Exakt oder genähert  klassisch konstruiert  berechen

Unmöglich exakt oder nur genähert zu berechnen oder ganz unmöglich  begegnet uns erstmals mit den drei  "klassischen" Aufgaben aus dem antiken Griechenland, dem Winkeldreitein, der Quadratur des Kreises und derr Volumendoppeln beim Würfel. Warum sind diese drei Aufgaben  auch für viele Laien interessant? Diese fundamentalen Aufgabenstellungen  können bereits  mit geringem mathematischen Wissen verstanden werden und sie haben   einen fundamentalen   Bezug  zur alltäglichen Praxis. Kann sich das für diese  Aufgabenlösungen  gelehrte "Unmöglich" tatsächlich gegen ein "Nichts ist unmöglich" halten?Warum sollen diese Aufgabenberechnungen nicht mit elementarem  klassischem Kostruieren, das  nur mit Sequenzen zusammenhängender Kreis -und Gerade-Objekte realisiert wird,  nicht gelöst werden können?  Liegt es vielleicht daran, dass die  Zusammenhänge hin zum gesuchten Ergebnis die menschliche Vorstellungskraft übersteigen und im Transzendenten unsichtbar werden? Bei diesen Erörterungen   kommt auch die Frage auf, wie verlaufen die Grenzen zwischen einem nur  ein genähertem und  einem exaktes Berechnen?

Hier gehen  wir zuerst obiger Frage   bei  klassisch konstruierten Kohärenzsystemen nach, welche die Lösungszusammenhänge betrachteter  Berechnungen  modellieren. Bei exakten Kohärenzsystemen ist die gesuchte Zwischenergebnisgrösse keine Überraschung, denn dessen Zustandekommen ist das Ergebnis eines einsichtigen sinnfällig nachvollziebaren Prozesses. Der Lösungszusammenhang  ist Schritt um Schritt  nachvollziehbar und die Ergebnisgenauigkeit wird hier mit mehr investiertem Rechenaufwand immer genauer.

Bei genäherten Kohärenzsystemen ist die gesuchte Zwischenergebnisgrösse, eine Überraschung, wie bei einem Zaubertrick. Der Lösungszusammenhang  ist nicht nachvollziehbar und die Ergebnisgenauigkeit wird hier mit mehr investiertem Rechenaufwand nicht genauer. Das bekannteste Beispiel hierfür ist die von A. Kochansky im Jahre 1683 veröffentliche   klassische Konstruktion für das genäherte  π-Berechnen ais Streckengrösse. Der Lösungszusammenhang  ist nicht nachvollziehbar und die Ergebnisgenauigkeit wird hier mit mehr investiertem Rechenaufwand nicht genauer. 

Wegen der berühmten "Unmöglich-Beweise" zu den drei  klassischen Aufgaben wird heute  gelehrt, dass  es  hier generell keine  klassisch konstruierten exakten Lösungszusammenhänge  geben könne.  Lösungen könne es hier nur geben, wenn die Beschränkungen, wie sie in den ELEMENTEN von Euklid praktiziert werden, verletzt und durchbrochen werden. 

Fakt ist aber, wie später hier noch vorgezeigt werden wird, die drei klassischen  Aufgaben können im weitesten Sinne   allein mit klassischem  Konstruieren gelöst werden. Dabei wird jeweils mit einer endlichen Zahl sinnfällig nachvollziehbarer Schritte  ein  zutreffendes aktuelles Ergebnis dargestellt, dass bei Fortsetzung des konstruierten Berechnens immer genauer dargestellt werden kann. Diese konstruierte Berechnen kann theoretisch ohne Ende fortgesetzt werden,  da all notwendigen Schritte der erfoderlichen Wiederholungen vollständig bekannt sind.

Das Wissen zu endlosen Prozessen gibt es vom Prinzip her  schon seit dem Berechnungsvorschlag zur Kreisfläche von  Antiphon im 5.Jhd v.u.Z.  Dieses Wissen bleibt aber lange Zeit missverstanden, unbeachtet und unbetrachtet.  Ferdinand Lindemann (1854-1939)  ging einst bei seinem berühmten "Transzendenz-Beweis für π" vom Kohärenzsystem Eulersche Identität e-1=0 aus, um hierzu die "Unmöglichkeit" zu erkennen.  Damit ist bewiesen,   alle Versuche   einer  klassisch konstruierten  Quadratur des Kreises, die  von der Eulersche Identität e-1=0 ausgehen, sind  unmöglich reaslisierbar. Zu anderen, auch möglichen  Lösungszusammenhängen macht der Lindemann´sche Beweis keine Aussagen.

Heute wird  für die  besagten "Unmöglich-Beweise" zu den drei klassischen Uraufgaben unzureichend auf die jeweiligen Gültigkeitsbereiche für das "Unmögich" hingewiessen. Dies führt dann zu Irritationen und Denkblockaden, denn es wird uneingeschränkt für viele Uraufgaben des Berechnens und insbesondere für die drei klassischen Aufgaben der Antike (Winkeldreiteilung, Quadratur des Kreises und Volumendoppelung beim Würfel)   erwartet, sie  seien generell  mit klassischem Konstruieren nicht  exakt zu berechnen und die Ergebnis-Erzeugung als Prozess sei generell   nicht nachvollziehbar darstellbar. Auf dieser Grundlage werden alle Versuche in diese Richtung, ohne konkrete Einzelfallprüfung, als "falsch" erklärt.

Für uns gilt aber hier, ein exaktes arithmetisches und auch klassisch konstruiertes Berechnen liegt dann vor, wenn nach exakten Rechenplänen mit immer mehr ausgeführten Schritten die Genauigkeit der Ergebnisdarstellung immer weiter verbessert werden kann. Wegen der angesprochenen Irritationen und Denkblockade fehlen  bis heute  insbesondere  klassisch konstruierte  Grenzprozesse   in der mathematischen Literatur und in Lehrbüchern.  

 

  

 

 

 

 

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