Konstruierbarkeit für Laien und Lernende erklärt

Heute ist es einfacher und genauer  klassische Konstruktionen, die in der Antike nur mit den Urkurven Kreis und Gerade bzw. den Werkzeugen Zirkel und Lineal  ausgeführt werden, mit einem dynamischen Zeichenproramm (DGS-Softwareprogramm), beispielsweise Geogebraauszuführen. Dabei werden quasi  unsichtbar mit Zirkel und Lineal, wie von Geisterhand,  die Urkurvenobjekte Kreislinie und gerade Linie gezeichnet.  Real   sind es aber immer nur sehr viele dicht benachbarte Punkte, die dann nicht mehr als Punktekurve, sondern als zusammenhängende Spurkurve = Strichkurve  wahrgenommen werden.

Über konstruierte  Zahlen = konstruierte Punkte

Wir können uns in der Ebene einen beliebig gegebenen Punkt vorstellen, der  Schnittpunkt zweier  orthogonaler Achsgeraden x und y ist. Werden davon ausgehend mit einer Sequenz zusammenhängend gezeichneter Urkurven-Objekte von Kreis und Gerade  weitere Schnittpunkte anschaulich nachvollziehbar erzeugt, dann sind diese klassisch "konstruierte  Punkte" und werden in der Mathematik als "konstruierte Zahlen" verstanden.   Das folgende Bild-Beispiel  zeigt, wie klassich konstruiert eine solche Punkte-Folge entsteht. Diese Konstruktion wird später noch mehrfach ausfühlicher beschrieben werden. Das Durchnummerieren der konstruierten Objekte macht das Nachverfolgen der Sequenz der nacheiender konstruierten Objekte leichter.
Als Rechenoperationen kommen quasi nur die Ur-Operationen Doppeln und dessen Umkehrung das Halbieren (Anti-Doppeln) vor. Mit diesen Operartionen  wird eine   klassisch konstruierte Folge von Schnittpunkten konstruiert, die Endpunkte der immer mehr gerade gebogenen roten gleichlangen Kreisbögen  sind. Diese Bogenendpunkte konvertieren   gut erkennbar einem Grenzpunkt auf der y-Achse zu, der einen Grenzabstand zum Nullpunkt  von der  exakten   Länge des Kreisumfangs hat. Alle Punkte dieser Folge werden in der Mathematik als „konstruierbare bzw. konstruierte  Zahlen“ verstanden. Es ist hier leicht einzusehen, die Folge der Punkte ist endlos fortsetzbar. Die Änderung des Abstandes von Punkt zum  nächsten  Punkt  bzw. von Punkt zum Nullpunkt strebt dabei immer mehr der Grösse Null zu, ohne Null jemals zu erreichen.  
Für diese direkt wahrnehmbare  Grenzwertgrösse, die heute symbolisch mit 2π = Kreisumfang /Durchmesser beschrieben wird, gibt es keinen letzten Punkt und damit   keine abgeschlossene  Ergebnis-Darstellung als diskrete Zahl, die durch endlich viele  klassisch konstruierte Schritte erzeugt und dargestellt werden kann. Die Forderung nach einer diskreten Ergebnis-Darstellung (Zahl) einerseits und andererseits der Sachverhalt einer  nicht endenden Punkte-Folge bzw. Schritte-Sequenz  sind zueinander widersprüchlich.
Die Menge der konstruierbaren Punkte (konstruierbare Zahlen) füllt die unbegrenzte, aber auch die begrenzte Ebene niemals vollsständig aus.  Vom Prinzip her bleiben immer Lücken zwischen den konstruierten Punkten (=Raster-Punkte), egal wieviele diskret benennbare Schritte für die konstruierten Punkte schon ausgeführt sind. 
 

Über nichtkonstruierbare Zahlen = nichtkonstruierbare Punkte

Die Betrachtung zu Punkten kann auch umgedreht werden. Sind in der Ebene  zwei beliebig gelegene Punkte gegeben,   wird jetzt eine mögliche Sequenz  zu zeichnender Kurven-Objekte von Kreis und Gerade gesucht, welche  ausgehend von einem der beiden Punkt mit endlich vielen Schritten exakt den jeweils zweiten Punkt   klassisch konstruiert?  Der zweite beliebig gegebene Punkt liegt quasi immer in einer Lücke, zwischen benachbart konstruierten Punkten (= Raster-Punkten), egal mit wieviel diskret benennbaren Schritten schon konstruierte Punkte (= Raster-Punkten) erzeugt sind.  Aus dem eben dargelegten elementar nachverfolgbaren Sachverhalt ist zu folgern:
"Kein  beliebig (zufällig) platzierter Punkt in der karthesischen Ebene  kann durch  eine  klassische Konstruktion   ohne Restfehler erzeugt oder ausgemessen werden. Diese Punkte  sind somit als "nichtklassisch konstruierbare  Punkte"  bzw. als  "nichtklassisch konstruierbare  Zahlen" zu verstehen.
Aus den zuvor mit elementaren Überlegungen aufgezeigten  prinzipiellen Gründen können das Winkeldrittel, die Quadratseite und die Würfelkante in ihrer Grösse  nicht als klassisch konstruierbarer Punkt bzw. nicht klassisch konstruierbare Zahl dargestellt werden. Dass diese "Unmöglich" für exakte Ergebnis-Darstellungen auch auf die klassisch konstruierten Ergebnis- Erzeugungsprozesse, wie das obige Bild einen zeigt, übernommen werden, ist falsch und   irreführend. Es suggeriert die Erwartung, für die betrachteten drei klassichen Aufgaben der Antike  würde  es keine klassisch konstruierten exakten Lösungsprozesse geben können, die mit endlich vielen Konstruktionsschritten beschrieben werden können und so auch zu verwertbaren, frei wählbar genauen  Ergebnisdarstellungen gelangen.
 
                                           
                                           
 
 
 
 
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