wie ein Blick in die Lehrbücher, mathematische Lexika und ins Internet zeigt.

Meine gezeichnete Cohaerentic-Kalkulation, mit der die  Aufgabe "Quadratur des Rechtecks" gelöst wird, schliesst mit der gestrichelten Rechteck-Diagonale KL auch den   zweifelsfrei zutreffenden anschaulichen Beweis zur Flächengleichheit  von  rotem Rechteck und rotem Quadrat ein. 

Elementar gezeichnete Cohaerentic Kalkulation zum Höhen-Satz des Euklid (4.Jh.v.u.Z.)

 

 

Cohaerentic-Beweis zur Flächengleichheit mittels Symmetrie-Gesetz 

Ein gezeichnetes beweisendes Berechnen  soll natürlich immer mit einem möglichst  geringem Aufwand erfolgen. Die Gleichheit soll auf möglichst elementarer  Ebene   beweisen werden, da dann das Bewiesene am besten überzeugt. So habe ich hier die elementare Konstruktion des Euklid zum Höhensatz  um einen kurzen, anschaulich nachvollziehbaren Beweis vervollständigt.

 

Beweis-Beschreibung:  

Ein Rechteck hat zwei Symmetrie-Diagonalen. Hier teilt die gestrichelte  Diagonale   KL das Rechteck KJLC  in zwei gleich grosse Halbrechteck-Flächen KJL und LCK. Der Punkt E auf dieser Symmetrie-Diagonale KL teilt dann das Gesamtrechteck KJLC in drei Paare gegenübeliegender Flächen, in zwei äussen liegende  Halbrechteck-Paare und ein innen liegendes Paar von Rechtecken. Alle diese Flächenpaare sind aus Symmetriegründen immer von gleicher Flächengrösse zueinander, unabhängig von der Gestalt des Gesamtrechtecks, die durch die   Drehungsgrösse seiner  Symmetrie-Diagonale  KL bestimmt wird.

Der Unterschied

Der   Unterschied  der  elementaren Konstruktion  von Euklid zu meiner gezeichneten   Cohaerentic-Kalkulation  zeigt sich wie folgt.  In Euklids Konstruktion fehlen die Teile seines  gedachten Rechengangs als anschaulich nachvollziehbar gezeichneter  Rechengang /-weg.   Bei meiner obigen Cohaerentic Kalkulation ist der gezeichnete Rechengang   für die Aufgabenlösung und den Beweis der Flächengleichheit anschaulich nachvollziehbar und insgesamt  vollständig dargestellt.  

 

Über die Motivation von Euklid

Warum nutzten die Vorgänger von Euklid und auch er, sowie auch  seine geistigen Erben, nicht den fundamentalen Symmetrie-Zusammenhang,  der in der  obigen Cohaerentic-Kalkulation genutzt wird?  Bekannt war diese Symmetrie-Gesetzmäßigkeit schon damals. Euklid selbst beschreibt diesen Symmetrie-Zusammenhang in seinem 1. Buch der ELEMENTE  unter §43 (L. 32) und  auch im II. Buch unter §4 (L. 4). Dabei  arbeitete   er  mit den Begriffen Ergänzungen im Parallelogramm, die sich bis heute im Satz der Ergänzungsparallelogramme erhalten haben.  

Hat  Euklid hier diese  Querverbindung übersehen oder hat er vielleicht  bewusst  den Grundsatz verfolgt, warum mit einfachen systematischen  Zusammenhängen erklären, wenn es auch ein wenig umständlicher  möglich ist und  so  mehr nach Wissenschaft aussieht? Der Legende nach soll Euklid gar nichts vom Wunsch nach einfachen kurzen Einsichten zu mathematischen Zusammenhängen  gehalten haben. Seinem König, der solch einen Wunsch äusserte, soll er hierauf   geantwortet haben, "Es gebe keinen Königsweg zur Mathematik".  Heute   bleibt uns nur die Spekulation zu Euklids Vorgehen beim Katheten- und Höhen-Satz. Es könnte sowohl der eine  und auch der andere Sachverhalt richtig sein.

Die eben dargelegte Situation betrifft auch noch weitere  elementare Konstruktionen zu mathematischen Sätzen.  Auch bei diesen  fehlt  der mit gezeichnete Beweis, fehlt quasi die Vollständigkeit. Davon kann man sich leicht    in mathematischen Lexika,  und Lehrbüchern und dem Internet (z.B. wikipedia.org) selbst überzeugen.  Die jeweils vorgezeigten Bilder  sind keine gezeichneten Berechnungen, die im Ergebnis zu  anschaulich gleich grossen  Produkten   und  Quotienten bzw. Längen- und Flächen-Objekten führen. Sie sind nur illustrierende Darstellungen zum Sachverhalt der mit den mathematischen Sätzen behaupteten Zusammenhänge. Es fehlt die gezeichnete fortschreitend  nachvollziehbare Berechnung bis zum zweifelsfrei berechneten und dargestellten  Ergebnis.  Erst eine solche vollständige,  stringent gezeichnete Berechnung ermöglicht  ein überzeugendes, im Einklang mit der Alltagserfahrung stehendes Verstehen der behaupteten  Rechenzusammenhänge. 

Mit Cohaerentic Kalkulationen kann im Lernprozess vom  hier und da verlangten  Hinnehmen und Akzeptieren von Formeln und Konstanten, das bei vielen Lernenden kein gutes "Bauchgefühl" hinterlässt, abgerückt werden.

 

 

 

 

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