Verkürzte  Grenzprozesse konstruieren

Uraufgabe "Gestaltwandlung"   Rechteck -> Quadrat

 

Gesucht:    Gesucht ist eine Quadratseite eines zu einem Rechteck flächengleichen Quadrates. Die Quadratseite soll  mit einem gezeichneten   Grenzprozess berechnet und dargestellt werden.

 

Gegeben:   Gegeben ist ein  Rechteck mit Kurz- und Langseite.

 

Lösungsauflage:    Die Lösungsberechnung soll als   verkürzter  gezeichneter Grenzprozess stattfinden. Dabei soll eine betimmte Ergebnisgenauigkeit schon mit weniger Schritten erzeugt werden, als beim unverkürzten Prozess.

 

Anmerkung:      Um die Ergebnisgenauigkeit leichter überprüfen zu können, wird ein  gegebenes Rechteck mit der Langseite = 4 und der Kurzseite =1 genutzt. Die erwarte  Quadratseite als Grenzwert hat dann die Grösse  sq=2 und ist damit gut nachprüfbar..  

 

Lösungskohärenz/ -kriterium:     Das Lösungskriterium ist hier eine  Kohärenzkurve  "Hyperbel". Die flächengleichen Rechtecke sind mit ihrer rechten oberen Ecke ein Punkt der Hyperbelkurve. Was ist, wenn es noch keine gezeichnet vorhandene Hyperbelkurve gibt? Dann  stellt sich die Frage, wie können Punkte der Hyperbel gezeichnet berechnet werden und wie kann damit zur gesuchten Quadratseite gelangt werden?  Der gewählte  Lösungszusammenhang ist hier der "Satz vom Ergänzungsparallelogramm" und ein   erdachter natürlich konvergenter Grenzprozess, der mit einer Kohärenzkurve Hyperbel arbeitet.  

 

 

 

Vergrösserung von der  rechten oberen Quadratecke.

 

 

Beschreibung des konstruierten Rechengangs: 

In der linken unteren Ecke des gegebenen Rechtecks ohne Füllfarbe  wird eine 45° Strahl-Gerade eingezeichnet. In einem ersten Iterationszyklus wird mit einer beliebig gewählten roten Hilfsdiagonale und zwei Nebendiagonalen  begonnen. Durch die drei gezeichnet berechneten  roten Schittpunkte = Hyperbelpunkte wird der schwarze Krümmungskreis gelegt, der den 45°-Strahl schneidet und das 1. Zwischenergebnis (schwarz) 1, 99xxxxx liefert, dass noch etwa  2/100 vom erwarteten  idealen Ergebnis entfernt ist. Mit einer zur Abszissen-Achse parallelen schwarzen Geraden durch den 1. Zwischenergebnis-Schnittpunkt beginnt der nächste, mit schwarzen Strecken gezeichnete Iterationszyklus. Durch die  dann gezeichnet   berechneten  3 schwarzen  Punkte der Kohärenzkurve "Hyperbel" wird nun der rote Krümmungskeis gezeichnet, der den 45°-Strahl schneidet und damit das 2. Zwischenergebnis sqz=2,000003xxx für die Seitengrösse des Quadrates erzeugt.   Das untere Bild zeigt eine starke Vergrösserung im Ergebnisbereich. 

 Es zeigt sich am klassich konstruierten Kohärenzsystem, dass  eine starke Konvergenz vorliegt und für die alltäglichen Anforderungen keine weiteren Iterationszyklen notwendig sind. Da der Berechnungsplan hier bis ins Endlos vollständig bekannt ist, können immer weiter Zyklen für eine noch aufwendigere Ergebnisdarstellung ausgeführt werden, bis sie schliesslich zur sinnlosen Aktion werden.

Als neues Wissen erkennen wir an diesem Beispiel, die gezeichnete Lösungsberechnung der Quadratur des Rechtecks mit einem Grenzprozess bedarf nicht des Wissens, welches die  Satzgruppe des Pythagoras beschreibt.

 

Video

 

Im Video wird der Startpunkt (roter Kreis)  der gezeichneten Sequenz des bildlichen  Kohärenzsystem auf den Lösungspunkt (schwarzer Kreis) zubewegt. Dabei streben der erste Zwischenwert J1I und der zweite Zwischenwert (= hier gleich Endwert) der Seitenlänge  H1J1 des Quadrates immer mehr dem Grenzwert 2 zu.

 

Der Punkt auf dem Zeitbalken kann angehalten und auch vor  und zurück bewegt werden, was ein besseres Verstehen der Zusammehänge fördert.

 

 

Aus der Fachliteratur sind Beispiele für Grenzprozesse  für die Rechengrössen "Zahlen" bekannt, nicht aber für klassisch gezeichnete Kohärenzsysteme mit Grenzwerten als Rechenergebnis wie eine gestreckte Kreisbogenlänge, ein Drittelwinkel usw. Für den Grenzwert oder Limes einer  Folge von Zahlen gibt es eine  gedachte Zahlgrösse, für die es jedoch keine diskrete Darstellung mit nur endlich vielen Schritten gibt. Die Situation bei der Darstellung  des Ergebnisses  bei einem gezeichneten Grenzprozessen ist quasi ein ähnliche.

Mit gezeichneten Cohaerentic- Kalkulationen werden verkürzte Grenzprozesse angestrebt und auch erfunden.  Ausgehend davon wurden auch für Grenzprozesse mit Zahlen ein Verkürzen der   Grenzprozesse angestrebt und auch erfunden. (Beispiele für solche verkürzte Grenzprozesse werden  unter Urberechnungen vorgezeigt.)

 

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