Punkte-Folgen als Grenzprozess  

Im Internet unter https://www.mathe-online.at/mathint/grenz/i.html wird eine Zusammenfassung   zu Grenzprozessen gegeben,   deren   Rechengrössen Zahlen sind.  
"Grenzprozesse (Grenzübergänge) und der Begriff des Grenzwerts (Limes) dienen dazu, das Unendiche in den Griff zu bekommen. Sie sind Errungenschaften der modernen Mathematik. Ihr Trick besteht darin, die Vorstellung von "unendlich klein", "unendlich groß" oder "unendlich nahe" als Prozess aufzufassen, bei dem eine Variable "beliebig klein", "beliebig groß" oder "beliebig nahe" zu etwas sind".
  
Ein Arbeiten mit Unendlich wird schnell problematisch, wenn es als diskrete Rechengrösse und deren digitalisiertes Abbild aufgefasst wird.  Führt ein Berechnungsprozess  3/∞  nicht tatsächlich zu einem dreimal grösseren Ergebnis als der Berechnungsprozess   1/∞ ?
 
Klassisch konstruierte Grenzprozesse:
Solche Grenzprozesse können auch mit besonderen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, die heute effizient mit einem Rechner und DGS- Programm (DGS ... Dynamisches Geometrie-System) ausgeführt werden, realisiert werden.
 
Konkret werden dabei mit endlich vielen konstruierten Schritten bzw. wiederholten Schritte-Zyklen  sichtbare Punkte-Folgen als  Zwischenergebnisse eines  Grenzprozesses erzeugt. Solche Grenzprozesse gibt es  für aufeinander folgende Punkte oder auch Kreis-Gerade-Objekte oder auch als ganze Figuren wie Kreise, Dreiecke usw.
 
Die jeweils aktuell erreichten Zwischenergebnisse (Zustände) treffen immer konkret für einen n-aktuellen Umfang aufgewendeter n Schritte zu.  Die erzeugten Schnittpunkte, Strecken, Kreisbögen und Figuren einer Folge zeigen insgesamt einen stetigen Trendverlauf. Es wird hier hin zu einem Grenzpunkt oder einem Grenzzustand als Abstand oder Streckenzug oder auch zu einer Figur oder Kurve gestrebt. Ein erstes Beispiel  für eine   elementar konstruierte Punkte-Folge und Grenzprozess ist mein folgendes bildliche Kohärenzsystem für die Abrolllänge des Halbkreisumfangs.
Hier werden die Merkmale für eine konvergierende Folge als Grenzprozess erfüllt.

 

In den historischen Überlieferungen zur Elementargeometrie fehlen die oben beschriebenen klassisch konstruierten Grenzprozesse, bei denen die  erzeugte  Punktefolge  einem Grenzpunkt (Grenzwert) als Lösungspunkt zustrebt.  Die ersten Überlegungen zu solchen fundamentalen Berechnungsprozessen stammen von Antiphon, Bryson  und von Hippias von Elis ( alle 5. Jh. v.u.Z.).

Das bekannte  Wissen  zu klassisch konstruierten Grenzprozessen ohne Ende passten nicht so recht in die gewachsenen Erwartungen der alten Griechen. So kamm es zum bewusste Auslassen schon bekannten Wissens in der Wissensübelieferung.  Besonders deutlich zeigt sich dies bei  Euklid (ca 330 v.u.Z.).   Er nimmt das schon bekannte Wissen zur fundamentalen Kurve Trisectrix = Quadratrix oder zur Berechnung der Kreisfläche nach dem Vorschlag von Antiphon nicht in sein berühmtes Werk ELEMENTE auf. In diesem wurde  das damals bekannte und akzeptierte mathematische Wissen  dargestellt.   Das von Euklid geschaffene  Vorbild ELEMENTE wirkt quasi bis heute fort. Im modernen richtungsweisenden Werk zur Elementargeometrie, D.Hilbert, Grundlagen der Geometrie, B.G.Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgard 1962,   werden keine klassisch konstruierten Grenzprozesse und Punkte-Folgen  erörtert. Im Internet  allgemein und auch beim Portal  Wikipedia werden unter dem Suchbegriff "mathematischer Grenzprozess" immer nur solche Prozesse erörtert, bei denen die Rechengrössen Zahlen sind.

 

 

 

 

 

 

  • Benutzer 48
  • Beiträge 106
  • Beitragsaufrufe 226162

Aktuell sind 57 Gäste und keine Mitglieder online