Urberechnungen genähert oder exakt konstruieren? 

Die Mathematik verwirrt mit ihrem nicht gerade glücklichem Gebrauch der Worte "genähert" und exakt.  Mit genäherte Rechengängen (Formeln) werden immer nur genäherte Darstellungen zum erwarteten exakten Ergebnis erzeugt. Hingegen werden mit exakten  Formeln (Rechengängen)  vielfach nur  genäherte Ergebnisdarstellungen erreicht, da endlose Prozesse immer vorzeitig abgebrochen werden. Diese Sachverhalte von genähert und exakt sind etwas verwirrend. Exakte πnum-Berechnungen (Rechengänge), die mit mehr ausgeführtem "Rechenoperatonen" zu einer immer genaueren Ergebnisdarstellung gelangen, werden auf ein nur genähertes Berechnen rückgestuft werden und Näherungsrechnung genannt. Als Grund dafür ist,   endlose  Grenzprozess  werden niemals vollständig ausgeführt und immer vorzeitig abgebrochen, so dass keine vollständige, immer nur genäherte Ergebnis-Darstellung erzeugt wird. Wir werden  hier deshalb künftig unterscheiden in   genäherte  Rechengänge mit nur  begrenzt genäherten  Ergebnis-Darstellungen sowie in exakte Rechengänge mit unbegrenzt genäherten Ergebnis-Darstellungen. 

Wie ist die folgende Frage zu beantworten? Ist die Dezimalzahl 0,333333333... das Ergebnis eines exakten  Rechengangs für  1/3 oder ist sie doch nur das Ergebnis einer genäherten Berechnung?  Die mit einer endlichen Zahl von Schritten erzeugte  Ergebnis-Darstellung 0,333 ist als Multi-Summe eine genäherte Ergebnis-Darstellung. Geht dieses genäherte Ergebnis auch nur aus einem genäherten    Rechenplan (=Berechnungsplan, Berechnungsvorschrift) hervor, oder wird hier ein endloser exakter Berechnungsplan nur nicht vollständig abgearbeitet, also  vorzeitig beendet? Mit den praktizierten  drei Punkten nach der letzten Ziffer (1/3=0,333...) wird der Sachverhalt eindeutig gemacht. Diese Ergebnis-Darstellung  als Dezimalzahl weist  auf einen exakten endlosen Berechnungsprozess hin. 

Was für genäherte und exakte Berechnungen mit Zahlen gilt, lassen wir in analoger Weise auch für die Cohaerentic Kalkulationen gelten, die als klassisch konstruierte Sequenz von  Kreis- und Gerade-Objekten  (Beschränkung auf Zirkel und Lineal)  gezeichnet werden.  So gelten Cohaerentic-Kalkulationen dann als gezeichnete exakte  Berechnungen,  wenn sie  einem exaktem Berechungsplan folgen, der auch bis ins Endlose reichen kann. Dann kann mit immer weiter fortgesetztem Berechnen   eine  Steigerung der Genauigkeit der "unbegrenzt genäherten" Ergebnis-Darstellung erzielt werden.

Genäherte elementar konstruierte Berechnungen sind solche, bei denen aus dem konstruiertem Rechengang (Rechenplan=Berechnungsplan= Berechnungsvorschrift= bildliches Kohärenzsystem) nicht auf das zweifelsfreie Zutreffen und Richtigsein des Ergebnisses geschlossen werden kann. Wie später noch gezeigt wird, sind die  genäherte π-Konstruktion  von Kochanski (1685) oder  von Dinostratos (ca.4.Jh.v.u.Z.)  Beispiele hierfür. 

 

Uraufgaben mit  klassischen Konstruktionen exakt berechnen

Beim gezeichneten Berechnen von Uraufgaben, zu denen wir  das Winkeldritteln, das Kreisquadrieren und Würfeldoppeln und weitere zählen, wird von einer klassischen euklidischen Konstruktion gesprochen, wenn folgende Auflagen und Beschränkungen und  eingehalten werden:

- nur mit Kreis und Gerade (Zirkel und strichloses Lineal) zeichnen

 - nur mit einem endlichen Umfang an Denk- und Zeichenschritten arbeiten. 

Insbesondere durch die zweite Beschränkung  sind Grenzprozesse, wie sie zu den Berechnungen rund um den Kreis unerlässlich sind,   ausgeschlossen. Ohne   konstruierte  Grenzprozesse ist hier ein exaktes Berechnen  unmöglich. Dies wurde für die drei  Uraufgaben auch mathematisch bewiesen. Andererseits wird heute immer öfter auch betrachtet,   dass klassisch konstruierte Lösungen möglich werden, wenn zusätzlich Werkzeuge und schon gegebene Kohärenz-Kurven benutzt werden dürfen (siehe Wikipedia, Suchwort "Konstruktion mit Zirkel und Lineal"). 

Nicht untersucht wurde bisher die Frage, was ist,  wenn die euklidische  Beschränkung zum Umfang der Denk- und Zeichenschritte aufgehoben wird? Kann dann ein exaktes, sinnfällig nachvollziehbares  Ergebnis-Erzeugen und -darstellen erreicht werden? Reicht hierfür  das   Erweitern der klassischen Auflagen, um zugelassene klassich konstruierte  Grenzprozesse, aus?
Mit den hier angestrebten klassisch konstruierten  „Cohaerentic Kalkulation“ wird  insbesondere für die  Uraufgaben nach sinnfällig nachvollziehbaren Grenzprozessen gesucht,  die immer weiter verbesserbare "unbegrenzt genäherte" Ergebnis-Darstelungen erzeugen.  Mit   erarbeiteten, bis ins Endlose reichenden exakten Prozess-Wissen  kann  dabei durch immer mehr investiertem Rechenaufwand (= Konstruktionsaufwand) eine immer genauere Ergebnis-Darstellung  erzeugt werden, ohne Ende, zumindest theoretisch.

 

 

Begrenzt genähertes π-Konstruieren

Dinostratos (ca.4.Jh.v.u.Z.)  arbeitet mit der Kohärenzkurve Trisectrix des Hippias von Elis (5.Jh.v.u.Z.), die  später wegen des Zusammenhangs zu π  dann in Quadratrix umbenannt wurde. Dinostratos gibt keinen konkreten Berechnungsplan an. So bleibt für die Erzeugung der Quadratrix  die von Hippias. erdachte kinematische  Erzeugungsvorschrift. Bei dieser gibt es kein Schritt um Schritt gezeichnetes Erzeugen von Kurvenpunkten und auch kein  

 

 

anschaulich sinnfälliges  Schritt um Schritt Nachvollziehen. Ob und warum das Ergebnis  |ME|/|MD|= 2/π genähert oder exakt zutrifft, bleibt offen?   

Der Unterschied von genäherter und exakt konstruierter  Ergebniserzeugung liegt in den   gezeichneten Berechnungsplänen.  Bei Kochanski und Dinostratos ist das Ergebnis jeweils eine Überraschung, da es nicht sinnfällig aus den Schritten des aufgezeigten Rechengangs gefolgert werden kann.  Dies ist anders bei den hier und im Buch   Cohaerentic vorgezeigten  Cohaerentic-Kalkulationen. Der gezeichnete Rechengang  dieser Kalkulationen bleibt im Rahmen natürlicher Erfahrung anschaulich verständlich. Das angestrebte Ergebnis lässt sich schon nach endlich vielen Schritten des sequenziell gezeichneten Rechengangs erkennen.  Das Ergebnis wird logisch und stringent berechnet und nicht herbei probiert. Bei den Cohaerentic-Kalkulationen sind deshalb probierende Schritte nicht zugelassen. Die Urrechenschritte (Urrechenoperationen) Doppeln und Halbieren, sowie die grundsätzlichen Gesetze  im Erfahrungsraum, die  Symmetrie und ein  allgemeiner Erhalt-Grundsatz (Nichts verschwindet im Nichts und Nchts kommt aus dem Nichts) sind, spielen dabei eine dominierende Rolle.  Dazu gibt es hier und im Buch Cohaerentic viele Beispiele.  

A.Kochanski (1685)  veröffentlichte  für ein  genähertes π-Berechnen eine heute häufig zitierte klassische Konstruktion.

 

Das Ergebnis ist nach wenigen Schritten erreicht. Mit weiteren Berechnungsschritten, sprich durch mehr Rechenaufwand, kann keine  genauere Ergebnisdarstellung erreicht werden. Der gezeichnete Berechnungsplan umfasst nur wenige Schritte. 

 

Unbegrenzt genähertes   π-Konstruieren mittels Grenzprozess

Kreisverhältnis π =  (Länge des gestreckten Kreisumfangs)  /  Durchmesser

 

 

 
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