Konstruierbarkeit für Laien und Lernende erklärt
Heute ist es einfacher und genauer klassische Konstruktionen, die in der Antike nur mit den Urkurven Kreis und Gerade bzw. den Werkzeugen Zirkel und Lineal ausgeführt werden, mit einem dynamischen Zeichenproramm (DGS-Softwareprogramm), beispielsweise Geogebra, auszuführen. Dabei werden quasi unsichtbar mit Zirkel und Lineal, wie von Geisterhand, die Urkurvenobjekte Kreislinie und gerade Linie gezeichnet. Real sind es aber immer nur sehr viele dicht benachbarte Punkte, die dann nicht mehr als Punktekurve, sondern als zusammenhängende Spurkurve = Strichkurve wahrgenommen werden.
Über konstruierte Zahlen = konstruierte Punkte
Wir können uns in der Ebene einen beliebig gegebenen Punkt vorstellen, der Schnittpunkt zweier orthogonaler Achsgeraden x und y ist. Werden davon ausgehend mit einer Sequenz zusammenhängend gezeichneter Urkurven-Objekte von Kreis und Gerade weitere Schnittpunkte anschaulich nachvollziehbar erzeugt, dann sind diese klassisch "konstruierte Punkte" und werden in der Mathematik als "konstruierte Zahlen" verstanden. Das folgende Bild-Beispiel zeigt, wie klassich konstruiert eine solche Punkte-Folge entsteht. Diese Konstruktion wird später noch mehrfach ausfühlicher beschrieben werden. Das Durchnummerieren der konstruierten Objekte macht das Nachverfolgen der Sequenz der nacheiender konstruierten Objekte leichter.
Als Rechenoperationen kommen quasi nur die Ur-Operationen Doppeln und dessen Umkehrung das Halbieren (Anti-Doppeln) vor. Mit diesen Operartionen wird eine klassisch konstruierte Folge von Schnittpunkten konstruiert, die Endpunkte der immer mehr gerade gebogenen roten gleichlangen Kreisbögen sind. Diese Bogenendpunkte konvertieren gut erkennbar einem Grenzpunkt auf der y-Achse zu, der einen Grenzabstand zum Nullpunkt von der exakten Länge des Kreisumfangs hat. Alle Punkte dieser Folge werden in der Mathematik als „konstruierbare bzw. konstruierte Zahlen“ verstanden. Es ist hier leicht einzusehen, die Folge der Punkte ist endlos fortsetzbar. Die Änderung des Abstandes von Punkt zum nächsten Punkt bzw. von Punkt zum Nullpunkt strebt dabei immer mehr der Grösse Null zu, ohne Null jemals zu erreichen.
Für diese direkt wahrnehmbare Grenzwertgrösse, die heute symbolisch mit 2π = Kreisumfang /Durchmesser beschrieben wird, gibt es keinen letzten Punkt und damit keine abgeschlossene Ergebnis-Darstellung als diskrete Zahl, die durch endlich viele klassisch konstruierte Schritte erzeugt und dargestellt werden kann. Die Forderung nach einer diskreten Ergebnis-Darstellung (Zahl) einerseits und andererseits der Sachverhalt einer nicht endenden Punkte-Folge bzw. Schritte-Sequenz sind zueinander widersprüchlich.
Die Menge der konstruierbaren Punkte (konstruierbare Zahlen) füllt die unbegrenzte, aber auch die begrenzte Ebene niemals vollsständig aus. Vom Prinzip her bleiben immer Lücken zwischen den konstruierten Punkten (=Raster-Punkte), egal wieviele diskret benennbare Schritte für die konstruierten Punkte schon ausgeführt sind.
Über nichtkonstruierbare Zahlen = nichtkonstruierbare Punkte
Die Betrachtung zu Punkten kann auch umgedreht werden. Sind in der Ebene zwei beliebig gelegene Punkte gegeben, wird jetzt eine mögliche Sequenz zu zeichnender Kurven-Objekte von Kreis und Gerade gesucht, welche ausgehend von einem der beiden Punkt mit endlich vielen Schritten exakt den jeweils zweiten Punkt klassisch konstruiert? Der zweite beliebig gegebene Punkt liegt quasi immer in einer Lücke, zwischen benachbart konstruierten Punkten (= Raster-Punkten), egal mit wieviel diskret benennbaren Schritten schon konstruierte Punkte (= Raster-Punkten) erzeugt sind. Aus dem eben dargelegten elementar nachverfolgbaren Sachverhalt ist zu folgern:
"Kein beliebig (zufällig) platzierter Punkt in der karthesischen Ebene kann durch eine klassische Konstruktion ohne Restfehler erzeugt oder ausgemessen werden. Diese Punkte sind somit als "nichtklassisch konstruierbare Punkte" bzw. als "nichtklassisch konstruierbare Zahlen" zu verstehen.
Aus den zuvor mit elementaren Überlegungen aufgezeigten prinzipiellen Gründen können das Winkeldrittel, die Quadratseite und die Würfelkante in ihrer Grösse nicht als klassisch konstruierbarer Punkt bzw. nicht klassisch konstruierbare Zahl dargestellt werden. Dass diese "Unmöglich" für exakte Ergebnis-Darstellungen auch auf die klassisch konstruierten Ergebnis- Erzeugungsprozesse, wie das obige Bild einen zeigt, übernommen werden, ist falsch und irreführend. Es suggeriert die Erwartung, für die betrachteten drei klassichen Aufgaben der Antike würde es keine klassisch konstruierten exakten Lösungsprozesse geben können, die mit endlich vielen Konstruktionsschritten beschrieben werden können und so auch zu verwertbaren, frei wählbar genauen Ergebnisdarstellungen gelangen.
