Kurve als Kohärenz-System   

Abhängige Kurvenpunkte klassisch konstruieren und  darstellen

Mit der Sichtweise der Cohaerentic sind die   fundamentalen Kurven   Gerade; Kreis: Parabel, Hyperbel, Ellipse und auch die Quadratrixen  bildliche Kohärenzsysteme im Erfahrungsraum. Abhängigen Kurvenpunkte können    auf der Grundlage   fundamentaler Raum- und Rechenzusammenhänge klassich konstruiert werden. Mit immer mehr Aufwand können immer mehr und immer dichter benachbart konstruiert werden, quasi ohne prinzipielles Ende.

Ortskurven      (Grundlage sind gleiche  Eigenschaftenwie Erhalt und Gleichheit bei Abstand, bei Summe/Differenz, bei Produktflächen, Verhältnissen usw) 

  • Gerade
    Menge aller Punkte mit gleich grossen Abständen zu zwei symmetrisch liegenden Drehpunkten 
    bzw. auch
    Menge aller Punkte mit einem endlos grossem Abstand zu einem Drehpunkt 
    und damit auch
    Menge aller Kreispunkte mit einem endlos grossem Abstand zum Kreismittelpunkt
  • Kreis 
    Menge aller Punkte mit einem gleichem Abstand zu einem Festpunkt (Drehpunkt)
  • Parabel:
    Menge aller Punkte mit einem gleichem Abstand zu einem Festpunkt und einer Leit-Geraden
  • Hyperbel: 
    Menge aller Punkte mit konstanter Abstandsdifferenz zu zwei Festpunkten (Brennpunkten)
  • Ellipse: 
    Menge aller Punkte mit konstanter Abstandssumme von zwei Festpunkten (Brennpunkten)
  • Quadratrix: 
    Menge aller Punkte mit gleichgrossen translatorischen Strecken- und rotorischen Drehungen-Verhältnissen
 

Kegelschnittkurven 

    

Kohärenz-Kurven zu rot-lin-Transformationen

  • Quadratrix von Hippias /Dinostratos (5 Jh.v.u.Z.)

 

    

    Gegeben: Grüner Viertelkreis MDC  und das Quadrat zum Viertelkreis.               

    Gesucht:  Abhängig Punkte Q der Kohärenzkurve Quadratrix CDE für die die Verhältnisse von Rotation und Translation

    gleich gross sind, so dass gilt:   AM / CM = arcRD / arcCD      

     

    Konsruktionsbeschreibung:

    Auf dem Viertelkreisbogen DC und quasi simultan auf der Streck MC=DF werden mit multifachen Halbieren jeweils

    2N  Unterteilungen konstruiert, wobei  hier  2N=8 Schnittpunkt Q erzeugt  werden,wie es das Bild zeigt.   

 

 

  • Quadratrix von W.v.Tschirnhaus (17.Jh.)  und weitere Quadratrixen, insbesondere auch solche von Cohaerentic

 

 

 

Kurven-Verwandtschaften  von Gerade, Kreis, Parabel. Hyperbel und Ellipse 

  •  Kreis-Hyperbel-Kohärenz    Verschiedene Rechteck-Gestalt bei konstanter Flächengrösse führt zur Kreis-Hyperbel-Verwandtschaft

 

   

  • Kreis-Parabel-Kohärenz  

    Gegeben ist das grüne Rechteck mit den Punkten A; B; und C                 

    Gesucht ist die Grösse der Strecke |CD|?

    

    Konsruktionsbeschreibung:

    Die Sequenz der zu konstruierenden Objekte ist folgende:

    Es wird ein Kreis um die Durchmesser-Strecke |AB| gezeichnet, der die Strecke |CB| schneidet. 

    Durch den Kreis-Schnittpunkt wird die auf Strecke |CB| senkrecht stehende Strecke |AD| errichtet, welche die

    Grösse der  gesuchten Strecke |CD| festlegt.

 

  •  Kreis-Hyperbel-Parabel-Kohärenz    

 

 

 

Kohärenz-Kurven zu fundamentalen Rechenoperationen 

  • Summe / Differenz
  • Duplikate / Invers-Duplikate
  • Produkte / Quotienten

Produkt:   |CD|*|EF|=|AB|² :      |AB|=√|CD|*|EF|                      

Quotient:   |AB|² / |CD|= |EF|  :       |AB| / |CD|=|EF| / |AB|

Das folgende Bild zeigt eine klassich konstruierte  Multiplikation   |CD|*|EF|=|AB|^2   für |EF|<|AB| und |CD|>|AB| mit einem rechts neben Strecke |CD| klassich konstruiertem Beweis dazu, der mit Flächengleichheit geführt wird.

  • Potenzen / Wurzeln  
 

 Beispiel:       Kurven ganzzahliger Potenzen

Funktions-Kurven /Funktionsgraphen im 2D- Erfahrungsraum:

  • Implizite Kurvendarstellung F(x, y) = 0 ;
           Kreis: x2 + y2 −r2 =0; Gerade: x*m-y+a=0; Parabel  ax2-y=0
  • Expliziete Kurvendarstellung f (x) = y ; 
            Kreis: y=± r2-x2     ;      Gerade: y=a+x*m; Parabel y=ax2
  • Parameterabhängige Kurvendarstellung f(α )=y
            Kreis y=sinα ;     x=cos α 

 

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