Überblick und Einführung 

Warum  berechnen und warum durch  anschaliches klassisches Konstruieren?

Gibt es eine Definition  für   B e r e c h n e n ?

          Berechnen ist ein  Wahrnemen, Durchdenken, Handeln und Darstellen mit   S c h r i t t e n 

Klassisch konstruierte Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten

  • bisher:       Bei klassischen euklidischen Konstruktionen gibt es  nach dem Vorbild der richtungsweisenden  ELEMENTE  von  Eukid (ca. 330 v.u.Z.) einw Beschränkung auf endliche Sequenzen zusammenhängend gezeichneter  Urkurven von Kreis und Gerade (Zirkel und Lineal).
  • neu:                 Bei klassisch konstrueierten Cohaerentic-Kalkulationen wird  die euklidische Beschränkung aufgegeben, keine  konvergenten    geometrischen Grenzprozesse  zu betrachten und zu nutzen. 

 

Beispiele zu Cohaerentic-Kalkulationen  für geometrische Uraufgaben 

 1. Beispiel     Klassiche Konstruktion für Flächengleichheit

 2. Beispiel     Klassiche Konstruktion für Flächengleichheit

 3.Beispiel     Klassisch konstruierter Grenzprozess  für das  "Kreisverhältnis π"  

 4.Beispiel      Video, "Verkürzter   Grenzprozess für π" 

 5.Beispiel     Digitalisierung des geometrischen Kreisverhältnis π  zur Kreiszahl πnum

 

 

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Warum berechnen und warum durch anschauliches klassisches Konstruieren?  

Die klassisch mit endlich vielen Kreisen und Geraden (Beschränkung auf die Werkzeuge Zirkel und Lineal) konstruierten Cohaerentic-Kalkulationen fördern auf elementarer Ebene das  Verstehen, was ist Berechnen und welche besondere Rolle dabei Schritte spielen?  Schnell wird hierbei zur Einsicht gelangt, die Aktionen des mathematischen Berechnens sind zu verschieden und zu vielfältig, um sie in einer kurzen Definition vollständig zu beschreiben.  

Wir betrachten hier grundsätzliches  Berechnen anhand leicht verständlicher grundsätzlicher Aufgaben.  Abweichend zum bislang gelehrten Wissen, richten wir hier das Interesse  nicht mehr auf   "unmöglich exakte" konstruiebare  Zahlen als  Ergebnis-Darstellung, beispielsweise  eines Winkeldrittels, oder die Quadratseitenlänge des zum Kreis flächengleichen Quadrates oder  die Würfelkantenlänge bei doppeltem oder halbiertem Würfelvolumen, sondern

 
auf "mögliche exakte" Ergebnis-Erzeugungsprozesse, die als als klassisch konstruierte  Sequenz zusammenhängender Kreis- und Geraden-Objekte ausgeführt und dargestellt  werden.   
Im Vordergrund steht hier nicht mehr, was   "unmöglich" ist,   sondern, was allein mit den Kurven Kreis und Gerade   "möglich" ist.  Mit der Einsicht, dass für die drei klassischen Aufgaben   die uralte mystische Erwartung   auf   konstruierbare Zahlen als  exaktes diskretes  Ergebnis  nicht erfüllbar ist, wird hier die Suche auf  doch mögliche   exakte  Ergebnis-Erzeugungsprozesse verlagert, die mit den klassischen Beschränkungen auf Zirkel und Lineal (klassisch konstruierte  Sequenz von Kreis und Gerade-Objekten) auskommen. Insgesamt wird dann  nach verständlichen  klassisch konstruierten    Ur- Rechenzusammenhängen in der Ebene gestrebt.   
 

Was motiviert   ein  verändertes Vorgehen?

Motivation ist die Irritation zur Nichtkonstruierbarkeit. Hilft hier ein besseres Erklären und Verstehen, dem auch    Laien und Lernende folgen können? Man kann sich in der Ebene einen beliebig gegebenen Punkt und dazu abhängig konstruierte Schnitt-Punkte vorstellen, die das Ergebnis einer Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kurven-Objekte von Kreis und Gerade sind, welche anschaulich nachvollziehbar mit den Werkzeugen Zirkel und Lineal erzeugt werden können. Die auf diese Weise erzeugten Schnitt-Punkte bzw. ihr Abstand zum gegebenen Bezugspunkt (oft der Nullpunkt) werden in der Mathematik „konstruierbare Zahlen“ genannt. Die Menge der konstruierbaren Punkte (konstruierbare Zahlen) füllt die unbegrenzte, aber auch die begrenzte Ebene niemals vollsständig aus. Vom Prinzip her bleiben immer Lücken zwischen den Raster-Punkten, egal wieviele diskret benennbare Schritte für die Raster-Punkte schon ausgeführt sind. 
Die Betrachtung kann auch umgedreht werden. In der Ebene sind jetzt zwei beliebig gelegene Punkte gegeben. Gesucht wird nun eine mögliche Sequenz der zu zeichnenden Kurven-Objekte von Kreis und Gerade, welche den zweiten gegebenen Punkt mit endlich vielen Schritten exakt erzeugt? Der zweite beliebig gegebene Punkt liegt quasi immer in der Lücke, neben den Punkten des hierzu erzeugten Punkte-Rasters, egal mit wieviel diskret benennbaren Schritten das Raster erzeugt ist.
Mit diesem grundsätzlichem Wissen rücken bei den Cohaerentic Kalkulationen   sinnfällig nachvollziehbare Erzeugungsprozesse für das gesuchte Ergebnis in den Bickpunkt des Interesses.  Es sind insbesondere klassich konstruierte  exakte  Grenzprozesse mit denen Zwischenergebnisse  erzeugt werden, die sich mit immer mehr ausgeführten, der vollständig bekannten Schritte des Konstruktionsplanes,  dem   Winkeldrittel, der Länge der Quadratseite und der Länge der Würfelkante  immer weiter nähern, theoretisch ohne Ende. Hierbei wird mit  verbessernden Massnahmen zur Konvergenz schon mit sehr sehr wenigen Schritten zu befriedigend genauen Ergebnis-Darstellungen  gelangt. Hier sind die exakten Wege   das Ziel und nicht eine  irgend wie erwartete, aber dann doch überraschende prinzipiell unmögliche exakte Ergebnisdarstellung. Die Ergebnisse zu den klassisch konstruierten  Berechnungen der drei antiken Aufgabenprobleme erfordern es,  die Gültigkeisbereiche der hierzu im 19. Jahrhundert  bewiesenen und heute gelehrten "Unmöglich"   ausführlicher zu erklären. Dadurch sollen   heutige Missverständnisse beseitigt werden,  wie sie    im Lexikon Wikipedia unter dem Suchbegriff "Konsruktionen mit Zirkel und Lineal" / "Unmögliche Konstruktionen" mitgeteilt werden. So ist zu lesen: 

"Viele geometrische Figuren können mit Zirkel und Lineal allein nicht exakt konstruiert werden. Darunter sind die klassischen Probleme der antiken Mathematik:

sowie

  • die Kegelschnitte Ellipse (mit Ausnahme des Kreises), Parabel, Hyperbel und
  • viele regelmäßige Vielecke.

Der Beweis, dass diese Probleme grundsätzlich nicht mit Zirkel und Lineal zu lösen sind, gelang jedoch erst im 19. Jahrhundert. Dennoch bewirkten die Versuche, das Unmögliche zu vollbringen, eine Reihe von Leistungen. Die Griechen fanden einige Lösungen der „klassischen“ Probleme mit anderen Hilfsmitteln, wobei sie viele Resultate der höheren Geometrie entdeckten."

Wir sind hier, wie später gezeigt  wird, zu folgender abweichenden Einsicht gelangt: 
Auch wenn für die drei klassichen Aufgaben  klassisch konstruierte exakte diskrete  Ergebnis-Darstellungen prinzipiell unmöglich sind, bedeutet das nicht  zugleich, dass  auch   klassisch konstruierte    Darstellungen exakter Ergebnis-Erzeugungsprozesse (konstruierte Berechnungsgänge)  unmöglich sind, da   dafür  die Zusammenhänge welche die Urkurven   Kreis und Gerade  modellieren, nicht ausreichen.
 
 
 

 Was leisten   Konstruktionen?

Auflagen für Konstruktionen 

Euklidisch klassisch
  • Beschränkung auf Zirkel und Lineal (Urkurven Kreis und Gerade)
  • Grenzprozesse, die einem Grenzwert als Ergebnis zustreben,  bleiben unbetrachtet und ungenutzt
  • Die Konstruktion ist  nach  endlich vielen Schritten  beendet

Klassisch

  • Beschränkung auf Zirkel und Lineal (Urkurven Kreis und Gerade)
  • Grenzprozesse, die einem Grenzwert als Ergebnis zustreben,  werden betrachtet und genutzt
  • Die Konstruktion ist nach  endlich vielen Schritten  beendet oder wird vorzeitig abgebrochen 

 Nicht klassisch 

  • Beschränkung auf Zirkel und Lineal (Urkurven Kreis und Gerade)
  • Zusätzlich sind weitere Werkzeuge wie ein Masslineal, ein Rechtwinkelhaken usw. zugelassen
  • Zusätzlich sind weitere, über Kreis und Gerade hinaus gehende höhere Kurven zugelassen.  
Klassische euklidische Konstruktionen
Das klassische Konstruieren steht in der Tradition des Grundlagenwerkes ELEMENTE von Euklid (ca. 330 v.u.Z.) und erfährt dadurch nicht nur eine Beschränkung auf Zirkel und Lineal (bzw. Kreis und Gerade), sondern auch auf endliche Prozesse bzw. endliche Kreis-Gerade-Sequenzen. Darüber hinausgehende endlose Kreis-Gerade-Sequenzen für Grenzprozesse, die einem Grenzwert (Grenzwertpunkt) zustreben, bleiben bei Euklid   unbetrachtet. Dieser Sachverhalt begründet  eine Denkblockade zu klassisch konstruierten Grenzprozessen, die bis heute andauert. 
Für alle drei klassischen Aufgaben der Antike sind bislang durch klassisches Konstruieren nur genäherte Ergebnis-Erzeugungen und  Ergebnis-Darstellungen bekannt geworden. 

Klassische Konstruktionen 

Die von Euklid (ca. 330 v.u.Z.) praktizierte Beschränkung auf endliche Prozesse / Kreis-Gerade-Seuquenzen ist willkürlich, denn es gibt mit dem heutigen Wissensstand keinen  einsichtigen Grund dafür. Deshalb werden wir hier nun auch Grenzprozesse betrachten und klassisch konstruieren. Dabei strebt der letzte Zwischen-Ergebnis-Punkt nach immer mehr ausgeführten Schritten dem gesuchten gedanklichen Ergebnis-Grenzwert-Punkt immer mehr zu,  beispielsweise einem Grenzwert Winkeldrittel.

Falsch und verwirrend wäre es hier,  klassisch konstruierte exakte  Grenzprozesse, die zu einem Grenzwert-Punkt konvergieren, auf  einen nur genäherte Erzeugungsprozesse (Berechnungsprozesse) zurück zu stufen. Über  exakt und genähert  urteilen wir daher anhand der  Grösse des  Restabstandes vom   zuletzt erzeugten Zwischenergebnis-Punkt zum gedanklich Grenzwert-Punkt.  Ein klassisch konstruierter exaktes Erzeugungsprozess liegt dann vor, wenn mit immer mehr Schritten dem Grenzwertpunkt immer weiter zugestrebt wird. Ist dies nicht der Fall,  handelt es sich um einen genäherten Ergebnis-Erzeugungsprozess.
Ein erstes unbeschränkt klassisch konstruiertes Winkeldritteln veröffentlichte Nicolais Fialkowski in seinem Buch: N.Fialkowski, Theilung des Winkels und des Kreises, Wien 1860  Verlag Gerold´s Sohn.
Exaktes Winkeldritteln nach N. Fialkowski  
Als Rechenoperation des klassich konstruierten Grenzprozesses, der dem Grenzwert Winkeldrittel zustrebt, dominiert eine Folge von  Halbierungen, wie sie das Bild zeigt. Die nach aussen laufende Zickzack-Linie ist hier hilfsweise hinzugefügt, um die Folge der Halbierungen  leicher nachverfolgen zu können.
Die Konvergenz dieses exakten Winkeldrittelns ist schwach. Fialkowski hat deshalb seinem exakten Winkeldritteln durch Halbieren keine grosse praktische Bedeutung zuerkannt. Wir werden später noch zeigen, wie schon mit wenigen einfachen Mitteln eine deutliche Verbesserung der Konvergenz erreicht werden kann. 
Weitere Erörterungen dazu und auch weiter Beisiele für klassich konstruiertes exaktes Winkeldritteln folgen in der Rubrik:  Urberechnungen / Winkel/Drehung
 
Exaktes Rektifizieren  des Kreisbogens  nach Fontane  (1782) 
In der Fachliteratur wird zur Problematik der klassisch konstruierten Quadratur des Kreises immer zuerst die  π -Näherung von Kochanski (1685) zitiert. Diese kann mit mehr Rechenaufwand nicht genauer gemacht werden. Anders ist es bei dem Immer wieder vergessen,   schon (1782) erstmals vom italienischen Mathematiker Fontana vorgezeigten klassisch konstruierten  Grenzprozess, der dem Grenzwert gestreckte Länge des   Kreisbogens   bzw. dem Kreisverhältnisses π = Kreisumfang/Durchmesser zustrebt. So werden  immer genauere, quasi unbeschränkt genäherte Kreiszahlen πnum erzeugt. Die Fontana-Methode des klassisch konstruierten Berechnens kann sinnfällig bis zum letzten Schritt nachvollzogen werden. Hier kann durch immer mehr getriebenem Aufwand mit bekannten Iterationszyklen zu immer genaueren, quasi unbegrenzt genäherten Ergebnis-Darstellungen πnum   gelangt werden. Auch mit meinen, später noch vorgezeigten klassisch konstruierten Kreis-Abrolllängen können gleichfalls unbeschränkt genäherte Kreiszahlen πnum erzeugt werden. Auch hier setzt der inverstierbare Aufwand die Grenzen beim Realisieren.
Heute wird in der Fachliteratur  nur dann von   Grenzprozessen  gesprochen, wenn  die beteiligten   Rechengrössen "Zahlen"  sind.  So liefert die Suche im Internet nach klassisch konstruierten Grenzprozessen,  die einem  Grenzwert im euklidischen Raum zustreben, keine Treffer.  Wir werden hier künftig aus Analogiegründen   auch dann von  Grenzprozessen sprechen, wenn mit einer klassisch konstruierten  "Kreis-Gerade-Sequenz"   einem  Grenzwert  zugestrebt wird, beispielsweise der Sehnengrösse eines gerade gestreckten Halbkeisbogens, wie es das   folgende  Bild  zeigt.
 
Seit Antiphon (ca 450 v.u.Z.) ist für die Berechnung der Kreisfläche bekannt, dass diese  auf eine nie endende, unbegrenzt genäherte  Ergebnis-Erzeugung und Darstellung hinaus läuft. Trotzdem hat Euklid (ca 330 v.u.Z.), aus  Gründen über die heute nur spekuliert werden kann, die Problematik der Grenzprozesse nicht in sein  berühmtes Grundlagenwerk ELEMENTE aufgenommen, hat diese   Problematik bewusst weggelassen. Dadurch kam es   hier  sogar zu einer gewissen Denkblockade, die noch bis heute nachwirkt. In der Geometrie bleiben in euklidischer Tradition  somit klassisch konstruierte (gezeichnete) Grenzprozesse  bis heute nahezu unbetrachtet, und werden als solche   nicht erkannt und nicht gewürdigt. Sie geriet der Grenzprozess von Fontanna  immer wieder in Vergessenheit.

Weitere Beispiele für klassich konstruierte  Erzeugungsprozesse für die Länge  der Quadratseite und die Länge  Würfelseite   folgen in der Rubrik Urberechnungen / Kreis  und   Urberechnungen / Würfel.

 

Nicht klassische Konstruktionen

Bei den nicht klassischen Konstruktionvorschriften werden neben Zirkel und Lineal, bzw. Kreis und Gerade auch darüber hinaus weiter Konstruktionswerkzeuge und höhere Kurven zugelassen, Damit eröffnen sich viele Möglichkeiten, beispielsweise einen beliebigen Winkel exakt zu dritteln. Diese  Arbeitsrichtung wird mit  den Cohaerentic Kalkulationen nicht verfolgt, da auch bereits mit der Arbeitsrichtung "klassisches Konstruieren" ganz  ohne die besagten Hinzunahmen, zu  exakten und zugleich effizienten Lösungsverfahren gelangt werden kann. 

 

Historisches 

Euklid (ca 330 v.u.Z.) hat in seinem berühmten Grundlagenwerk ELEMENTE das mathematische Wissen seiner Zeit gesammelt und Manches von Vorgängern sogar direkt übernommen, wie Historiker heraus gefunden haben. Bei seinen  Vorgängern  und auch bei seinen eigenen Beiträgen bleiben klassisch konstruierte Grenzprozesse unbetrachtet, obwohl  schon seit Antiphon (ca. 450 v.u.Z)  vom Grundsätzlichen her bekannt war, dass diese endlosen Prozesse für die Kreisflächen-Berechnung  wegen einer  gebogenen Bergrenzungslinie unerlässlich sind. Bei Euklid bleiben nicht nur über  Zirkel und Lineal hinaus gehenden Werkzeuge  unbetrachtet,  sondern  auch  die über  Kreis und Gerade hinaus gehenden höheren Kurven und auch die Grenzprozesse, die einem Grenzwert zustreben.   Heute stellt sich immer mehr die Frage:  Was geht verloren oder was wird gewonnen, wenn  über die geforderten euklidischen Beschränkung, keine Grenzprozesse zu betrachten,   hinaus gegangen wird?
Es war Euklid (ca 330 v.u.Z.), der in Alexandria lehrende Geometer, der mit  seinem Grundlagenwerk ELEMENTE lange Zeit die Arbeitsausrichtung der   Geometer / Mathematiker bestimmte. Seine in den ELEMENTEN demonstrierten  Zirkel- und Lineal - Konstruktionen (klassische euklidische Konstruktionen)  sind bis heute Vorbild für das erlaubte Vorgehen.  Nach endlich vielen Schritten  soll das endgültige  Ergebnis vorliegen. Mit einer Sequenz nacheinander gezeichneter Kurven von Kreis und Gerade soll  dabei mit einem letzten Schnittpunkt ein  Ergebnis quasi fertig gestellt sein, das  eine   durch endlich viele klassisch konstruierte Schritte abhängige Grösse ist, die   eine   Strecke- oder ein  Kreisbogen oder auch ein Winkel  usw." sein kann.

Im  19. Jahrhundert wurde mit modernen mathematischen Methoden bewiesen, dass quasi mit nur endlich vielen  klassisch konstruierten Schritten kein exaktes Winkeldrittel, oder keine exakte Quadratseitenlänge eines  flächengleichen Quadrats zum Kreis oder auch keine exakte Würfelseitenlänge  eines   im Volumen verdoppelten Würfels dargestellt werden kann. 

 

Ausgetretene Pfade verlassen

Über klassische euklidische Konstruktionen hinaus gehen.

Auch bei Beibehalten der klassischen Beschränkungen auf Zirkel und Lineal (heute sagen wir besser auf die Urkurven Kreis und Gerade) kann mit den Sequenzen von Stücken der Urkurven Kreis und Gerade   auch über die klassischen euklidischen Konstruktionen hinaus gegangen werden. Wie wir schon wissen (siehe obige Bilder),  ist es mit Wiederholungen möglich,  quasi bis ins Endlose fortsetzbare Vorgänge mittels klassischer Konstruktionen zu beschreiben. Durch die möglichen Wiederholungen von bekannten Zyklen werden hier  auch klassisch konstruierte Grenzprozesse möglich. Nacheinander ezeugte Zwischenergebnis-Punkte  streben hierbei  immer weiter einer Grenze zu, einem Grenzpunkt / Grenzwert bzw.Grenzzustand. Eine damit  erzeugte  Abstandgrösse in der Ebene kann Strecke oder Winkel oder auch ein gestreckter Kreisbogen sein.
Bei   klassisch  euklidischen Konstruktionen werden immer nur  endlich viele   Punkte erzeugt. Bei den erweiterten klassischen  Konstruktionen, die auch   Grenzprozesse umfassen, gibt es bei jedem  aktuellen Ende (Abbruch) einen nicht abgeschlossenen Vorgang mit nur endlich viel erzeugten Punkten. Im Unterschied zu den klassischen eukidischen Konstruktionen gibt es hier immer die offene Möglichkeit,  den Vorgang (Grenzprozess) sinnvoll fortzusetzen. 
 

Ergebnisdarstellung mit "konstruierbaren Zahlen"

Bei arithmetischen Grenzprozessen, bei denen Zahlen als Ergebnis errechnet werden, gibt es die bekannte Vereinbarung zur Darstellung mit den drei Punkten, wie für die Zajl des Kreisverhältnisses πnum(...)=3,1415... . Die gleiche Darstellung für das Zahl-Ergebnis aus der π-Näherungskonstruktion von Kochanski (1685) wäre somit falsch, da das Kochanski-Verfahren nach endlich vielen Schritten beendet ist und das erzeugte  Ergebnis durch mehr Schritte, z.B. beim Ausziehen von  Wurzeln, nicht weiter verbessert werden kann. Es ist somit nur beschränkt  genähert.
Die im 15. und 16. Jahrhundert zum Berechnen  geometrischer Zusammenhang-Systeme erfundene   „analytische Geometrie“ steht in der euklidischen  Tradition   und lässt  auch hier  klassisch konstruierte  Grenzprozesse unbetrachtet, wie sie für das elementar gezeichnete Berechnen der Kreisfläche und des Winkeldrittels unerlässlich sind.

Missverständnisse vermeiden. 

Die Betrachtungen zu Cohaerentic-Kalkulationen berühren auch die drei klassischen Aufgaben aus der Antike. Dabei werden  für Lernende insbesondere  die konkreten Gültigkeitsgrenzen für "unmögliche" und "mögliche" klassisch konstruierte Aufgabenlösungen deutlicher heraus gearbeitet.  Ziel ist es, die für Lernende und Nichtmathematiker    das ursprüngliche   Berechnens besser verständlich zu machen.   Es wird dabei erkannt, dass es zu  Berechnungsprozessen, die  mit   exakten endlosen Grenzprozessen ausgeführt werden,  niemals eine fertige, endgültige  Ergebnisdarstellung geben kann. Hier kann es   nur Darstellungen geben, die  mit immer mehr ausgeführten Wiederholungen   bekannter Schritte-Zyklen einem realen  Ergebnis-Grenzwert immer weiter zustreben. Dieser Arbeitsausrichtung wird heute unterstellt, sie würde allgemein akzeptiertes mathematisches Wissen negieren, indem  hier  immer noch nach einem klassisch konstruiertem exakten Berechnen gesucht wird, obwohl dies unmöglich sei.  Dem widersprecht aber vorzeigbere klassische Konstruktionen.   Besomders interessant sind dabei die  in der Konvergenz verbesserten  Grenzprozess-Konstruktionen. Dabei werden bereits nach wenigen, der endlos vielen möglichen Schritte,  zu  ausreichend genauen  Ergebnis-Darstellungen gelangt, die für das alltägliche   Leben  ausreichen.  

Klassich konstruierte  Rechenoperationen, ohne und mit Grenzprozessen 

Mit konstruierten Kreis- und Gerade-Sequenzen  können  grundsätzliche  Rechen-Operationen, bzw. mit nachvollziehbaren Zusammenhängen  (bildliche Kohärenzmodelle) im Erfahrungsraum konstruiert werden. Schon seit Euklid (ca. 330 v.uZ.)  bleiben  mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruierte Grenzprozesse unbetrachtet, bei denen das jeweils aktuelle Zwischenergebnis einem diskreten Grenzwert immer weiter zustrebt, ohne ihn jemals zu erreichen. Das veränderte Interesse ist hier nicht auf die quasi   immer unfertig bleibende  Ergebnisgrösse gerichtet, für die es  keine  reproduzierbare diskrete Darstellung gibt. Nun interessiert  ein   zutreffender exakter Grenzprozess.  Beim konstruierten geometrischen Berechnen wird anfangs noch ohne die Abstraktion "Zahl" für  geometrische  Rechengrössen gearbeitet. Die geometrischen Rechengrössen sind Verhältnisse von Strecken und Drehungen (Winkeln). Diese werden mit gegebenen und konstruierten Punkten beschrieben. Klassisch konstruiert  können folgende elementare geometrisch fundierte Operationen ausgeführt werden:
  • die Addition und Subtraktion zweier Strecken oder Drehungen (Konstruktion einer Summe/Differenz),
  • die Multiplikation und Division zweier zweier Strecken  (Konstruktion eines Produktes/Quotienten)
  • das Ausziehen der Quadratwurzel aus dem Produkt der Seiten des Rechtecks (Konstruktion der Seite des flächengleichen Quadrats und die Umkehrung). 
  • gezeichnete Grenzprozesse (z.B. geometrische Folge für Kreisrektifikation, Winkeldreiteilung ...)
Mit der   veränderten Betrachtungsweise ist  der Blick nicht mehr auf  diskrete Ergebniszahlen gerichtet, die   im Altertum aus mystisch-esoterischen Vorstellungen heraus erwartet wurden. Bei den  gezeichneten Cohaerentic Kalkulationen  interessiert nun   sinnfällig nachvollziehbare  Rechengänge, dier sicherstellen, dass mit immer mehr ausgeführten Schritten auch dem gedanklichen ideellem Ergebnis immer weiter (strikt) zugestrebt wird. Gefragt wird nun, wie können die Punkte der Urkurven Kreis, Parabel,  Hyperbel und Ellipse oder auch solcher Kohärenzkurven wie die Quadratix konstruiert berechnet, dargestellt und genutzt  werden? Gibt es  hier nachvollziehbare Verwandtschaften untereinander,  die  nur mit klassisch konstruierten Punkten der Ur-Kurven Kreis unf Gerade beschrieben und dargestellt werden können? Wie kann ein  Schritt um Schritt  nachvollziehbar gezeichnetes Konstruieren  von Kreisumfang und Kreisfläche gestaltet werden? Ein  Schwerpunkt ist auch, wie können die Rechengrössen von Translation und Rotation, vor- und rückwärts,  miteinander verknüpft werden?
Bei den erweiterten klassischen  Konstruktionen der Cohaerentic-Kalkulationen  werden die bekannten Beschränkungen auf Kreis und Gerade beibehalten und nur um die Nutzung konstruierter Grenzprozesse erweitert. Nach einem jeden solch  konstruiertem Berechnen können mit dem bekannten mathematischen Wissen die beteiligten geometrischen Rechengrössen in entsprechende funktionale und digitale Darstellungsformen   übergeführt werden. Dies wird später noch vielfach demonstriert werden.

 

Was ist    B e r e c h n e n   und gibt es dafür eine allgemeine Definition?

Alle Aktionen eines geometrisch konstruierten Berechnens haben, wie auch alle Berechnungen mit Zahlen, das Ziel,  zu mehr Durchblick zu gelangen, um dann bessere Entscheidungen treffen zu können. Eine Definition für das mathematische Berechnen ist  in der Fachliteratur und auch im Internet nicht zu finden. 

Den Begriff Cohaerentic  haben wir für ein Wissen zu  Rechenzusammenhängen gewählt, die sich mit Hilfe  konstruierter  Sequenzen von Kreis und Gerade (= antike Beschränkung auf Zirkel und Linael)    in anschaulichen bildlichen Urkohärenz-Systemen abbilden und so erfahrbar werden. Cohaerentic-Kalkulationen gehen in der Anschaulichkeit und dem Rechnen mit konstruierten Grenzprozessen über die  in der Elementargeometrie bekannten klassischen euklidischen  Konstruktionen hinaus und können daher mehr leisten, was später immer umfassender  erklärt wird.  

Berechnen ist ein  Wahrnemen, Durchdenken und Handeln  in Schritten

Es ist ein grosses Rätsel, warum  die Hauptaktionen beim Berechnen in Schritten ablaufen, das sind das Wahrnehmen, das Durchdenken und das Handeln. Hängt dies damit zusammen, dass das Herz quasi auch in Schritten arbeitet? Ohne Zahlen kann durchaus berechnet werden, nicht aber ohne Schritte!

Bei den Cohaerentic- Kalkulationen werden   geometrisch konstruierte Rechenprozesse mit endlos vielen Schritten als  etwas Natürliches betrachtet.   Ein Rechteck kann bei Erhalt seiner Flächengrösse durchaus mit   vielen und  bis endlos kleinen Schritten in seiner Gestalt verändert werden. Real kann die Kleinseite endlich oft halbieret und die Grossseite endlich oft verdoppelt werden, in Gedanken sogar endlos oft.   Für den Erhalt der Flächengrösse müssen nur die beiden gegenläufigen Rechenoperationen quasi simultan stattfinden. Die endlose Iteration wird immer dann beendet werden, wenn sie zur sinnlosen Aktion wird.

Die seit der Antike historisch immer weiter vererbte  Forderung nach Berschränkung der Anzahl der Schritte  bis zur Ergebnisdarstellung erweist sich als Denkblockade.  Diese Beschränkung grenzt  vielfach willkürlich das Berechnen auf  nur sehr grob dargestellte Ergebnisgrössen ein. Nun werden bei den elementar gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen  auch Grenzprozesse mit theoretisch endlos vielen möglichen Schritten betrachtet. Dabei wird trotzdem  das Ziel verfolgt, schon mit wenigen  Schritten ein befriedigend genaues Ergebnis darstellen zu können. Dies führt  zur Aufgabe, nicht für Grenzprozesse mit Zahlen, sondern auch für  gezeichnet  konstruierte Grenzprozessen nach Verkürzungen zu forschen.  

 

 

Beispiele von Urberechnungen, Uraufgaben

Geometrische Uraufgaben mit klassisch konstruierten Cohaerentic-Kalkulationen  berechnen.

Mit  Urberechnen wird hier ein konstruiertes Berechnen einer geometrischen Uraufgabe bezeichnet, die oft  einen mathematischen Satz betriff, wie den  Höhensatz des Euklid und den  Satz des Pythagoras usw. Es gibt aber auch eine Reihe von Uraufgaben für die bis heute  keine  elementarer Lösungszusammenhang gefunden wurde, der mit einem solch mathematischen Satz beschrieben werden kann.  Eine Uraufgabe, die einen wesentlichen Zusammenhang anspricht, lautet:

Der Kreisumfang bzw. das geometrische Verhältnis π ist mit einer  konstruierten Sequenz der Urkurven von Kreis und Gerade sinnfällig nachvollziehbar  zu berechnen.

Eng damit verknüpft ist die folgende  Uraufgabe und ihre Umkehrung:    

Es ist  mit einer  konstruierten Sequenz der Urkurven von Kreis und Gerade  die Transformation eines gegebenen beliebigen Drehungen-Verhältnisses  in eine gleichgrosse Strecken-Verhältnis, oder umgkehrt, sinnfällrig nachvollziehbar zu berechnen.

Oder anders beschrieben:

Allein mit einer konstruierten Sequenz der Urkurven Kreis und Gerade ist ein bildliches Kohärenzsystem zu erzeugen, in dem Translation und Rotation proportional miteinander verknüft sind, so dass es zu jedem Drehungen- Verhältnis  ein gleich grosses Strecken-Verhältnis  gibt und umgekehrt.

Die aus der Antike bekannte Kohärenzkurve Trisectrix des Hippias von Elis (5.Jh.v.u.Z.)  (heute Quadratrix genannt) kann mit Hilfe der  Kreis-  Gerade-Sequenzen als Punktekurve  beliebig veiler Punkten konstruiert werden. Exakte Transformationen sind hier nur mit den konstruierten exakten Punkten möglich.  Zwischen den Punkten gibt es nur    genäherte Transformationen.

Insgesamt wird die Konvergenz  verbessert, wenn zwischen 3 benachbarte Punkten ein Krümmungskreis gezeichnet wird.  Mit den immer mehr eakt konstruierten Punkten wird  sich immer mehr den gedanklich exakten Ergebnis unbeschränkt genähert. Der exakte Erzeugungsprozess der Punkte der Kohärenzkurve macht dies möglich.

Cohaerentic-Kalkulationen gehen in ihrer Zielstellung und ihrem Vermögen auch exakte Grenzprozesse  klassich zu konstruieren, über die klassischen euklidischen Konstruktionen hinaus. Dies wird später noch ausführlich gezeigt werden. Cohaerentic-Kalkulationen umfassen auch  anschaulich nachvollziehbare Beweise zum Richtigsein  und  für ein zweifelsfreies Zutreffen. 

 

 

 
1. Beispiel:  
Höhen-Satz  des Euklid (ca 330 v.u.Z.)

Quadratur des Rechteck 

Aufgabe: Aus einem Rechteck ein flächengleiches Quadrat gezeichnet  berechnen und umgekehrt.

Die folgende elementar gezeichnete endliche Cohaerentic-Kalkulation  betrifft den  Höhensatz des Euklid, zu dem  Euklid von Alexandria (ca. 330 v.u.Z.)  in seinem berühmten Grundlagenwerk ELEMENTE   (Euklid, ELEMENTE  1.Teil, II. Buch, § 14 (A.2), OSTWALDS KLASSIKER 235, Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G. Leipzig 1933)   eine elementare Konstruktion zeigt und zum Beweis des Richtigseins verbale Ausführungen macht.. Dabei  arbeitete   er  mit den Begriffen Ergänzungen im Parallelogramm, die sich bis heute im Satz der Ergänzungsparallelogramme erhalten haben.   

 

Die hier vorgezeigte  Cohaerentic Kalkulation  ist ein überzeugendes Beispiel  für  den Unterschied zur euklidischen   elementaren Konstruktion samt verbaler  Beweisführung zum Richtigsein, die auf schon schon vorhandenes Rechenwissen aufbaut. Die Cohaerentic Kalkulation geht   mit dem grossen Rechteck KJLC und der Symmetrie-Diagonale KL  über die von Euklid zu seiner Satzaussage gezeichnete  elementare  Konstruktion mit den Punkten E; B; C; D; G; F und H hinaus.  Damit wird der    oben  angesprochene   Unterschied  b)  zur elementaren Konstruktion nachvollziehbar.

Mit der hier im Bild erfahrbar gemachten  Flächengleichheit von rotem Rechteck und  rotem  Quadrat wird die Kernaussage des Höhensatzes sehr anschaulich und  ohne zusätzliche Hilfsbetrachtungen nachvollziehbarDabei  spielt die gestrichelte Diagonale KL als Symmetrielinie die entscheidende Rolle, um die Richtigkeit der Flächengleicheit von rotem Rechteck und rotem Quadrat   zweifelsfrei erkennen zu können. In der elementaren Konstruktion des Euklid und allen später hierzu in der Fachliteratur  veröffentlichten elementaren Konstruktionen fehlt das Rechteck KJLC mit der Symmetrie-Diagonale KL. Später wird unter der Rubrik "Urberechnungen" zur Problematik  Höhensatz des Euklid  noch mehr ausgeführt werden. Weitere Betrachtungen gibt es dann  auch noch zur Kreisquadratur, zur allgemeinen Kreisteilung in beliebige ganzzahlig viele Sektoren (Tortensstücke)  und zu  weiteren Urzusammenhängen.

 

2. Beispiel:    

Quadratur des Rechteck

Aufgabe: Aus einem Rechteck ein flächengleiches Quadrat gezeichnet  berechnen und umgekehrt.

Für diese Uraufgabe gibt es verschiedene Lösungsansätze, nicht nur den im 1. Beispiel  beschriebenen Ansatz. Mein hier mit einer Cohaerentic-Kalkulation gezeichnetes Urkohärenzsystem zeigt einen allgemein gültigen  Rechengang, der kein Grenzprozess ist und damit endgültig nach endlich vielen Schritten das Ergebnis darstellt.  Mit der gestrichelten Diagonale geht die Cohaerentic-Kalkulation auch hier über eine elementare Konstruktion hinaus (Unterschied Ub)).  Mit der Symmetrielinie "Diagonale"  wird   die Richtigkeit des Ergebnisses der Flächengleichheit auf kurzem anschaulichen Weg gezeigt.

 

 

Das folgende Video zeigt für beliebige  Rechteckformen (Diagonalendrehungen)  einen anschaulich  nachvollziehbar  gezeichnetes Kohärenzsystem zur Quadratur des Rechtecks und lässt damit zugleich auch  den geomtrisch fundierten Berechnungszusammenhang erkennen. Dabei beweist die gestrichelte Diagonale  den richtigen Berechnungszusammenhang für alle möglichen Rechteckformen.

Der Ablauf-Punkt auf der Zeitschiene kann durch Anklicken angehalten werden und  auch vorwärts und rückwärts bewegt werden.  

 

 

3. Beispiel:   KLassisch konstruierter Grenzprozess für π   

Aufgabe: Das Geradebiegen des Kreisbogen  gezeichnet  berechnen.

 

 

Bildbeschreibung zur Rektifikation

Mit einem verdoppeloten  Durchmesser und einem halbierten Zentriwinkel wird jeweils ein neuer Kreisbogen mit unveränderter (konstanter)  Länge bei halbierter Krümmung gezeichnet  und dargestellt. Gedanklich kann dieser endlose Prozess immer weiter fortgesetzt werden.  Real wird jedoch immer nach endlich vielen Schritten abgebrochen, so bald  das praktische Endekriteruim erfüllt ist und keine  Bogenkrümmung mehr erkannt werden kann. Später wird noch demonstriert werden, wie auf der Grundlage eines kontinuierlichen Zusammenhangs der gezeichnete  Grenzprozess   deutlich verkürzt werden kann. Schon nach wenigen Schritten, gemessen an den möglichen endlos vielen Schritten  wird dann bereits eine befriedigend genaue  Ergebnis-Darstellung  erreicht. Diese kann bei Bedarf mit weiter investiertem Rechenaufwand  weiter verbessert werden. Diese Möglichkeit gibt es bei genäherten  Berechnungsprozessen nicht.

Beim vorgezeigten obigen Rechengang  kann das gezeichnet berechnete Ergebnis, die gestreckte Länge des Kreisumfangs (Unterschied b), zweifelsfrei gefolgert werden.  Es wird hier ein natürlich konvergierender Berechnungsprozess (Rechengang)  vorgezeigt, der einem Grenzwert zustrebt und damit  ein Grenzprozess ist. Mit dem Erreichen des  Krümmungs-Grenzwertes Null  wird  die  gestreckte  Kreisumfanglinie als  Strecke erkannt.    

Offene Fragen:

Hier wird auch gefragt werden, welchen Schaden gibt es, wenn vom  Alters her geforderte Ausschluss   endloser  Berechnungsprozesse abgerückt wird?  Ich behaupte, es geht hiedurch nichts verloren. Im Gegenteil, es werden viele gezeichnete exakte  Berechnungen so erst möglich, die zu einem  Mehr an  Verstehen führen, was  Berechnen ist.  Für Cohaerentic-Kalkulationen sind deshalb alle elementar zeichenbaren Berechnungsprozesse zugelassen, deren  gezeichnete Rechengänge   bis zum letzten Schritt     anschaulich  sinnfällig   nachvollzogen werden können.  

 

4. Beispiel:    Verkürzter klassich konstruierter Grenzprozess für π 

Aufgabe: Den Halbkreisbogen Schritt um Schritt, bei konstanter Länge, immer weiter gerade biegen

Der Ablauf-Punkt auf der Zeitschiene kann durch Anklicken angehalten werden und  auch vorwärts und   rückwärts bewegt werden.  

Beim realisierten Grenzprozess bilden die Endpunkte der immer weiter aufgebogenen Kreisbogen gleicher Länge   eine Punktekurve mit stetigem Verlauf und immer dichterer Punktfolge. Nach endlos vielen Schritten des Aufbiegen liegt der letzte Bogenendpunkt immer noch vor der Ordinaten-Achse. Die gedachte stetig verlaufende Kurve ist bei den letzten drei Bogenendpunkten einem Kreis sehr ähnlich.    Eine Verkürzung des Grenzprozesses wird erreicht, indem ein Kreis durch die letzten drei Bogenendpunkt gezeichnet wird, der dann die Ordinaten-Achse schneidet und ein Ergebnisgrösse für den konkreten Umfang an Schritten liefert.

 

Das Kreisverhältnis π ist definiert als Verhältnis  π=gestreckter Kreisumfang / Kreisdurchmesser. Leicht nachvollziehbar ist, mit immer mehr investiertem Aufwand (n; (n+1); (n+2) ... - Schritte) in exakte  nur mit Kreis und Gerade konstruierte Berechnungsprozesse  (endlose  Grenzprozesse) wird die  Grösse eines  aktuell  erzeugten   πgeo(n)   immer enger an die ideale Grösse von π heran gerückt, was theoretisch ohne Ende fortführbar ist.   

Per Vereinbarung bildet die symbolisierte Kreiszahl πnum(...)    die Grösse des Kreisverhältnisses π vollständig ab.  So weist die symbolischen Kreiszahl- Darstellung πnum(...) = 3,14159...   mit den drei Punkten auf  nicht endend viele  wahRechenre Nachkommaziffern hin, die man sich quasi als alle vorhanden vorstellt. Die fortsschreitende Rechentechnik macht hier immer wieder neue Rekorde für die Anzahl der berechneten wahren Nachkommaziffern möglich.  

 

 

 
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